Toán học và tuổi trẻ Số 110 (5/1979)

Chia sẻ: Physical Funny | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học và tuổi trẻ Số 110 (5/1979) bao gồm những nội dung về số phức, véctơ và phép biến hình; dùng hệ thức véctơ để xác định các điểm đặc biệt trong tam giác và trong từ điển; bài toán cắt ghép hình. Bên cạnh đó, tài liệu còn đưa ra một số bài toán thi vô địch quốc tế lần thứ 21.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học và tuổi trẻ Số 110 (5/1979)

lE$ uqi h,uttrp HOr 't'oAn Hec vI$T NAil BAO RA HAI THANG MOT KY f ch& nhiQm: NGUY6i{ CiNH TOAN 'l'hn kg toa soarr: HOANG CIIUI{G Trs sdr : 70 'l'r'hu i{ung Dq.o - IId N+i D&y n6i: 52825 "vOt car:yfr.\ \'t)'r cAr: nAN rqt \:ELt raA^, .qs rg t & rr .. \rri{lT{y vA t-,At- t'i-l ril' lt{fiF{ HiNffi rt.trx 'rtruc TRiNH fryc do fRoliG lrii ntii cLruy6n vcvi cic h4u tr€ 1,0u ll tol, (('lhrrr 11uan i',.,og .ir" mQt c6ch nhin )r (SO :l-:+ utrril l9?r(). g'r1o su Nguy€n C&nh l'oin i1n chi ra thiEu hu6ng suy nghi gdu sec lien quan.d€n vectry, sd phirc vi c6c.ph6p bi€n hinh. ; Chring.tOi nru6n,cu thb h6a them m6i li6n hd l, gita .ba loei Lldi tu.Ing Iren (sd ph'rc, yecto .,.s . |'r . cric phep bi6n htnh) yA vin dung vio nr0t s6 ., dB girip circ tran tilp drlqt thdm. biri lof n cu tir$ 1. 56 phuc z :, ir + bl ha-v .:. : r(cos{p f isiue) trrrung ung v6i rngt di6m Z tlong nrf,t ph&ng z::1.7.2: r1rz x Ieos(rp1 * gr) + fsin(rpr + ez) j hay n:$t vertct 0Z (hiuh 1). Nhrr viy nhA.n s6 p.huc:.v*i iiiz,*t--0) tuolg Tbng trai s6 phue tuollg irngvtri t6ng hai vecto. irng voi phdp quay OZ qu1nh 0 m(rt g6c gOe I Tich \ai ed piruc (zt.:2) ttong ringIvoi pheli nhdn sd phuc z vdt-._n (oio + ct * I : 0) tuorrq -- qlory OZ1 m$t g6c rp2, ti6p ttreo ph6p vi tu't&nr rlng voi phdp quay OZ quanh O nrOt g6c 120q O tf s6 rs: (ni a = -!3,+ it/e tz=eos(2ri13)*irjn(2nllt). .lF..* .!'ffii. ;,i.---- lrl'
L-, 2. Tron eo sri mdi li6n h6 vua chring ta c6 thE tim thdY mSt s6 quY trinh biry, tic < dich > Sau tIAy chrlng tOi xin t{c 1a-ot C6c guy t6c cd'n i1i cAe bqn tg ttm l{y. \
h 3. BA-v gid chirng ta hiy t{p v6.n dung c6c c{c tam gi6c tIEu. Chrtng minh tem cic tam gidc qu] t*.c tr.en trong mgt sd bAi tgp cu th6. vtla dung tao thinh mSt tem g[i6c d]u ?,1. BAy gio dung tr6n c{c cquh vi. vE phia trong c6.c Bii sd I. (5 tam gidc tlBu). Cho ba tam giAc tem gi6.e tIEu, goi tam gifc c6 dinh li tdm c6c dEu .t1BiC; cung hudng (i: !,2.3) saci eho tam tam gi5.c vua durrg ln 72. Chring minh ring hiOu gi6c At,A.zAt cfing la elEu vA ctng hu6ng. Chung clrc cliQn tich cira 7't yit Tz blng di6n tich crla minh ring c6c tliilm giira p, e, li l[u luo,t efia trm gidc tlfr cho. CtBz. C2Bz, t)sBt cfing IA tam gi6c dEu cting hudng. Bii sd 7. (eai thi toan'qudc t6 lfin thu 19 B lf Bii s6 2. (6 tam giac rlEu). Cho hai tam nim 1977 do IIi Lan db ,igf,!). Cho hinh r gi6c dEu A1,lzAs, BtBzBs ctng huong. Tr0n :liBi vudng ,lB{:D. Dung l'6 phia trong hinh vu6ng { dung nhirng tam gihc diiu. :liBtC'i cring hu6ng d6. tarn. g'i{c dbu co canh 'blng canh hiuh Chung minh ring tam giAc CtCZCs cilng li tam vuOng: '1BI(, BCL, LDlt, D:l,\'. Chung minh gi6c dBu vir crlng hudng. rlng di6nr,gita cria b6n do4o tlt8,ng t{L. Lil, ,11,\r, -\IIi cirng tt cli6m giila c{c itoan AIi. BK, BAi s6 3. TrOn cric canh Ilf.', C,.1, AB cria EL, CL, C)lt DII , Dj vd -t.V Iil Cilh cria mgt tam gi.