Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

130
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác dưới đây trình bày về ánh xạ bảo giác; các nguyên lý cơ bản của ánh xạ bảo giác; ánh xạ bảo giác từ các miền giới hạn bởi đường cong bậc hai lên nửa mặt phẳng trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Mỹ Hạnh CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Mỹ Hạnh CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê thị Thiên Hương về sự hướng dẫn tận tình của cô trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn quí thầy cô thuộc khoa Toán – Tin trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quí báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp cao học K19 đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu. Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này.
MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.......................................................... 2 Chương 1. ÁNH XẠ BẢO GIÁC .................................................................. 8 1.1. Khái niệm ánh xạ bảo giác ..................................................................... 8 1.1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm .............................. 8 1.1.2. Ý nghĩa hình học của môđun đạo hàm ................................ 10 1.1.3. Ánh xạ bảo giác ................................................................... 11 1.1.4. Ánh xạ bảo giác loại hai ...................................................... 12 1.2. Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác ..................................................... 15 1.2.1. Ánh xạ hình tròn đơn vị lên chính nó.................................. 15 1.2.2. Điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác ............... 18 Chương 2. CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA ÁNH XẠ BẢO GIÁC ... 20 2.1. Nguyên lí bảo toàn miền......................................................... 20 2.2. Nguyên lí ánh xạ một-một..................................................... 26 2.3. Nguyên lí đối xứng Riemann-Schwars................................... 27 2.4. Tổng quát hóa nguyên lí đối xứng.......................................... 33 2.5. Nguyên lý thác triển giải tích Schwars................................... 34 2.6. Nguyên lí đối xứng đối với hàm điều hòa .............................. 36 2.7. Ứng dụng nguyên lí đối xứng................................................. 40 Chương 3. ÁNH XẠ BẢO GIÁC TỪ CÁC MIỀN GIỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG CONG BẬC HAI LÊN NỬA MẶT PHẲNG TRÊN................................. 42 3.1. Miền giới hạn bởi hyperbol .................................................... 42 3.2. Miền giới hạn bởi parabol ...................................................... 44 3.3. Miền giới hạn bởi parabol và ellip ......................................... 50 3.4. Ánh xạ miền trong ellip lên nửa mặt phẳng ........................... 58
KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 MỞ ĐẦU Trong lĩnh vực lý thuyết hàm biến phức, việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền khác là một công việc rất hữu ích. Nó giúp cho việc tính toán một số đại lượng hay khảo sát tính chất một số miền cho trước trở nên linh hoạt và dễ dàng hơn. Tuy nhiên, để việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền kia thực hiện được đơn giản hơn thì ngoài việc nắm được khái niệm, ta cần nắm vững các nguyên lý của nó trong quá trình thực hiện ánh xạ. Chính vì vậy, trong luận văn này, sau khi nêu khái niệm và điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác, chúng tôi tập trung vào hệ thống sáu nguyên lý cơ bản của ánh xạ bảo giác (có kèm theo chứng minh cụ thể từng nguyên lý). Đồng thời, để người đọc thấy rõ hơn vai trò của các nguyên lý khi xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền khác, chúng tôi đã đưa ra một số ví dụ minh họa. Luận văn gồm bốn chương: - Chương 0 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau. - Chương 1 nêu ý nghĩa hình học của argument và môđun đạo hàm, từ đó đưa ra khái niệm ánh xạ bảo giác và điều kiện để ánh xạ bảo giác tồn tại và xác định duy nhất. - Chương 2 phát biểu các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác và chứng minh các nguyên lý đó. - Chương 3 đưa ra một số ví dụ về ứng dụng các nguyên lý trên để xây dựng ánh xạ bảo giác từ các miền giới hạn bởi các đường: parabol, ellip,... lên nửa mặt phẳng trên. Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo.
