Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình laplace

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn đưa ra một số tính chất cơ bản của phương trình Laplace như điều kiện Cauchy-Riemann, tính giải tích của nghiệm, điều kiện cần và đủ để nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình laplace

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. ĐINH NHO HÀO Thái Nguyên - 2016
i Mục lục Lời mở đầu 1 Chương 1. Phương trình Laplace và xuất xứ của phương trình Laplace 3 1.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Xuất xứ của phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Ba định luật của Keple . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace . . 5 1.2.3 Một số mô hình vật lý khác của phương trình Laplace 11 Chương 2. Các tính chất cơ bản của phương trình Laplace 14 2.1 Tính bất biến của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Tính bất biến của toán tử Laplace . . . . . . . . . 16 2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Hàm điều hòa và một số tính chất của chúng . . . . . . . . 21 2.3.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Biểu diễn Green của hàm điều hòa . . . . . . . . . 22 2.3.3 Tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Điều kiện cần và đủ để bài toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Các bài toán biên cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.2 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục nghiệm . . 30 2.4.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu . . . . . . . . 32 2.4.4 Các định lý về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . 34
ii 2.4.5 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền bị chặn - Phương pháp Perron . . . . . . . . . . . 35 2.4.6 Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace . . . . 36 KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40
1 Lời mở đầu Phương trình Laplace do nhà toán học người Pháp Pierre-Simon Laplace (23 tháng 3 1749 – 5 tháng 3 1827) đưa ra có ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Ngoài ra, Laplace còn là một nhà thiên văn học đã có công xây dựng nền tảng của ngành thiên văn học bằng cách tóm tắt và mở rộng các công trình nghiên cứu của những người đi trước trong cuốn sách 5 tập với tựa đề Mécanique Céleste (Cơ học Thiên thể) (1799-1825). Cuốn sách này đã chuyển đổi các nghiên cứu về cơ học cổ điển mang tính hình học bởi Isaac Newton thành một nghiên cứu dựa trên vi tích phân, được biết đến như là cơ học (vật lý). Ông cũng là người đầu tiên đưa ra phương trình Laplace. Biến đổi Laplace xuất hiện trong tất cả các ngành toán lý — một ngành mà ông là một trong những người sáng lập. Toán tử Laplace, được sử dụng nhiều trong toán học ứng dụng, được đặt theo tên ông. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày về xuất xứ cũng như một số tính chất cơ bản của phương trình Laplace. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Phương trình Laplace và xuất xứ của phương trình Laplace Chương này sẽ giới thiệu về phương trình Laplace và một số mô hình vật lý của phương trình Laplace. Chương 2: Nghiệm của phương trình Laplace Chương đưa ra một số tính chất cơ bản của phương trình Laplace như điều kiện Cauchy-Riemann, tính giải tích của nghiệm, điều kiện cần và đủ để nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đinh Nho Hào. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời
2 gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K8B (khóa 2014-2016) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Đức Tùng
3 Chương 1 Phương trình Laplace và xuất xứ của phương trình Laplace Phương trình Laplace là một phương trình đạo hàm riêng được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Pierre-Simon DeLaplace (1749-1827). Ông là người đầu tiên đưa ra phương trình Laplace. Chương này sẽ giới thiệu về xuất xứ và ý nghĩa vật lý phương trình Laplace. 1.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace Định nghĩa 1.1.1. Trong không gian n chiều, cho u là một hàm thực khả vi 2 lần. Phương trình Laplace là phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ... + = 0. (1.1) ∂ x12 ∂ x22 ∂ xn2 Khi vế phải không thuần nhất: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 + 2 + ... + 2 = f (x1 , x2 , ..., xn ) f ∈ Rn (1.2) ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn thì phương trình đó được gọi là phương trình Poisson. Ta thường gặp phương trình Laplace trong không gian 3 chiều ở các hệ tọa độ khác nhau như sau:
4 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u (i) Trong hệ tọa độ Descartes: 2 + + = 0. ∂x ∂ y2 ∂ z2 1 ∂ 2u ∂ 2u 1∂ ∂u (ii) Trong hệ tọa độ trụ: r + 2 + 2 = 0. r ∂r ∂r r ∂r ∂z 1 ∂ ∂ u 1 ∂ ∂ u (iii) Trong hệ tọa độ cầu: 2 ρ2 + 2 2 sinθ + ρ ∂ρ ∂ρ ρ sin θ ∂ θ ∂θ 1 2 ∂ u = 0. ρ 2 sin2 θ ∂ ϕ 2 Nghiệm của phương trình Laplace là một hàm điều hòa. 1.2 Xuất xứ của phương trình Laplace 1.2.1 Ba định luật của Keple Như chúng ta đã biết, Tycho Brahe (1546-1601) là nhà thiên văn học người Đan Mạch , người đã quan sát bầu trời không qua kính viễn vọng trong vòng khoảng 20 năm và ông đã để lại nhưng dữ liêu quan trọng. Từ những dữ liệu đó, nhà thiên văn học người Đức Jahannes Keple đã nghiên cứu và đưa ra ba quy luật sau: (i) Mọi hành tinh đều chuyển động theo quy đạo là một hình eliptic và Mặt Trời là một tiêu điểm. (ii) Đoạn thẳng nối mặt trời với một hành tinh bất kì quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian như nhau. (iii) Tỉ số giữa lập phương trục lớn và bình phương chu kì quay là giống nhau với mọi hành tinh.( tỉ số đó là một hằng số). Các quy luật trên tuy đẹp nhưng khá phức tạp. Sau này , Newton tìm ra một biểu thức đơn giản hơn cho những quy luật này. Đó là định luật vận vật hấp dẫn : "lực hấp dẫn giữa hai vật bất kì tỉ lệ thuận với khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Thay vì xét lực hút của một vật có khối lượng đơn vị đến vật khác, ta xét
5 thế năng của lực hấp dẫn được khảo sát bằng phương trình sau M u = γp (1.3) (x − xo )2 + (y − yo )2 + (z − zo )2 với γ là hằng số, (xo ; yo ; zo ) là tọa độ của vật hút, M là khối lượng. Các lực hút thành phần Fx , Fy , Fz tác dụng  vào các vật có khối lượng đơn ∂u F =   x ∂x     ∂u vị đặt tại điểm (x, y, z) xác định như sau : Fy = .   ∂y   ∂u Fz =  ∂z Trường hấp dẫn u được xác định bởi véc tơ ~F = (Fx ; Fy ; Fz ). Trong trường hợp lực hấp dẫn của hệ chất điểm (tâm khối lượng Mi đặt tại điểm có tọa độ (xi ; yi ; zi )) thì lực hút tính theo công thức: M u = γ∑ p . (1.4) i (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 Laplace đã đề xuất rằng để nghiên cứu lực hấp dẫn ta không sử dụng chính hàm u mà từ các phương trình vi phân mà hàm đó thỏa mãn. 1.2.2 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace Trước tiên ta khảo sát một thành phần trong công thức (1.4). Ta tính đạo hàm của nó. Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai điểm (x; y; z) và (xi ; yi ; zi ) là p r = (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 và lấy đạo hàm riêng theo biến x của hàm r ta được: ∂r x − xi x − xi =p = . (1.5) ∂x (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 r
6 ∂ r y − yi ∂ r z − z i Tương tự ta được: = , = . ∂y r ∂z r Từ đó ta được các đạo hàm sau: ∂r  ∂ ui x − xi = −γMi 2x = −γMi 3 ∂     ∂x r r   ∂ ui y − yi = −γMi 3 . (1.6)   ∂ y r u z − zi   ∂ = −γMi 3   ∂z r Lấy đạo hàm lần nữa ta nhận được: 3 ! ∂ 2u r3 − (x − xi ) ∂∂rx 1 3(x − xi )2 i 2 = −γMi = γMi − 3 + . ∂x r6 r r5 Tương  2 tự ta được: 2 ∂ u i 1 3(y − y i )  2 = γMi − 3 +   ∂y r r5 . ∂ 2 ui 1 3(z − zi )2  2 = γMi − 3 +   ∂z r r5 Từ đó ta được phương trình: ∂ 2 ui ∂ 2 ui ∂ 2 ui + + = 0. (1.7) ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 Với u = ∑ ui ta được đẳng thức sau: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = 0. (1.8) ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 Đẳng thức trên được gọi là phương trình Laplace. Theo cách xây dựng trên, Laplace không cho ta công thức tường minh về lực, mà cho ta công thức đối với trường thế năng u bằng cách thay thế các phép toán vào phương trình vi phân. Ta có thể coi phương trình vi phân mô tả tương tác của trường thế u. Laplace cho chúng ta ý tưởng dùng phương trình vi phân để mô tả trường thế u, các phương trình tác động khắp nơi ngoài các điểm mà tại đó tập trung khối lượng hấp dẫn (tại các điểm x = xi , y = yi , z = zi ta không tính đạo hàm theo các công thức trên).
