Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Bài 1: [ĐVH]. Cho các số thực
, ,
a b c
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

+ + + ≥ + +
b)

+ + ≥ + +
Hướng dẫn giải:
a)
⇔ − + − + − ≥

b)
⇔ − + − + − ≥

Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực
, ,
abc
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
 

+ + ≥ + − b) 
+ + + ≥ − + +
Hướng dẫn giải:
a)
⇔ − + ≥

b)
⇔ − + − + − ≥

Bài 3: [ĐVH]. Cho các số thực
, , , ,
a b c d e
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
  
+ + ≥ − +
b)
+ + + + ≥ + + +
Hướng dẫn giải:
a)
⇔ − − ≥

b)
⇔ − + − + − + − ≥

Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực
, ,
abc
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
  
+ + ≥ + + b)
  
+ + ≥ + +
với a, b, c
≥
0
Hướng dẫn giải:
a)
⇔ − + − + − ≥

b)
( ) ( ) ( )
⇔ − + − + − ≥


Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
+ +
≥
; với a, b
≥
0 b)

+ + ≥ , với a, b, c > 0.
Hướng dẫn giải:
a)
2
3
( )( ) 0
8
⇔ + − ≥
BDT a b a b
b)
S
ử
d
ụ
ng h
ằ
ng
đẳ
ng th
ứ
c

+ = + − − .
Khi
đ
ó, B
Đ
T
⇔
  
+ + + + − + + ≥
.
Bài 6:
[ĐVH].
Cho các s
ố
th
ự
c
,
a b
. Ch
ứ
ng minh các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c sau:
01. MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a)
+ ≥ b)
+ ≤ + ; với a, b
≠
0.
Hướng dẫn giải:
a)
2 2
( 1) ( 2 3) 0
⇔ − + + ≥
BDT a a a
b)
2 2 2 4 2 2 4
( ) ( ) 0
⇔ − + + ≥
BDT a b a a b b
Bài 7: [ĐVH]. Cho các số thực
, , , ,
a b c d e
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
+
>
+
b)
+ + ≥ + + >
 

Hướng dẫn giải:
a)
2 2
( 1) 0
⇔ + >
BDT a
b)
3 3
( )( ) 0
⇔ − − ≥
BDT ab a b a b
Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c, d
∈
R. Chứng minh rằng

+ ≥ (1).
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a)

+ + + ≥
b)

 
+ + + ≥
c)

    
+ + + + ≥
Hướng dẫn giải:
a)
+ ≥ + ≥ ;

+ ≥
b)
+ ≥ + ≥ + ≥
c)
+ ≥ + ≥ + ≥ + ≥
Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c
∈
R. Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2
+ + ≥ + +
a b c ab bc ca
(1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:
a)
2 2 2 2
( ) 3( )
+ + ≤ + +
a b c a b c
b)
2
2 2 2
3 3
+ + + +
≥
a b c a b c
c)
2
( ) 3( )
+ + ≥ + +
a b c ab bc ca
d)
4 4 4
( )
+ + ≥ + +
a b c abc a b c
e)
3 3
+ + + +
≥
a b c ab bc ca
với a, b, c > 0. f)
4 4 4
+ + ≥
a b c abc
nếu
++=
Bài 10: [ĐVH]. Cho a, b
≥
0 . Chứng minh bất đẳng thức:
3 3 2 2
( )
+ ≥ + = +
a b a b b a ab a b
(1).
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + ≤
+ + + + + +
abc
a b abc b c abc c a abc
; với a, b, c > 0.
b)
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
+ + ≤
+ + + + + +
a b b c c a
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
c)
111
1
1 1 1
+ + ≤
+ + + + + +
a b b c c a
; v
ớ
i a, b, c > 0 và abc = 1.
d)
3 3 3 3 3 3
3 3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2( )
+ + + + + ≥ + +
a b b c c a a b c
; v
ớ
i a, b, c
≥
0 .