ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
NGUYỄN THỊ HẰNG
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG DƢ VÀ HÀM SỐ HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
NGUYỄN THỊ HẰNG
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG DƢ VÀ HÀM SỐ HỌC
Chuyên ngành : PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG
Hà Nội – 2015
MỤC LỤC
Lời mở đầu ...........................................................................................................1
Chƣơng 1. Số nguyên và tính chia hết .............................................................3
1.1. Kiến thức cơ bản ............................................................................................3
1.2. Bài toán chia hết.............................................................................................8
1.3. Bài toán về ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) ......17
1.4. Bài toán về số nguyên tố .............................................................................22
Chƣơng 2. Đồng dƣ ...........................................................................................32
2.1. Kiến thức cơ bản ..........................................................................................32
2.2. Bài toán về sự chia hết.................................................................................37
2.3. Các bài toán về số chính phương ................................................................45
2.4. Các bài toán về chữ số tận cùng..................................................................51
2.5. Phương trình nghiệm nguyên. .....................................................................56
2.6. Phương trình và hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn. .....................62
Chƣơng 3. Hàm số học .....................................................................................67
3.1. Kiến thức cơ bản ..........................................................................................67
3.2. Các bài toán về hàm số học .........................................................................69
KẾT LUẬN ........................................................................................................77
Tài liệu tham khảo ............................................................................................79
1
Lời mở đầu
Số học là một phần rất quan trọng của Toán học, ngay từ lúc bước vào bậc
THCS học sinh đã được làm quen với các bài toán số học. Chính vì thế mà trong
các đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi, các đề thi vào THPT chuyên khối khoa học
tự nhiên ta đều thấy xuất hiện các bài toán số học. Mặc dù được làm quen sớm với
số học nhưng khi gặp các bài toán dạng này học sinh vẫn thấy khó khăn trong cách
giải quyết, đó là do khi học dần lên các lớp cao lượng kiến thức về số học lại giảm
đi mà không được hệ thống hay nhắc lại thường xuyên. Chính vì vậy, em lựa chọn
đề tài luận văn là “ Các bài toán về đồng dư và hàm số học” nhằm hệ thống lại kiến
thức và phân dạng các bài tập số học.
Trong luận văn em không đi sâu về trình bày lí thuyết mà chỉ hệ thống lại
những kiến thức cơ bản để làm cơ sở giải quyết các dạng bài tập. Luận văn chủ yếu
phân dạng và sắp xếp bài tập từ dễ tới khó trong đó có trình bày lời giải chi tiết giúp
người đọc có thể tham khảo trong quá trình ôn tập kiến thức số học. Luận văn được
chia thành ba chương:
Chương I trình bày các bài toán về số nguyên như các bài toán về phép chia hết,
các bài toán liên quan đến số nguyên tố, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất.
Chương II là phần trọng tâm của luận văn, trình bày các ứng dụng của lí
thuyết đồng dư vào giải các bài toán chia hết, bài toán về số chính phương, chữ số
tận cùng, các bài toán về phương trình nghiệm nguyên, phương trình đồng dư.
Chương III trình bày các bài toán về hàm số số học, trong đó các bài tập chủ
yếu về hàm Euler , hàm tổng các ước , hàm số các ước số của một số
tự nhiên.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên trong quá trình viết luận văn, giải
quyết các bài tập chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót. Em rấy mong nhận
được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Trong quá trình làm luận văn, em đã được thầy PGS. TS Vũ Đỗ Long –
Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn, chỉ bảo
tận tình. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Em xin chân
thành cảm ơn các thầy cô trong tường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc
2
gia Hà Nội đã dạy dỗ, trang bị kiến thức bổ ích và giúp đỡ em trong suốt quá trình
theo học. Em cũng xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán – Cơ – Tin học
đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thiện luận văn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Hằng