{c b5t k"\} dung nhirng tam giic dl6u cing hinh I2 ca rrh (lEu. hudng DC.-lt, CABI, ABq. Chitng minh r.irrg: a) C[c lAnt,46, Bo, Co cfra nhitng tam gidc il€u BAi s6 8. Cho tam giic ABC vh, trong tdnr vua dung duqc ll clinh c.ria nr6l. tam giic dbu O. Dqng tam gi6c d6u O,4/) yh OAe.. Gpl pr vi nguqc bu6ng. b) C:rc tliBm giira ,A', B', C' cfia Q1 la dilm girla cfrr, CP vh Ce; (1) ln duo.ng AAo, BB., CCr.la ctinh cira mgt tam giirc
,l 1,q m"]ruf; rrm r$Iuc vrerry $)fl xAc plNi{ {4fl HIE M I m4e IinffiT Tffi$NG. TeM SIAC VA TIICI I{G T["r rurEN NGUYA\ (]ONG QUY G)ai hpc Sa pham 7,.p. tlb Chi Minht RONG nhi€u b&i to{n hinh hoc ph&ng cfing Nriu Nz vt\ N3 lEn luqt la chAn c6c dudng nhrr kh6ng gian, phuong pirAp vect
2. Trudng hqp di6m ,U nirn ,n61odi tarn gi6c Trr rlri Buy ra c6c h{ thtc .{rAzAs. bing tlrrong l6i tuo.ng t\r tr6n ta tl8 dirng eti tdi k6t qu6 sau dey. Ndu ta d6nli s6 * I =I.ui Ar,2p c6c mi6n cria mdt ph&ng nhu & hinh 2 thi trong truirirg hop. tI thu0c miBn sl hoilc cr'l thi he (tlong do p lri n&n chu vi cira tam giac) thrlc (I) ilrrdc thav rh6 b&i. r :. th2ius,4i * nstu T +_tt*z;ili hzhs*hsht+hthzl \. f{; I n'rlrf, I == X *in,4"i i?iE otn,t, : E sin.4i f,? I +fi casetill) 3 (v6i r( :.rr. lA kj, hi€u tich). i_t c) Ndu diEm ,lf trung v0i t{m ft crla dur}ng tjgl bens ti6p tam gi{c Arl,:As nlm trong g6c +1, r.,. tl,,' AiAtAs thi ta thu drroc cr{c h6 thirc $,: i' ,is *'-b+aL ltAr + az ItAz * as .{1d 3 0, = ' -tltAl* h[' ItA2 i- h3-I--DI13, _: r+ Htnh 2 h1 - = 9, ,lM; + sz;rI + ssnffr: o, cirn (I') rhi -- ,in,rrT?r * siir,{z ffd, * sin-,13 ffi - 0, dunc thay the bfri cic he rhtc 4t#&iDdE 11 : (- u:At* az Az* as {{- . "4s\12q, - at\, M = (-sr.lt + s2j2 + ss,l3)/S n6u ill € qr, dP4*5 : ( Ii hzltt .lt * hsht Az + hthz ^qi/ hoxc ru*: rrr,il-rrJi-rsaI)ls n6u,41 €. e.1 lG hzhe * hsftr * ttthil, Trudng hqp ,?l1 nim tlong cAc miEn khr{c FF d* *rF .+ ctng ctuqc gili quy6t tuong tu. Con n6u M nirl It : (*" * sin;tz "{s * sind3 rls)i sindl .41 trdn mQt ho[c hai trong nh&ng du]ng th&ng l? sinAt * sin"4,e * sin.4s) AzAs, AsAr, thl cric h€ thri; .(I) vi{I') ven a:,"1.z : ( sin,4t .,4r * sin,{2,42 * sin. e,{g)/ dring. Lric d6 sE cci m6t holc hai irong nhri,ng sd si bing 0. /4c os(lt/2)s i n( Azl t x sin(,4s/2). 2 :. ryf gio ta hflv r-An dgng c6c k6t qufi da thu d) N6u tli6m 11 trr)ng vdi tAm O cria dudng - tlb xAe dinh c6c di6m d[c bi6t duqc trdn ilgoai ti6p tam gi6c rtrCe/s (hinh B) thi tlong tam gi6c. a) Ndu rli6m .[f trung r'6i trong tflm G crja tam gi6.c lt.4z.4s thi 16 ring s1rs2:sg va ta thu duqc cdc k6t qu6. quen thudc + tr GAi: 0 vd G:X,4i/:. ' b) Ndu di6m ,4f trring voi tem 1 eria rlucrng # trdn ndi ti6p tam gi6c .4rJz-ls thi stl a1:s2f 62J ii \,i \\\\ I /1s $lag=rlZ trong d6 al =lZJg, as-AgA1,at=AtAz 'i I # t vi r le. btn kinh ilucrng rrdn n6i tiep. n4 I \- ., l _,,ts-, thric (I) tr& thlinh ;:\ Y1, Ioilz{i: 0 (B) ,- )'' DA y d6n cAe h€ thr?e atht = azh;= nan3 tf,t ilu.dng cao ha .tft Ai) vir allsin At: Azl*iaAz_ l-e - Hirth 3 dglsin 43, tu h6 thrlc (3) ta suv ra /'\ .\ -/ xr;lfr=s st'sinlzO,4g = s2isinA3O-,lr -4- = rs/rinarO,q] < lray Zsin ,li IAi = 0 sr/sin2dt = szl sin[ Az = sg/sin2..{B
