Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học mà đặc biệt là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc tìm nghiệm của bài toán Laplace là cần thiết, có nhiều phương pháp để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của nó. Một trong những phương pháp đó là phương pháp thế vị. Đó là phương pháp tìm nghiệm của phương trình dưới dạng một thế vị của hàm điều hòa cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo luận văn "Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa" sau đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG VĂN LUẬN THẾ VỊ LỚP ĐƠN VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - NĂM 2015
Mục lục Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Góc khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mặt Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 11 2 Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa 14 2.1 Thế vị lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Đưa bài toán Neumann của phương trình Laplace về phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 20 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 1
Mở đầu Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học mà đặc biệt là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc tìm nghiệm của bài toán Laplace là cần thiết, có nhiều phương pháp để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của nó. Một trong những phương pháp đó là phương pháp thế vị. Đó là phương pháp tìm nghiệm của phương trình dưới dạng một thế vị của hàm điều hòa cơ bản. Cấu trúc luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bầy một số khái niệm và các tính chất bao gồm: định nghĩa về góc khối; định nghĩa về mặt Lyapunov và các tính chất của mặt Lyapunov cùng với các đánh giá có liên quan; định nghĩa về phương trình tích phân Fredholm loại II, các định lý Fredholm và cuối cùng là trình bày về các bài toán Neumann trong và ngoài, tính duy nhất nghiệm của bài toán đó. Chương 2: Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann cho hàm điều hòa. Nội dung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann cho hàm điều hòa, gồm 3 bước: Đầu tiên ta đưa ra khái niệm thế vị lớp đơn và tính chất của nó. Bước thứ 2 ta chuyển bài toán Neumann của phương trình Laplace về phương trình tích phân Fredholm loại II. Bước thứ 3 ta đi khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán đó. Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [1],[2], [3]. Hà Nội, tháng 4 năm 2015. Học viên Hoàng Văn Luận 2
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của mình. Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia giảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao học Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa học này. 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc khối Cho S là mặt trơn, nói chung là không kín, định hướng, xét một phía xác định của S và vectơ pháp tuyến → − n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyến dương. Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm bất kỳ −→ Q ∈ S thì → − r = P Q hợp với − n→ π Q một góc nhỏ hơn hoặc bằng 2 tức là: cos(→ − r ,− n→ Q) ≥ 0 (1.1) −→ Từ P, xét tất cả các bán kính vectơ P Q, Q ∈ S . Các bán kính vectơ đó lấp đầy khối nón, đỉnh là P và các đường sinh của mặt bên tựa trên biên của mặt S. Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu σ1 . Mặt cầu ấy cắt khối nón trên theo mảnh cầu σ1 , có diện tích là |σ1 |. Khi đó phần không gian chiếm bởi khối nón nói trên được gọi là góc khối mà từ P nhìn mặt S. Diện tích |σ1 | được gọi là số đo của góc khối, và được kí hiệu là ωP (S) = |σ1 | (1.2) P Chú ý 1.1. Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R : R và cắt khối nón theo mảnh σR có diện tích |σR | thì do tính đồng dạng của σR và σ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 | Do đó ta có thể viết: |σR | ωP (S) = (1.3) R2 4
