CHÖÔNG I - TÖÙ GIAÙC
§1 TÖÙ GIAÙC
- Töù giaùc ABCD laø hình goàm 4 ñoaïn thaúng AB,BC,CD,DA trong ñoù baát kyøhai ñoaïn thaúng naøo
cuõng khoâng naèm treân moät ñoaïn thaúng
- Töù giaùc loài: laø töù giaùc luoân naèm trong moät nöûa maët phaúng bôø laø ñöôøng thaúngchöùa baát kyø caïnh
naøo cuûa töù giaùc.
- Toång caùc goùc trong moät töù giaùc baèng 3600
§2. HÌNH THANG
- Ñònh nghóa: hình thang laø töù giaùc coù 2 caïnh ñoái song song
- ABCD laø hình thang Ù AB//CD
- Neáu hình thang coù hai caïnh beân song song thì hai caïnh beân baèng nhau vaø hai caïnh ñaùy baèng
nhau.
- Neáu hình thang coù hai caïnh ñaùy baèng nhau thì hai caïnh beân ø song song vaø baèng nhau.
- Hình thang vuoâng: laø hình than coù moät goùc vuoâng.
§ 3. HÌNH THANG CAÂN
Ñònh nghóa: laø hình than coù 2 goùc keà moät ñaùy baèng nhau.
ABCD laø hình thang caân :Ù CD//AB
DC ˆ
ˆ= hoaëc
B
A
ˆ
ˆ
=
Ñònh lí 1: Trong hình thang caân hai caïnh beân baèng nhau.
Ñònh lí 2: Trong hình thang caân, hai ñöôøng cheùo baèn g nhau
Daáu hieäu nhaän bieát :
- Hình thang coù 2 goùc keà moät ñaùy baèng nhau laø hình thang caân.
- Hình thang coù 2 ñöôøng cheùo baèng nhau laø hình thang caân.
§ 4 . ÑÖÔØNG TRUNG BÌNH CUÛA TAM GIAÙC, CUÛA HÌNH THANG.
1) Ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc:
- Ñònh lí 1: Ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm moät caïnh cuûa tam giaùc vaø song song vôùi caïnh thöù
hai thì ñi qua trung ñieåm caïnh thöù ba.
- Ñònh nghóa: Ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc laø ñoaïn thaúng noái trung ñieåm hai caïnh cuûa tam
giaùc
- Ñònh lí 2: Ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc thì song song vôùi caïnh thöù ba vaø baèng nöûa caïnh aáy.
2) Ñöôøng trung bình cuûa hình thang:
- Ñònh lí 3: Ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm cuûa caïnh beân vaø
Song song vôùi 2 caïnh ñaùy thì ñi qua trung ñieåm caïnh beân thöù 2.
- Ñònh nghóa: Ñöôøng trung bình cuûa hình thang laø ñoaïn thaúng noùi trung ñieåm 2 caïnh beân caûu
hình thang
MN laø ñtb cuûa hthang ABCD Ù AM=MD; NB=NC
- Ñònh lí 4: Ñöôøng trung bình cuûa hình thang thì song song vôùi 2 caïnh ñaùy vaø baèng nöûa toång
2 caïnh ñaùy.
§ 5. DÖÏNG HÌNH BAÈNG THÖÔÙC VAØ COMPA DÖÏNG HÌNH THANG
§6. ÑOÁI XÖÙNG TRUÏC
Hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua moät ñöôøng thaúng:
Ñònh nghóa: Hai ñieåm ñöôïc goïi laø ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d neáu d laø ñöôøng truïc tröïc cuûa
ñoaïn thaúng noái 2 ñieåm ñoù.
A’ ñoái xöùng vôùi A qua d.
Quy öôùc:Neáu ñieåm B naèm treân ñöôøng thaúng d thì ñieåm ñoái
xöùng vôùi B qua ñöôøng thaúng d cuõng laø ñieåm B.
- Hai hình ñoái xöùng nhau qua moät ñöôøng thaúng: Hai hình goïi laø ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d
neáu moãi
ñieåm thuoäc hình naøy ñoái xöùngvôùi moät ñieåm thuoäc hình kia qua ñöôøng thaúng d vaø ngöôïc laïi.
- Hình coù truïc ñoái xöùng: ñöôøng thaúng d ñöôïc goïi laø truïc ñoái xöùng cuûa
hình H neáu ñieåm ñoái xöùng vôùi moãi ñieåm thuoäc hình H qua ñöôøng thaúng d cuõng thuoäc hình H
Ñònh lyù:Ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm 2 ñaùy hình thang caân laø truïc
Ñoái xöùng cuûa hình thang caân ñoù.
