Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình laplace

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐỨC TÙNG

VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐỨC TÙNG

VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số:

60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. ĐINH NHO HÀO

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

Lời mở đầu 1

Chương 1. Phương trình Laplace và xuất xứ của phương trình

Laplace 3

1.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Xuất xứ của phương trình Laplace . . 1.2.1 Ba định luật của Keple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

5 1.2.2 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace . 1.2.3 Một số mô hình vật lý khác của phương trình Laplace 11

Chương 2. Các tính chất cơ bản của phương trình Laplace 14

2.1 Tính bất biến của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . 14

. . . . . . . . .

. 2.1.1 Toán tử Laplace . 2.1.2 Tính bất biến của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 16

. . . . . . . .

. 2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann . 2.3 Hàm điều hòa và một số tính chất của chúng . . . . . . . . . . . . . . . 20 21

. . . . . . . . . .

2.3.1 Hàm điều hòa . . 2.3.2 Biểu diễn Green của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 22

2.3.3 Tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Điều kiện cần và đủ để bài toán Cauchy cho phương trình . . Laplace có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

. . . . . . . . . . .

2.4.1 Các bài toán biên cơ bản . 2.4.2 . Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục nghiệm . . . 29 30

2.4.3

Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với . phương trình Laplace trong hình cầu . . . . . . . 32

2.4.4 Các định lý về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.5 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền

bị chặn - Phương pháp Perron . . . . . . .

. 2.4.6 Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace . . . . . . . 35 36

KẾT LUẬN 39

Tài liệu tham khảo 40

Lời mở đầu

Phương trình Laplace do nhà toán học người Pháp Pierre-Simon Laplace

(23 tháng 3 1749 – 5 tháng 3 1827) đưa ra có ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Ngoài ra, Laplace còn là một nhà thiên văn học đã có công xây dựng

nền tảng của ngành thiên văn học bằng cách tóm tắt và mở rộng các công trình nghiên cứu của những người đi trước trong cuốn sách 5 tập với tựa

đề Mécanique Céleste (Cơ học Thiên thể) (1799-1825). Cuốn sách này đã

chuyển đổi các nghiên cứu về cơ học cổ điển mang tính hình học bởi Isaac Newton thành một nghiên cứu dựa trên vi tích phân, được biết đến như là

cơ học (vật lý).

Ông cũng là người đầu tiên đưa ra phương trình Laplace. Biến đổi

Laplace xuất hiện trong tất cả các ngành toán lý — một ngành mà ông là một trong những người sáng lập. Toán tử Laplace, được sử dụng nhiều

trong toán học ứng dụng, được đặt theo tên ông.

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày về xuất xứ cũng như một số

tính chất cơ bản của phương trình Laplace. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Phương trình Laplace và xuất xứ của phương trình Laplace

Chương này sẽ giới thiệu về phương trình Laplace và một số mô hình

vật lý của phương trình Laplace. Chương 2: Nghiệm của phương trình Laplace Chương đưa ra một số

tính chất cơ bản của phương trình Laplace như điều kiện Cauchy-Riemann,

tính giải tích của nghiệm, điều kiện cần và đủ để nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm.

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đinh Nho Hào.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời

gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt

quá trình làm luận văn.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các giảng

viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao

học Toán K8B (khóa 2014-2016) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Nguyễn Đức Tùng

Chương 1

Phương trình Laplace và xuất xứ của

phương trình Laplace

Phương trình Laplace là một phương trình đạo hàm riêng được đặt theo tên

của nhà toán học người Pháp Pierre-Simon DeLaplace (1749-1827). Ông là người đầu tiên đưa ra phương trình Laplace. Chương này sẽ giới thiệu về

xuất xứ và ý nghĩa vật lý phương trình Laplace.

1.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace

Định nghĩa 1.1.1. Trong không gian n chiều, cho u là một hàm thực khả vi 2 lần. Phương trình Laplace là phương trình:

+ + ... + = 0. (1.1) ∂ 2u ∂ x2 n ∂ 2u ∂ x2 1 ∂ 2u ∂ x2 2

Khi vế phải không thuần nhất:

+ + ... + (1.2) = f (x1, x2, ..., xn) f ∈ Rn ∂ 2u ∂ x2 n ∂ 2u ∂ x2 1 ∂ 2u ∂ x2 2

thì phương trình đó được gọi là phương trình Poisson. Ta thường gặp phương trình Laplace trong không gian 3 chiều ở các hệ tọa

độ khác nhau như sau:

(i) Trong hệ tọa độ Descartes: ∂ 2u ∂ x2 + ∂ 2u ∂ y2 + ∂ 2u ∂ z2 = 0.

(cid:19) (cid:18) r + + (ii) Trong hệ tọa độ trụ: 1 r 1 r2 ∂ ∂ r ∂ u ∂ r ∂ 2u ∂ r ∂ 2u ∂ z2 = 0.

(cid:19) (cid:18) (cid:19) + + (iii) Trong hệ tọa độ cầu: sinθ 1 ρ 2 ∂ ∂ ρ (cid:18) ρ 2 ∂ u ∂ ρ 1 ρ 2sin2θ ∂ ∂ θ ∂ u ∂ θ

1 ρ 2sin2θ ∂ 2u ∂ ϕ 2 = 0.

Nghiệm của phương trình Laplace là một hàm điều hòa.

1.2 Xuất xứ của phương trình Laplace

1.2.1 Ba định luật của Keple

Như chúng ta đã biết, Tycho Brahe (1546-1601) là nhà thiên văn học người Đan Mạch , người đã quan sát bầu trời không qua kính viễn vọng

trong vòng khoảng 20 năm và ông đã để lại nhưng dữ liêu quan trọng. Từ những dữ liệu đó, nhà thiên văn học người Đức Jahannes Keple đã nghiên

cứu và đưa ra ba quy luật sau:

(i) Mọi hành tinh đều chuyển động theo quy đạo là một hình eliptic và Mặt Trời là một tiêu điểm.

(ii) Đoạn thẳng nối mặt trời với một hành tinh bất kì quét những diện tích

bằng nhau trong những khoảng thời gian như nhau.

(iii) Tỉ số giữa lập phương trục lớn và bình phương chu kì quay là giống nhau với mọi hành tinh.( tỉ số đó là một hằng số).

Các quy luật trên tuy đẹp nhưng khá phức tạp. Sau này , Newton tìm ra một biểu thức đơn giản hơn cho những quy luật này. Đó là định luật vận

vật hấp dẫn : "lực hấp dẫn giữa hai vật bất kì tỉ lệ thuận với khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.

Thay vì xét lực hút của một vật có khối lượng đơn vị đến vật khác, ta xét

thế năng của lực hấp dẫn được khảo sát bằng phương trình sau

(1.3) u = γ M (cid:112)(x − xo)2 + (y − yo)2 + (z − zo)2

với γ là hằng số, (xo; yo; zo) là tọa độ của vật hút, M là khối lượng.

Các lực hút thành phần Fx, Fy, Fz tác dụng vào các vật có khối lượng đơn 

Fx =

. vị đặt tại điểm (x, y, z) xác định như sau : Fy =

Fz =   ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z

Trường hấp dẫn u được xác định bởi véc tơ (cid:126)F = (Fx; Fy; Fz). Trong trường hợp lực hấp dẫn của hệ chất điểm (tâm khối lượng Mi đặt

tại điểm có tọa độ (xi; yi; zi)) thì lực hút tính theo công thức:

. (1.4) M (cid:112)(x − xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2 u = γ∑ i

Laplace đã đề xuất rằng để nghiên cứu lực hấp dẫn ta không sử dụng chính hàm u mà từ các phương trình vi phân mà hàm đó thỏa mãn.

1.2.2 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace

Trước tiên ta khảo sát một thành phần trong công thức (1.4). Ta tính đạo hàm của nó. Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai điểm (x; y; z) và (xi; yi; zi) là r = (cid:112)(x − xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2 và lấy đạo hàm riêng theo biến x của hàm r ta được:

= = . (1.5) x − xi r ∂ r ∂ x x − xi (cid:112)(x − xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2

= = Tương tự ta được: , . y − yi r z − zi r ∂ r ∂ y ∂ r ∂ z Từ đó ta được các đạo hàm sau:

∂ r ∂ x



= −γMi x − xi r3

. (1.6) = −γMi

= −γMi   r2 = −γMi y − yi r3 z − zi r3 ∂ ui ∂ x ∂ ui ∂ y ∂ u ∂ z

Lấy đạo hàm lần nữa ta nhận được:

(cid:32) (cid:33) (cid:18) − (cid:19) . = γMi r3 − (x − xi) ∂ r3 ∂ x r6 1 r3 + 3(x − xi)2 r5 ∂ 2ui ∂ x2 = −γMi

(cid:18) (cid:19) −

(cid:18) (cid:19) . − 1 r3 + 1 r3 + Tương tự ta được:  3(y − yi)2 ∂ 2ui  ∂ y2 = γMi r5 3(z − zi)2 ∂ 2ui  ∂ z2 = γMi r5 Từ đó ta được phương trình:

(1.7) ∂ 2ui ∂ x2 + ∂ 2ui ∂ y2 + ∂ 2ui ∂ z2 = 0.

Với u = ∑ ui ta được đẳng thức sau:

(1.8) ∂ 2u ∂ x2 + ∂ 2u ∂ y2 + ∂ 2u ∂ z2 = 0.

Đẳng thức trên được gọi là phương trình Laplace.