7 Theo đó, ta không phải làm việc với thế năng của chất điểm mà với trường hấp dẫn được sinh bởi khối lượng phân bố trong thể tích nào đó. Ta xét phân bố V có mật độ ρ = ρ(a, b, c) tại x = a, y = b, z = c trong hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ R. Trường hợp ρ(a, b, c) = 0, mọi điểm nằm ngoài hình cầu nên a2 + b2 + c2 > R. Chia hình cầu ra các hình hộp với các cạnh ∆a, ∆b, ∆c tại mỗi hình hộp cơ bản này tập trung một khối lượng bằng ρ(a, b, c)∆a∆b∆c. Thế năng của lực hút sinh bởi thế năng sinh bởi khối lượng này tại (x, y, z) nhận giá trị: ρ(a, b, c)∆a∆b∆c γp . (1.9) (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 Thế năng tổng khi tính theo tất cả các thể tích cơ bản sẽ là: ρ(a, b, c)∆a∆b∆c u=γ ∑ p(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 . (1.10) a,b,c Qua giới hạn một cách hình thức bằng cách chia vô hạn hình cầu a2 + b2 + c2 ≤ R2 , ta thu được công thức biểu diễn thế năng dưới dạng tích phân sau: ρ(a, b, c)da db dc ZZZ u= p (1.11) (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 a2 +b2 +c2 ≤R2 được gọi là khối thế vị Newton. Bắt đầu từ công thức này ta có thể bỏ qua hằng số γ. Ta sẽ chứng minh rằng nếu ρ(a, b, c) có đạo hàm bậc nhất liên tục thì thế năng u(x, y, z) thỏa mãn phương trình Poisson: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = −4πρ(x, y, z). (1.12) ∂ 2x ∂ 2y ∂ 2z Bên ngoài khối lượng hút tức là ở những chỗ mà ρ(x, y, z) = 0 thì phương trình (1.12) sẽ trùng với phương trình Laplace. Ta sẽ chứng minh công thức (1.12). Ta nhận xét rằng, trong các bài toán liên quan đến định luật vạn vật hấp dẫn, phân bố ρ(a, b, c) không nhận giá tri âm. Để thuận tiện, ta viết công thức
8 biểu diễn thế năng u(x, y, z): ρ(a, b, c) ZZZ u(x, y, z) = p da db dc. (1.13) (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 Khi lấy tích phân trên toàn không gian cần nhớ rằng ρ(a, b, c) = 0 nếu a2 + b2 + c2 ≥ R2 . Dùng phép đổi biến số tích phân: a − x = ξ ; b − y = η; c − z = ε ta được cách biểu diễn thế năng sau: ρ(x + ξ , y + η, z + ε) ZZZ u(x, y, z) = p dξ dη dε. (1.14) ξ 2 + η2 + ε2 Ta chỉ cần xét x, y, z nằm trong miễn hữu hạn x2 + y2 + z2 ≤ R2 vì ρ(x + ξ , y + η, z + ε) = 0 khi (x + ξ )2 + (y + η)2 + (z + ε)2 ≤ R2 nên ta có thể giới hạn miền tích phân là D = ξ 2 + η 2 + ε 2 ≥ (R + R)2 = 4R2 = L2 và viết: ρ(x + ξ , y + η, z + ε) ZZZ u(x, y, z) = p dξ dη dε. (1.15) ξ 2 + η2 + ε2 D Tích phân (1.15) là tích phân suy rộng vì hàm dưới dấu tích phân kì dị ở gốc tọa độ. Tích phân này hội tụ đều với tham biến x, y, z. Vì hàm dưới dấu ρ∗ tích phân khả tích theo phần tử trội p , ρ ∗ = max|ρ|. 