§ 7. HÌNH BÌNH HAØNH
1) Ñònh nghóa:hình bình haønh laø töù giaùc coù caùc caïnh ñoái song song
Töù giaùc ABCD laø hình bình haønh
Ù AB // CD
AD // BC
2) Tính chaát:
Ñònh lyù: Trong hình bình haønh:
a) Caùc caïnh ñoái baèng nhau
b) Caùc goác ñoái baêng nhau
c) Hai ñöôøng cheùo caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng
ABCD laø HBH AC caét BD taïi O : khi ñoù AB = CD ; DBCA ˆˆ
;
ˆˆ == ; OA=OC ; OB=OD
3) Daáu hieäu nhaän bieát:
a. Töù giaùc coù caùc caïnh ñoái song song laø hình bình haønh
b. Töù giaùc coù caùc caïnh ñoái baèng nhau laø hình bình haønh.
c. Töù giaùc coù hai caïnh ñoái song song vaø baèng nhau laø hình bình haønh
d. Töù giaùc coù caùc goùc ñoái baèng nhau laø hình bình haønh
Töù giaùc coù hai ñöôøng cheùo caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng laø hình bình haønh
§ 8. ÑOÁI XÖÙNG TAÂM
1) Hai ñieåm ñoái xöùng vôùi nhau qua moät ñieåm:
Ñònh nghóa: hai ñieåm ñöôïc goïi laø ñoái xöùng vôùi nhau qua ñieåm O
neáu O laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng noái 2 ñieåm ñoù.
Quy öôùc: ñieåm ñoái xöùng vôùi ñieåm O qua ñieåm O cuõng chính laø ñieåm O.
2) Hai hình ñoái xöùng qua moät ñieåm:
Ñònh nghóa: hai hình goïi laø ñoái xöùng qua ñieåm O neáu moãi ñieåm thuoäc hình naøy ñoái xöùng vôùi 1
ñieåm thuoäc hình kia qua ñieåm O vaø ngöôïc laïi.
Ñònh lí: Neáu 2 ñoaïn thaúng ñoái xöùng nhau qua 1 ñieåm thì chuùng baèng nhau
3) Hình coù taâm ñoái xöùng:
Ñònh nghóa: ñieåm O goïi laø taâm ñoái xöùng cuûa hình H neáu ñieåm ñoái xöùng vôùi moãi ñieåm thuoäc hình H
qua ñieåm O cuõng thuoäc hình H
- Ñònh lí : giao ñieåm ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo hình bình haønh laø taâm ñoái xöùng cuûa hình bình haønh
ñoù. Ví duï: O laø taâm ñx cuûa hbh ABCD
§ 9. HÌNH CHÖÕ NHAÄT
1) Ñònh nghóa: hình chöõ nhaät laø töù giaùc coù 4 goùc vuoâng
Töù giaùc ABCD laø hcn Ù 0
90
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ==== DCBA
2) Tính chaát : trong hình chöõ nhaät coù hai ñöôøng cheùo baèng nhau vaø caét nhau taïi trung ñieåm moãi
ñöôøng
3) Daáu hieäu nhaän bieát hình chöõ nhaät:
- Töù giaùc coù 3 goùc vuoâng laø hình chöõ nhaät.
- Hình thang caân coù 1 goùc vuoâng laø hình chöõ nhaät.
- Hình bình haønh coù 1 goùc vuoâng laø hình chöõ nhaät.
- Hình bình haønh coù hai ñöôøng cheùo baèng nhau laø hình chöõ nhaät.
Chuù yù: Trong tam giaùc vuoâng ñöôøng trung tuyeán öùng vôùi caïnh huyeàn baèng nöûa caïnh huyeàn vaø
ngöôïc laïi.
§ 10. ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG VÔÙI MOÄT ÑÖÔØNG THAÚNG CHO TRÖÔÙC.
- Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng song song:laø khoaûng
caùch töø moät ñieåmTuøy yù treân ñöôøng thaúng naøy ñeán ñöôøng thaúng kia.
- Tính chaát cuûa caùc ñieåm caùch ñeàu moät ñöôøng thaúng cho tröôùc:caùc ñieåm caùc ñeàu ñöôøng thaúng b
moät khoaûng caùch baèng h naèm treân 2 ñöôøng thaúng song song vôùi b vaø caùch b moät khoaûng caùch baèng
h.
- Caùc ñöôøng thaúng song song caùch ñeàu:Neáu caùc ñöôøng thaúng song song caùch ñeàu caét moät ñoaïn
thaúng thì chuùng chaén treân ñöôøng thaúng ñoù caùc ñoaïn thaúng lieân tieáp baèng nhau vaø ngöôïc laïi.