Yi vi1' c6c hQ thric (1) 1'5 (I') lhn lrrcrt cho ta ta hfry ehung mirrh ring s1/s2 : u1lu2, ThAt vir . vdi kf hiQu V te rhA tich ta c6, I sinz.ti7i: o ,i6 = :..i nzaJl/Esin2.,ri - tr/ (-4a rlalszl illt, (AaB+AsA.t sr/sz - I/ (M84.{s -tilly (MB4A'A) : x.si nz,rili/4:r sin,1i : fv (.i+Ba,{etz}- v (,ttnaegA.illl. Chuug ta c6 th6 kiBm nghiQni lqi riirrg c6c hQ ill' (1,4tsa.,ts,I1) - 1't.UBa,{s.4r)] - Dtluz Lhuc ndy dung v0i moi vi tri cira tAm () (iv trong, & ugoli hay & tr6rr bi6n cfia tam gidc). tt'rc te Tuong tu ta ctng chirng mlnh clugc s2 ss : itfng cho mol tam gi6c (cd toan g6c nhotr...,co - 7,21 4. Tt iI6 c6 gdc tu hal'g6c vrrong). t_ sl/ I't (1) - sZ r'Z - s3 ,3, e)'fnrd'ng hop diFm rt/ trring vdi tru'c lfrrn Tu he thuc (/') 6 muc f ta co cria tam gi6c xin dirnh cho cAc ban nghidn cuu' < II. BA1' gio' ta h6y mo rdng cic k€t qui tr€n l]4 : (s1 .h Az 'l- ss ,{e)/(s1 * s2 * s3t. * sz (5) viro hinh hqrc khdng gian' l't cic b0 thuc ( ) vA (5) ta suy ra 1. Tru6'c h6t xet btri to6n: Cho mAt di?m ltl < < < 4 n&m lrong t{t' tli€n ,ltAzCsAa. Hdg td"c dinh cdc * t ur * o3), tu d6 co sd thu'c kl, kz, trz ud k4 kh6ng dbng thdi biing 0 Ila - futAr uzAz *" us;1s)/(ur + + sao cho (uri uz 1 u3) Ba - - u1.11 * uz Az + us -As. _& LKdIA.i: O tfc lir + < ....* < (kj, hieu X & aay v€ sau sE ilucre hi6u li (ut * ur -l- u3) PB4=u1 PA1tu2PA2 *u3 PAa (or { t6ns I ";::t i. trong d6 P 1a m6t rli6m tuy {'trong kh6ng gian N6u ta chon P in di6m chia dlo4n th&ng AaBa Cfrng nhu 11 niqe tr6n, ta nh6.n xdt ring nghi0m cfra bdi to6n tlucrc x6c dinh sai kh{c theo tj, .*_O .6 - (,,i * u2* ot)lua tuc ld mirL tlrur s6 kh6e 0. + FAaIP* u" * u{lut 84: - (ot DA gi&i lrii to6n nriy ta hdy Epi ur, D2, t)s, Yi u4 theo thri tg la tha iich c6c tu' diQn MA2J3.{a, ttii ra sF ,rtd * (r,r -r u2 { u3)A:0, hay, "O k€t hqp v6i16)' MAtA*At, Mil4AtAz vA ,UrltAzAs. + ._iE. Gii su du'ong thflag n6i M vdi tlinh,4l cht utPAt * u2P A2 t ug P-4s | 1'4p,\4 : 0. (7) mht ddi di{n tai Bi (i = 1,2,3,4). Nhrr vAv tuc li : n6u di6m I' th6a min h$ thuc , Ta k.f hiiu st, sz, sB, I&n luot ld dien tlch cdc (7) thi nd nlm trOn ilulug thing a+B*. Nhfln xet tam giIc Br,11ds, EaAs:\ vd Bt,ltAz. 'l'rudc h6t r&ng circ ehi sd 1,2,3.4 tham gir vlo hd thr?c (7) vdi vai trd ngang nhau n6n bing c{ch tunng tu lr6n ta ctng chung minh fttroc ring rli6m P xic ilinh b&i h0 tiruc (7) nirn tr'8n circ Eurrng th8ng ArBt, AzBz, AgBs. N6i cich khdc di8m P chinh * la diFm M dd cho. * 1 Nhn vdy ta riI th{y rLng ki ti le vdi yi . (i 1,2,3.1), r,i uri'i mpi tlidm U n&m trong ttr '-F - diin .ltJ2 J3 Aa ta c6 h€ thrrt \a- *-- -*..=t.\ \ x,iili,: o (rr) l*.- - v6'i cich kf hi6u vecto bdn kinh nhu C[n(