Theo cách xây dựng trên, Laplace không cho ta công thức tường minh về lực, mà cho ta công thức đối với trường thế năng u bằng cách thay thế các phép toán vào phương trình vi phân. Ta có thể coi phương trình vi phân mô tả tương tác của trường thế u. Laplace cho chúng ta ý tưởng dùng phương trình vi phân để mô tả trường thế u, các phương trình tác động khắp nơi ngoài các điểm mà tại đó tập trung khối lượng hấp dẫn (tại các điểm x = xi, y = yi, z = zi ta không tính đạo hàm theo các công thức trên).

Theo đó, ta không phải làm việc với thế năng của chất điểm mà với

trường hấp dẫn được sinh bởi khối lượng phân bố trong thể tích nào đó.

Ta xét phân bố V có mật độ ρ = ρ(a, b, c) tại x = a, y = b, z = c trong hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ R. Trường hợp ρ(a, b, c) = 0, mọi điểm nằm ngoài hình cầu nên a2 + b2 + c2 > R. Chia hình cầu ra các hình hộp với các cạnh ∆a, ∆b, ∆c tại mỗi hình hộp cơ bản này tập trung một khối lượng bằng ρ(a, b, c)∆a∆b∆c. Thế năng của lực hút sinh bởi thế năng sinh bởi khối lượng này tại (x, y, z) nhận giá trị:

. (1.9) γ ρ(a, b, c)∆a∆b∆c (cid:112)(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2

Thế năng tổng khi tính theo tất cả các thể tích cơ bản sẽ là:

. (1.10) ρ(a, b, c)∆a∆b∆c (cid:112)(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 u = γ ∑ a,b,c

(cid:90)(cid:90)(cid:90)

Qua giới hạn một cách hình thức bằng cách chia vô hạn hình cầu a2 + b2 + c2 ≤ R2, ta thu được công thức biểu diễn thế năng dưới dạng tích phân sau:

a2+b2+c2≤R2

u = (1.11) ρ(a, b, c)da db dc (cid:112)(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2

được gọi là khối thế vị Newton.

Bắt đầu từ công thức này ta có thể bỏ qua hằng số γ. Ta sẽ chứng minh rằng nếu ρ(a, b, c) có đạo hàm bậc nhất liên tục thì thế năng u(x, y, z) thỏa mãn phương trình Poisson:

+ + (1.12) = −4πρ(x, y, z). ∂ 2u ∂ 2x ∂ 2u ∂ 2y ∂ 2u ∂ 2z

Bên ngoài khối lượng hút tức là ở những chỗ mà ρ(x, y, z) = 0 thì phương trình (1.12) sẽ trùng với phương trình Laplace.

Ta sẽ chứng minh công thức (1.12). Ta nhận xét rằng, trong các bài toán liên quan đến định luật vạn vật hấp dẫn, phân bố ρ(a, b, c) không nhận giá tri âm. Để thuận tiện, ta viết công thức

(cid:90)(cid:90)(cid:90)

biểu diễn thế năng u(x, y, z):

u(x, y, z) = da db dc. (1.13) ρ(a, b, c) (cid:112)(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2

Khi lấy tích phân trên toàn không gian cần nhớ rằng ρ(a, b, c) = 0 nếu a2 + b2 + c2 ≥ R2.

Dùng phép đổi biến số tích phân: a − x = ξ ; b − y = η; c − z = ε ta được

(cid:90)(cid:90)(cid:90) ρ(x + ξ , y + η, z + ε)

cách biểu diễn thế năng sau:

u(x, y, z) = (1.14) dξ dη dε. (cid:112) ξ 2 + η 2 + ε 2

(cid:90)(cid:90)(cid:90)

Ta chỉ cần xét x, y, z nằm trong miễn hữu hạn x2 + y2 + z2 ≤ R2 vì ρ(x + ξ , y + η, z + ε) = 0 khi (x + ξ )2 + (y + η)2 + (z + ε)2 ≤ R2 nên ta có thể giới hạn miền tích phân là D = ξ 2 + η 2 + ε 2 ≥ (R + R)2 = 4R2 = L2 và viết:

u(x, y, z) = (1.15) dξ dη dε. (cid:112) ρ(x + ξ , y + η, z + ε) ξ 2 + η 2 + ε 2

Tích phân (1.15) là tích phân suy rộng vì hàm dưới dấu tích phân kì dị ở gốc tọa độ. Tích phân này hội tụ đều với tham biến x, y, z. Vì hàm dưới dấu

tích phân khả tích theo phần tử trội , ρ ∗ = max|ρ|. (cid:112) ρ ∗ ξ 2 + η 2 + ε 2

L (cid:82)

0 Các tích phân nhận được bằng cách lấy đạo hàm hình thức của (1.15)

Thật vậy, (cid:82)(cid:82)(cid:82) . dξ dη dε = 4πρ ∗ (cid:112) r2dr r = 4πρ ∗ L2 2 ρ ∗ ξ 2 + η 2 + ε 2

(cid:90)(cid:90)(cid:90)

theo từng biến x, y, z cũng hội tụ đều, do đó theo công thức đã biết:

∂ ∂ x[ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] ξ 2 + η 2 + ε 2

∂ ∂ ξ [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] ξ 2 + η 2 + ε 2 (1.16)

= dξ dη dε = dξ dη dε. (cid:112) (cid:112) ∂ u ∂ x

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần cho tích phân cuối cùng với

(cid:34) (cid:35)

3 2

= +ξ (cid:112) (cid:112) ∂ ∂ ξ nhận xét: ∂ ∂ x[ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] ξ 2 + η 2 + ε 2 ρ(x + ξ , y + η, z + ε) ξ 2 + η 2 + ε 2 ρ(x + ξ , y + η, z + ε) (ξ 2 + η 2 + ε 2)

(cid:90)(cid:90)(cid:90)

và lấy giá trị của hàm ρ(x +ξ , y+η, z+ε) xác định trên hình cầu ξ 2 +η 2 + ε 2 = L2 bằng 0 nên nhận được:

3 2

= (1.17) dξ dη dε. ∂ u ∂ x ξ ρ(x + ξ , y + η, z + ε) (ξ 2 + η 2 + ε 2)

(cid:90)(cid:90)(cid:90)

L (cid:90)

Tích phân từng phần thực hiện được do tích phân (1.17) hội tụ. Hơn nữa, nó hội tụ dều theo tham biến x, y, z và hàm dưới dấu tích phân khả tích với hàm trội là max||ρ||/(ξ 2 + η 2 + ε 2). Thật vậy,

(1.18) dξ dη dε = 4πρ ∗ r2dr r2 = 4πρ ∗L. ρ ∗ (ξ 2 + η 2 + ε 2)

Đạo hàm của hàm số dưới dấu tích phân theo x, y, z ta cũng có hàm trội khả tích. Do đó, đạo hàm bậc hai của hàm u có thể nhận được bằng cách lấy đạo hàm vế phải của (1.17) dưới dấu tích phân.

Từ (1.17) đạo hàm hai vế ta được:

3 2

ρx(x + ξ , y + η, z + ε)dξ dη dε

3 2

= (x + ξ , y + η, z + ε)dξ dη dε. ∂ 2u ∂ x2 = (cid:82)(cid:82)(cid:82) ∂ 2u ∂ x2 = (cid:82)(cid:82)(cid:82) ∂ ∂ ξ ξ (ξ 2 + η 2 + ε 2) ξ (ξ 2 + η 2 + ε 2)

Tương tự ta có các đạo hàm:

3 2

(x + ξ , y + η, z + ε)dξ dη dε

3 2

(x + ξ , y + η, z + ε)dξ dη dε. ∂ 2u ∂ y2 = (cid:82)(cid:82)(cid:82) ∂ 2u ∂ z2 = (cid:82)(cid:82)(cid:82) ∂ ∂ η ∂ ∂ ε η (ξ 2 + η 2 + ε 2) ε (ξ 2 + η 2 + ε 2)

Cộng các vế của ba đẳng thức trên ta được:

(cid:90)(cid:90)(cid:90)

∂ η + ε ∂

∂ ε

3 2

(cid:17) [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] (cid:16) ∂ ξ + η ∂ ξ ∂ dξ dη dε. ∂ 2u ∂ x2 + ∂ 2u ∂ y2 + ∂ 2u ∂ z2 = (ξ +η 2 + ε 2)

(1.19)

(cid:82)(cid:82)

(cid:40) (cid:41) Để tính tích phân và thuận tiện hơn ta có thể viết nó dưới dạng tích phân lặp L (cid:82) dr với Sr là mặt cầu có bán kính r, tâm tại gốc tọa độ, dSr là ...dSr

diện tích mặt cầu. Nhận xét rằng, đạo hàm theo bán kính bằng tích vô ∂ ρ ∂ r (cid:19) , , hướng của hàm véc tơ vô hướng với véc tơ đơn vị hướng ∂ ρ ∂ ε (cid:19) (cid:18)∂ ρ ∂ ρ ∂ η ∂ ξ , r = (cid:112) , , theo bán kính là véc tơ ξ 2 + η 2 + ε 2. Do đó (cid:18)ξ r η r ε r

= r . ξ + η + ε ∂ ρ ∂ ξ ∂ ρ ∂ η ∂ ρ ∂ ε ∂ ρ ∂ ∂ r

L (cid:82)

(cid:82)(cid:82)

(cid:40) (cid:41)

∂ ∂ r [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] r2

= dr. + ε ξ + η dSr Khi đó từ (1.19) ta có: ∂ ρ ∂ η ∂ ρ ∂ ε

∂ ρ ∂ ξ Vì dSr = r2dΩ (dΩ : đơn vị diện tích mặt cầu đơn vị Ω hay là phần tử

L (cid:82)

(cid:82)(cid:82)

(cid:41)

∂ ∂ r [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] ∂ r (cid:41)

dr dΩ của góc khối) nên ta có: (cid:40) ∂ 2u ∂ x2 +

∂ 2u ∂ y2 + (cid:40) L (cid:82) dr dΩ ∂ 2u ∂ z2 = Ω ∂ ∂ r [ρ(x + ξ , y + η, z + ε)] ∂ r

[ρ(x + ξ0L, y + η0L, z + ε0L) − ρ(x + ξ00, y + η00, z + ε00)]dΩ

ρ(x, y, z)dΩ. = (cid:82)(cid:82) Ω = (cid:82)(cid:82) Ω = (cid:82)(cid:82) Ω = −4πρ(x, y, z).

