41
SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO HƯỚNG DẪN
SINH VIÊN TỰ HỌC HỌC PHẦN PHÉP TÍNH VI PHÂN
VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
USING MAPLE SOFTWARE GUIDING STUDENTS TO SELF-
STUDYING DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS OF
MULTI-VARIABLE FUNCTIONS
Th.S NGUYỄN VĂN KIẾM
Trường CĐSP Quảng Trị
TÓM TẮT
Trong dạy toán, việc sử dụng các phầm mền Mathematieca, Maple, Cabri
Geometry, Geometer's Sketchpad,Mathcad...vào hỗ trợ tự học, tự nghiên cứu của
sinh viên là vấn đề rất cần thiết. Từ đó, định hướng được cách dạy của người dạy
cho người học và cách học của người học trên sự hỗ trợ của các phần mềm toán
học.
Trong bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập một vấn đề "Sử dụng phần mền Maple
vào hướng dẫn sinh viên tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm
nhiều biến số". ABSTRACT
In Mathematics teaching, the use of such softwares as Mathematieca, Cabri
Geometry, Geometer’s Sketchpad, Mathcad ect, in assisting students’ self-study is
of great essentiality. As a result, it can help to set up orientation for teachers’
teaching methods and students’ learning methods with the support of those
mathematical softwares.
This paper only deals with “the use of Maple software in guiding students to self-
studying differential and integral calculus of multi-variable functions”.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Chiến lược phát triển giáo dục Đại học - Cao đẳng từ năm 2005 đến 2015 là
từng bước đổi mới nội dung, chương trình, giáo trình và phương pháp dạy học. Một
trong những khâu then chốt của quá trình đổi mới phương pháp dạy học là rèn luyện
kỷ năng tự học, tự thích ứng cho sinh viên. Trong dạy toán, việc sử dụng các phầm
mềm Mathematica, Maple, Cabri Geometry, Geometer's Sketchpad, Mathcad... vào
hỗ trợ tự học, tự nghiên cứu của sinh viên là vấn đề rất cần thiết. Từ đó, định hướng
được cách dạy của người dạy cho người học và cách học của người học trên sự hỗ
trợ của các phần mềm toán học.
Trong bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập một vấn đề "Sử dụng phần mền Maple
vào hướng dẫn sinh viên tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm
nhiều biến số".
42
B. NỘI DUNG
1. Maple là phần mềm do một nhóm các nhà khoa học của Canada thuộc trường
đại học Waterloo xây dựng và cho ra đời vào năm 1980 với mục đích giải quyết mọi
công việc liên quan đến tính toán. Từ đó, đã làm thay đổi hẵn cách học toán: Song
song với cách giải "truyền thống", sinh viên được hướng dẫn giải bằng sự trợ giúp
của Maple. Phương pháp này tạo ra cho sinh viên cách tiếp cận mới với toán học-
sinh động, sáng tạo và rèn được khả năng tự học, tự kiểm tra, tự nghiên cứu.
2. Tự học, tự nghiên cứu là việc làm thường xuyên của sinh viên trong quá trình
học tập và sau này lập nghiệp. Đặc biệt, đối với sinh viên ngành sư phạm toán việc
sử dụng các phầm mền toán học vào tự học, tự nghiên cứu là cơ sở vững chắc cho
việc ứng dụng tin học vào đổi mới phương pháp dạy học ở bậc phổ thông. Thực tế
cho thấy những sinh viên nào biết ứng dụng các phần mền toán học vào hỗ trợ tự
học, tự nghiên cứu thì rất thành công trong công tác giảng dạy sau này.
3.Sử dụng phần mền Maple vào hướng dẩn sinh viên tự học học phần phép
tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số.
3.1.Đồ thị của hàm hai biến:
3.1.1 Định nghĩa: Đồ thị của hàm số z = f( x , y ) xác định trên tập D ⊂ R2
là một tập hợp gồm các điểm trong không gian R3 xác định bởi toạ độ ( x , y , z) với
( x , y) ∈D.
{
}
3
(,,) / (,),(,)GxyzRzfxyxyD=∈= ∈
3.1.2 Vẽ đồ thị của hàm hai biến z = f( x , y ) khi x ∈[ a ; b ] , y ∈[ c ; d ]
Cú pháp: [ > plot3d ( f(x,y) , x = a..b , y = c..d );
Minh hoạ 1.> #Ve do thi ham hai bien#
> z:=sin(sqrt(2*x^2+y^2)); := z()sin + 2x2y2
> plot3d(z,x=-2..2,y=-2..2);
43
>f(x,y):=((2*x-y^2)*exp(-x^2-y^2)); := ()f,xy () − 2xy
2e()− − x2y2
>plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2);
3.2 Giới hạn của hàm hai biến số:
3.2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f : D ⊂ R2 → R
( x , y ) az = f(x , y)
và P0( x0 , y0) ∈R2 ( P0 là điểm tụ của tập D)
L ∈R được gọi là giới hạn của hàm số f khi x → x0 , y → y0 và kí hiệu là:
0
0
lim ( , )
xx
yy
Lfxy
→
→
=
3.2.2 Tính giới hạn của hàm hai biến f(x,y) khi đồng thời x→ x0 và y → y0 .
Cú pháp: [ > limit(f(x,y), {x=x0,y=y0 });
Minh hoạ 2.