2. Trudng hop di6.m ll4 nim ngoii lu. cli6n xin vt\ Stlrt : Szhz -,S3fts = )*4ft4 (vdi fti li tludug cao dAnh cho c{c bqn trghien cuu. Ndi chung ta thu br tu dinh Jt). dnqc nhirng hd thue trrong tu ill) vn (II') trong Tt c16 cic hQ thrlc (lI) vI (II') s6 cho rto mgt v*j s6 u; dugc they b&i- ui. + --l+ 3. Ta hdy yer dung c{c k€t qui tr€n vio cd.c r si IJi: o, ),hil.di: o, tIiBm tl{c biQt crla trt didn.' rT >: sr,ffi a) Ndu M tn\ng vdi trgng tarrr G cria tt diQn (S la diAn tlch todn phhn cfia tri dign). thi ut = Dz = .rB - u4 1'A la {i tdi nhtng hQ thrlc + *14 queu thuQc: b' -l t:Xtri. ;,/Itri. -- )Gli:() va G=Il;.4 Chring ta c6 th8 ti6p tqc rip dgng c6c hd thuc (II) vn (Ii')cho c{c trudng nqp diFm ,rl{ truug b) NduM tring voi.tim l cria nrdt ciu n6i ti6p v6i c{c m[t ch.u bing ti€p, ngoai ti6p,... tAm tit di0n thi ta co u1l51 - u2lSz : u3'S3 : p*75n cria tu di6n nhu dE kh6.o sat & mqc tren db thu (voi S; lA dign tich mht 0 r,6i k = 24, vi X--K < Viy. ,\- kh6ng ph&i la mOt s6 chinh phrrcrrg x voi mgi sd tu nhidn n. f(n + z)(n * r)l . {(" + ,:) (n | +).1 * -(n2 ,ftn).(nz * 7n{o). (rrz + in i 10).)< Nhd.n *it. Bdi niy it ban c6 tdi giAi t6r. lIOt vd,i bgn do c6 nhirng nhAn x6t sai n6n ldri giii X (n2 +7 n* \il. f thi6u chinh xdc. Ch&ng hqn. c6 ban nhf,n x6t EAt m- r,2 + 7n, n ugu1,6r rluong, ta drrryc: rang: tich c&a x sci nguy0n li0n ti(p chi chia lrdt cho 2' (mi lihdng chja h6t cho 2u). DiEu nay N=m(ar * 6) (m * 10) (m4 t2) kh6ng ghhi bao gid c'tng dirng. Chring ra c6 th8 ?(rrz -i- 1{m)2 * 56m2 * lzoni. ldy r{t n}ii6u pir&n vi dq nhu: khi trong g s6 D{t K: (nz + t4m)z + 2k (n',2 + I"lm) * 1i2 : \ ngu]'en li6n ti6p cd 1 sfi chia h6t cho 2li, k> 4, (rnz + 14m*.ilz. thi nhAn xet trdn Id sai. Hodc c6 ban lai n6i ri.ng: (tich cria hai s6 ch5o li€n ti6p phi.i chrla X6t hi€u -Ni-it - zmz(28 * fr) + 4m{180*7k)-k2, mQt s6 16 sd thua sd 2 >. Di6u niy cflng kb6ng ta ilusc: thing, r-i dU hai ed B vI 10. 1) Khi 6 {nr( a, frry n : 1 (do *: nz 47n), C; T.
r j-I k Bni 2/l-07 .:l'im m6t sd ngugdn td co 4 chir 'Ia cd : sd N : ahcd sao cho cac sd ab, ac cfin'q ld cdo N:197gau11 = (19784),'.1g78: (10b + 6)a.197g sd nguydn td ud t, b, c, d, lien hA u&i nhau b&i : d&nq thtrc (lttc + 6).1978 : Iod * 8. h =cd+t1 -c .2 (*) Do cI6 Loi gi&i. Theo dE bli thi b.e,d chi cd thb li ?' : 1979N { lte8o - 1)ir-= c{c s6 1,3,7.9, E&ng thuc (*) c6 th6 r,i6t lai = - cfiresox*1+ ... 19BtlN du0i d4ng: \ -z 1-i ...-c , N 1980? -c_\ 1980r1 b(b-D-A-chav b (a-t)=9c-1- d. * N.1980 + 1 f = 100n Tit nhdn xdt trOn ta c6 9 c + d) 10, va do = 100n - t10d + 8) 1980 + 1 d6b>4. : I00m- 158{0 + I. t F Vty 6 chi cd th6 le 7 iiofle 9. : 100nr- 1583.9 Ndu b '-7 thi tu ding thuc 42=;9c f d suy ra = 100A' '- 39 42- d chia h6t cho 9, va do d6'd:6, Ei€u nAy :100t + 61. kh6ng phti hqp voi uh{n x6t tt}u ti€n trong ldi giii. (Cec Clu la h6 s6 c&a nhi ihuc Niu-ton). Khi b = 9. Tri d&ng th*c 72: 9c + d suy ra 11 V{y '1' cd t{n cung Ih 61 . chia h6t cho g. vi vfy d - 0, vil titlp theo d6 ttilrrEc c=7' Bei 4/107. Cho hinh binh hdnh ABCD ua mlt Nhu v{y b:d:9 vA c:7 th6a min c6c d.i?m O ndm trong hinh binh hdnh do. Cac daong di6u krQn cira dE la. Ohung ta edn phA.i tim gii thfing clua O ud sorrg sottg ooi cdc crltth cfia hinh tri cria a. binh hd'nh c&-t AB, BC, CD, DA theo thtr tq lqi ,1/, N, P, Q. Goi E ld giao di?m efia BQ o&i DN. Theo db bAi, ; ,a oc, tuc Ii fr oZ Ii. hai F la giao dibm c&a BP uoi DN. ?inr rtibu ki(n s6 nguydn 16. Ta c6: "l d.t co ud dfi d? cda tti\m E, (), F th&ng hdng. - EO ag lag.nr6t s6 ngr-iy€n t6 tii o chi cb th6 Loi gidi (cria nhiEu ban). 