−→ Nếu pháp tuyến dương − n→Q hợp với bán kính vectơ → − r một góc tù cos(→− r, nQ ) ≤ 0 thì ta quy ước số đo của góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm và |σR | ωP (S) = − (1.4) R2 −→ Giả sử S là mặt trơn từng mảnh và trên mỗi mảnh đại lượng cos(→ − r, nQ ) đổi −→ dấu, khi đó ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ S sao cho cos(→ j − r, n ) không đổi dấu. Q Khi đó ta đặt X ωP (S) ≡ ωP (Sj ) (1.5) j Định lí 1.1 (Định lý 5.3.1, [1]). Giả sử P ∈ / S . Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt S có giá trị bằng ∂ 1 ZZ ωP (S) = − ( )dSQ ∂nQ r S trong đó r=PQ là khoảng cách giữa hai điểm P và Q, − n→ Q là pháp tuyến dương tại Q ∈ S , ∂n∂Q là đạo hàm theo hướng − n→ Q. 1.2 Mặt Lyapunov Dưới đây là định nghĩa mặt Lyapunov trong không gian ba chiều. 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Mặt S được gọi là mặt Lyapunov nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Tại mỗi điểm của mặt S đều tồn tại một pháp tuyến xác định → − 2) Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kỳ nằm trên mặt S và → −n , n0 là hai vectơ pháp → − tuyến tương ứng tại Q và Q’, ϕ là góc hợp bởi 2 vectơ pháp tuyến đó (ϕ = (→ −n , n0 )), r là khoảng cách giữa hai điểm Q,Q’ r = QQ0 5
Khi đó tồn tại 2 hằng số dương A và α sao cho: ϕ ≤ Arα . (1.6) Nhận xét 1.1. Nếu mặt S có phương trình z = f (x, y) trong đó f (x, y) là hàm có đạo hàm cấp hai liên tục thì S là mặt Lyapunov. Do đó mặt cong có độ cong liên tục là mặt Lyapunov. Hơn nữa định nghĩa và các định lý trong phần này cũng đúng trong không gian n chiều tổng quát. Định lí 1.2 (Định lý 5.4.2, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín. Khi ấy tồn tại một hằng số dương d > 0 sao cho nếu lấy một điểm Q bất kỳ trên S làm tâm bán kính d thì mọi đường thẳng song song với pháp tuyến → − n tại Q cắt mặt S phía trong hình cầu không quá một điểm. Mặt cầu với tâm tại điểm Q ∈ S nói trên được gọi là mặt cầu Lyapunov, kí P hiệu (Q). 1.2.2 Một vài đánh giá Giả sử Q0 là một điểm cố định bất kỳ nằm trong mặt S và S 0 (Q0 ) là một phần mặt nằm trong mặt cầu Lyapunov tâm Q0 . Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với gốc là Q0 , trục Q0 ζ trùng với pháp tuyến → − n0 tại Q0 còn 2 trục Q0 ξ và Q0 η nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với S tại Q0 . Theo Định lý 1.1 thì phần mặt S 0 (Q0 ) có thể biểu diễn trong hệ tọa độ Q0 ξηζ bởi phương trình ζ = f (ξ, η) (1.7) Gọi Q(ζ, ξ, η) là điểm chạy trên mặt S 0 (Q0 ) ; → −n là pháp tuyến tại Q và r = Q0 Q. Ta đi đánh giá cosin chỉ phương của → −n , đại lượng f (ξ, η) trong (1.15) và cos(→ − r ,→ − n ) theo r khi Q chạy trên mặt S 0 (Q0 ) ta có: → − 1 cos(→ −n, ζ ) ≥ (1.8) 2 → − | cos(→ − n , ξ )| ≤ Arα (1.9) | cos(→ − n,→−η )| ≤ Arα (1.10) |ζ| ≤ Crα+1 (1.11) | cos(→ − r ,→ − n )| ≤ C1 rα (1.12) 6
Định lí 1.3 (Định lý 5.4.3, [1]). Nếu S là mặt Lyapunov giới nội thì tồn tại một hằng số C sao cho:
∂ 1
ZZ