2 ξ +η +ε 2 2 Thật vậy, RRR ρ∗ ∗ RL r2 dr ∗ L2 p dξ dη dε = 4πρ = 4πρ . D ξ 2 + η2 + ε2 0 r 2 Các tích phân nhận được bằng cách lấy đạo hàm hình thức của (1.15) theo từng biến x, y, z cũng hội tụ đều, do đó theo công thức đã biết: ∂ ZZZ ∂ [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] ∂u ∂ x [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] ZZZ ∂ξ = p dξ dη dε = p dξ dη dε ∂x ξ 2 + η2 + ε2 ξ 2 + η2 + ε2 D D (1.16) Áp dụng công thức tính tích phân từng phần cho tích phân cuối cùng với nhận xét: " # ∂ ∂x [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] ∂ ρ(x + ξ , y + η, z + ε) ρ(x + ξ , y + η, z + ε) p = p +ξ 3 ξ 2 + η2 + ε2 ∂ξ ξ 2 + η2 + ε2 (ξ 2 + η 2 + ε 2 ) 2
9 và lấy giá trị của hàm ρ(x +ξ , y+η, z+ε) xác định trên hình cầu ξ 2 +η 2 + ε 2 = L2 bằng 0 nên nhận được: ∂u ξ ρ(x + ξ , y + η, z + ε) ZZZ = 3 dξ dη dε. (1.17) ∂x (ξ 2 + η 2 + ε 2 ) 2 D Tích phân từng phần thực hiện được do tích phân (1.17) hội tụ. Hơn nữa, nó hội tụ dều theo tham biến x, y, z và hàm dưới dấu tích phân khả tích với hàm trội là max||ρ||/(ξ 2 + η 2 + ε 2 ). Thật vậy, ZL 2 ρ∗ r dr ZZZ 2 2 2 dξ dη dε = 4πρ ∗ = 4πρ ∗ L. (1.18) (ξ + η + ε ) r2 D 0 Đạo hàm của hàm số dưới dấu tích phân theo x, y, z ta cũng có hàm trội khả tích. Do đó, đạo hàm bậc hai của hàm u có thể nhận được bằng cách lấy đạo hàm vế phải của (1.17) dưới dấu tích phân. Từ (1.17) đạo hàm hai vế ta được: ∂ 2 u RRR ξ = 3 ρx (x + ξ , y + η, z + ε)dξ dη dε ∂ x2 D (ξ 2 + η 2 + ε 2 ) 2 ∂ 2 u RRR ξ ∂ = 2= 3 (x + ξ , y + η, z + ε)dξ dη dε. ∂x D (ξ 2 + η 2 + ε 2 ) 2 ∂ ξ Tương tự ta có các đạo hàm: ∂ 2 u RRR η ∂ = 3 (x + ξ , y + η, z + ε)dξ dη dε ∂ y2 D (ξ 2 + η 2 + ε 2 ) 2 ∂ η ∂ 2 u RRR ε ∂ = 3 (x + ξ , y + η, z + ε)dξ dη dε. ∂ z2 D (ξ 2 + η 2 + ε 2 ) 2 ∂ ε Cộng các vế của ba đẳng thức trên ta được: ∂ ∂ ∂ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ZZZ ξ ∂ ξ + η ∂ η + ε ∂ ε [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] + + = 3 dξ dη dε. ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 (ξ + η 2 + ε 2 ) 2 D (1.19)
10 Để(tính tích ) phân và thuận tiện hơn ta có thể viết nó dưới dạng tích phân lặp RL RR ...dSr dr với Sr là mặt cầu có bán kính r, tâm tại gốc tọa độ, dSr là 0 Sr ∂ρ diện tích mặt cầu. Nhận xét rằng, đạo hàm theo bán kính bằng tích vô ∂r ∂ρ ∂ρ ∂ρ hướng của hàm véc tơ vô hướng , , với véc tơ đơn vị hướng ∂ξ ∂η ∂ε ξ η ε p theo bán kính là véc tơ , , , r = ξ 2 + η 2 + ε 2 . Do đó r r r ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ξ +η +ε =r . ∂ξ ∂η ∂ε ∂∂r Khi đó từ (1.19) ta có: ( ) ∂ρ ∂ρ ∂ ρ RL RR ∂∂r [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] ξ +η +ε = dSr dr. ∂ξ ∂η ∂ ε 0 Sr r2 Vì dSr = r2 dΩ (dΩ : đơn vị diện tích mặt cầu đơn vị Ω hay là phần tử của góc khối) nên ta có:( ) ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u RL RR ∂∂r [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] + + = dΩ dr ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z 2 0 Ω ∂r ( ) ∂ RR R ∂ r [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] L = dr dΩ Ω 0 ∂ r RR = [ρ(x + ξ0 L, y + η0 L, z + ε0 L) − ρ(x + ξ0 0, y + η0 0, z + ε0 0)]dΩ Ω RR = ρ(x, y, z)dΩ. Ω = −4πρ(x, y, z). Đẳng thức (1.12) được chứng minh cho mọi hình cầu bất kì x2 + y2 + z2 ≤ R2 . Do đó, nó được chứng minh trên toàn không gian. Vậy đẳng thức (1.12) được chứng minh. Trong phần kết luận này, ta chứng minh thêm rằng thế năng Newton cũng hội tụ đến 0 khi (x2 + y2 + z2 ) → ∞. Chính xác hơn, ta chứng minh đẳng thức: p x2 + y2 + z2 u(x, y, z) = RRR lim ρ(a, b, c)da db dc. (x2 +y2 +z2 )→∞ Ta xét thế năng dưới dạng RRR ρ(P) u(Q) = dV . D r(P, Q)
11 D = {r(P, Q) ≤ R}, với P là điểm có tọa độ (x, y, z), Q là điểm có tọa độ (a, b, c) , dV = da db dc, r(P, Q) là kjhoảng các giữa P và Q. p Trường hợp O là gốc tọa độ thì r(O, Q) = x2 + y2 + z2 . Suy ra: RRR ρ(P) r(O, Q)u(Q) = dV . D r(O, Q) − r(P, Q) 1− r(O, Q) Vì |r(O, Q) − r(P, Q)|≤r(O, P) ≤ R nên ta có: RRR 1 r(O, Q)u(Q) = ρ(P)dV + o D r(O, Q) RRR lim r(O, Q)u(Q) = ρ(P) dV . Q→∞ D Như vậy, thế năng Newton là hàm khả vi liên tục, khác 0, xác định trong mặt cầu là nghiệm của phương trình Poisson và liên tục tới 0 ở ∞. Nghiệm xác định bởi các điều kiện này là duy nhất. Theo quan điểm của Laplace, ta có thể thay thế việc nghiên cứu các phương trình tích phân bằng việc nghiên cứu các phương trình vi phân mà các tích phân này thỏa mãn là hợp lí. Để kiểm tra các phương trình Poisson ta cần dùng hàm mật độ ρ(a, b, c) khả vi liên tục tại mọi điểm trong không gian. 1.2.3 Một số mô hình vật lý khác của phương trình Laplace Như đã trình bày ở trên, phương trình Laplace xuất hiện trong cư học bầu trời. Tuy nhiên, nó còn xuất hiện trong các ngành khoa học khác, đặc biệt là trong các ngành điện, thiên văn học, động lực học chất lỏng bởi vì nghiệm của phương trình Laplace biểu thị hàm thế của điện, lực hấp dẫn, dòng thế. Do đó, phương trình Laplace có ý nghĩa và ứng dụng to lớn trong thực tiễn. Sau đây là một vài trường hợp mà phương trình Laplace xuất hiện. Trong động lực học chất lỏng Động lực học chất lỏng là một ngành khoa học tự nhiên của chất lỏng (hoặc khí) nghiên cứu về các dòng chảy. Nghiệm của bài toán động lực học thỏa mãn phương trình Laplace. Nghiệm đó liên quan đến việc tính toán các tính chất khác nhau của chất lỏng, vận tốc, áp suất, mật độ, nhiệt độ. Nhờ đó, ta có thể tính được cường độ, mô mem lực trên máy bay, xác định
