TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nguyễn Lê Phước Thịnh Page 1
I.Vài căn thức cơ bản:
:
3
3
22
23
3
22
00
;;
, 0;
BB
A B A B A B A B
A B A B
A B A B
A B A B A B
AB A AB B









Chuù yù: sao cho baäccuûaB
Ñaây laø trình töï truïc caên thöùclieân hôïp caàn phaûi ghi nhôù veà baäc soá
ví duï: Khi truïc caên chæ ñöôïc pheùp tröø ñi caùc bieåu thöùc baäc
3
2 3 2 3
323 4,
A B A
x x x x x x
xx

 nhoû hôn noù
, ñuùng trình töï ; 5 khi noù mang daáu aâm)
33
22
3
3 4 5 6 6 3 4(x x x x x x
II.Kiến thức về hàm số:
ñôn ñieäu treân D
Neáu ñôn ñieäu treân D coù 1 cöïc trò
c)Neáu coù 1 cöïc trò , nghieäm keùp ha
00
0 0 1 2 1 2
0 0 0
a) ( ) ! : ( ) 0
b) "( ) 0( 0) '( ) , ! : '( ) 0, ( ) ! , : ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0, "( ) 0( 0) :
f x x f x
f x f x x f x f x x x f x f x
f x x f x f x x
y
Neáu thì Nghieäm boäi chaün laø cöïc trò, boäi leû khoâng laø cöïc trò
ñôn ñieäu treân D
Neáu ñoàng bieántreân D D nghò
0
2
'( ) 0
d) ( ) ( ) ( ) '( ) 0.
e) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
f) ( ) , ( ) ( ) , ;
fx
f x x a g x f a
f a f b f x f a f b
f x f a f b a b a b
ch bieán ab
III.Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm:
Ta seõ nhoùm bieåu thöùc voâ nghieäm veà daïng:
Ta seõ chöùng minh voâ ng
4 3 2
222
4 3 2 2 2 2 2
22
0
2 2 ( )
244
()
ax bx cx dx e
b c d e b c b d mb e c b
x x x x x x m x m x m x m g x
a a a a a a a a a a
aa
gx
hieäm:
Söû duïng maùy tính, deã daøng tìm ñöôïc soá m laøm cho (1) <0.Vaäy ta ñaõ chöùng minh ñöôïc voâ nghieäm
2
22
2
22
2 0 4 2 0
44
()
c b d mb c b e
m m m
a a a a a
aa
gx



Giaûi phöông trình baäc 4 daïng: a
C1:Söû duïng maùy tính tìm ra 2 nghieäm, sau ñoù nhoùm thaønh
a
C2:Ñoàngnhaát heä soá, ñöa veà daïng
4 3 2
4 3 2 2 2
0
0 ( )( ' ') 0
x bx cx dx e
AB P A B S
x bx cx dx e x Sx P x S x P
Caùch ni raát phöùc taïp, toát nhaát laø khoâng neân duøng caùch naøy
22
' ' ' 0mx nx p m x n x p
C3:Xét
4 3 2 0f x ax bx cx dx e
, có đồ thị
()C
. Ta hi vọng bằng một phép chuyển dịch nào đó sẽ biến
phương trình này trở thành trùng phương. Tiến hành đặt
0
x X x
,
là tham số và X là ẩn mới, thay thế vào
()fx
, nếu tìm được số
sao cho các hệ số bậc lẻ =0 thì có thể chuyển về phương trình trùng phương để giải.
VD:
4 3 2
4 8 8 5 0x x x x
.
Đặt
0
x y x
, ta được
4 3 2
0 0 0 0
( ) 4( ) 8( ) 8( ) 5 0y x y x y x y x
. Khai triển biểu thức này, chúng ta chỉ
quan tâm đến số mũ lẻ với
y
mà thôi. Ở đây là:
3 3 3 2 3 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
4 4 4 12 16 8 4 4 4 12 16 8y x yx y yx yx y x y x x x y
. Để hàm đã cho trở thành trùng
phương thì sẽ các hệ số của
3,0yy
ta thấy ngay
01x
thoả mãn điều này. Đặt
1yx
, thế vào phương trình
ta được
42
2 2 0yy
. Đến đây OK.
TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nguyễn Lê Phước Thịnh Page 2
Phần I: PHƯƠNG TRÌNH
1)
32
5 3 3 (3 6) 3 4x x x x x
,
4 / 3x
Phân tích: Phương trình này có thể đưa về dạng
( ) ( )f a f b
,sau đó xét hàm số đặc trưng và tìm được nghiệm của phương
trình. Ta phân tích bài toán này như sau:
C1: VP của phương trình có dạng
3
(3 4) 3 4 2 3 4 2x x x t t
(Đặt
3 4 , 0x t t
)
Phương trình
3 2 3
5 3 3 2 (1)x x x t t
, thế nhưng VT không thể viết dưới dạng VP, tức dạng
33
( ) 2( ) 2x m x m t t
, mà ta không thể thêm vào
3
t
hoặc
t
vào 2 vế vì chúng đều liên quan đến
34x
nên ta sẽ
thêm vào hai vế một lượng
2(3 4)kt k x
.
(1)
3 2 3 2 3 2
5 3 3 (3 4) 5 (3 3 ) 4 3 2x x x k x x x x k k t kt t
(2). Ta sẽ đưa phương trình VT về
dạng VP, tức là
3 2 3 2
( ) ( ) 2( ) 2x m k x m x m t kt t
Đến đây thì được rồi, ta sẽ giải quyết như sau:
3 2 3 2 2 2 3 2
3 2 2 3 2 3 2
VT ( ) ( ) 2( ) 3 3 2 2 2
(3 ) (3 2 2) 2 2 (3)
x m k x m x m x mx kx m x kmx x m km m
x x m k x m km m km m t kt t
Đồng nhất hệ số VT của phương trình (2) và phương trình (3) ta có hệ :
choïn)
khoâng thoûa pt (3))
22
3 2 3 2
3 5 5 3 1, 2(
3 2 2 3 3 3 2 (5 3 ) 2 3 3(5 3 ) 16 1
,(
2 4 3(3) 2 4 3 33
m k k m mk
m km k m m m m mk
m km m k m km m k