2 Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1. Các khái niệm 0.1.1. Một số khái niệm của số phức - Cho số phức z = x + iy .Trong mặt phẳng Oxy, ta xác định được điểm M ( x, y ) gọi là tọa vị của số phức z . JJJJG - Cho số phức z có tọa vị là M. Khi đó, độ dài của OM gọi là môđun của số phức z , JJJJG ký hiệu z = OM = r . - Trong mặt phẳng Oxy , cho số phức z có tọa vị là M . Khi đó argument của số JJJJG phức z là góc tạo nên giữa hướng dương của trục thực và OM , nhận hướng ngược chiều kim đồng hồ làm hướng dương. JJJGJJJJG ( Ký hiệu Argz = Ox,OM = ϕ + k 2π . ) Đặc biệt, trị số của Arg z ∈ ( −π , π ] gọi là giá trị chính của Argument, ký hiệu arg z . Trường hợp z = 0 thì Arg z không xác định. - Cho 2 số phức z1 , z2 * Arg ( z1.z2 ) = Argz1 + Argz2 + k 2π ⎛z ⎞ * Arg ⎜ 1 ⎟ = Argz1 − Argz2 + k 2π ( z2 ≠ 0 ) ⎝ z2 ⎠ 0.1.2. Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức Mọi số phức z = x + iy đều có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) trong đó r = z , ϕ ∈ Argz . Dạng mũ của số phức đó là z = reiϕ . 0.1.3. Tập liên thông Tập X là tập liên thông nếu không tồn tại hai tập mở A, B sao cho X ∩ A ≠ φ, X ∩ B ≠ φ; X ∩ A ∩ B = φ; X ⊂ A ∪ B .
3 0.1.4. Miền - Miền là tập hợp con X của ^ có hai tính chất i. Với mỗi điểm thuộc X luôn tồn tại hình tròn đủ bé nhận điểm đó làm tâm và nằm hoàn toàn trong X (tập mở). ii. Có thể nối hai điểm bất kỳ thuộc X bằng một đường cong nằm hoàn toàn trong X (tập liên thông). - Miền X có biên là một tập liên thông được gọi là miền đơn liên. Ngược lại, miền X có biên không phải tập liên thông là miền đa liên. 0.1.5. Một số khái niệm liên quan đến đường cong - Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng. Đường cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan đóng gọi là chu tuyến. - Giả sử ϕ ( t ) và µ ( t ) là các hàm thực trên đoạn [ a, b ] của đường thẳng thực. Khi đó phương trình z = z ( t ) = ϕ ( t ) + i µ ( t ) , a ≤ t ≤ b biểu diễn tham số một đường cong L = z ( [ a, b ] ) trong mặt phẳng phức ^ . Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm ϕ ( t ) , µ ( t ) có đạo hàm liên tục và các đạo hàm đó không đồng thời bằng không với mọi t ∈ [ a, b ] . Đường cong liên tục tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn được gọi là trơn từng khúc. 0.1.6. Cung giải tích - Một cung của đường cong được gọi là giải tích nếu tọa độ chạy x, y của nó là hàm số của tham số t trong khoảng a < t < b và khai triển được thành chuỗi lũy thừa ở lân cận của mỗi điểm t . - Ta lại gọi một cung là giải tích đều nếu nó không có điểm bội mà tại đó x ', y ' triệt tiêu đồng thời. 0.1.7. Hàm đơn trị Xét hàm số w = f ( z ) , nếu mỗi giá trị của đối số có một giá trị duy nhất của hàm số thì hàm số đó được gọi là hàm đơn trị. Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận được nhiều giá trị của hàm số thì hàm số được gọi là hàm đa trị.
4 0.1.8. Hàm đơn diệp Một hàm số f : D → D∗ được gọi là đơn trị một đối một, hay đơn diệp, nếu với hai điểm bất kỳ z1 , z2 ∈ D, z1 ≠ z2 thì ảnh f ( z1 ) ≠ f ( z2 ) . 0.1.9. Hàm chỉnh hình (hàm giải tích) - Cho D là tập mở khác rỗng trong ^ . Hàm số f : D → ^ được gọi là khả vi phức ( ^ -khả vi) tại z0 ∈ D nếu tồn tại hàm f1 : D → ^ liên tục tại z0 và f ( z ) = f ( z0 ) + ( z − z0 ) f1 ( z ) , ∀z ∈ D - Cho D là tập mở khác rỗng trong ^ . Hàm số f : D → ^ được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó khả vi phức tại mọi điểm thuộc D . - Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ D , nếu tồn tại một lân cận mở U của z0 nằm trong D sao cho hàm f U chỉnh hình trên U . 0.1.10. Hàm điều hòa -Hàm v ( x, y ) được gọi là điều hòa trong một miền nếu nó đơn trị trong miền đó, có đạo hàm liên tục đến cấp hai và thỏa mãn phương trình ∂ 2v ∂ 2v ∆v = + =0 ∂x 2 ∂y 2 - Phần thực, phần ảo của một hàm giải tích là những hàm điều hòa. 0.1.11. Không điểm và cực điểm - Điểm z = a gọi là điểm không (hay không điểm) của hàm f ( z ) nếu lim f ( z ) = 0 . z →a - Điểm z = a gọi là cực điểm ( ∞ -điểm) của hàm f ( z ) nếu lim f ( z ) = ∞ . z →a 0.1.12. Yếu tố Ta quy ước yếu tố là tập hợp gồm một điểm và một hướng qua nó. 0.2. Một số định lý sử dụng trong luận văn 0.2.1. Định lý 1 (tính chất của phép biến đổi tuyến tính) Mọi ánh xạ tuyến tính có tính chất biến vòng tròn này thành vòng tròn kia. (Coi đường thẳng là đường tròn với bán kính vô cùng lớn).