> f(x,y):=(x^2*y)/(x^4+y^2); := ()f,xy x2y
+ x4y2
> limit(f(x,y),{x=1,y=2}); 2
5 Vậy ,
2
42
1
2
2
lim 5
x
y
xy
xy
→
→
=
+
Minh hoạ 3. Tính giới hạn của 22
0
lim
x
y
x
y
x
y
→
→+∞
+
+
và 22
lim
x
y
x
y
x
y
→+∞
→+∞
+
+
> g(x,y):=(x+y)/(x^2+y^2); := ()g,xy
+
x
y
+ x2y2
> limit(g(x,y),{x=0,y=infinity}); 0 vậy , 22
0
lim
x
y
x
y
y
→
→+∞
+
+= 0
44
Khi tính giới hạn 22
lim
x
y
x
y
y
→+∞
→+∞
+
+
, máy cho kết quả sau:
>limit(g(x,y),{x=infinity,y=infinity});
⎛
⎝
⎜
⎜⎞
⎠
⎟
⎟
limit ,
+
x
y
+ x2y2{}, = x∞ = y∞
Điều này cho thấy Maple không tính được giới hạn dạng lim ( , )
x
y
f
xy
→∞
→∞
Tuy nhiên, ta tính được giới hạn trên như sau: Với x ≠0, y ≠0 , ta có:
22 22 22 22 22
x+y x y x x
xxxxx
11
yyyyy
xy
=+≤ +
+++++
≤+
Suy ra: 0 ≤ 22
lim
x
y
x
y
x
y
→+∞
→+∞
+
+ ≤ 11
lim 0
x
yxy
→+∞
→+∞
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠
. Vậy 22
lim
x
y
x
y
x
y
→+∞
→+∞
+
+ = 0
3.2. 3. Tính giới hạn lặp:
00 00
limlim (, ); limlim (, )
xxyy yyxx
f
xy f xy
→→ →→
Cú pháp: [ >limit(limit(f(x,y),x=x0 ),y= y0);
Hoặc: [ >limit(limit(f(x,y),y=y0 ),x= x0);
Minh hoạ 4: Cho hàm số f(x,y) =
22
x
yx y
xy
−+ +
+,
tính
00 00
lim lim ( , ) ; lim lim ( , )
xy yx
f
xy f xy
→→ →→
> f(x,y):=(x-y+x^2+y^2)/(x+y); := ()f,xy
− + + xyx
2y2
+ xy
> limit(limit(f(x,y),x=0),y=0); -1
> limit(limit(f(x,y),y=0),x=0); 1
Ta thấy hai giới hạn trên không bằng nhau nên không tồn tại giới hạn
22
0
0
lim
x
y
x
yx y
xy
→
→
−+ +
+,trong trường hợp này máy trả lời “undefined”(không xác định)
45
> limit(f(x,y),{x=0,y=0}); undefined
Minh hoạ 5: Cho hàm số f(x,y) =
22
22 2
()
xy
x
yxy+− , Chứng minh rằng
00 00
lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0
xy yx
fxy fxy
→→ →→
==
và
0
0
lim ( , )
x
y
f
xy
→
→
không tồn tại
Ta đi tính hai giới hạn lặp trên:
> f(x,y):=(x^2*y^2)/(x^2*y^2+(x-y)^2); := ()f,xy x2y2
+ x2y2() − xy
2
> limit(limit(f(x,y),x=0),y=0); 0
> limit(limit(f(x,y),y=0),x=0); 0
Khi tính giới hạn
0
0
lim ( , )
x
y
f
xy
→
→
thì máy cho thông tin sau:
> limit(f(x,y),{x=0,y=0}); ⎛
⎝
⎜
⎜
⎜⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
limit ,
x2y2
+ x2y2() − xy
2{}, = x0 = y0
Máy không trả lời được. Trong trường hợp này, ta phải dùng phương pháp
truyền thống để giải bài toán như sau:
* Lấy dãy ( xn , yn ) = 11
,(0,0)khi n
nn
⎛⎞
→→+∞
⎜⎟
⎝⎠
và f (xn , yn ) = 44
11
/11khi n
nn
=
→→+∞
• Lấy dãy
()
'' 11
,,(0,0)
nn
xy khin
nn
⎛⎞
=−→ →+∞
⎜⎟
⎝⎠
và f ''
442 2
114 1
(, ) / 0
4
nn
xy khin
nnn n
⎛⎞
=+=→ →+∞
⎜⎟
+
⎝⎠
Vậy , không tồn tại giới hạn
0
0
lim ( , )
x
y
f
xy
→
→
.
3.3. Đạo hàm riêng của hàm hai biến số:
3.3.1. Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D và điểm
M0( x0 , y0 ) ∈D ⊂ R2.
• Nếu hàm số z = f(x,y0) có đạo hàm tại x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng
của hàm số z = f(x,y) tại điểm ( x0 , y0 ) và kí hiệu: '
00
(, )
x
f
xy hoặc 00
(, )
x
y
x
∂
∂
• Nếu hàm số z = f(x0 ,y) có đạo hàm tại y0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng
của hàm số z = f(x,y) tại điểm ( x0 , y0 ) và kí hiệu: '
00
(, )
y
f
xy hoặc 00
(, )
x
y
y
∂
∂