12 tỉ lệ khối lượng của các dòng chảy xăng dầu qua đường ống, dự báo thời tiết, những hiểu biết tinh vân trong không gian qua các vì sao, dự đoán mô hình phân hạch của khí nổ, một số nguyên lý được áp dụng trong kĩ thuật giao thông - nơi mà mọi thứ được coi như một dòng chảy liên tục. Thế vị vận tốc Gọi u là vận tốc của chất lỏng, ψ là thế vị vận tốc của u thì u được biểu diễn như gradient của các hàm vô hướng ψ. Tức là u = ∇ψ. Thế vị vận tốc là không duy nhất. Nếu a là một hằng số thì ψ + a cũng là thế vị vận tốc của u. Ngược lại, nếu phi là thế vị vận tốc của u thì φ = ψ + b với b là một hằng số nào đó. Vậy thế vị vận tốc của một hàm sai khác nhau bởi một hằng số. Dòng không nén Trong cơ học chất lỏng hoặc cơ học liên tục nói chung, dòng kông nén là dòng rắn hoặc khí mà sự phân kì của vận tốc là 0. Gọi v là vận tốc, ϕ là thế vị vận tốc của chất lỏng. Dòng chảy là dòng không nén khi và chỉ khi ∇v = 0 hay ∇2 ϕ = 0. Vậy ϕ thỏa mãn phương trình Laplace. Dòng không xoáy Trường véc tơ v được gọi là không xoáy nếu rô-to của nó bằng 0 tức là ∇ × v = 0. Khi đó dòng chảy có vận tốc v này được gọi là không xoáy. Dòng chất lỏng Cho hai đại lượng u, v là hai thành phần tương ứng nằm ngang và dọc của trường vận tốc của một dòng chảy ổn định không nén, không xoáy, hai chiều. Điều kiện để dòng không nén được là: ux + vy = 0. Điều kiện để dòng không xoáy được là: ∇(u, v) = vx − uy = 0. Nếu vậy ta định nghĩa đạo hàm của một hàm số ψ là dψ = vdx − udy thì điều kiện không nén được là điều kiện khả tích của vi phân này. Khi đó : ψx = v, ψy = −u. Do vx − uy = 0 nên ta có ψxx + ψyy = 0. Vậy ψ thỏa mãn phương trình Laplace. Hàm điều hòa ϕ liên hợp với ψ được gọi là thế vị vận tốc ϕx = −u, ϕy = −u. Do đó, mọi hàm giải tích tương ứng là dòng chảy ổn định, không nén,
13 không xoáy trong mặt phẳng với phần thực là thế vị vận tốc và phần ảo là hàm dòng. Dòng thế Trong động lực học chất lỏng, dòng thế mô tả trường vận tốc là gradient của hàm vô hướng thế vị vận tốc. Dòng thế được được đặc trưng bởi trường vận tốc không xoáy. Thật vậy, ta có rô to của gradient bằng 0. Khi đó, gọi V, ϕ lần lượt là vận tốc, thế vị dòng chảy. Ta có: V = ∇ϕ; ∇ × ∇ϕ = 0 hay ∇V = 0. Vậy dòng thế là dòng không xoáy. Điều này cho ta các ứng dụng của dòng thế. Dòng thế không mô ta tất cả các đặc điểm cảu một dòng chảy ta thường gặp trong thực tế chẳng hạn như các nhiễu loạn. Dòng thế không áp dụng cho dòng nhớt nội bộ. Dòng thế không kể đến dáng điệu của các dòng chảy mà bao gồm cả lớp biên. Tuy nhiên, việc hiểu biết dòng thế rất quan trọng trong nhiều phân ngành cơ học chất lỏng. Đặc biệt là những dòng thế đơn giản như dòng xoáy tự do, điểm nguồn có sẵn nghiệm giải tích. Các nghiệm này có thể chồng nên nhau tạo ra nhiều dòng chảy phức tạp hơn thỏa mãn các điều kiện biên. Những dòng tương ứng liên kết chặt chẽ với dòng chính trên toàn bộ cơ học chất lỏng. Ngoài ra, có nhiều phát minh khi xét độ lệch giữa một dòng được quan sát và dòng thế tương ứng. Dòng thế có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực thiết kế máy bay cũng như một số ngành liên quan đến không gian các thiên thể.