'fb ehung minh c6c lA I, 2, 5, 7, di8m E. 0, C thing hAng: a7 ln mgt a6 nguyBn 16 thi o chi c6 th6 Ia-Bb l, 3. l, 6. 9. Do d6, dB ag vi rr7 lh hai sd nguy0n t6 thi o chi c6 ibA ln 1. V{y s6 nguyon t6 phfii tim ld 1979. C,T, Bei 3/107" Tim hai chft s(i cu6i cing cfia s6 1964 "rs fhet vay, :ip d+ug tlinh ly Nl6n€laulit tl6i vdi 1978 1977 tam gi{c AAQ (c6t tuy6t MED), ta c6 rt 7'- ,979 MA EB -;J;:'' De _ . Lbi giiLi. Saq dIAy c{c chtr a, b,'c,,.. sE iluoc MB -80 ' k1t hi$u 1A cdc sd tu nhi6n. a MA ()Q DQ (.'v MI} ON DA CB 1964 0Q EB CN _, 19?6' O.\r EQ CB D=1977 :1(mod 4), Ap dung dinh lf Mdn6lauft d&o tl6i vdi tam hay D-4o*1. giAc EQN ta c6 E, O, C thfrng hnng. I \ ,,--. *a-,a*.ra---,-j--J*:;: * *;...qic{i_ -l
LT 7- Chfng minh tr.rong tu ta cd It, O, A th&ug hnng. Lbi qidi. R{i nAy c6 nhibu cach gili. DuOi v6y itilu ki6n 6t cd va tlt dA E, O, F th&ng dAy nOu hai c{ch gi&i tnong ddi ggn. lring Id A, (), {) th&ng hirrr$, tuo ld (,1 nim tr6n Cach 1(cia.bgn YfiTrgng Chinh, Thufln Thlnh, cludng eheo .lC cfia hinh binh hinh. Hi R5 c) Vi ot, az,.,.an ed 'r,ai trd nhu nhau nOn ta c6 'Bti 5i 1O7 . Chwngr minh riinq uoi m,qi sd try nhi|n n tu e6 bd.t d&ng thtre : a*a a-a nrl a I 2-.aa I 2 11"+l 1 1 \- -;-T. * c *| 1 \;. ...r + , .-t 1a l/- ll21'2'n' hay aaaa q- j" Ldi glrii (ciia ban Pham Hfru Etrc, top 12C 1 a'fl')a- , a' j ?' trudng Btri Thl Xuin, "Vgay7n Anh "ludn l6p 12 I 2' 1 2 trucrng Ld Qui D6n, thdnh ph6 Hb Chl Minh; Tuong tu ta e6 Ngug\n Trong Thdng, lcrp 9k truorg cip III Ld aeaaaaaa Qui Edn, Hd NOi). o1,,3)a3,, 1,u2 r''>oJ o2,.'., 1318 232 3 Ta c6: aaaa aaa a n\ A- I A )() n 1 , u\ n an2 ',,., **4+...++(t+ l" 2" n' 2.1 '+.,+-f- n(n - 1) aaa 1 n-' 1 (l ,Q- n A 2n2 .?A a n-l - o n \-zd-' a.n-1 /1 1\ / 1 1\ n-l ,, ' -1 + [\ 1 2 Il*..,+\ n-l -- n /! n-l n NhSn vd vcri v6 cic blt d&ng thuc trOn vA :z-j- az ).; ... ) oo )> 0. . Bir d&ng thrtc cl n chring mirrh tuong duong Ap dgug bdt d&ng thuc C6-sl cho n{1a6 vdi hf,t Sing thric duong, trong do n sd bdng 1 vA m6t sd bing (n+ 1) lla na nt a ,I ,a .-, ta cd lg (al 1 u, 2 ... o, ', ; lg \aluz ,.anl I "'-t- n 2 n+1 ha-t 1l "+1 -- n*(n+1)12 3n*1 n(atlgat *azlgctz +.., + anlgrrn) V 2\ n+l 2n*2 ) (ay*a2*...fa.) (lgo1 t lga2f...*lgau) (Ddu dfng thuc xiy ra khi vd chi kbi p(allgot + ... + unlgorl (rrt t ... * an) ) # vay n=1). X (lgo1 + ... + lga)") 0 * n*1 (ar - az)(lgat Igoz) 1-...* (or-a,) (lgar - iga,) { 1lr+l 3n*1 -- 7 1 - -- --=-: +.., + 1 +