Đẳng thức (1.12) được chứng minh cho mọi hình cầu bất kì x2 + y2 + z2 ≤ R2. Do đó, nó được chứng minh trên toàn không gian. Vậy đẳng thức (1.12)

được chứng minh.

(cid:112)x2 + y2 + z2 u(x, y, z) = (cid:82)(cid:82)(cid:82) ρ(a, b, c)da db dc.

Trong phần kết luận này, ta chứng minh thêm rằng thế năng Newton cũng hội tụ đến 0 khi (x2 + y2 + z2) → ∞. Chính xác hơn, ta chứng minh đẳng thức: lim (x2+y2+z2)→∞ Ta xét thế năng dưới dạng

dV . ρ(P) r(P, Q) u(Q) = (cid:82)(cid:82)(cid:82) D

D = {r(P, Q) ≤ R}, với P là điểm có tọa độ (x, y, z), Q là điểm có tọa độ (a, b, c) , dV = da db dc, r(P, Q) là kjhoảng các giữa P và Q. Trường hợp O là gốc tọa độ thì r(O, Q) = (cid:112)x2 + y2 + z2.

Suy ra:

ρ(P) dV . r(O, Q)u(Q) = (cid:82)(cid:82)(cid:82) D 1 − r(O, Q) − r(P, Q) r(O, Q)

Vì |r(O, Q) − r(P, Q)|≤r(O, P) ≤ R nên ta có:

(cid:19) (cid:18) 1 ρ(P)dV + o r(O, Q) r(O, Q)u(Q) = (cid:82)(cid:82)(cid:82) D

ρ(P) dV . lim Q→∞ r(O, Q)u(Q) = (cid:82)(cid:82)(cid:82) D

Như vậy, thế năng Newton là hàm khả vi liên tục, khác 0, xác định trong mặt cầu là nghiệm của phương trình Poisson và liên tục tới 0 ở ∞. Nghiệm xác định bởi các điều kiện này là duy nhất. Theo quan điểm của Laplace, ta

có thể thay thế việc nghiên cứu các phương trình tích phân bằng việc nghiên

cứu các phương trình vi phân mà các tích phân này thỏa mãn là hợp lí. Để kiểm tra các phương trình Poisson ta cần dùng hàm mật độ ρ(a, b, c) khả vi liên tục tại mọi điểm trong không gian.

1.2.3 Một số mô hình vật lý khác của phương trình Laplace

Như đã trình bày ở trên, phương trình Laplace xuất hiện trong cư học bầu trời. Tuy nhiên, nó còn xuất hiện trong các ngành khoa học khác, đặc

biệt là trong các ngành điện, thiên văn học, động lực học chất lỏng bởi vì nghiệm của phương trình Laplace biểu thị hàm thế của điện, lực hấp dẫn,

dòng thế. Do đó, phương trình Laplace có ý nghĩa và ứng dụng to lớn trong

thực tiễn. Sau đây là một vài trường hợp mà phương trình Laplace xuất hiện. Trong động lực học chất lỏng

Động lực học chất lỏng là một ngành khoa học tự nhiên của chất lỏng (hoặc khí) nghiên cứu về các dòng chảy. Nghiệm của bài toán động lực học

thỏa mãn phương trình Laplace. Nghiệm đó liên quan đến việc tính toán các tính chất khác nhau của chất lỏng, vận tốc, áp suất, mật độ, nhiệt độ.

Nhờ đó, ta có thể tính được cường độ, mô mem lực trên máy bay, xác định

tỉ lệ khối lượng của các dòng chảy xăng dầu qua đường ống, dự báo thời

tiết, những hiểu biết tinh vân trong không gian qua các vì sao, dự đoán mô hình phân hạch của khí nổ, một số nguyên lý được áp dụng trong kĩ thuật

giao thông - nơi mà mọi thứ được coi như một dòng chảy liên tục. Thế vị vận tốc

Gọi u là vận tốc của chất lỏng, ψ là thế vị vận tốc của u thì u được biểu diễn như gradient của các hàm vô hướng ψ. Tức là u = ∇ψ. Thế vị vận tốc là không duy nhất. Nếu a là một hằng số thì ψ + a cũng là thế vị vận tốc của u. Ngược lại, nếu phi là thế vị vận tốc của u thì φ = ψ + b với b là một hằng số nào đó. Vậy thế vị vận tốc của một hàm sai khác nhau bởi một hằng số. Dòng không nén

Trong cơ học chất lỏng hoặc cơ học liên tục nói chung, dòng kông nén là dòng rắn hoặc khí mà sự phân kì của vận tốc là 0. Gọi v là vận tốc, ϕ là thế vị vận tốc của chất lỏng. Dòng chảy là dòng không nén khi và chỉ khi ∇v = 0 hay ∇2ϕ = 0. Vậy ϕ thỏa mãn phương trình Laplace.

Dòng không xoáy

Trường véc tơ v được gọi là không xoáy nếu rô-to của nó bằng 0 tức là

∇ × v = 0. Khi đó dòng chảy có vận tốc v này được gọi là không xoáy. Dòng chất lỏng

Cho hai đại lượng u, v là hai thành phần tương ứng nằm ngang và dọc của trường vận tốc của một dòng chảy ổn định không nén, không xoáy, hai

chiều.

Điều kiện để dòng không nén được là: ux + vy = 0. Điều kiện để dòng không xoáy được là: ∇(u, v) = vx − uy = 0. Nếu vậy ta định nghĩa đạo hàm của một hàm số ψ là dψ = vdx − udy thì điều kiện không nén được là điều kiện khả tích của vi phân này. Khi đó : ψx = v, ψy = −u. Do vx − uy = 0 nên ta có ψxx + ψyy = 0. Vậy ψ thỏa mãn phương trình Laplace.

Hàm điều hòa ϕ liên hợp với ψ được gọi là thế vị vận tốc ϕx = −u,

ϕy = −u.

Do đó, mọi hàm giải tích tương ứng là dòng chảy ổn định, không nén,

không xoáy trong mặt phẳng với phần thực là thế vị vận tốc và phần ảo là

hàm dòng. Dòng thế

Trong động lực học chất lỏng, dòng thế mô tả trường vận tốc là gradient

của hàm vô hướng thế vị vận tốc. Dòng thế được được đặc trưng bởi trường vận tốc không xoáy. Thật vậy, ta có rô to của gradient bằng 0. Khi đó, gọi V, ϕ lần lượt là vận tốc, thế vị dòng chảy. Ta có:

V = ∇ϕ; ∇ × ∇ϕ = 0 hay ∇V = 0.

Vậy dòng thế là dòng không xoáy. Điều này cho ta các ứng dụng của dòng

thế.

Dòng thế không mô ta tất cả các đặc điểm cảu một dòng chảy ta thường

gặp trong thực tế chẳng hạn như các nhiễu loạn. Dòng thế không áp dụng cho dòng nhớt nội bộ. Dòng thế không kể đến dáng điệu của các dòng chảy

mà bao gồm cả lớp biên. Tuy nhiên, việc hiểu biết dòng thế rất quan trọng trong nhiều phân ngành cơ học chất lỏng. Đặc biệt là những dòng thế đơn

giản như dòng xoáy tự do, điểm nguồn có sẵn nghiệm giải tích. Các nghiệm này có thể chồng nên nhau tạo ra nhiều dòng chảy phức tạp hơn thỏa mãn

các điều kiện biên. Những dòng tương ứng liên kết chặt chẽ với dòng chính

trên toàn bộ cơ học chất lỏng. Ngoài ra, có nhiều phát minh khi xét độ lệch giữa một dòng được quan sát và dòng thế tương ứng. Dòng thế có nhiều ứng

dụng trong các lĩnh vực thiết kế máy bay cũng như một số ngành liên quan đến không gian các thiên thể.

Chương 2

Các tính chất cơ bản của phương trình

Laplace

Chương này đưa ra một số tính chất cơ bản của phương trình Laplace

như điều kiện Cauchy-Riemann, tính giải tích của nghiệm, điều kiện cần và đủ để nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm.

2.1 Tính bất biến của toán tử Laplace

Trong toán học và vật lý, toán tử Laplace hay Laplacian, kí hiệu là ∆, hoặc ∇2 được đặt tên theo Pierre-Simon de Laplace, là một toán tử vi phân, đặc biệt trong các toán tử elliptic, với nhiều áp dụng. Trong vật lý, nó được sử dụng trong mô tả của quá trình truyền sóng, quá trình truyền nhiệt và tạo

nên phương trình Helmholtz. Nó cũng có vai trò quan trọng trong tĩnh điện

và cơ học chất lưu, thành phần chính trong phương trình Laplace và phương trình Poisson. Trong cơ học lượng tử, nó đại diện cho động năng trong phương trình Schr¨odinger. Trong toán học, hàm số nào mà bằng không dưới toán tử Laplace được gọi là hàm điều hòa; toán tử Laplace ở trung tâm của

lý thuyết Hodge và trong các kết quả của de Rham cohomology.

2.1.1 Toán tử Laplace

Định nghĩa 2.1.1. : Toán tử Laplace là toán tử vi phân bậc 2 trong không gian Euclid n-chiều, định nghĩa như là div(∇.) của gradient (∇ f ). Do đó

nếu f là một hàm số thực có đạo hàm bậc 2, thì Laplacian của f được định nghĩa bởi:

(2.1) ∆ f = ∇2 f = ∇.∇ f .

