Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
01. MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Bài 1: [ĐVH]. Cho các số thực
,a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: ,
2
2
2
+
b
+ + ab a b
2 1 + ‡
2 3 2( + ‡
+ + b c + + a b c ) a) a
+
b) a Hướng dẫn giải:
BDT
a
b
c
(
2 + 1)
(
2 1)
(
2 1)
0
a)
+
(cid:219) - - - ‡
BDT
+ a b
a
b
(
2 )
(
2 1)
(
2 1)
0
b)
(cid:219) - - - ‡
,a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: ,
2
2
2
2
4
4
+
+
+
+
+ ‡
+
Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực
b
c
ab bc ca
c
a ab
2 - + + a c
b
2(
)
1 2 (
1)
‡ - a) a
b) a Hướng dẫn giải:
BDT
- + a b c (
2 )
0
2
(cid:219) ‡ a)
BDT
a
+ a c
a
(
2 2 + b )
(
2 )
(
2 1)
0
,
,
,
(cid:219) - - - ‡ b)
2
a
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
a b c d e . Chứng minh các bất đẳng thức sau: , Bài 3: [ĐVH]. Cho các số thực
b
c
d
e
+ + + a b c d e
b
c
+ ab ac
bc
(
)
2
4
‡ - ‡ a) b) a
2
a
Hướng dẫn giải:
BDT
b c
(
)
0
2
2
2
2
2
a
a
a
a
+
(cid:219) - - ‡ a)
BDT
+ c
d
e
0
2
2
2
2
(cid:219) - - - - ‡ b) + b
,a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: ,
+ ab
+ bc
ca
Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực
a)
+ + ‡ b) a b c
với a, b, c ‡ 0
1 a
1 1 + + ‡ b c
1 + ab
1 + bc
1 ca
2
2
BDT
0
1 a
1 b
1 c
1 a
2
2
2
Hướng dẫn giải: 2 (cid:219) - - - ‡ a)
( 1 + b )
(
(
1 + c )
)
+
a
+ b
c
BDT
b
c
a
0
(cid:219) - - - ‡
3
3
+
a
b
3
3
3
+
+
b) Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b
c
abc
3
; với a, b ‡ 0
, với a, b, c > 0.
2
‡
a b 3 + 2
‡ a) b) a
2
Hướng dẫn giải:
BDT
+ a b a b )( (
)
0
3 8
3
3
2
+
=
(cid:219) - ‡ a)
b
+ a b
2 a b
ab
(
3 )
3
3
.
2
2
2
+
+
+
- - b) Sử dụng hằng đẳng thức a
b
c
+ ab bc ca
)
(
)
0
.
Khi đó, BĐT (cid:219)
+ + a b c a (
,a b . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
- ‡
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Bài 6: [ĐVH]. Cho các số thực
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
6
a
b
4
4
+
a
a
b
4 3 4 + ‡
6 + 2
2
b
a
£ b) ; với a, b „ 0. a) a
2
Hướng dẫn giải:
BDT
(
a
2 + a 1) (
+ 2
a
3) 0
2
4
4
(cid:219) - ‡ a)
,
,
,
a b c d e . Chứng minh các bất đẳng thức sau: ,
(cid:219) - ‡ b) BDT ( a + 2 2 a ) ( b + 2 2 a b b ) 0
2
+
a
3
5
5
4
2
>
Bài 7: [ĐVH]. Cho các số thực
4 +
2 +
2
2
+
a
2
Hướng dẫn giải:
+ ‡ a b + a b a b a b > ab ( )( ) ( )( ); 0 a) b)
a)
BDT
2 + a
(
2 > 1)
0
3
3
(cid:219)
b)
BDT
ab a b a
)(
(
b
) 0
2
2
(cid:219) - - ‡
(1).
+ ‡ b ab 2
4
4
4
4
Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c, d ˛ R. Chứng minh rằng a Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
2
2
2
+ + + ‡ b c d abcd 4 a) a
2
2
2
2
+ + + ‡ b abc 1)( c 1)( 1) 8 b) a (
4
4
2
+ + + + ‡ b d abcd 4)( c 4)( 4)( 4) 256 c) a (
2 +
2 2 a b
2 2 c d
Hướng dẫn giải: 2 2 c d
2 2 ; a b
2
+ + ‡ ‡ ‡ b c d abcd 2 ; 2 2 a) a
2 + ‡
2 + ‡
2
+ ‡ a b b c c 1 2 ; 1 2 ; 1 2 b) a
2 + ‡
2 + ‡
2 + ‡ c d
2
2
2
+ ‡ a b b c d 4 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4 c) a
a
b
c
ca (1). Áp dụng chứng
+ + + ‡ + ab bc
2
2
2
2
Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c ˛ R. Chứng minh bất đẳng thức: minh các bất đảng thức sau:
a
c
2
2
2 +
2 +
+ + a b c
)
(
3(
a
b
c
)
‡
b 3
4
4
2
+
+
+
+ + £ b) a) + + a b c 3
b
c
+ + abc a b c )
(
+ + a b c
)
(
3(
+ ab bc
ca )
+
ca
4
4
‡ ‡ c) d) 4 a
với a, b, c > 0.
b
c
+ + = abc nếu a b c 1
+ + a b c 3
+ ab bc 3
3
2
2
+
+
+
+ + ‡ ‡ e) f) 4 a
b
= a b b a
ab a b (1). )
(
‡
+
+
Bài 10: [ĐVH]. Cho a, b ‡ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: 3 a Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
; với a, b, c > 0.
1 3
3
3
3
1 3
1 3
+
+
+
+
+
+
1 abc
a
abc
b
c
abc
c
a
abc
b 1
1
1
+
+
£ a)
1
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
3
3
3
3
3
3
+
+
+
+
+
+
a
b
1
c
1
c
a
1
+
+
£ b)
1
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
1 + + a b
1
1 + + c a
1
b 1 + + b c
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
+
+
+
+
+
£ c)
4(
a
b
)
b 4(
c
)
4(
c
a
)
2(
+ + a b c ; với a, b, c ‡ 0 .
)
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
‡ d)