( ) dSQ ≤ C (1.13) ∂nQ rP Q S đối với mọi P nằm trong không gian. Ý nghĩa hình học của (1.13) đối với góc khối mà P nhìn mặt S trong (1.5) như S sau: Giả sử S = Sj , khi đó tổng trị tuyệt đối số đo các góc khối là bị chặn đều j X |ωP (Sj )| ≤ C. j Chứng minh. Để chứng minh định lý trên ta chia làm 2 trường hợp: điểm P nằm trong mặt S và điểm P nằm ngoài mặt S 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại II 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2. Cho Ω là miền giới nội trong không gian En ; f (P ) là hàm liên tục cho trước; K(P, Q) là hàm thực liên tục khi P ∈ Ω; Q ∈ Ω hoặc liên tục khi P 6= Q và khi P → Q có bất thường loại yếu: 1 K(P, Q) = O( ), r = P Q, α≤n rα Khi đó phương trình: Z µ(P ) + K(P, Q)µ(Q)dVQ = f (P ) (1.14) Ω được gọi là phương trình tích phân Fredholm loại II. Với µ(P ) là hàm liên tục cần tìm và gọi là nghiệm của phương trình tích phân (1.15) Nếu f (P ) = 0 thì ta có phương trình thuần nhất tương ứng Z µ(P ) + K(P, Q)µ(Q)dVQ = 0 Ω 7
Phương trình thuần nhất liên hợp của (1.14) có dạng Z ν(P ) + K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0 Ω trong đó nhân K(Q,P) có được từ K(P,Q) bằng cách trao đổi vị trí P và Q. Đối với phương trình tích phân Fredholm loại II ta có các định lý sau, và được gọi là định lý Fredholm. 1.3.2 Một số định lý ( Về phương trình tích phân Fredholm loại II) Định lí 1.4 (Định lý 5.11.1, [1]). Phương trình thuần nhất Z µ(P ) + K(P, Q)µ(Q)dVQ = 0 (1.15) Ω và phương trình thuần nhất liên hợp Z ν(P ) + K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0 (1.16) Ω có một số hữu hạn các nghiệm độc lập tuyến tính và số các nghiệm độc lập tuyến tính của hai phương trình đó bằng nhau. Gọi hệ đầy đủ các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.15) là {µ1 (P ); ...; µp (P )} và của (1.16) là: {ν1 (P ); ...; νp (P )} Khi đó nghiệm tổng quát của (1.15) có dạng p X ∗ µ(P ) = µ (P ) + Ck µk (P ) (1.17) k=1 trong đó µ∗ (P ) là một nghiệm riêng của (1.14) còn Ck là các hằng số tùy ý. 8
Định lí 1.5 (Định lý 5.11.2, [1]). Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.15) giải được là vế phải f (P ) thỏa mãn hệ thức Z f (P )νk (P )dVP = 0 k = 1, 2, ..., p (1.18) Ω Điều kiện này được gọi là điều kiện trực giao, trong đó {νk (P )} là hệ đầy đủ các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất liên hợp (1.16). Từ đó suy ra Định lí 1.6 (Định lý 5.11.3, [1]). Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.14) giải được với bất kỳ vế phải f (P ) liên tục nào là phương trình thuần nhất (1.15) chỉ có nghiệm tầm thường µ(P ) = 0. Khi đó phương trình (1.14) có nghiệm duy nhất. 1.4 Phương trình Laplace Giả sử Ω là một miền trong Rn . Định nghĩa 1.3. Kí hiệu n X ∆u := uxi xi i=1 và gọi biểu thức này là Laplacian của hàm u. Khi đó phương trình ∆u(x) = 0, x∈Ω (1.19) được gọi là phương trình Laplace. Nghiệm bất kỳ của phương trình (1.19) được gọi là hàm điều hòa trong miền Ω Để tìm nghiệm của phương trình (1.19) Trước tiên ta tìm một nghiệm hiển. Do tính tuyến tính của phương trình (1.19) nên ta sẽ xây dựng nghiệm phức tạp thông qua nghiệm hiển đã biết. Chú ý rằng phương trình Laplace là bất biến đối với phép quay, nên ta tìm nghiệm hiển dưới dạng hàm số của r = |x| Ta tìm nghiệm của (1.60) dưới dạng u(x) = υ(r), x ∈ Rn 9
r = |x| = (x21 + ... + x2n ) và chọn υ sao cho ∆u = 0 Chú ý : ∂r 1 1 xi = (x21 + ... + x2n )− 2 2xi = (x 6= 0) ∂xi 2 r Vì thế 0xi 00 x2i 0 x2i uxi = υ (r) ; uxi xi = υ (r) 2 + υ (r)(1 − 3 ); i = 1, 2...n r r r Do đó n−1 ∆u = υ 00 (r) + υ(r). r Như vậy ∆u = 0 khi và chỉ khi n−1 0 υ 00 (r) + υ (r) = 0 (1.20) r Nếu υ 0 6= 0 thì ta thấy rằng: υ 00 0 0 1−n [log (υ )] = 0 = υ r Vì thế υ 0 (r) = α rn−1 với α là một hằng số nào đó. Suy ra nếu r ≥ 0 ta nhận được. υ(r) = b.log r + c (n = 2) hoặc b υ(r) = + c (n ≥ 3) rn−2 ở đây b và c là các hằng số. Định nghĩa 1.4. Hàm số 1 Φ(x) = ; n=2 (1.21) 2π log |x| và 1 1 Φ(x) = ; n≥3 (1.22) n(n − 2)α(n) |x|n−2 với x ∈ Rn ; x 6= 0 được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace, trong đó α(n) là thể tích của hình cầu đơn vị. 10