r r I BAi 7/l . r;iai phao.ng trirth O7 Bili 9/1O7. eLra d?nh D cfia m6t rtr giuc phdng ABCD ta kt cdc dndttg- th&n_ct a !nl,A LAd, res tV" + 5) - loqz(/, - qr" (i) c !U. Cac d.trin,1 th&ig a,b,r"tne, tn*lV&tctic Loi gidi. (cfia ban ti 11ny6tt Nnm, gD Holn Ki6m, dwrng |hfrng tJC, C.t, tlB q A', 8,, C'. Chi.ng Hb Noi). minh rd.ng ctic dibm ,l', B', C', ndm tr6n mit dtrnng thang. EAt Wz\Vx*.r): a + {-(2v+4)2 (r&) Loi qidi (cfra Ngagriin Thu Htonq, gl Chu vin phuong trilrh trA thlnh An, HA_ n6i) Ta tinh tich: roga (V.*sl :9 D- A,B B,C C,iI + lr) - V*" ;-i/,2v ; lr- +.; A,C B'A C,B _ V2iv.' 8.:l: -i l,i + ; &+ I: V Qzls'n'+8(z J)v. (2t :.l3)r + lti( r,33)v r 5Ui Ta th{y y = 2 ia nghi€nr cria pLu
- c6 circ canh lA (tL' a2, .. an: cdn d1t d!t..., crn ld da giic d[ cho. Cdc duirng thf,rg k6 qua tdm O chc girc ngof,i tuong irng. Gi& sir 51 li di6n tich va c{c rlinh Ai ciit (c) tunr}g *ng tqi -,ti (c6 it tam gi6c cd hai canh oi, oi+I (i - 1.,2,,. n - 1). nb{t mdt ,{i tring vdri ,11) (hinh vE). Ia c6: Ve Sn ldr riiQn tich tam gi6c ed hai canh an, 01. Chu vi ,!1A2.,.,4o(chu vi dudng trt)n (c)
l= I I I I , II gei 5i ll0. Chrlrrg minh ling s6 H9C S|NH Ttilt TOI 15 I = 641e15 + 7g1e /+ / Edi 9/ll0. Goi ti va C tA hai diBm c6 dinh i kh6ng th6 bi6u di6n iluqc dudi dqng tbng c6c cria nrdt ilu
'( I I I I l t\ Tam IIinh Ngfi Luc i. t\ giAc vuffng gidLc gidc I IIinh vu0ng I t Ngn gi{c t Lgc gide I 't II irth S I i 2. Cu6i thd kJ'tru6,c, nguoi ta ilh chirng niinh F tluqc ring bdi to{n tr€n tidv buo cltb cilig gidi drrp'c, rrghiu lir moi hlnh da gidc cd th6 c6t ghep thdnh mgt hinh dt gi5.c brit kr', kh6c, tuong cluong I -\ I ydi n6, nghia ld : lrui hinh da giac tuotrg dtong thi i d&ng hop. Cich L'hiLnq minh dinh lj. nr\y rtqa vlo hai cli6u sau ilA-r': a) C6 thb cit rnoi hinh dla gidc ra thanh mOt "{J t. ;l s6 .hfiu han hinh ir,m gi:rr-- ; I bl Moi hinh tan.r siac c6 th6 cit ghep thanh mQt hinh chir nhdt co canh r:lAi bing o cho trudc. Nhu r,Ay, moi hinir da gi{c cd ihi c5.t ghep Hinh & thtruh rndt hinh cht nhAt c6 m6t cauh b{ng o cho trude, sau khi thuc hi6n ba il6ng idc sau rfflr': - Cit 6a gidc cho tr.u0c ra t[r.)nh cdc hinh tam gi6c: - Cflt gh6p m6i hinh tam gi{i thdnh mOt hinh v il Y' chir nh{t c6 urOt eanh bing tr I ,l - Cu6i cung, gh6p cac'hinh ihit ,rtrtt c6 rne,t ., _i. cqnh blng rrhau (bing a) itb cluryc mgt hinh ch& nhAt 16n cd'mdt canh birip..a. 'Ihtrc hi€n ba ddng t6c tr.0n ctdv theo thit tu nguqc lai, ta ci, th3 c$t uh6p hinh chrr nhit l6n na1'' th&nh mdt hinh da giAc cho tru6c, tuong durrng vdi (la giAc ban dilu. & 3. Phuong phap tr.6n tl&r bio dri m il6 ber ky tc-Fi.l d'a gi6c nio cfing c6 th6 cit ghi,p thnuh mQt rla lll -,+'' t gitic kh{c tuong tluong v6i no. Tuy uhi6n, theo !,r' pliuong phftp nay thi sd mlnh duoc ciit ra c6 thE r{t' lon. V{n' db ctucyc ctdt ra ia , tim c6ch cit gh6p tl6 trong rn6i trudng hqp, s6 m6.nh . Hinh b duoc c6.t r.a tA. 1t nidt. Edy iri nr6t lal toan tnO vi chua co l&i gii.i. Ilinh 5 cho th6y rd m6t hinh b:11 gi6c il6u c6 Ngu&i ta d[ tim th$5, ,';,r*: c6 th6 cftt hlnh th6 c6t ra thhnh 5 rnlnh db gh6p thirnh mqt tam gidc thinh I rn&nh dB sh6p thlnh hinh r-uOug, hinh vu6ng {AIJCD). ,Cic l;4n thri. timf toi xem thhnh 6 mfrnlr 116 gh6p thdrrll hinh ngir gi6.c, cd th6 rrli cdc con sd trong b&ng tr6n dAy xu6ng thAnh5 minh dE ghep ttrinh hiuh lUc giac; cO nir6 hon nta khOng ? c6t hinh vuOng thhnh "thb hinh ngfi gi6c (hinh 0 .m&nh ,:iA gUep 4. ],IOt v{n db tuong tu la : hay c6.t rnpt sd ]\lpn 4) i v.v... nhu rrong hintr da giric cho tru0e db ghip lai thdoh mpt bing sau dAy: hinh d.a grldc cho tru&e. 7, Ir)