với
1, 2mk
,ta có được phương trình:
3 2 3 2
( 1) 2( 1) 2( 1) 2x x x t kt t
Giải:
3 2 3 2
5 3 3 (3 6) 3 4 ( 1) 2( 1) 2( 1) (3 4) 3 4 2(3 4) 2 3 4x x x x x x x x x x x x
Xét
hàm
32
( ) 2 2f t t t t
, có
2
'( ) 3 2 2 0,f t t t x
nên hàm
()ft
đồng biến trên
4;
3



Từ đó ta có:
2
11 13
( 1) ( ) 1 1 3 4 2
30
x
f x f t x t x x x
xx

Vậy phương trình có nghiệm:
1 13
2
x
32
( ) ( ) 2( ) (3 4) 3 4 (3 4) 2(3 4)x m k x m x m x x k x x
Lưu ý: ta có thể giải bằng C2 như sau:
32
5 3 3 (3 6) 3 4x x x x x
(1)
Ta đưa về dạng
32
( ) ( ) 2( ) (3 4) 3 4 (3 4) 2(3 4)x m k x m x m x x k x x
đồng nhất với (1):
2 2 2
2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 5 3 5 5 3
3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 19 16 0 ...
2 4 3 2 4 3 2 4 3
x m kx x m k k m
m x kmx x kx x m km x k m m
m km m k m km m k m km m k



Ta sẽ bốc các hệ số x2, x và hệ số tự do để đồng nhất với phương trình trên, chuyển lượng
(3 4)kx
ở VP qua VT để trừ đi.
Cách ở trên đọc để hiểu, đi thi nên xài cách số 2 này :3
C3: Table thần thánh. Vì biểu thức của phương trình có dạng
34x x m
nên ta sẽ nhập vào máy tính như sau:
( ) 3 4f x A AX
, với A là nghiệm của biểu thức, shift solve máy tính ta được
2.30277...x
Lưu nghiệm x này vào
bộ nhớ máy là biến A, ta chọn Start là 0, End 10, Step Khi đó bảng hiện ra như sau: Dễ thấy rằng khi X=1,
F(x)=1. Vậy ta có được biểu thức
3 4 1 3 4 1x x x x
. Phần còn lại, ta sẽ căn chỉnh hệ số
sao cho thích hợp.
x
F(x)
1
1
2
-1.302
TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nguyễn Lê Phước Thịnh Page 3
Giaûi pt:
Giaûi pt: Ñaët
Gia
22
2
2 2 2
2
22
1
2) 6 6 2 1 3 2 5 0 1
2
5
3) 5 5; 5; 5 0 ( ) 0 1
5
01
51 17 1 21
22
5 0 4 0
51
4)
x x x x x x x
x t t x
x x x x t PT x t x t tx
tx
xx
xx x
x x x x
xx