Nói một cách tương đương, Laplacian của f là tổng cúa các đạo hàm riêng bậc 2 thuần túy trong tọa độ Đề các xi:

n ∑ i=1

. (2.2) ∆ f = ∂ 2 f ∂ x2 i

Một số cách biểu diễn:

i) Trong hệ tọa độ Descartes hai chiều: ∆ f = ∂ 2u ∂ x2 + ∂ 2u ∂ y2 = 0.

∆ f = (ii) Trong hệ tọa độ Descartes ba chiều: ∂ 2u ∂ y2 + ∂ 2u ∂ x2 + ∂ 2u ∂ z2 .

(cid:18) r + + ∆ f = (iii) Trong hệ tọa độ trụ: (cid:19) 1 r 1 r2 ∂ u ∂ r ∂ ∂ r ∂ 2u ∂ r ∂ 2u ∂ z2 = 0.

(cid:19) (cid:19) (cid:18) + + ∆ f = sinθ (iv) Trong hệ tọa độ cầu: (cid:18) ρ 2 ∂ u 1 ρ 2 ∂ ρ 1 ρ 2sin2θ 1 ρ 2sin2θ ∂ u ∂ θ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ θ

∂ 2u ∂ ϕ 2 = 0. v) Trong không gian n chiều, với cách đặt x = rθ ∈ Rn với r ∈ [0, +∞)

và θ ∈ Sn−1.

+ ∆ f = n + 1 r 1 r2 ∆Sn−1 f ∂ 2 f ∂ r2 + ∂ f ∂ r

mà ∆Sn−1 là toán tử Laplace–Beltrami trên mặt cầu trong không gian ∂ 2 f ∂ r2 +

một cách tương đương như là ). n − 1 (còn gọi là Laplacian cầu). Người ta cũng có thể viết n − 1 r 1 rn−1 (rn−1 ∂ f ∂ r ∂ f ∂ r ∂ ∂ r

Một số hằng đẳng thức: Nếu f và g là hai hàm số, thì Laplacian của tích fg sẽ là: ∆( f g) = (∆ f )g + 2((∇ f ) · (∇g)) + f (∆g). Trong trường hợp đặc biệt khi f là một hàm phụ thuộc vào bán kính f (r)

và g là một hàm cầu điều hòa, Ylm(θ , φ ). Ta thường gặp trường hợp đặc biệt này trong nhiều mô hình vật lý. Gradient của f (r) là một vectơ theo hướng bán kính và gradient của một hàm chỉ phụ thuộc vào góc là tiếp tuyến với

véctơ bán kính, do đó

2(∇ f (r)) · (∇Ylm(θ , φ )) = 0.

Thêm nữa, hàm cầu điều hòa có tính chất đặc biệt là eigenfunction của toán

tử Laplacian trong tọa độ cầu

Y(cid:96)m(θ , φ ). ∆Y(cid:96)m(θ , φ ) = − (cid:96)((cid:96) + 1) r2

Do đó

(cid:19) (cid:18)d2 f (r) − f (r) ∆( f (r)Y(cid:96)m(θ , φ )) = Y(cid:96)m(θ , φ ). dr2 + 2 r d f (r) dr (cid:96)((cid:96) + 1) r2

2.1.2 Tính bất biến của toán tử Laplace

Để chỉ ra tính bất biến của toán tử Laplace qua các phép biến đổi trực

giao, ta tính toán trực tiếp nhờ đạo hàm hàm hợp và viết toán tử Laplace dưới dạng:

∆u = Tr(∇2u).

Như vậy, có thể nói hàm điều hòa bất biến qua phép đổi biến trực giao. Ta

còn có thể chỉ ra kết quả mạnh hơn, khi ta xét trong mặt phẳng hàm điều

hòa bất biến qua ánh xạ bảo giác.

Trước hết ta viết lại toán tử Laplace dưới dạng

(2.3) ∆u = div(∇u).

Ta xét toán tử dạng tổng quát hơn, phương trình elliptic dạng div:

(2.4) div(A∇u) = 0 trong Ω,

với A(x) = {ai j(x)}1≤i, j≤n, x ∈ Ω ⊂ Rn, là ma trận hàm cấp n.

Ta sẽ chứng minh rằng, qua phép đổi biến

Φ : Ω → Ω(cid:48), y = Φ(x), Ω và Ω(cid:48) là các tập mở trong Rn, toán tử dạng div vẫn có dạng div trong biến mới. Cụ thể với u(x) = v(Φ(x)), phương trình (2.4) khi viết với biến y có dạng

(2.5) div( ˜A∇v) = 0 trong Ω(cid:48)

với

˜A(y) = (2.6) J(y)A(Φ−1(y))JT (y), 1 |detJ(y)|

J(y) = DΦ(Φ−1(y)) là ma trận Jacobien của phép đổi biến.

Trước khi dùng tích phân để chứng minh kết quả trên ta sử dụng kết quả

này để đưa ra giải thích cho kết quả đã đưa ra ở trên về hàm điều hòa. Nhắc lại ánh xạ bảo giác Φ : Ω → Ω(cid:48) là phép vi phôi thỏa mãn

DΦ(DΦ)T = a2(x)E, E là ma trận vuông đơn vị.

Trong trường hợp mặt phẳng n = 2 có

a2 = |detDΦ|.

Lấy ví dụ về ánh xạ bảo giác trong R2. Ta có thể coi C = R2. Với U,V là các tập mở trong C. Ánh xạ f : U → V là ánh xạ bảo giác nếu nó là hàm chỉnh hình mà f (cid:48)(z) (cid:54)= 0, z ∈ U.

Do đó, trong mặt phẳng, nếu đổi biến bằng ánh xạ bảo giác phương trình Laplace div(E∇u) = 0 vẫn giữa nguyên khi viết sang biến mới. Nói cách khác ta đã chứng minh được trong mặt phẳng, hàm điều hòa bất biến qua

ánh xạ bảo giác.

Tiếp theo ta dùng kết quả trên để viết toán tử Laplace trong hệ tọa độ cực, trong mặt phẳng, và trong hệ tọa độ cầu, trong không gian.

Hệ tọa độ cực được viết dưới dạng phép đổi biến

(x, y) = Ψ(r, θ ) = (r cos θ , r sin θ )   . 

= det(DΨ) = r,

(cid:33)

, (r, θ ) = Ψ−1(x, y) = Φ(x, y) Dùng định lý hàm ngược ta có 1 det(DΦ) DΦ(DΦT ) = (cid:0)(DΨ)T DΨ(cid:1)−1 = (cid:32) 0 1 0 r−2

(cid:32) (cid:33)

. DΦE(DΦ)T = r 0 0 r−1

1 |det(DΦ)| Trong hệ tọa độ cực phương trình Laplace trở thành

∂r(rvr) + ∂θ (r−1vθ ) = 0

hay

rvrr + vr + r−1vθ θ = 0.

Tiếp theo ta chuyển sang hệ tọa độ cầu

(x, y, z) = Ψ(r, θ , ϕ) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ )

và

(r, θ , ϕ) = Ψ−1(x, y, z) = Φ(x, y, z).

Dùng định lý hàm ngược ta có 1 = det(DΨ) = r2 sin θ , det(DΦ)  0

DΦ(DΦT ) = (cid:0)(DΨ)T DΨ(cid:1)−1 =   ,

 0 r−2 sin−2 θ  0

DΦE(DΦ)T =     . 1 |det(DΦ)|  0 1  0 r−2  0 0 r2 sin θ 0 0 0 sin θ 0

0 sin−1 θ Trong hệ tọa độ cầu phương trình Laplace trở thành

∂r(r2 sin θ vr) + ∂θ (sin θ vθ ) + ∂ϕ(sin−1 θ vϕ) = 0

hay

(r2vr)r + vϕϕ = 0. (sin θ vθ )θ + 1 sin θ 1 sin2 θ

So sánh một chút, toán tử Laplace

+ Trong hệ tọa độ cực

∆u = (rvr)r + 1 r 1 r2 vθ θ ,

+ Trong hệ tọa độ cầu

∆u = vϕϕ. (sin θ vθ )θ + 1 r2 (r2vr)r + 1 r2 sin θ 1 r2 sin2 θ

So với các phương trình mới chuyển từ việc dùng kết quả sai khác nhau thừa số |detJ| = |det(DΦ)|. Nói cách khác, sau phép đổi biến y = Φ(x), toán tử dạng div

Lu = div(A∇u)

chuyển thành

(cid:19) (cid:18) 1 Lv = |detJ|div . JAJT ∇v |detJ|

Có thể thấy ngay rằng kết quả này dẫn đến ngay kết quả trên. Để chứng

minh kết quả này ta xét phương trình

Lu = f trong Ω.

0 (Ω).

Ω Lu(x)ϕ(x)dx = (cid:82) (cid:82)

Ω f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ C∞

Hàm u ∈ C2(Ω) thỏa mãn phương trình trên khi và chỉ khi

0 (Ω).

Ω(A(x)∇u(x)) · (∇ϕ(x))dx = (cid:82) (cid:82)

Ω f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ C∞

Dùng công thức dạng div ta có thể chuyển đẳng thức trên thành

dy. Đổi biến y = Φ(x) có – Miền lấy tích phân mới Ω(cid:48) = Φ(Ω), – Tỷ lệ vi phân thể tích cũ so với mới dx = |detDΦ|−1dy = 1 |detJ| Ngoài ra dùng công thức đạo hàm hàm hợp

∇xu = (ux1, · · · , uxn) = J∇yv

(cid:82) Ω(cid:48)(A(Φ−1(y))JT (y)∇v(y)) · (JT ∇ϕ(Φ−1(y)))

Đẳng thức trên sau khi đổi biến

dy |detJ(y)|

Ω(cid:48) f (Φ−1(y))ϕ(Φ−1(y))

. = (cid:82) dy |detJ(y)| Từ đây, dùng công thức dạng div và động tác phụ ta có

|detJ(y)|div( J(y)A(Φ−1(y))JT (y)∇v(y)) =

1 |detJ(y)| f (Φ−1(y)) trong Ω(cid:48).