5 0.2.2. Định lý 2 Ánh xạ tuyến tính biến hình tròn đơn vị trong mặt phẳng z thành hình tròn z −α đơn vị trong mặt phẳng w có dạng: w = eiθ , trong đó: α < 1, θ là số thực bất 1−α z kỳ. 0.2.3. Định lý 3 ( định lý tích phân Cauchy) Nếu hàm f giải tích trong miền đơn liên D ⊂ ^ thì tích phân của nó theo chu tuyến đóng γ : I → D bất kỳ là bằng không, tức là ∫γ f ( z )dz = 0 0.2.4. Định lý 4 ( công thức tích phân Cauchy) Cho hàm f giải tích trên miền D và γ là một chu tuyến trong D sao cho miền Dγ hữu hạn giới hạn bởi γ nằm trong D . Khi đó, ∀z0 ∈ Dγ ta có - Công thức tích phân Cauchy 1 f ( z) f ( z0 ) = ∫ dz 2π i γ z − z0 - Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm n! f ( z) f n ( z0 ) = ∫ dz ; n = 0,1, 2,... 2π i γ ( z − z0 ) n +1 0.2.5. Định lý 5 (công thức tích phân cơ bản thứ hai của Cauchy) Giả sử f giải tích trên miền D và D∗ là miền giới nội thuộc D cùng với biên gồm một số hữu hạn đường cong đóng Jordan đo được. Khi đó ⎧ D 1 f (ζ ) ⎪ f ( z ) , z ∈ D∗ 2π i ∂D∫∗ ζ − z dζ = ⎨ ⎪⎩0, z ∉ D∗ 0.2.6. Định lý 6 Giả sử γ là đường cong đóng Jordan đo được và f : γ → ^ là hàm liên tục trên γ . Khi đó tích phân
6 1 f (ζ ) F ( z) = 2π i ∫γ ζ − z dζ sẽ xác định những hàm chỉnh hình trên các thành phần liên thông của phần bù ^ \ γ . 0.2.7. Định lý 7 (bất đẳng thức Cauchy đối với hệ số của chuỗi lũy thừa) Nếu chuỗi lũy thừa f ( z ) = a0 + a1 z + ... + an z n + ... hội tụ trong hình tròn z < R và biểu diễn hàm số f ( z ) có môđun nhỏ hơn M thì M an ≤ (n = 0,1, 2,...) . Rn 0.2.8. Định lý 8 (nguyên lý môđun cực đại) Môđun của hàm số chỉnh hình trong miền mở G không đạt được cực đại tại mọi điểm của miền này, ngoại trừ hàm đồng nhất là hằng số. 0.2.9. Định lý 9 (tính duy nhất của hàm giải tích) Nếu hai hàm số f ( z ) và ϕ ( z ) chỉnh hình trong miền G nào đó và nhận các giá trị bằng nhau trên mọi tập hợp E gồm vô hạn các điểm của G , trong đó E có ít nhất một điểm giới hạn nằm bên trong G , thì hai hàm số này bằng nhau khắp nơi trên G . 0.2.10. Định lý 10 Nếu hàm số đơn trị không có điểm bất thường nào khác cực điểm trên mặt phẳng “mở rộng” thì nó là hàm hữu tỷ. 0.2.11. Định lý 11 (bổ đề Hay-nơ-Boren) A là tập compắc khi và chỉ khi từ mọi phủ mở của A đều có thể trích một phủ con hữu hạn, tức là có một số hữu hạn chỉ số i1 ,i 2 ,...,i n sao cho A ⊂ U i1 ∪ U i2 ∪ ... ∪ U in , U ik ∈ {U} , k = 1, 2,..., n với { U} là một phủ mở của A . 0.2.12. Định lý 12 (định lý thặng dư lôga) Nếu f ( z ) giải tích tại mọi điểm trong chu tuyến Γ (đóng kín và trơn từng
7 1 f '( z ) 2π i ∫Γ f ( z ) − a khúc) không trừ điểm nào, thì tích phân dz cho ta số nghiệm của phương trình f ( z ) = a ở trong chu tuyến Γ .