ûi pt:
Giaûi pt:
2
2 4 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
1
2 1 3 1; 2 1 0 ; 4 4 1 0 ......
2
5) 3 1 ( 3) 1 ; 1 0, ; 1 1 1
3 3 3 3
( 3) 3 0; ( 3) 12 6 9 ( 3) 0 3
22
1(
t
x x x x t x PT t t t
x x x x x x t x x t
x x x x
PT t x t x x x x x x t x t
x x VN

2
2
)8 2 2
13
xx
x

Kĩ thuật ẩn phụ không hoàn toàn: đặt t= căn, sau đó tách phương trình ra và nhóm về theo biến t, rồi tìm delta chính phương
để giải ra 2 nghiệm t
22
: (4 1) 1 2 2 1Vd x x x x
. Đặt
2 2 2
1 0 1x t x t
. Phương trình đã cho tương đương với:
22
(4 1) 2 2 2 1 0 2 (4 1) 2 1 0x t t x t x t x
. Phương trình đã cho có:
2
4 1 4 3 0
21 4
2
(4 3) 0 43
4 1 4 3 1 3
22
xx x
tx
xx
xx x
t

Giaûi bpt: 2
3
33
3
3
6) 2 12 4 2 1; 4
43
3 1 2 2
: 1 12 4 (3 1).2.2 1 12 4 1
3
xx x x x
x
x
Nx x x x x x x
x
3
2 1 1
2 1.1 12 4 2 1 2 1 !!! 2 1.1
2
x
x x x x x

Nhân 1 vào để đánh giá
AM GM
2
22
22
4 3 1
2 2 1 4 3.1 ( 1 1; 4 3 1
2
43
2 1 ( 1) 0 1
xx
x x x x x x AM GMx
x
x x x x

Bài tập tự luyện:
1)
1 4 9 16 100x x x x x
2)
32 2 2
3 8 2 15x x x
3)
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x
4)
22
2 7 10 12 20x x x x x
5)
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x
6)
332
162 2 27 9 1 1x x x
7)
2
3
5 1 9 2 3 1x x x x
8)
22
1 2 2 2x x x x x
9)
32
3 2 4 4 1x x x x x x x
10)
32
2
3
1 3 1 5
6
x
x x x x x
11)
3 2 2 2 6x x x
12)
22
2 16 18 1 2 4x x x x
TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nguyễn Lê Phước Thịnh Page 4
Phần II: BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Giaûibaát phöông trình Ñk:0
Baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
22
2 2 2 2 2
2 2 2
2
3 41
1) : 1 2 3 4 ; 8
1 2 (1 ) 2 3 4 3( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0
3( ) 1
2 1 0 9 10 1 0
1 1 1 3
x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x
x x x x x x xx
x x x

Keát hôïp ñieàu kieän, suy ra nghieäm cuûa baát phöông trình laø
5 34
9
5 34
9
5 34 3 41
98
x
x



Giaûibaát phöông trình Ñk:
Baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
Deã thaáy
22
2 2 2
2) : 1 2 3 2 9 24 10 1 0; 1
16
1 1 2 3 2 4 9 24 10 4 0 ( 2) (3 1) 3 0(1)
1 1 3 2 2
16
(3
1 1 3 2 2
x x x x x x
x x x x x x x
xx
x
xx



neân Giao vôùi ñieàu kieän, suy ra nghieäm cuûa baát phöông trình laø
22
1) 3 (3.1 1) 3 1 0 1
(1) 2 0 2; 2
x
x x x
Giaûibaát phöông trình Ñk:
Baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
32
32 32
3 2 3 2 3 2
2
1
9 22 19 1 7
3) : 1;
2 2 4 2 2 4 0
9 22 19 1 7 2 2 4 1 1 8 24 17 2 0
2( 2)(8 8
11
x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x
xx x x
x

Deã thaáy
neân So saùnh vôùi ñieàu kieän, suy ra nghieäm cuûa baát phöông trình laø
2
22
1
1) 0 ( 2) 2(2 1) 1 0
11
12(2 1) 1 2(2.1 1) 1 1 0 1
11
(1) 2 0 2; 2
xx
x
xx
x
x x x