Như vậy, ta có thể thấy rằng qua phép biến đổi Laplace phương trình

Laplace không đổi qua các hệ tọa độ khác nhau.

2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann

Định nghĩa 2.2.1. Hàm một biến phức Hàm phức là một hàm trong đó đối số và hàm số nhận giá trị phức. Chính xác hơn, hàm phức là hàm mà tập xác định Ω là tập con của mặt phẳng phức và tập giá trị cũng là tập con của mặt phẳng phức.

Với một hàm phức tùy ý, cả đối số và hàm số có thể tách thành phần thực

và phần ảo:

z = x + iy, và w = f (z) = u(z) + iv(z),

trong đó x, y ∈ R, và u(z), v(z), là các hàm thực. Nói cách khác, các thành phần của hàm f (z),

u = u(x, y), và v = v(x, y)

có thể hiểu như các hàm thực của hai biến thực, x và y.

Các khái niệm cơ bản của giải tích phức thường được giới thiệu bằng cách mở rộng các hàm thực sơ cấp (ví dụ hàm mũ, hàm lô ga rít và các hàm

lượng giác) lên miền phức.

Điều kiện Cauchy-Riemann

Như trong giải tích thực, một hàm phức "trơn" w = f (z) có thể có đạo hàm tại một điểm nào đó trong miền xác định Ω. Thực tế định nghĩa đạo hàm

f (cid:48)(z) = = lim h→0 dw dz f (z + h) − f (z) h

tương tự trong trường hợp thực, với một điểm khác biệt quan trọng: Trong giải tích thực, giới hạn chỉ có thể có bằng việc di chuyển trên đường thẳng

thực một chiều. Trong giải tích phức, giới hạn có được bằng cách di chuyển

theo hướng bất kì trên mặt phẳng phức hai chiều.

Nếu giới hạn này tồn tại với mọi điểm z trong Ω, khi đó f (z) được gọi là khả vi trên Ω. Có thể chứng minh rằng mọi hàm khả vi f (z) đều là hàm giải tích. Đây là kết quả mạnh hơn trường hợp hàm thực. Trong giải tích thực, ta có thể xây dựng hàm f (x) có đạo hàm bậc nhất tại mọi nơi nhưng đạo hàm bậc hai không tồn tại tại một hay nhiều điểm trên tập xác định của hàm. Tuy nhiên trên mặt phẳng phức, nếu một hàm f (z) khả vi trong một lân cận thì nó sẽ khả vi vô hạn trong lân cận đó.

Bằng cách áp dụng phương pháp của giải tích véc tơ để tính đạo hàm riêng của hai hàm vec tơ u(x, y) và v(x, y) vào cho hàm f (z), và xem xét hai

đường đến z trong Ω, có thể chỉ ra rằng đạo hàm tồn tại nếu và chỉ nếu

f (cid:48)(z) = + i = − i . ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y

∂ v ∂ y

= − Đồng nhất phần thực và phần ảo của biểu thức ta có phương trình Cauchy- Riemann: ∂ u  = ∂ x ∂ u  ∂ y

  ∂ v ∂ x hoặc kí hiệu khác ux = vy .  uy = −vx

Vi phân hệ hai phương trình đạo hàm riêng này, đầu tiên theo x, sau đó theo y ta dễ dàng chỉ ra rằng

   ∂ 2u ∂ x2 + ∂ 2v ∂ x2 + ∂ 2u ∂ y2 = 0 ∂ 2v ∂ y2 = 0

hoặc dưới dạng kí hiệu khác uxx + uyy = vxx + vyy = 0.

Nói cách khác, phần thực và phần ảo của một hàm phức khả vi là các hàm

điều hòa vì chúng thỏa mãn phương trình Laplace.

2.3 Hàm điều hòa và một số tính chất của chúng

2.3.1 Hàm điều hòa

Định nghĩa 2.3.1. Cho tập Ω ∈ Rn và u : Ω → R thuộc lớp C2(Ω).

Toán tử Laplace tác động lên hàm u được định nghĩa bởi

∆ := D2 k.

n ∑ k=1 k là các đạo hàm riêng cấp 2. Một số cách biểu diễn đạo hàm riêng:

Trong đó, D2

Cho x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Ω

ku(x).

D2 i) ∆u(x) =

2 u(x1, x2, ..., xn).

n ∑ k=1 ∂ 2 ∂ xk

ii) ∆u(x) =

n ∑ k=1

iii) ∆u(x) = uxkxk(x).

Định nghĩa 2.3.2. Cho Ω ∈ Rn và hàm số thực u ∈ C2(Ω) Hàm số u được gọi là hàm điều hòa trên Ω nếu:

∆u(x) = 0, ∀x ∈ Ω.

Ta cũng có định nghĩa như trên khi u là một hàm số phức.

Ví dụ 2.3.3. 1) Hàm u(x, y) = x + 2y + 1 là một hàm điều hòa tại mọi điểm (x, y) ∈ R2; là một hàm điều hòa trong mọi miền giới nội Ω ∈ R2. x 2) Hàm u(x, y) =

x2 + y2 tại mọi điểm (x, y) (cid:54)= (0, 0). 3) Hàm u(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2 là một hàm điều hòa tại mọi điểm

(x, y, z) ∈ R3

1 n(2−n)ωn 1 2π ln|x − ξ |

|x − ξ |2 n > 2 Ví dụ 2.3.4. Gọi ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn. Với mỗi ξ ∈ Rn , hàm Γ(x − ξ ) xác định bởi:   Γ(x − ξ ) = Γ(|x − ξ |) = n = 2 

là một hàm điều hòa tại mọi điểm x ∈ Rn\{ξ } và là một nghiệm cơ bản của phương trình Laplace.

2.3.2 Biểu diễn Green của hàm điều hòa

Giả sử Ω là một miền giới nội trong Rn với biên ∂ Ω đủ trơn, u ∈ C2 (cid:0)Ω(cid:1)∩ C1 (cid:0)Ω(cid:1). Chúng ta sẽ sử dụng công thức Green thứ hai để tìm biểu diễn tích phân của u trong Ω. Từ đó dẫn ra biểu diễn tích phân của một hàm điều hòa trong Ω.

Với mỗi ξ ∈ Ω cố định. Ta muốn áp dụng công thức Green với hàm v(x) = Γ(x − ξ ) và hàm v(x). Nhưng v(x) không xác định tại x = ξ nên chúng ta khắc phục bằng cách áp dụng công thức đó trên Ω và ρ đủ nhỏ, Bρ rồi cho qua giới hạn khi ρ → 0.

Thật vậy, áp dụng công thức Green với hàm v(x) = Γ(x − ξ ) và hàm u(x)

trên Ω1 = Ω

Bρ (ξ ) ta có: (cid:90)

(cid:90)

Ω1

∂ Ω1

(cid:21) (cid:20) dS − u [Γ∆u − u∆Γ]dx = Γ ∂ u ∂ v ∂ Γ ∂ v

Sử dụng tính chất Γ điều hòa trong Ω1 ta nhận được

(cid:90)

∂ Ω

∂ Bρ

(cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) dS − u dS + − u dS. = (2.7) Γ Γ Γ ∂ u ∂ v ∂ u ∂ v ∂ Γ ∂ v ∂ u ∂ v ∂ Γ ∂ v (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∂ Bρ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:82)

Để giới hạn khi ρ → 0 ta lưu ý rằng:

∂ v dS

∂ u ∂ v dS

= Γ ∂ u → 0 khi ρ → 0 ∂ u ∂ v (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ |Γ(ρ)|nωnρ n−1 sup ∂ Bρ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Γ(ρ) (cid:82) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∂ Bρ

∂ v dS = −Γ(ρ) (cid:82) Γ ∂ u

∂ Bρ

∂ Bρ ∂ Bρ.

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∂ Bρ và (cid:82) udS = −u(xρ) → −u(ξ ) khi ρ → 0, trong đó xρ ∈

Do vậy cho ρ → 0 ta nhận được biểu diễn tích phân của u tại ξ ∈ Ω:

(cid:90)

Ω

∂ Ω

(cid:21) (cid:20) u dS + (2.8) Γ(x − ξ )∆udx u(ξ ) = (x − ξ ) − Γ(x − ξ ) ∂ Γ ∂ v ∂ u ∂ v

Nếu u điều hòa trong Ω thì ∆u = 0 trong Ω nên

(cid:90)

∂ Ω

(cid:21) (cid:20) u dS (2.9) u(ξ ) = (x − ξ ) − Γ(x − ξ ) ∂ Γ ∂ v ∂ u ∂ v

Công thức (2.3) được gọi là công thức Green biểu diễn hàm điều hòa. Công thức đó cho phép ta tính giá trị của hàm u điều hòa trong Ω tại điểm ξ ∈ Ω theo các giá trị của u trên biên ∂ Ω và theo các giá trị của đạo hàm theo véc tơ pháp tuyến ngoài ∂ u ∂ v trên biên ∂ Ω. Bởi vì trong (2.4), các hàm dưới dấu tích phân là các hàm khả vi vô hạn, hơn nữa giải thích theo ξ nên hàm u(ξ ) cũng khả vi vô hạn và giải tích trong Ω.