8 Chương 1. ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1.1. Khái niệm ánh xạ bảo giác 1.1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm Giả sử hàm w = f ( z ) là hàm số giải tích trên miền G . Ta sẽ biểu diễn gía trị của hàm số w = u + iv bởi điểm trên mặt phẳng w . Mỗi diểm z = x + iy trên mặt phẳng của biến số độc lập z sẽ tương ứng với một điểm w = u + iv trên mặt phẳng w (hình 1.1 và 1.2). Khi điểm z chuyển động trên mặt phẳng z theo một đường cong C nào đó thì điểm tương ứng w nó sẽ chạy trên đường cong Γ trong mặt phẳng w , là ảnh của đường cong C . y z0 +∆z 0 w0+ ∆ w0 C’ v C z0 w0 ψ Φ ϕ Ψ x u 0 0 Hình 1.1 Hình 1.2 Gọi z0 là điểm bất kỳ trên miền G và C là đường cong cho trước có hướng xác định, C đi qua z0 và có tiếp tuyến xác định tại z0 . Giả sử f ' ( z0 ) ≠ 0 . Trên mặt phẳng w , ảnh của C là Γ đi qua điểm w0 = f ( z0 ) . Nếu phương trình của C là z = z ( t ) (0 ≤ t ≤ 1) thì phương trình của Γ sẽ là w = f ( z ) = f ⎣⎡ z ( t ) ⎦⎤ = w ( t ) (0 ≤ t ≤ 1) . Để giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm f ' ( z0 ) , ta sẽ biểu diễn số phức f ' ( z0 ) ở dạng lượng giác f ' ( z0 ) = r (cos α + i sin α ) và nêu ý nghĩa hình học của argument α và môđun r của đạo hàm.
9 Lấy điểm bất kỳ z0 + ∆z0 trên đường cong C và ký hiệu w0 + ∆w0 là điểm tương ứng với nó trên mặt phẳng w thuộc đường cong Γ . Khi điểm z0 + ∆z0 tiến về điểm z0 trên đường cong C thì điểm tương ứng w0 + ∆w0 sẽ tiến về điểm w0 trên đường cong Γ , trong đó ∆z0 , ∆w0 cùng tiến về 0. ∆w0 Từ đẳng thức f ' ( z0 ) = lim = r ( cos α + i sin α ) , ta có ∆z0 →0 ∆z0 ∆w0 lim =r (1.1) ∆z0 →0 ∆z0 ⎛ ∆w0 ⎞ lim ⎜ arg ⎟ =α (1.2) ⎝ ∆z0 →0 ∆z0 ⎠ (chính xác đến bội của 2π ). Lưu ý rằng ở đây phải thỏa mãn điều kiện f ' ( z0 ) ≠ 0 vì nếu trái lại thì góc α không có giá trị xác định. Xét đẳng thức (1.2), ta có ∆w0 lim arg = lim arg ∆w0 − lim arg ∆z0 = α (1.2’) ∆z0 →0 ∆z0 ∆z0 →0 ∆z0 → 0 Ta giải thích ý nghĩa hình học của (1.2’) sử dụng các hình 1, hình 2. Rõ ràng, ∆z0 = ( z0 + ∆z0 ) − z0 được biểu diễn bởi vecto nối điểm z0 với điểm z0 + ∆z0 , còn ∆w0 là vecto nối từ điểm w 0 đến điểm w0 + ∆w0 . Suy ra, arg ∆z0 là góc ϕ nằm giữa hướng dương của trục Ox và vecto ∆z0 tương ứng, còn arg ∆w0 là góc φ giữa trục Ou và vecto ∆w0 . Vậy (1.2’) sẽ có dạng lim φ − lim ϕ = α (1.2’’) ∆z0 →0 ∆z0 →0 Ở vị trí giới hạn, hướng của vecto ∆z0 sẽ trùng với hướng của tiếp tuyến với đường cong C tại điểm z0 (hình 1.1), còn hướng của vecto ∆w0 trùng với hướng của tiếp tuyến với Γ tại điểm w0 (hình 1.2), tiếp tuyến này tồn tại theo đẳng thức (1.2’). Ký hiệu ψ và Ψ là các góc của trục Ox và Ou với các tiếp tuyến tương ứng của C và Γ tại z0 và w0 . Ta có thể viết (1.2’’) dưới dạng Ψ −ψ = α hay Ψ = ψ + α (1.3)