§ 11. HÌNH THOI
Ñònh nghóa: hình thoi laø töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau.
ABCD laø hình thoi Ù AB=BC=CD=DA
Tính chaát: trong hình thoi ta coù
- Hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau.
- Hai ñöôøng cheùo laø caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc cuûa hình thoi
Daáu hieäu nhaän bieát :
- Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau laø hình thoi.
- Hình bình haønh coù 2 caïnh keà baèng nhau laø hình thoi.
- Hình bình haønh coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau laø hình thoi.
- Hình bình haønh coù 1 ñöôøng cheùo laø ñöôøng phaân giaùc cuûa 1 goùc laø hình thoi.
§ 12. HÌNH VUOÂNG
Ñònh nghóa: hình vuoâng laø töù giaùc coù 4 goùc vuoâng vaø coù 4 caïnh baèng nhau.
Töù giaùc ABCD laø hình vuoângÙ 0
90
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ==== DCBA
AB = BC = CD = DA.
Tính chaát:
- Hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau.
- Hai ñöôøng cheùo laø caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc cuûa hình thoi
- Coù hai ñöôøng cheùo baèng nhau vaø caét nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng
Daáu hieäu nhaän bieát:
- Hình chöõ nhaät coù 2 caïnh keà baèng nhau laø hình vuoâng.
- Hình chöõ nhaät coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau laø hình vuoâng.
- Hình chöõ nhaät coù 1 ñöôøng cheùo laø ñöôøng phaân giaùc cuûa moät goùc laø hình vuoâng.
- Hình thoi coù moät goùc vuoâng laø hình vuoâng.
- HÌnh thoi coù 2 ñöôøng cheùo baèng nhau laø hình vuoâng.
Vaäy moät töù giaùc vöøa laø hình chöõ nhaät vöøa hình thoi thì töù giaùc ñoù laø hình vuoâng.
CHÖÔNG II – ÑA GIAÙC DIEÄN TÍCH ÑA GIAC
§ 1. ÑA GIAÙC – ÑA GIAÙC ÑEÀU
Khaùi nieäm veà ña giaùc: ña giaùc loài laø ña giaùc luoân naèm trong moät nöûa maët phaúng coù bôø laø ñöôøng
thaúng chöùa baát kyø caïnh naøo cuûa ña giaùc ñoù .
- Ña giaùc ñeàu laø ña giaùc coù taát caû caùc caïnh baèng nhau vaø caùc goùc baèng nhau.
§ 2. DIEÄN TÍCH HÌNH CHÖÕ NHAÄT
1) Coâng thöùc tính dieän tích hình chöõ nhaät :
S = a.b
(a,b laø hai kích thöôùc cuûa hình chöõ nhaät)
2) Coâng thöùc tính dieän tích hình vuoâng, tam giaùc vuoâng:
Dieän tích hình vuoâng: S = a2 (a : caïnh hình vuoâng)
Dieän tích tam giaùc vuoâng: S = 2
1a.b (a,b laø hai caïnh goùc vuoâng)
§ 3. DIEÄN TÍCH TAM GIAÙC
Dieän tích tam giaùc:S = 2
1a.h. (a: caïnh ñaùy; h: chieàu cao)
§ 4. DIEÄN TÍCH HÌNH THANG
1) Coâng thöùc tính dieän tích hình thang: S = (a + b).h Trong ñoù : a, b : hai ñaùy; h : chieàu cao.
2) Coâng thöùc tính dieän tích hình bình haønh : S = a . h Trong ñoù : a : caïnh ; h : chieàu cao
§ 5. DIEÄN TÍCH HÌNH THOI
1) Dieän tích töù giaùc coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc :S = 2
1d1 . d2
Trong ñoù : d1, d2 laø hai ñöôøng cheùo.
2) Dieän tích hình thoi: S = 2
1d1 . d2 (d1, d2 laø hai ñöôøng cheùo). Hoaëc: S = a . h (a: caïnh;
h : chieàu cao)
§ 6. DIEÄN TÍCH ÑA GIAÙC
Ñeå tính dieän tích ña giaùc ta thöôøng ñöa veà tính dieän tích tam giaùc sau ñoù coäng caùc tam giaùc ñoù laïi
CHÖÔNG III – TAM GIAC ÑOÀNG DAÏNG
§ 1. ÑÒNH LÍ TALET TRONG TAM GIAÙC
- Tæ soá cuûa hai ñoaïn thaúng
Ñònh nghóa: tæ soá cuûa a ñoaïn thaúng laø tæ soá ñoä daøi cuûa chuùng theo cuøng moät ñôn vò ño.