Tiếp theo ta điều chỉnh công thức (2.3) để nhận được một công thức tổng quát hơn. Giả thiết h ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) và thỏa mãn phương trình ∆h = 0

trong Ω. Khi đó, theo công thức Green ta có

(cid:90)

Ω

∂ Ω

(cid:21) (cid:20) u − − h dS = h∆udx ∂ h ∂ v ∂ u ∂ v

Cộng đẳng thức này với (2.9) và đặt

G = Γ + h

(cid:90)

Ω

∂ Ω

ta có (cid:21) (cid:20) u − G dS + G∆udx u(ξ ) = ∂ G ∂ v ∂ u ∂ v

(cid:90)

Nếu giả thiết thêm G = 0 trên ∂ Ω, tức là h = −Γ trên ∂ Ω thì

Ω

∂ Ω

u dS + (2.10) G∆udx u(ξ ) = ∂ G ∂ v

(cid:90)

Nếu thêm giả thiết u điều hòa trong Ω thì

∂ Ω

dS u (2.11) u(ξ ) = ∂ G ∂ v

Hàm G = G(x, ξ ) như thế được gọi là hàm Green (của bài toán Dirich- let đối với toán tử Laplace) trên miền Ω. Theo công thức (2.6) nếu tồn tại hàm Green thì hàm ta có thể biểu diễn một hàm điều hòa bất kỳ thuộc C2(Ω) ∩C1(Ω) qua các giá trị biên của nó.

Đối miền Ω đặc biệt như hình cầu, nửa không gian thì chúng có thể sử dụng phương phám phản xạ qua biên để xây dựng hàm Green. Trong trường

hợp tổng quát thì việc chỉ ra sự tồn tại của hàm Green vẫn còn là bài toán mở.

2.3.3 Tính chất của hàm điều hòa

Bây giờ chúng ta tìm hiểu về một số tính chất của hàm điều hòa. Các

định lý này có thể xem là hệ quả của công thức Green. Ta giả sử Ω ∈ Rn là một tập mở.

Định lý 2.3.5. (Giá trị trung bình). Giả sử hàm u ∈ C2(Ω) thỏa mãn hệ thức ∆u = 0 trong Ω. Khi đó, với hình cầu B = BR(ξ ) ∈ Ω ta có các đẳng thức sau:

(cid:82) ∂ B u(x)dS

u(ξ ) =

(cid:82) B u(x)dS .

u(ξ ) = 1 nωnRn−1 1 nωnRn−1

Trong đó, ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn. Chứng minh.

Giả sử ρ ∈ (0, R]. Áp dụng công thức Green thứ nhất với Ω = Bρ =

(cid:82)

Bρ(ξ ) và v ≡ 1 ta nhận được

∂ Bρ

∆u(x)dx = 0. ∂ u ∂ v dS = (cid:82) Bρ

ρ và biểu diễn u(x) = u(ξ + ρω)

Mặt khác, kí hiệu ρ = |x − ξ |; ω = x−ξ

(cid:82)

ta có

∂ Bρ

|ω|=1 (cid:32)

(cid:82)

(ξ + ρω)dS = ρ n−1 (cid:82) (ξ + ρω)dω ∂ u ∂ v dS = (cid:82) ∂ Bρ (cid:33)

|ω|=1

udS ∂ u ∂ v = ρ n−1 ∂ u ∂ v ∂ u ∂ v u(ξ + ρω)dω = ρ n−1 ∂ ∂ ρ ρ 1−n (cid:82) ∂ Bρ

nên

(cid:32) (cid:33)

udS = 0 , ∀ρ ∈ (0, R] . ∂ ∂ ρ ρ 1−n (cid:82) ∂ Bρ

Do đó,

udS. ρ 1−n (cid:82) ∂ Bρ udS = R1−n (cid:82) ∂ Bρ

Cho ρ → 0, ta có

udS nωnu(ξ ) = R1−n (cid:82) ∂ Bρ

Lấy tích phân theo ρ từ 0 đến R ta nhận được điều phải chứng minh.

Định lý 2.3.6. Nếu u ∈ C2(Ω) thỏa mãn:

∂ B(x,r) udS.

u(x) = (cid:82)

cho mỗi hình cầu B(x, r) ⊂ Ω thì u là hàm điều hòa. Chứng minh.

Nếu ∆u không đồng nhất với 0, ở đó tồn tại một số hình cầu B(x, r) ⊂ Ω,

(cid:82) B(x,r) ∆u(y)dy > 0

0 = φ (cid:48)(r) = như vậy ta nói ∆u > 0 trong B(x, r). Nhưng sau đó cho φ như trên, r n

Mâu thuẫn với giả thiết. Từ đó, ta được điều phải chứng minh.

Định lý 2.3.7. ( Nguyên lý cựu trị mạnh). Giả sử hàm u ∈ C2(Ω) thỏa mãn hệ thức ∆u ≥ 0(∆u ≤ 0) trong Ω và tồn tại ξ ∈ Ω sao cho u(ξ ) = supΩu (u(ξ ) = in fΩu). Khi đó, u là hàm hằng.

Do đó mọi hàm điều hòa trong Ω, khác hằng số đều không đạt được giá

trị lớn nhất, nhỏ nhất tại các điểm trong Ω.

Hệ quả 2.3.8. (Nguyên lý cựu trị mạnh trên miền bị chặn). Giả sử Ω là một miền bị chặn và u ∈ Ω là một hàm điều hòa trong Ω. Khi đó,

u. inf ∂ Ω u ≤ u(x) ≤ sup ∂ Ω

Chứng minh.

Giả sử tồn tại một điểm x0 ∈ Ω và u(x0) = M = maxΩu.

Từ đó, với 0 < r < dist(x0, ∂ Ω), theo tính chất giá trị trung bình ta có

B(x,r) udy ≤ M.

M = u(x0) = (cid:82)

Đẳng thức trên giữ được nếu u ≡ M trong B(x0, r), ta thấy u(y) = M với mọi y ∈ B(x0, r). Do đó, với tập {x (cid:82) Ω|u(x) = M} là tập mở và tương đối đóng trong Ω.

Từ đó, ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2.3.9. (Ước lượng trên các dẫn xuất). Giả sử u là một hàm điều hòa trên Ω.

Từ đó,

|Dαu(x0)| ≤ Ck rn+k ||u||L1(B(x0,r)))

cho mỗi hình cầu B(x0, r) ⊂ Ω và mỗi α mà |α| = k.

Ở đó,

(k = 1, 2, ...). ,Ck = C0 = 1 α(n) (2n+1nk)k α(n)

Chứng minh.

1.Ta thiết lập công thức trên dựa vào k, trường hợp k = 0 có được nhờ nguyên lý giá trị trung bình. Cho k = 1, ta chú ý khi phân biệt phương trình Laplace mà uxi(i = 1...n) là hàm điều hòa. Hệ quả là

(cid:82) B(x0,r\2 uvidS| ≤

x0,r\2 uxidx| = |

2 ).

|uxi(x0) = | (cid:82) ||u||L∞(∂ B(x0, r 2n r 2n α(n)rn

Nếu x ∈ ∂ B(x0, r\2), thì B(x0, r\2) ⊂ B(x0, r) ⊂ U, và

(cid:19)n |u(x) ≤ ||u||L1(B(x0,r)). (cid:18)2 r 1 α(n)

Từ đó ta được

|Dαu(x0)| ≤ Ck rn+k ||u||L1(B(x0,r))).

Nếu |α| = 1, thay trở lại ta được điều phải chứng minh cho k = 1.

2. Giả sử k ≥ 2 và các công thức trên là co hiệu lực với tất cả các hình cầu trong Ω và mỗi α ≤ k − 1.Với B(x0, r) ∈ Ω và |α| = k. Từ đó Dαu = (Dβ )xi với i ∈ {1, ..., n}, |β | = k − 1. Theo chứng minh trên ta có:

2 ).

|Dαu(x0)| ≤ ||u||L∞(∂ B(x0, r 2n r

k), thì B(x, k−1

Nếu x ∈ ∂ B(x0, r

n+k−1 ||u||L1(B(x0,r)).

k r) ⊂ B(x0, r) ⊂ Ω. Ta được: (2n+1n(k − 1)))k−1 α(n)( k−1 k r

|Dβ u(x0)| ≤

Kết hợp các ước lượng ta được:

|Dαu(x0)| ≤ ||u||L1(B(x0,r)). (2n+1nk))k rn+k

Ta được các điều kiện định lý cho |α| = k.

Định lý 2.3.10. (Tính giải tích). Giả sử u là một hàm điều hòa trên Ω. Khi đó, u là giải tích trên Ω. Chứng minh.

1. Với bất kì điểm x0 ∈ u. Ta phải cho thấy u có thể đại diện bởi một dãy

4dist(x0, ∂ Ω). Khi đó, M = 1

α(n)rn ||u||L1(B(x0,2r)) < ∞

lũy thừa trong lân cận của x0.

Đặt r = 1 2. Từ B(x, r) ⊂ B(x0, 2r) ⊂ Ω cho mỗi x ∈ B(x0, r), theo định lý (2.4) ta

có

(cid:19)|α| |α||α|. ||DαuL∞(B(x0,r)) ≤ M (cid:18)2n+1n r

Ta có < ek cho tất cả các số nguyên dương k, và do đó kk k!

|α||α| ≤ e|α||α|! với mọi α.