a Htr gi:ic vudng co diQn tich bi.ng tSng cAc diQn tich crla hai hinh vuOng dgng trdn hai cgnh cria g6c vuOng): Gi& s{r' AB>AC (hinh 8); tu tflm O cria hinh vudng dung trdn AB, tn k6 tludng song song vir dudng vu0ng g6c r-6i canh hu5'En BC; c[t hinh vu6ng niy tbeo hai eluong vua kti, ta I c6 th8 ghep 4 minh nly vdi hinh vut)ng dung /i \ N tr€n dC, vd dluoc hinh vu6ng drlng ll'en BC (cAc dudng ch{m eb6m tr6n hinh 8). { / \\ | \ / i-- - - -i --.. \ 11 inh 6 Hinh tl clio thdy mOt cach c6.t ba hinh vu6ng tI6 ghep thAnh m$t hinh vu6ng: giir nguyda hinh vudng l, cit mdi hinh vu0ng 2 vn 3 th{nh hai miruh theo mOt itudug ch6o; gh6p bdn mlnh niry quanh hinh vu6ng 1, sau 116 eit theo c6c du&ng AA', t]jt', U)', DD' rbi ghep lai db ducre hiuh vuOng ABCD. The.o c{ch cht ghep niry (do mot nhir thi0n vdn hoc nou re & th6 ki th* X), hiuh vudng mdi {luqc gh€p thdnh tu I minh. Flinh 7 cho m$t cAch cit ghep khdc, ehl gbm c6 6 rnfinh. Hinh 8 5. M$t bdi loin tuong tU duqc dil.t ra vdi hinh da diQu : Cd phti mqi hinh da diQn c6 thb c&t gh6p thnnh mQt hinh ila diQn b{t ky tuong duong v
'l* * Mor sd sal ToAN THr y0 EICIT QUSC ar rfl rAr,I TITS 2tt 1. Ta. chrilg rn iult nrdt ti nh ch?lt t:o b{tn : Nl'l;:";'Jf. *';';lJ,tl,';',,1T Tinh # flj;: ehdt. Fr,6i srj di6m t6i dr ti 40) trong hai ngiy . L'rong t'bng s6 r0 canh riin t:ita thi, m5i ngay giii ba bii to{n tr.ong,l hai iinh /iD rncu tronq nr6t nidt ddg ph&i c6 it "? gicr. Sau dly ln chc bli toirn thi trong ndm na.v. I)6 bai nh?it 5 canh riin hltat: ntr);tt unl ,"rrrn ndi &oi b{o kh6i qu:i drii, d6i v&i mdi baj toan chiing diuh di, r- tOi chi^ dua ra m6t ei,e h gili, ban dgc h6y suy ntinh: NCu hai
i .r;- # tlil'' sri ''{u e$ il cqn!:r xi6n .tanh. B5y girr xem tr]t),(Cz)tartrlgittq,rudtptttiltirAcirtqnot nr6i,c4nh :ri6n Azi31 cr} m&u gi thi ia ghi nrr\u ltic, theo cirtg rnQt chi?u ua c6 pdn tdc khttng tlbi. d6 & dinb ,81 ttrtrng irng, chi c6 hti truung hqrp Sau ndt udng, II1 trd M2 tr& vb A cing m6t lie. I rrhu hinh 2 lriinh sd lai circ dinh cira diy B Cht?ng minh rd.ng co-m$t di|m p *o cho ii bdt udu cln). ki thbi d.ibm ndo trong qud trinh chugbn dQng t tfti hai chdt d.i?m XIt ud ll,7 Ludp cach d?u P. al:. lr. ',. ,: ' &iOn X6 dB nghi,.? dlErn) i:l I t, (Biri nn-v lir rngt troog nhftng bei dE cua ki ihi. \, \/ 'I/,\,t Song vi hfri tldng thi det n6 & vi tri bii khfl ,i \i,.J --- !:_ i! \. nh{t cria ng{y thi ttru nhlit, nen cd tht .rrhiSur' " 'i hr3c siuh rtu itri eirua lirn 6Sn bAi rAy rdo m{l* ,,1 j nhi&u lhi gid ilm bii 2 Ii bni kh6 nhung Egut}fa tt dq ttri tttiing li. d6 hon bni 3). Oflng vi ui tri, llitLlt 2 cira n6 1,1 d6 s{rrh ra tlb, nrOt sd hgc sinir gili f bdi nhy eho li rngt bAi torri phuc tqp oen ili nghi dEn hurlng qiii khe chu irr'.. (,hi c6 hgu 'i'irr.o