Giaûibaát phöông trình
loaïi
Keát hôïp ñieàu kieän thu ñöôïc
22
2
2 2 2
12
22
22
4) : ( 1) 5 1,
1 1 1
: 1: ; : 1: 5 5 5
1 1 1
5
51
5( 1) 5 4 5 5 2
4
1
515 40 20 0
x x x x x
xx
Th x Th x x x x x x
x x x
x
x x x x x x
x
xx xx


(2; )x 
Giaûibaát phöông trình Ñk:
Baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
KL: nghieäm cuûa baát phöông trình
22 2
2 2 2 2 2
22
5) : 1 log log ( 2) log (6 ) 0 6
18
log (2 4 ) log (6 ) (2 4 ) (6 ) 16 36 0 2
x x x x
x
x x x x x x x x x

laø 26x
TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nguyễn Lê Phước Thịnh Page 5
Giaûibpt: Ñk: Baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
22
2 2 2 2 2 2
2
22
6) ( 1) 2 5 4 1 2 2 (1); ;
( 1) 2 5 2 2 5 4 1 2 2 ( 1)(2 2 5) 2 (2 1 2 5) 0
2 ( 1)(3 1)
( 1)(2 2 5)
2 1 2
x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x
xx

Deã thaáy neân Vaäy
2
22
2 2 2 2 2
22
2
2 (3 1)
0 ( 1) 2 2 5 0
5 2 1 2 5
4 1 2 2 5 2 ( 1)( 2 5) 7 4 5
( 1) 0(2)
2 1 2 5
7 4 5 0 (2) 1 0 1; ( ; 1)
xx
x x x
x x x x
x x x x x x x x
x
x x x
x x x x x









Giaûibaát phöông trình: Ñk:
,Chia hai veá cho ta ñöôïc:
4
2 2 2
2 2 2 2
1
2 2 2
15
7) 5 4 1 ( 2 4) (*); ( 2 4) 0
1 5 0
(*) 4 ( 2 4) 5 4 4 ( 2 4) ( 2 4) 3 (**)
: 1 5 0,
2 4 2 4 31
x
x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x x x
Th x x
x x x x x
xx
luoân thoûa maõn.Vaäy
2
2
2
2
40
2 4 1 17 7 65
322
7 4 0
1 17 7 65
: 1 5 0 5 4 0 (**) 1 5;0 ;
22
xx
xx
xxx
Th x x x S






Giaûibaát phöông trình Ñk:
3
2 2 2
3
3 2 2 2
3
3 2 2 2
2
8) : ( 2)( 2 2 5) 9 ( 2)(3 5 12) 5 7 (*); 5/ 2
(*) 3 14 5 2( 2) 2 5 3( 2) 5 5 7 0
3 18 2( 2)( 2 5 3) 3( 2)( 5 3) 3 5 7 0
2(
( 2)( 5 9)
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x
x x x
22
3
2 2 2 2
3
2
2
3
2 2 2 2
3
22
2
2)(2 4) 3( 2)( 4) 5(4 ) 0
2 5 3 5 3 9 3 5 7 (5 7)
4( 2) 3( 2) 5( 2)
( 2) 5 9 0(**)
2 5 3 5 3 9 3 5 7 (5 7)
5 4( 2) 4( 2) 3( 2) 3( 2) 5( 2)
;;
2 3 5
2 5 3 5 3 9
x x x x
xx x x
x x x
x x x
xx x x
x x x x x
x
xx







Vaäy
32 2 2
3
22
2
3
2 2 2 2
3
5( 2)
9
3 5 7 (5 7)
4( 2) 3( 2) 5( 2) 18 32 127 5
5 9 0
45 2
2 5 3 5 3 9 3 5 7 (5 7)
(**) 2 0 2. 5/ 2 2
x
xx
x x x x x
x x x
xx x x
x x S x

Giaûibaát phöông trình: Ñieàu kieän:
Chuù yù raèn
2
22
2( 2)
9) 2( 1) 6 7; 5 / 2
2 5 1
2 5 1 2 4 2 6 7 2 5 6 2( 2 3) 0
11
2( 1)( 3) 0 ( 1) 2( 3) 0 ( 1) ( ) 0(1)
2 5 6 2 5 6
xx x x
x
Bpt x x x x x x x x
xx x x x x g x
x x x x




g neân(1) Vaäy bpt coù nghieäm
5
( ) 0, 1 0 1. 1
2
g x x x x x