CD
AB : Tæ soá cuûa hai ñoaïn thaúng AB vaø CD
a
b
a
a
b
a
h a
b
h
a
h
- Ñoaïn thaúng tæ leä:
Ñònh nghóa: hai ñoaïn thaúng AB vaø CD goïi laø tæ leä vôùi 2 ñoaïn thaúng A’B’ vaø C’D’ neáu coù tæ leä
thöùc sau: AB vaø CD tæ leä vôùi A’B’ vaø C’D’ ⇔ ''
''
DC
BA
CD
AB = hay '''' DC
CD
B
A
AB =
Ñònh lí Talet trong tam giaùc: Neáu moät ñöôøn thaúng song song vôùi moät caïnh ñaùy cuûa tam giaùc vaø
caét 2 caïnh coøn laïi cuûa thì noù ñònh ra treân 2 caïnh ñoù nhöõng ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä.
§ 2 ÑÒNH LÍ ÑAÛO VAØ HEÄ QUAÛ CUÛA ÑÒNH LÍ TALET
Ñònh lí ñaûo: Neáu moät ñöôøn thaúng caét 2 caïnh cuûa moät tam giaùc vaø ñònh ra
treân 2 caïnh naøy nhöõng ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä thì ñöôøn thaúng ñoù song songvôùi caïnh coøn laïi cuûa
tam giaùc:
A
C
AC
A
B
AB '' = ⇒ B’C’ // BC
- Heä quaû cuûa Ñònh lí Talet : Neáu moät ñöôøn thaúng caét 2 caïnh cuûa moät tam giaùc vaø song song vôùi
caïnh coøn laïi thì noù taïo thaønh moät tam giaùc môùi coù 3 caïnh töông öùng tæ leä vôùi 3 caïnh cuûa tam giaùc
ñaõ cho
B’C’ // BC ⇒ BC
CB
A
C
AC
A
B
AB '''' ==
§ 3. TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC CUÛA TAM GIAÙC
Ñònh lí: trong tam giaùc, ñöôøng phaân giaùc cuûa moät goùc chia caïnh ñoái dieän thaønh
2 ñoaïn thaúng tæ leä vôùi 2 caïnh keà 2 ñoaïn aáy.
Cho ∆ABC, AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc A ⇒
A
C
AB
DC
DB = hay
A
C
DC
A
B
DB =
§ 4. KHAÙI NIEÄM HAI TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG
- Tam giaùc ñoàng daïng : Tam giaùc A’B’C’ goïi laø ñoàng daïng vôùi ABC neáu: ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
===
CA
AC
BC
CB
AB
AB
CCBBAA
''''
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ
Hay vieát taéc :∆A’B’C’ ∼ ∆ABC ⇔ ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
===
CA
AC
BC
CB
AB
AB
CCBBAA
''''
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ
CA
AC
B
C
CB
A
B
AB '''' == = k goïi laø tæ soá ñoàng
daïng .
Tính chaát
- Moãi tam giaùc ñeàu ñoàng daïng vôùi chính noù.
- Neáu :∆A’B’C’ ∼ ∆ABC thì ∆ABC ∼ ∆A’B’C’
- Neáu :∆A’B’C’ ∼ ∆A’’B’’C’’ vaø ∆ABC ∼ ∆A’’B’’C’’ thì ∆A’B’C’∼ ∆ABC (T/c baét caàu)
- Ñònh lí: neáu moät ñöôøng thaúng caét 2 caïnh cuûa tam giaùc vaø song song vôùi caïnh coøn laïi thì noù taïo
thaønh moät tam giaùc môùi ñoàng daïng vôùi tam giaùc ñaõ cho.
§ 5. TRÖÔØNG HÔÏP ÑOÀNG DAÏNG THÖÙ NHAÁT.
Ñònh lí: Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc naøy tæ leä vôùi ba caïnh cuûa tam giaùc kia thì hai tam giaùc ñoù ñoàng
daïng.
§ 6. TRÖÔØNG HÔÏP ÑOÀNG DAÏNG THÖÙ HAI
Ñònh lí:Neáu hai caïnh cuûa tam giaùc naøy tæ leä vôùi hai caïnh cuûa tam giaùc kia vaø hai goùc taïo bôûi caùc
caëp caïnh ñoù baèng nhau thì hai tam giaùc ñoù ñoàng daïng.
§ 7. TRÖÔØNG HÔÏP ÑOÀNG DAÏNG THÖÙ BA.
A
B’
B
C’
C
A
B’
B
C’
C
A
D C
B