liu[,:hir re bin, ,43 c6 it nhrlt 3 eanh Le Rdt Khrinlt lrirrfi tlorrg r{orin hoc sinh rl u tlii xi6n iti'. bJ .nnrr rid Lrh$rg tLrs udi tidn ci /lt, cria nu6q^. trr nhiin ih$1, brir ui-v li mdt bqi to{r Ilt, Ba tron;i tri,iilrrg trp'p (a) vir lihsug thi n6i hinh hoe ilon giirn, nCn {ti. {iii theo e:,ch thdug ddrr cii lli cb. Iiz tro$t li'rrdng htrp (b) vi nhu thrrdng rdl rr96a ggn. C{ch giili cira hqn lrinh I v{y s€ tac rr tarrr gi:ic rd ba r:4lh ciiug ruau cl6" ctng khdc voi d6p An. \:i vLJ ban I'rinh tld ilrrgc Nhu vf.f inbt trong cdr: dliLih I)1, 82. R3 [rong tdng mdt giii i1[c bi6t v€ idi gi&i trAi toirn niv)." truoug hqrp ("r ) cfrlg rrhu rr:0t trr,ng c&c ctinh Bt, Ez tlong trriring hup (b) duo'c ndi v5i .43 L. b&ng eqnh miru -x.:rrh, r,:I rihu v{y lgi lqo rr tam I gi6c co l,a c?r-rh c'tiiig lyrau raTrh {tanr giac c6 ^\. .'-,-- I I hai dinti t:a ,t2,.4r vdr ilOt t!'oug c{c dintr n6i ._t>t I trdn). I f" r\du .42 lrd .3 cqrrh .ritln dri tht Ii lu0n tucrng I '- tg biilg eicir tbry ,1" hing ,ii ia cf,ug . d.i d6n ,liEu r0 l,i. '-- ,/. i- o - *- .--! "'j' ttr 'I'{m l4l l:ii r:ii cdc tltrring hrTp rltiu kh6ng thB xiy ra, trir: irr- gil tlri6t cactr,rh ,:iia d{y A khong td crrlg rrrau ih kht)ng ilurre. YAy rtay A flinh "i co c{c r:gnli rir-roc lo cr:rg mSt rniu. {,fing rAy, d'i;' A cri lrrr: cirnh tluqre t{l ciog rndt miru. Liri gifii. 'l'r\ dhu hii suy r.a (hinh si tr nrot 3. tihung l;rilh crir c,.trh t,{tu hrsi iltiu ,{ rrri I thdi tli'Enr bdt kj' thi d+ Itin crla cung rn& tI1. phdi dutt'c li b&nq rttng nt6t nr\u. de di qua bing d(i.lou crja eung rnir rLIz dd tli qrra (liir sii cat: cq:rh c&a iiliv ,,i. ilu,rc t0 nriru d6. Do dd ndu goi B la giao di6m thu.. hei cfia lrai X6t canh Ar-4u biit 1i_t r:iia .4.'l'heo tiuh ch{t co rlrr0ng tron, ndi AB, Ittt B,ll 28 tlti MtBA I MzBA-, birr., -lr -r'i\ J,. cc tLng sd ii nir{t i cirrrh :ii€n = 1800, trlc li ba rliBm l[t, klz vi I] thing.fting-., . xanli vi nhu v$1,in4i iroirg [, holc ls co (t t ii }fr ki dtrcrng vuting 5,,c vrrj .1y'r U2, c$ ,61f nhfit 3 c?nh -xidn xanh, chlng han cl6 I;-,r -t,,. Iia i'I, R,-tir .142 kti tlrrong vuOni{ goc vdr ttr,{. cnr I! canh riiBr rrnh dtl n,5i r-&i irr cllnh c.ia B thi (-?E S. 'l'rl tri gi6c u6i riOp iI1B.{R skv r.a^ it ntrflt vdi hai ilinh k€ nlrsu. Vd-v carih ntii hai RA]I=9(f. TI tu gid" nqi ti6p MzB.4S tllnh k€ niLy cLia IJ phiri ilu.oc t6 dil, 'f ir 116 ta ra B,4S 90o, VAv bs tlibnr "ut thiiy r:6c c4nh ciia ddy Ii.cfing.phii td nriru d6 - n, S, A nin:. trOn cring mOt dudng thf,ng vu0ng g6c v0i AB: cio nhu c{c cgnh eria driv l. / . ,,18 c6 tlinh o€n liS c6 ttinh (khi Mr vA il{2 chuy&n i" tISng). 1'tr d!nh l;i'l'a-l6t s!ly ra,lur:rrrg tlurg BAi 3. Cho hrti dttittg tron r{)) ua (Cz't t:&t 'trrrc cira doarr Ml Mz ludn di qua trung cfi{;rn p nhau ud 91ai A li mdt trong cdc giao d,i?m cfia cria cloqn thf,ng cti dinh J?S. 1'r'r d6 .su1' ra iiibu. t;hring. I{ai chdt di?m }It. Mz chttlin dgttrl triin phii chirng minh. tn tq"i Xi nghiep ih Hn NSi. Sd in 159/79. Iong ngay 20-11-79 I-uu chiBu th&ng 1l-79. llhi sd: 12884 GiA: O,lOd $