10 Ta quy ước hướng dương của các trục Ox và Ou trùng nhau. Khi đó, từ (1.3) ta có α là góc mà tiếp tuyến với C tại điểm z0 đã quay trong ánh xạ w = f ( z ) . Nói một cách khác, α là góc giữa hướng ban đầu với hướng sau ánh xạ. Để ý rằng đường cong C được chọn tùy ý, khi hướng của C thay đổi thì ψ và Ψ đều thay đổi nhưng góc α không đổi. Do đó, nếu tại z0 ta có đường cong C ' khác và gọi đường cong tương ứng với nó tại w0 là Γ ' (hình 1.1 và 1.2) thì (1.3) có dạng Ψ ' = ψ '+ α trong đó ψ ', Ψ ' là các giá trị ψ , Ψ tương ứng đối với C ' và Γ ' . Từ (1.3) và (1.3’) suy ra Ψ '− Ψ = ψ '−ψ (1.4) Để ý rằng góc ψ '−ψ là góc giữa các tiếp tuyến tại điểm z0 với các đường cong C và C ' , còn Ψ '− Ψ là góc tương ứng với Γ và Γ ' . Từ (1.4) ta có hai đường cong bất kỳ xuất phát từ z0 ánh xạ tương ứng vào hai đường đi qua điểm w0 = f ( z0 ) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến của hai đường cong ban đầu và góc giữa hai tiếp tuyến của hai đường cong ảnh bằng nhau cả về độ lớn và hướng . Điều đó có nghĩa là nếu hướng dương của đường cong C tại điểm z0 quay một góc α (có hướng xác định) đến hướng dương của đường cong C ' , thì hướng tương ứng của đường cong Γ cũng quay một góc α đến hướng của Γ ' với cùng hướng đó. Vậy ánh xạ bởi hàm giải tích có tính chất bảo toàn góc giữa tất cả các điểm mà tại đó f ' ( z ) ≠ 0 . 1.1.2. Ý nghĩa hình học của môđun đạo hàm Xét đẳng thức (1.1) ta có ∆w0 f ' ( z0 ) = lim =r (1.1’) ∆z0 →0 ∆z0 Về mặt hình học, ∆z0 là độ dài vecto ∆z0 , tức là khoảng cách giữa z0 và z0 + ∆z0 (hình 1.1); tương tự, ∆w0 là khoảng cách giữa các điểm w0 và w0 + ∆w0 tương ứng (hình 1.2). Đẳng thức (1.1’) chỉ ra rằng tỷ số giữa khoảng cách vô cùng
11 bé giữa các điểm ảnh và điểm ban đầu khi lấy giới hạn sẽ là r = f ' ( z0 ) không phụ thuộc vào hướng của C . Do đó có thể xem r = f ' ( z0 ) là đại lượng đo tỷ lệ tại điểm z0 trong ánh xạ bởi hàm số w = f ( z ) . Nếu r > 1 thì tỷ lệ tăng, nghĩa là có sự giãn của phần tử vô cùng bé tại z0 ; nếu r < 1 thì ngược lại có sự co; nếu r = 1 thì tỷ lệ này không đổi, nghĩa là phần tử vô cùng bé tại z0 được thay thế bởi phần tử vô cùng bé tương đương với nó tại điểm w0 . Vì r = f ' ( z0 ) chỉ phụ thuộc vào z0 mà không phụ thuộc vào hướng của C nên tỷ lệ này thường được gọi là sự biến dạng tại điểm z0 và nó sẽ không phụ thuộc vào hướng. Vậy có thể nói rằng ánh xạ bởi hàm số giải tích w = f ( z ) có độ co giãn không phụ thuộc vào hướng tại mọi điểm z0 sao cho f ' ( z0 ) ≠ 0 . 1.1.3. Ánh xạ bảo giác 1.1.3.1. Khái niệm Ánh xạ có tính chất bảo toàn góc và có độ co giãn không đổi được gọi là ánh xạ bảo giác. 1.1.3.2. Mối quan hệ giữa ánh xạ bảo giác và ánh xạ giải tích Ta đã biết mọi ánh xạ giải tích, tức là ánh xạ cho bởi hàm số giải tích w = f ( z ) tại mọi điểm z0 mà tại đó f ' ( z0 ) ≠ 0 đều có hai tính chất 1. Bảo toàn góc; 2. Độ co giãn không đổi. Nếu trên mặt phẳng của biến số phức z , ta lấy một tam giác vô cùng bé sao cho z0 là một trong các đỉnh của nó thì trên mặt phẳng của biến w sẽ có tam giác cong vô cùng bé với một đỉnh là w0 (hình 1.3 và 1.4). Các góc tương ứng của hai tam giác này sẽ bằng nhau theo tính chất bảo toàn góc; tỷ số các cạnh tương ứng chính xác đến vô cùng bé sẽ bằng số cố định r ≠ 0 . Hai tam giác vô cùng bé như vậy được gọi là đồng dạng với nhau. Vậy ánh xạ giải tích là ánh xạ đồng dạng trong vô cùng bé (tại lân cận mỗi điểm z sao cho f ' ( z ) ≠ 0 ).