Lại có

. |α|! α! nk = (1 + ... + 1)k = ∑ |α|=k

Từ |α||α| ≤ e|α||α|!, kết hợp với bất bẳng thức trên ta có

(cid:19)|α| α!. ||DαuL∞(B(x0,r)) ≤ CM (cid:18)2n+1n2e r

(x − x0)α. 3. Khai triển Taylor cho u tại x0 là Dαu(x0) α! ∑ α

Nhận thấy rằng dãy lũy thừa trên là hội tụ. Từ đó

. |x − x0| < r 2n+2n3e

Để xác minh điều này, ta tính toán cho mỗi N hữu hạn:

N−1 ∑ k=0

RN(x) = u(x) − Dαu(x0)(x − x0)α α! ∑ |α|=k

|α|=N

= ∑ Dαu(x0 + t(x − x0))(x − x0)α α!

với 0 ≤ t ≤ 1, t phụ thuộc vào x. Ta thành lập công thức bằng cách viết đầu tiên trong khai triển Taylor cho hàm một biến g(t) = u(x0 + t(x − x0)), tại t = 1. Ta có ước lượng sau:

|α|=N

(cid:17)N (cid:19)N(cid:16) = |RN(x)| ≤ CM ∑ (cid:18)2n+1n2e r r 2n+2n3e CM 2N → 0 khi N → ∞.

Định lý 2.3.11. Giả B = Bξ (R) là hình cầu tâm ξ bán kính R và u ∈ C(B) là hàm điều hòa khác hằng số trong B và nhận giá trị nhỏ nhất tại x0 ∈ ∂ B.

là hướng hợp với véc tơ pháp tuyến ngoài Nếu tại x0 tồn tại đạo hàm

∂ u ∂ µ của ∂ B tại x0 một góc nhọn thì

(x0) < 0. ∂ u ∂ µ

Định lý 2.3.12. Giả sử Ω là miền bị chặn bởi biên trơn, u ∈ C1(Ω) là một hàm điều hòa trong Ω. Khi đó

(cid:82) ∂ Ω

dS = 0. ∂ u ∂ v

Chứng minh.

Áp dụng công thức Green với hàm v ≡ 1 ta nhận được hệ thức cần chứng

minh.

2.4 Điều kiện cần và đủ để bài toán Cauchy cho phương trình

Laplace có nghiệm

2.4.1 Các bài toán biên cơ bản

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn, ψ là một hàm liên tục cho trước trên ∂ Ω. Chúng ta xét ba bài toán biên cơ bản sau đây đối với phương trình Laplace, Poisson: 1, Bài toán biên thứ nhất (Dirichlet): là bài toán tìm nghiệm u ∈ C2(Ω) (cid:84)C(Ω của phương trình Laplace thỏa mãn điều kiện biên

u|∂ Ω=ψ.

2, Bài toán biên thứ hai (Neumann): là bài toán tìm nghiệm u ∈ C2(Ω) (cid:84)C1(Ω) của phương trình Laplace, Poisson trong Ω thỏa mãn điều kiện biên

|∂ Ω = ψ ∂ u ∂ v

3, Bài toán thứ ba (hỗn hợp): là bài toán tìm nghiệm u ∈ C2(Ω) (cid:84)C1(Ω) của phương trình Laplace, Poisson trong Ω thỏa mãn điều kiện biên

(cid:19) + au |∂ Ω = ψ. (cid:18)∂ u ∂ v

Sau đây, chúng ta sẽ chỉ ra một số điều kiện đảm bảo cho tính đặt chỉnh

theo nghĩa Hadamar của các bài toán biên này.

2.4.2 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục nghiệm

Định lý 2.4.1. Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) là nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Laplace trong Ω.

(cid:40)

(2.12) ∆u = 0, x ∈ Ω u|∂ Ω = ψ

Khi đó ta đánh giá

(2.13) |ψ|, ∀x ∈ Ω. |u(x)| ≤ max ∂ Ω

Do đó, bài toán biên thứ nhất (2.8) có không quá một nghiệm trong C(Ω) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện biên ψ. Chứng minh.

Theo nguyên lý cực trị đối với hàm điều hòa trong miền bị chặn ta có

u, ∀x ∈ Ω min ∂ Ω u ≤ u(x) ≤ max ∂ Ω

Từ đây ta có đánh giá về nghiệm.

Giả sử u1, u2 ∈ C(Ω) là hai nghiệm của bài toán (2.12) ứng với dữ kiện biên ψ là ψ1, ψ2. Khi đó u1 − u2 là nghiệm của bài toán đó ứng với dữ kiện biên ψ = ψ1 − ψ2. Theo đánh giá ta có

|ψ1 − ψ2|, ∀x ∈ Ω |u1(x) − u2(x)| ≤ max ∂ Ω

Từ bất đẳng thức này chúng ta suy ra u1 = u2 trong Ω nếu ψ1 = ψ2 trên

∂ Ω. Hay bài toán biên trên có không quá một nghiệm.

Hơn nữa nếu |ψ1 − ψ2| < ε trên ∂ Ω thì ta cũng sẽ có |u1 − u2| < ε trong

Ω hay nghiệm của bài toán phụ thuộc liên tục vào dữ kiện biên ψ.

Định lý 2.4.2. Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) là nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Poisson trong Ω.

(cid:40)

(2.14) ∆u = f (x), x ∈ Ω u|∂ Ω = ψ

Khi đó với mọi x ∈ Ω ta có đánh giá

| f | (2.15) min ∂ Ω | f | ≤ u(x) ≤ max ∂ Ω u − M1sup Ω u + M1sup Ω

trong đó M1 = M1(Ω) là hằng số.

Do đó bài toán biên thứ nhất có không quá một nghiệm trong C(Ω) và

nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải f và dữ kiện biên ψ.

Chú ý 2.4.3. Các đánh giá được gọi là các đánh gia tiên nghiệm toàn biên thứ nhất.

Định lý 2.4.4. Giả sử ∂ Ω trơn và với mỗi x0 ∈ ∂ Ω đều tồn tại một hình cầu BR bán kính R sao cho x0 ∈ ∂ BR và BR ⊂ Ω (tính chất cầu thang). Khi đó hai nghiệm bất kỳ của bài toán biên thứ hai đối với phương trình Laplace:

  (2.16) = ψ  ∆u = 0, x ∈ Ω ∂ u ∂ v (cid:12) (cid:12) (cid:12)∂ Ω

chỉ có thể sai khác nhau một hằng số.

Định lý 2.4.5. Giả sử Ω là miền thỏa mãn các điều kiện của đinh lý (2.12) và u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) là nghiệm của bài toán (2.12). Khi đó tồn tại các

hằng số C = C(Ω), M = M(Ω) sao cho

(2.17) |ψ|, ∀x ∈ Ω |u(x) −C| ≤ Mmax ∂ Ω

Định lý 2.4.6. Giả sử ∂ Ω trơn và tồn tại hằng số a0 > 0 sao cho a(x) ≥ a0 trên ∂ Ω, u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) là nghiệm của bài toán biên thứ ba đối với phương trình Laplace:

  (2.18) = ψ  ∆u = 0, x ∈ Ω (cid:16) ∂ u ∂ v + au (cid:17)(cid:12) (cid:12) (cid:12)∂ Ω

Khi đó ta có đánh giá tiên nghiệm

|u(x)| ≤ (2.19) |ψ|, ∀x ∈ Ω. max ∂ Ω 1 a0

2.4.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình

Laplace trong hình cầu

Trước hết ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với

phương trình Laplace trong hình cầu.

Theo biểu diễn của Green của hàm điều hòa , nếu ta tìm được hàm

Green của toán tử Laplace trong hình cầu thì ta sẽ có công thức biểu diễn nghiệm của bào toán Dirichlet tương ứng. Do vậy ta đi xây dựng hàm Green cho trường hợp Ω = BR = BR(0). Với mỗi ξ ∈ BR, hàm Green G(x, ξ ) = Γ(|x − ξ |) + h(x) với h(x) là hàm điều hòa trong BR và có giá trị trên biên ∂ Ω bằng với −Γ(|x − ξ |).

Để ý rằng hàm h(x) = Γ(λ |x − η|), λ ∈ R là hàm điều hòa tại mọi x (cid:54)= η, nên nếu ta chọn η (cid:54)∈ BR thì hàm đó sẽ điều hòa trong BR, do vậy chúng ta chỉ cần chọn hệ số λ thích hợp để h(x) = −Γ(|x −ξ |) hay |x −ξ | = λ |x −η| khi x ∈ R là được.

Việc chọn η và λ được thực hiện bằng phương pháp phản xạ (đối xứng)

qua mặt cầu ∂ BR. Cụ thể, kí hiệu

(cid:40) R2

|ξ |2 , ξ (cid:54)= 0 ∞, ξ = 0

ξ =

là điểm đối xứng (nghich đảo) của ξ qua mặt cầu ∂ BR.

Rõ ràng, nếu ξ ∈ BR thì ξ (cid:54)∈ BR nên ta có thể chọn η = ξ . Khi đó dễ

dàng kiểm tra được rằng nếu x ∈ ∂ BR thì

R . Từ đây ta xác định được hàm Green như

|x − ξ | = |x − ξ |, ∀ξ (cid:54)= 0 |ξ | R

nên chúng ta có thể chọn λ = |ξ | sau

(cid:40) (cid:16) |ξ | Γ(|x − ξ |) − Γ , ξ (cid:54)= 0 (cid:17) R |x − ξ | (2.20) G(x, ξ ) = Γ(|x|) − Γ(R), ξ = 0

Tính toán trực tiếp ta có

= |x − ξ |−n ≥ 0, ∀x ∈ ∂ BR ∂ G ∂ v R2 − |ξ |2 nωnR

(cid:90)

Do vậy theo biểu diễn Green (2.10), nếu u ∈ C(BR) là hàm điều hòa trong BR thì ta có công thức Poisson

∂ BR

u (2.21) u(ξ ) = |x − ξ |n dS, ξ ∈ BR. R2 − |ξ |2 nωnR

Vế phải của (2.17) được gọi là tích phân Poisson của hàm u.