14 Chương 2 Các tính chất cơ bản của phương trình Laplace Chương này đưa ra một số tính chất cơ bản của phương trình Laplace như điều kiện Cauchy-Riemann, tính giải tích của nghiệm, điều kiện cần và đủ để nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm. 2.1 Tính bất biến của toán tử Laplace Trong toán học và vật lý, toán tử Laplace hay Laplacian, kí hiệu là ∆, hoặc ∇2 được đặt tên theo Pierre-Simon de Laplace, là một toán tử vi phân, đặc biệt trong các toán tử elliptic, với nhiều áp dụng. Trong vật lý, nó được sử dụng trong mô tả của quá trình truyền sóng, quá trình truyền nhiệt và tạo nên phương trình Helmholtz. Nó cũng có vai trò quan trọng trong tĩnh điện và cơ học chất lưu, thành phần chính trong phương trình Laplace và phương trình Poisson. Trong cơ học lượng tử, nó đại diện cho động năng trong phương trình Schr¨odinger. Trong toán học, hàm số nào mà bằng không dưới toán tử Laplace được gọi là hàm điều hòa; toán tử Laplace ở trung tâm của lý thuyết Hodge và trong các kết quả của de Rham cohomology. 2.1.1 Toán tử Laplace Định nghĩa 2.1.1. : Toán tử Laplace là toán tử vi phân bậc 2 trong không gian Euclid n-chiều, định nghĩa như là div(∇.) của gradient (∇ f ). Do đó
15 nếu f là một hàm số thực có đạo hàm bậc 2, thì Laplacian của f được định nghĩa bởi: ∆ f = ∇2 f = ∇.∇ f . (2.1) Nói một cách tương đương, Laplacian của f là tổng cúa các đạo hàm riêng bậc 2 thuần túy trong tọa độ Đề các xi : n ∂2 f ∆f = ∑ 2 . (2.2) i=1 ∂ x i Một số cách biểu diễn: ∂ 2u ∂ 2u i) Trong hệ tọa độ Descartes hai chiều: ∆ f = 2 + = 0. ∂x ∂ y2 (ii) Trong hệ tọa độ Descartes ba chiều: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆f = 2 + + . ∂x ∂ y2 ∂ z2 (iii) Trong hệ tọa độ trụ: 1 ∂ 2u ∂ 2u 1∂ ∂u ∆f = r + 2 + 2 = 0. r ∂r ∂r r ∂r ∂z (iv) Trong hệ tọađộ cầu: ∂ 2u 1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∆f = 2 ρ + 2 2 sinθ + 2 2 = 0. ρ ∂ρ ∂ρ ρ sin θ ∂ θ ∂θ ρ sin θ ∂ ϕ 2 v) Trong không gian n chiều, với cách đặt x = rθ ∈ Rn với r ∈ [0, +∞) và θ ∈ Sn−1 . ∂2 f n+1 ∂ f 1 ∆f = + + ∆ n−1 f ∂ r2 r ∂ r r2 S mà ∆Sn−1 là toán tử Laplace–Beltrami trên mặt cầu trong không gian ∂2 f n − 1 (còn gọi là Laplacian cầu). Người ta cũng có thể viết + ∂ r2 n−1∂ f 1 ∂ ∂f một cách tương đương như là n−1 (rn−1 ). r ∂r r ∂r ∂r Một số hằng đẳng thức: Nếu f và g là hai hàm số, thì Laplacian của tích fg sẽ là: ∆( f g) = (∆ f )g + 2((∇ f ) · (∇g)) + f (∆g). Trong trường hợp đặc biệt khi f là một hàm phụ thuộc vào bán kính f (r)
16 và g là một hàm cầu điều hòa, Ylm (θ , φ ). Ta thường gặp trường hợp đặc biệt này trong nhiều mô hình vật lý. Gradient của f (r) là một vectơ theo hướng bán kính và gradient của một hàm chỉ phụ thuộc vào góc là tiếp tuyến với véctơ bán kính, do đó 2(∇ f (r)) · (∇Ylm (θ , φ )) = 0. Thêm nữa, hàm cầu điều hòa có tính chất đặc biệt là eigenfunction của toán tử Laplacian trong tọa độ cầu `(` + 1) ∆Y`m (θ , φ ) = − Y`m (θ , φ ). r2 Do đó d 2 f (r) 2 d f (r) `(` + 1) ∆( f (r)Y`m (θ , φ )) = + − f (r) Y`m (θ , φ ). dr2 r dr r2 2.1.2 Tính bất biến của toán tử Laplace Để chỉ ra tính bất biến của toán tử Laplace qua các phép biến đổi trực giao, ta tính toán trực tiếp nhờ đạo hàm hàm hợp và viết toán tử Laplace dưới dạng: ∆u = Tr(∇2 u). Như vậy, có thể nói hàm điều hòa bất biến qua phép đổi biến trực giao. Ta còn có thể chỉ ra kết quả mạnh hơn, khi ta xét trong mặt phẳng hàm điều hòa bất biến qua ánh xạ bảo giác. Trước hết ta viết lại toán tử Laplace dưới dạng ∆u = div(∇u). (2.3) Ta xét toán tử dạng tổng quát hơn, phương trình elliptic dạng div: div(A∇u) = 0 trong Ω, (2.4) với A(x) = {ai j (x)}1≤i, j≤n , x ∈ Ω ⊂ Rn , là ma trận hàm cấp n. Ta sẽ chứng minh rằng, qua phép đổi biến