12 y v z0 w0 x u 0 0 Hình 1.3 Hình 1.4 Từ các lập luận ở mục 1.1.1 và 1.1.2 trên đây ta có thể khẳng định rằng: mọi ánh xạ được cho bởi hàm số giải tích w = f ( z ) là ánh xạ bảo giác tại mọi điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số này khác không. Ngược lại, nếu hàm đơn trị w = f ( z ) xác định ánh xạ bảo giác thì hàm số f ( z ) là hàm giải tích với đạo hàm khác không. 1.1.4. Ánh xạ bảo giác loại II 1.1.4.1. Khái niệm Mọi ánh xạ từ mặt phẳng của biến số phức z (hay một phần của nó) lên mặt phẳng w trong đó góc được bảo tồn về độ lớn, còn hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại và có độ co giãn không đổi được gọi là ánh xạ bảo giác loại II. Cần phân biệt, ánh xạ bảo giác loại II với ánh xạ giải tích được gọi là ánh xạ bảo giác loại I. Cả hai loại ánh xạ này đều được cho bởi hàm số có liên quan chặt chẽ với hàm giải tích. 1.1.4.2. Ví dụ Cho ánh xạ w = z . Ta sẽ biểu diễn số w trên cùng một mặt phẳng với z , khi đó ta thấy rằng mọi điểm của z sẽ ánh xạ vào điểm đối xứng với nó qua trục thực. Rõ ràng trong ánh xạ này, hai hướng bất kỳ xuất phát từ z và tạo thành góc α nào đó sẽ biến thành hai hướng tương ứng đối xứng với hai hướng ban đầu, góc giữa chúng sẽ là −α , nghĩa là độ lớn của góc được bảo toàn nhưng hướng quy chiếu được thay đổi thành hướng ngược lại (hình 1.5). Ngoài ra, ánh xạ này có độ co giãn không đổi vì không có sự thay đổi nào về tỷ lệ xích trong ánh xạ này.
13 Vậy ánh xạ w = z đã cho là ánh xạ bảo giác loại II. y z 0 x z Hình 1.5 1.1.4.3. Tính chất Định lý 1 Mọi ánh xạ được cho bởi hàm số có giá trị là số phức liên hợp của giá trị của hàm giải tích, đều là ánh xạ bảo giác loại II. Chứng minh Giả sử f ( z ) là hàm giải tích, ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ w = f ( z ) là ánh xạ bảo giác loại II. Thật vậy, phép biến đổi này có thể tách thành hai ánh xạ liên tiếp: ζ = f ( z ) và w = ζ . Trong ánh xạ thứ nhất, góc được bảo toàn về hướng và độ lớn. Trong ánh xạ thứ hai, hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại. Do đó sau hai ánh xạ, góc được bảo toàn về độ lớn nhưng hướng quy chiếu biến đổi thành hướng ngược lại. Ngoài ra, ánh xạ này có độ co giãn không đổi vì cả hai ánh xạ thành phần đều có tính chất này. Vậy ta có điều phải chứng minh. Định lý 2 Mọi ánh xạ bảo giác loại II đều được cho bởi hàm số liên hợp với một hàm giải tích nào đó.