1.5 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann 1.5.1 Bài toán Neumann trong Giả sử Ω là một miền giới nội trong R3 . Bài toán Neumann trong của phương trình Laplace được đặt ra như sau: Tìm hàm điều hòa u(P), liên tục trong miền đóng Ω ∪ S sao cho đạo hàm theo pháp tuyến ngoài đơn vị trên biên S của nó trùng với một hàm f(Q) cho trước trên biên S. Nói khác đi: ∆u(P ) = 0, P ∈ Ω (1.23) ∂u(P ) lim = f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω. (1.24) P →Q ∂nQ Nếu Ω0 là miền bên ngoài Ω cùng biên S thì ta có bài toán Neumann ngoài. Đối với bài toán Neumann ngoài (1.23), (1.24), hàm u(P) được ràng buộc thêm bởi điều kiện ở vô tận ∆u(P ) = 0, P ∈ Ω0 (1.25) ∂u(P )
S = f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω0 (1.26) ∂nQ C |u(P )| 6 , r = OP → ∞. (1.27) r Bài toán Neumann thường được gọi là bài toán biên thứ hai của phương trình Laplace. 1.5.2 Công thức Green Giả sử Ω là miền giới nội trong R3 , giới hạn bởi mặt biên S trơn từng mảnh, u(x), υ(x) là các hàm riêng cấp một liên tục trong Ω ∪ S và có đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong Ω, khi đó ta có công thức Green thứ nhất: 3 ∂υ(x) ∂u(x) ∂u(x) Z Z X Z υ(x)(∆u(x))dx = − dx + υ(x) dSx . (1.28) j=1 ∂x j ∂x j ∂n x Ω Ω ∂Ω trong đó − → là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị, x ∈ ∂Ω. nx Trong công thức (1.69), tráo đổi vai trò của u, υ , sau đó lấy (1.69) trừ đi công 11
thức vừa nhận được ta được công thức Green thứ hai Z ∂u(x) ∂υ(x) Z [υ(x)(∆u(x)) − u(x)∆(υ(x))] dx = υ(x) − u(x) dSx . ∂nx ∂nx Ω ∂Ω (1.29) 1.5.3 Bài toán Neumann trong (1.23), (1.24) Ta chứng minh nếu hàm f(Q) trong (1.24) cho tùy ý thì không phải bao giờ (1.23), (1.24) có nghiệm, và để có nghiệm, hàm f(Q) phải thỏa mãn một điều kiện xác định. Thật vậy, tại mỗi điểm Q ∈ S dựng một pháp tuyến trong → −n và trên pháp tuyến ấy, lấy một điểm Q’ sao cho QQ0 = h trong đó h là một số dương cố định. Khi điểm Q chạy trên mặt S thì điểm Q’ tạo nên một mặt mà ký hiệu Sh và thường được gọi là mặt song song của mặt S. Theo kết quả của hình học vi phân thì khi h khá nhỏ, do mặt S là mặt trơn, mặt Sh cũng là mặt trơn, → − n là pháp tuyến của mặt S thì → − n cũng là pháp tuyến của mặt Sh Gọi ωh là miền tọa bởi lớp giữa hai mặt S và Sh và Ωh là miền còn lại, tức là Ωh = Ω \ Ωh Vì u(P) là hàm điều hòa trong Ω, nên nó liên tục cùng với đạo hàm riêng tới cấp hai trong miền đóng Ωh ∪ Sh . Do đó, áp dụng công thức Green thứ hai cho hàm điều hòa u(P) và 1 ta có: ∂u(Q) ZZ dSh = 0 (1.30) ∂nQ Sh ∂u(Q) ∂u Vì hàm u(P) có đạo hàm đều theo pháp tuyến nên ∂nQ |Sh hội tụ đều về ∂n |S do đó chuyển (1.23) qua giới hạn khi h → 0 và được: ∂u ZZ dS = 0 (1.31) ∂n S 12
Chú ý từ (1.30), có thể viết (1.31) ZZ f (Q)dSQ = 0 (1.32) S Vậy, để bài toán (1.23),(1.24) có nghiệm thì f(Q) trong (1.24) phải thỏa mãn điều kiện (1.32). Nhận xét 1.2. Đây là điều kiện cần để bài toán Neumann trong (1.23),(1.24) có nghiệm. Trong Chương 2 ta sẽ chứng minh (1.32) còn là điều kiện đủ. Nhận xét 1.3. Nếu u(P) là nghiệm của bài toán Neumann trong (1.23), (1.24) thì U(P)+C cũng là nghiệm với C là hằng số tùy ý. Bây giờ ta kiểm tra tập các hàm u(P)+C với C là hằng số tùy ý vét cạn tập nghiệm của bài toán Neumann trong, ta có: Định lí 1.7 (Định lý 4.9.1, [1]). Hai nghiệm bất kỳ của bài toán Neumann trong của phương trình Laplace chỉ có thể sai khác nhau một hằng số cộng. 1.5.4. Bài toán Neumann ngoài ∆u(P ) = 0, P ∈ Ω0 (1.33) ∂u(P )