Tailieumontoan.com

Tài liệu sưu tầm
TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Tài liệu sưu tầm, ngày 12 tháng 8 năm 2020
Website: tailieumontoan.com
MỤC LỤC
Trang
Chương I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Chủ đề 1 Kỹ thuật biến đổi tương đương 3
Chủ đề 2
Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính
chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 44
1. Sử dụng tính chất của tỉ số 45
2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 54
3. Sử dụng tính chất tam thức bậc hai. 59
Chủ đề 3 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng 68
Chủ đề 4
Chứng minh các bất đẳng thức về tổng, tích của dãy số - Phương
pháp quy nạp 86
Chủ đề 5 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức CAUCHY 117
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang
trung bình nhân 118
2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang
trung bình cộng. 141
3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy 161
4. Kỹ thuật thêm bớt 175
5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 191
6. Kỹ thuật đổi biến số 199
Chủ đề 6
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPXKI
220
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi
221
2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
236
3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
252
4. Kỹ thuật thêm bớt
275
5. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki
289
Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC
Chủ đề 7 Ứng dụng nguyên lý DIRICHLET trong chứng minh bất đẳng thức 307
Chủ đề 8 Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức 319
Chủ đề 9 Ứng dụng một hệ quả của bất đẳng thức SCHUR 333
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
Trang 1/10
Website: tailieumontoan.com
Chủ đề 10
Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán
tìm cực trị. 344
1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh
điển 344
2. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật đổi biến số. 367
3. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật sắp thứ tự các biến 382
4. Phương pháp tiếp tuyến 389
5. Khảo sát hàm nhiều biến số 393
6. Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề 398
7. Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển 405
Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Chủ đề 11 Một số bất đẳng thức hay và khó 409
Chủ đề 12
Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, thi TSĐH và
tuyển sinh lớp 10 chuyên toán. 649
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
Trang 2/10
Website: tailieumontoan.com
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. Định nghĩa
Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó
+
A B; A B; A B; A B><≥≤
được gọi là các bất đẳng thức.
+ Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau
AB0;AB0;AB0;AB0−> −< −≥ −≤
+ Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai.
Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức
đúng.
II. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
+ Tính chất giao hoán
Với các số thực A và B bất kì, ta luôn có
AB BA≤⇔≥
+ Tính chất bắc cầu
Với các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có
+ Tính chất liên hệ với phép cộng
- Với các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có
AB AMBM≤⇔± ≤±
- Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có
AB;CD ACBD
A B; C D A D B C
• ≤ ≤⇒+≤+
• ≤ ≤⇒−≤−
+ Tính chất liên hệ với phép nhân
- Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có
A B; M 0 A.M B.M
A B; M 0 A.M B.M
• ≤ >⇒ ≤
• ≤ <⇒ ≥
- Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có
0AB
0 A.C B.D
0CD
<<
⇒< <
<<
+ Tính chất liên hệ với lũy thừa
- Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có
nn
AB0 A B 0• ≥ ≥⇔ ≥ ≥
, với n là số thực dương.
nn
AB A B• ≥⇔ ≥
, với n là số tự nhiên lẻ.
nn
AB A B 0• ≥⇔ ≥≥
, với n là số tự nhiên chẵn.
mn
m n 0; A 1 A A• ≥ > ≥⇒ ≥
mn
m n 0; 0 A 1 A A• ≥ > < <⇒ ≤
+ Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo
- Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có
11
AB AB
≥⇔ ≤
III. Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ
+
2
A0≥
với
∀
A
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2938 Trang 1/41
Website: tailieumontoan.com
+
2k
A0≥
với
∀
A và k là số tự nhiên
+
A0≥
với
A∀
+
AB A B+≥ +
+
AB A B−≤ −
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2938 Trang 2/41