14 Chứng minh Thật vậy, nếu w = F ( z ) là ánh xạ bảo giác loại II thì w = F ( z ) sẽ xác định ánh xạ bảo giác loại I, suy ra F ( z ) là hàm số giải tích trên miền đang xét: F ( z ) = f ( z ) , suy ra F ( z ) = f ( z ) . Vậy định lý đã được chứng minh. Ta đã thấy rằng ánh xạ giải tích có hai tính chất đặc trưng: bảo toàn góc và độ co giãn không đổi. Vấn đề đặt ra là: phải chăng mọi ánh xạ liên tục có tính chất bảo toàn góc đều là ánh xạ giải tích, nghĩa là tính chất bảo toàn góc có kéo theo tính chất độ co giãn không đổi? Nói cách khác, phải chăng mọi ánh xạ liên tục có độ co giãn không đổi luôn là ánh xạ bảo giác lọai I hoặc loại II. Không đi sâu vào việc giải quyết hai vấn đề này, ta chỉ nhận xét rằng cả hai vấn đề này đều đã được giải quyết bởi câu trả lời khẳng định bằng các phương pháp sơ cấp. Ta có giả thiết với w = u + iv thì u và v đều có các đạo hàm riêng liên tục. Vấn đề sẽ khó giải quyết hơn nếu ta chỉ xét các ánh xạ liên tục bất kỳ mà không có điều kiện các đạo hàm riêng của u và v liên tục. Tuy nhiên gần đây người ta đã giải quyết được hai bài toán trên trong trường hợp tổng quát. Cụ thể, người ta đã chứng minh được rằng: mọi ánh xạ liên tục và là song ánh mà bảo toàn góc đều là ánh xạ giải tích. Câu hỏi: “Liệu điều kiện ánh xạ song ánh có thể bỏ qua được không?” đến giờ vẫn chưa giải quyết được triệt để. Ngoài ra, người ta cũng chứng minh được rằng: mọi ánh xạ song ánh liên tục có độ co giãn không đổi đều là ánh xạ bảo giác loại I hoặc loại II. Ở đây điều kiện ánh xạ là song ánh là bắt buột vì ta có thể xét một ví dụ sau đây. Cho ánh xạ ⎧⎪z,neá u ñieå m thuoä c z naè m nöû a maë t phaú ng treâ n w=⎨ ⎪⎩z ,neá u ñieå m thuoä c z naè m nöû a maë t phaú ng döôù i Lưu ý: trên trục thực z = z
15 Rõ ràng ánh xạ này liên tục trên toàn bộ mặt phẳng của biến số phức z và có độ co giãn không đổi nhưng nó không là ánh xạ giải tích trên cả mặt phẳng cũng không là ánh xạ liên hợp của ánh xạ giải tích. 1.2.Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 1.2.1. Ánh xạ hình tròn đơn vị lên chính nó Theo định lý 1, mọi phép biến đổi tuyến tính đều có tính chất biến vòng tròn thành vòng tròn. Bây giờ ta chứng minh tính chất đó đặc trưng cho ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, giả sử w = f ( z ) là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn thành mặt tròn khác. Ta sẽ chứng minh nó là ánh xạ tuyến tính. Đầu tiên, ta gọi Γ là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã cho của mặt phẳng z thành mặt tròn đơn vị của mặt phẳng τ , và Γ1 là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã cho của mặt phẳng w thành mặt tròn đơn vị đó của mặt phẳng τ . Vậy thì ánh xạ S = Γ1 f Γ −1 sẽ biến mặt tròn đơn vị trên mặt phẳng τ thành chính nó. Nếu chứng minh được S là tuyến tính thì ta kết luận f = Γ1−1S Γ cũng là tuyến tính. Thế thì, vấn đề được đưa về xét tính đặc trưng của ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn đơn vị thành chính nó. Ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đơn vị thành chính nó như đã biết ở định lý 2 có dạng z −α w = eiθ (2.1) 1−α z trong đó α < 1 và θ là số thực bất kỳ. Nó chứa ba tham số thực tùy ý, nên được xác định duy nhất bởi ba điều kiện. Cho trước một yếu tố gồm điểm α và hướng θ đi qua điểm đó, thì ánh xạ tuyến tính biến yếu tố đó thành yếu tố gồm gốc tọa độ và hướng dương trục thực, được xác định duy nhất bởi công thức (2.1). Về giải tích, dữ kiện cho trước có thể viết là w (α ) = 0, arg w' (α ) = θ (2.2)