Bây giờ chúng ta chủ việc chứng tỏ rằng hàm u xác định bởi công thức (2.17) đúng là nghiệm cần tìm. Điều này được khẳng định trong định lý sau:

Định lý 2.4.7. Giả sử ψ là hàm liên tục trên ∂ BR. Khi đó hàm u xác định

(cid:82)

bởi

|x−ξ |n dS, ξ ∈ BR

R2−|ξ |2 nωnR

∂ BR ψ(x), ξ ∈ ∂ BR

  (2.22) u(ξ ) = 

thuộc C2(BR) ∩C(BR) và thỏa mãn phương trình δ u = 0 trong BR hay u là nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu BR.

Việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương

trình Laplace trong miền Ω tổng quát.

2.4.4 Các định lý về sự hội tụ

Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra một số kết quả từ công thức Poisson.

(cid:90)

Định lý 2.4.8. Giả sử u là hàm liên tục trong miền Ω. Khi đó u là hàm điều hòa trong Ω khi và chỉ khi với mọi hình cầu BR = BR(ξ ) ⊂⊂ Ω ta đều có

∂ BR

udS u(ξ ) = 1 nωnRn−1

Định lý 2.4.9. Giới hạn của một dãy các hàm điều hòa trong miền Ω hội tụ đều là một hàm điều hòa trong đó.

Định lý 2.4.10. (Harnack về sự hội tụ) Giả sử un là một dãy đơn điệu không giảm các hàm đơn điệu không giảm các hàm điều hòa trong Ω và có một điểm ξ ∈ Ω sao cho dãy uN(ξ ) bị chặn. Khi đó dãy uN hội tụ đều trong miền con bị chặn bất kì Ω(cid:48) ⊂⊂ Ω tới một hàm điều hòa.

Định lý 2.4.11. (đánh giá tiên nghiệm của các đạo hàm) Giả sử u ∈ C(Ω) là hàm điều hòa trong Ω, Ω1 là tập con compac tùy ý trong Ω. Khi đó, đối với đa chỉ số α bất kì ta có

(cid:19)|α| u |Dαu| ≤ (2.23) (cid:18)n|α| d sup Ω sup Ω1

trong đó d = dist(Ω1, ∂ Ω).

Định lý 2.4.12. Mọi dãy bị chặn các hàm điều hòa trong Ω đều chứa một dãy con hội tụ điều hòa trong Ω đều chứa một dãy con hộ tụ đều trên các tâp compact của Ω tới một hàm điều hòa.

2.4.5 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền bị chặn -

Phương pháp Perron

Trong mục này chúng ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong miền bị chặn bất kỳ, theo

phương pháp Perron.

Định lý 2.4.13. (Hàm dưới điều hòa, hàm trên điều hòa) Hàm u ∈ C(Ω) được gọi là hàm dưới điều hòa (trên điều hòa) trong miền Ω, nếu mọi hình cầu B ⊂⊂ Ω và với mọi hàm h điều hòa trong B sao cho u ≤ h(u ≥ h) trên ∂ B, ta đều có u ≤ h(u ≥ h) trong B.

Dễ thấy mọi hàm điều hòa trong Ω đều là hàm dưới điều hòa và cũng là

hàm trên điều hòa.

Các hàm dưới điều hòa và trên điều hòa có các tính chất được chỉ ra

trong các bổ đề sau:

Bổ đề 2.4.14. Giả sử u ∈ C(Ω) là hàm dưới điều hòa trong Ω. Khi đó u nhận giá trị lớn nhất trên ∂ Ω.

Bổ đề 2.4.15. Giả sử u, v ∈ C(Ω) tương ứng là hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa trong Ω, u < v trên ∂ Ω. Khi đó ta có u ≤ v trong Ω.

Bổ đề 2.4.16. Giả sử u1, u2, ..., un là dãy các hàm dưới điều hòa trong Ω. Khi đó hàm u(x) = max{u1(x), ...un(x)} cũng là hàm dưới điều hòa trong Ω.

Định nghĩa 2.4.17. (Hàm cắt điều hòa) Cho u là một hàm dưới điều hòa trong Ω và hình cầu B ⊂⊂ Ω. Gọi u) là hàm điều hòa trong B bằng với hàm u trên ∂ B. Ta gọi hàm cắt điều hòa của hàm u đối với B trong Ω là hàm

u(x), x ∈ B   U(x) = (2.24) u(x), x ∈ Ω\B 

Bổ đề 2.4.18. Hàm cắt điều hòa của hàm dưới điều hòa đối với hình cầu B trong Ω là một hàm dưới điều hòa trong Ω.

Chú ý 2.4.19. Tương tự chúng ta có các kết quả tương ứng với các hàm trên điều hòa bằng cách thay u bởi −u trong các bổ đề trên.

Cho ψ là hàm bị chặn bất kì trên biên ∂ Ω. Kí hiệu Sψ là tập hợp tất cả

các hàm u ∈ C(Ω)

2.4.6 Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace

Xét bài toán Cauchy sau:

uxx + uyy = 0 trên Ω ux(x, 0) = φ0(x), uy(x, 0) = φ1(x) với |x| < 1

với Ω = (−l, l) × [0, h).

Hadamar đã nhận xét rằng nếu φ0(x) hoặc φ1(x) bằng 0 là một điều kiện

cần thiết cho sự tồn tại nghiệm là φ0(x) hoặc φ1(x) là một hàm giải tích.

Giả sử φ0(x)≡ 0 và u(x, y) là một lời giải trong Ω; −u(x, y) là một lời

giải trong Ω(cid:48) với Ω(cid:48) và Ω là đối xứng nhau qua trục hoành.

Hàm v(x, y) = u(x, y) trong Ω và v(x, y) = −u trong Ω(cid:48) thuộc lớp C1 là điều hòa trong Ω + Ω(cid:48) ngoại trừ hầu hết các điểm thuộc trục hoành. Nhưng từ những tính chất tốt của hàm điều hòa, từ đó v(x, y) điều hòa và giải tích trong Ω + Ω(cid:48). Vì thế , vy(x, 0) = φ1(x) là nhất thiết giải được trong (−l, l) ∈ Ω + Ω(cid:48).

Hadamar cũng đã nhận thấy được rằng điều kiện tương thích cho φ0(x) và φ1(x) phải được thỏa mãn để bài toán Cauchy có nghiệm. Điều kiện tương thích được đưa ra bởi Marcel-Riesz.

Giả sử u(x, y) là một hàm điều hòa trong tập mở S của không gian và lớp

C1(S) và biên của ∂ S có độ cong trơn. Sử dụng công thức Green ta có:

(cid:90) (cid:20)

(cid:21) log log dS (Q) − u(P) = (2.25) 1 2π ∂ ∂ n ∂ u(Q) ∂ n 1 P0Q 1 P0Q

P ∈ S.

Với P0 thuộc biên của S. Theo tính chất của thế vị lớp kép ta có

(cid:90) (cid:20)

(cid:21) log log dS (Q) − (2.26) u(P0) = u(P0) + 1 2 1 2π ∂ ∂ n ∂ u(Q) ∂ n 1 PQ 1 PQ

Giả sử P0 ∈ C1 với C1 là một cung thuộc ∂ S và ∂ S = C1 +C2. Ta xét

(cid:90)

(cid:20) (cid:21) log log dS (Q) − (2.27) V1(P0) = 1 2π ∂ ∂ n ∂ u(Q) ∂ n 1 PQ 1 PQ

(cid:90)

(cid:20) (cid:21) log dS log − (Q) (2.28) V2(P) = 1 2π ∂ ∂ n ∂ u(Q) ∂ n 1 PQ 1 PQ

Từ đó ta có: µP0 −V1(P0) = V2(P0) 1 2

1 2

S và nó nhận các dữ liệu Cauchy (u và )trên C2, thì các dữ liệu này phải Nhưng V2(P) là một hàm giải tích trên mặt phẳng trừ cung C2, bởi vậy V2(P) là giải tích trên C2. Do vậy u(P0) −V2(P0) phải là vết của hàm giải tích trên C2, hay nói một cách khác, tồn tại một hàm giải tích sao cho nó u(P0) −V2(P0) trên C2. Bởi vậy, nếu tồn tại hàm giải tích u(x, y) trên bằng ∂ u ∂ n thỏa mãn dữ liệu tương thích và có thể phát biểu rằng hàm số

(cid:90) (cid:20)

(cid:21) log log dS (Q) − (2.29) µP0 − 1 2 1 2π ∂ ∂ n ∂ u(Q) ∂ n 1 PQ 1 PQ

có thể khai triển thành một hàm giải tích trong lân cận của C1.

Điều kiện nàu dẫn tới sự hạn chế của các dữ liệu chấp nhận được của bài

toán (u và ∂ u ∂ n

(cid:90) b

) trên C2. Ví dụ, giả sử bài toán Cauchy được xét trong Ω. Ta có thể giả thiết S chứa trong Ω và C2 là đoạn (a, b) với −l < a < b < l. Từ điều kiện của Riecz, ta nhận thấy

(2.30) φ0(x) − φ1(ξ )log|x − ξ |dξ 1 2 1 2π

phải là một hàm giải tích với a < x < b. Điều này có thể kiểm tra được khi C1 thuộc trục x, Vì

log = 0 (2.31) ∂ ∂ n 1 P0Q

Thật vậy, P0 = (x, 0), Q = (ξ , y) và

y=0

(cid:20) (cid:21) log = − (2.32) = 0, x (cid:54)= ξ 1 2 ∂ ∂ y 2y |x − ξ |2 + y2 1 (cid:112)(x − ξ )2 + y2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)y=0

Bởi vậy điều kiện giải tích của (2.30) là điều kiện cần để tồn tại nghiệm

của bài toán Cauchy trên Ω.