zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác - ThS. Hoàng Minh Quân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác" được biên soạn bởi Ths. Hoàng Minh Quân (giáo viên Toán trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội), trình bày vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết tài liệu tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác - ThS. Hoàng Minh Quân

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận năng lực người học Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác Ths. HOÀNG MINH QUÂN GV Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội Trong chương trình toán THPT, để chứng minh một số hệ thức lượng giác, ta thường sử dụng các biến đổi lượng giác. Câu hỏi đặt ra, ngoài các cách biến đổi lượng giác thì ta có cách tiếp cận nào khác để giải quyết vấn đề không? Để trả lời câu hỏi này, bài viết sau đây mời bạn đọc cùng đến với hướng tiếp cận hình học cho chứng minh một số hệ thức lượng giác. I. CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1. Chứng minh rằng với x + y   , ta có sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y. Chứng minh 1. Gọi z là góc thỏa mãn x + y + z =  . Ta có x, y, z là ba góc của một tam giác. Không mất tổng quát, giả sử tam giác đó nội tiếp đường tròn bán kính 1 r= . 2 c 1 Ta có sin z = : = c , tương tự sin x = a , sin y = b . 2 2 Từ công thức c = a cos y + b cos x , ta có sin z = sin x cos y + cos x sin y  sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y. Chứng minh 2. Vẽ tam giác ABC với H là chân đường cao hạ từ đỉnh A lên cạnh BC. Đặt BAH = x; CAH = y và AB = a; AC = b; AH = h. Ta có SABC = SABH + SACH 1 1 1  ab sin ( x + y ) = ah sin x + bh sin y 2 2 2 1 1 1  ab sin ( x + y ) = ab cos y.sin x + ba cos x.sin y 2 2 2  sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Chứng minh 3. Vẽ tam giác ABC với D là chân đường cao hạ từ đỉnh A , E là chân đường cao hạ từ đỉnh C ,   x,  BAC ABC  y . Khi đó  ACD  x  y . CE. AB CE.  AE  EB  Ta có AD.BC  CE. AB  AD   . BC BC AD CE.  AE  EB  AE CE CE EB Mặt khác, lại có sin  x  y   sin  ACD    .  . AC AC.BC AC BC AC BC hay sin  x  y   cos x sin y  sin x cos y.   Bài 2. Chứng minh rằng với x; y   0;  và x  y ta có  2 sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y. Chứng minh 1. Dựng tam giác ABC vuông tại A , gọi D là điểm thuộc cạnh AC sao cho  ABC  x,  ABD  y. Đặt BC  a; BD  b . Ta có AB  b cos y  a cos x; AD  a sin x  b sin y . 1 1 Mặt khác ta có SBCD  SABC  SABD  AB. AC  AB. AD 2 2  BD.BC.sin  x  y   AB. AC  AB. AD  b.a.sin  x  y   b cos y.a sin x  a cos x.b sin y  sin  x  y   cos y.sin x  cos x.sin y. Chứng minh 2. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Vẽ tam giác ABC vuông tại A , độ dài BC  1 . Trên cạnh AC lấy điểm D , đặt  ABC  x;    x  y. Gọi E là hình chiếu của D lên cạnh BC . Đặt ABD  y  DBC BD  h; DE  d . AB AB AB cos x Ta có cos x   AB  cos x; cos y  h  . BC AD cos y cos y Trong tam giác vuông EBD có d  h sin  x  y  . Mặt khác, CD  CA  AD  sin x  h sin y. Do đó trong tam giác vuông EDC , ta có d sin C   d  CD.sin C  CD.cos x   sin x  h sin y  cos x. CD Vậy ta có d  h sin  x  y    sin x  h sin y  cos x cos x  cos x   h sin  x  y    sin x  h sin y  cos x  sin  x  y    sin x  sin y  cos x cos y  cos y   sin  x  y   cos y.sin x  cos x.sin y.   Bài 3. Chứng minh rằng với x; y   0;  , ta có  2 cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y. (3) Chứng minh 1. Dựng tam giác ABC có đường cao AH , đặt AB  a; AC  b và góc      x  y     x  y .   y  BAC ABC  x; HAC 2 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1   1 HA.HB  1 HA.HC Ta có S ABC  S HAB  S HAC  AB. AC.sin BAC 2 2 2    ab sin    x  y    a cos x.b cos y  a sin x.b sin y 2   cos  x  y   cos x.cos y  sin x.sin y. Chứng minh 2. Vẽ tam giác ABC vuông tại A , trên cạnh AC lấy điểm D , đặt    y  DBA ABC  x; CBD   x  y. Gọi E là hình chiếu của D lên cạnh BC . Đặt CD  1; BD  h; AB  d . EB Trong tam giác BDE vuông, ta có cos y   BE  h cos y . BD Trong tam giác CDE vuông, ta có ED sin C   DE  CD.sin C  CD.cos x  cos x . CD d Trong tam giác ABD vuông, ta có cos  x  y    d  h cos  x  y  . h Bài 4. Chứng minh công thức nhân đôi sin 2  2 sin  cos  ; cos 2  2 cos 2   1. Chứng minh. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM    . Gọi H là Trên đường tròn lượng giác với điểm A  1;0  ; B 1;0  và điểm C sao cho BAC chân đường cao hạ từ đỉnh C đến cạnh AB . Ta có CH  OC .sin 2  sin 2 ; OH  OC .cos 2  cos 2 . Khi đó C  cos 2 ;sin 2  . Vì ACH ∽ ABC nên ta có CH BC sin 2 2sin      sin 2  2sin  cos  . AC AB 2cos  2 Mặt khác, từ ACH ∽ ABC nên ta cũng có AH AC 1  cos 2 2 cos      cos 2  2 cos 2   1. AC AB 2cos  2 Bài 5. Chứng minh công thức nhân ba a) sin 3 x  3sin x  4 sin 3 x ; b) cos 3 x  4 cos 3 x  3cos x . Chứng minh1   2x . Vẽ ABC cân với AB  AC  1, BC  a, BAC Lấy điểm D trên cạnh AC sao cho BD  BC  a . Gọi E là hình chiếu của D lên AB , G là hình chiếu của B lên AC và F là trung điểm cạnh BC . Ta có DE  a cos 3 x, BE  a sin 3 x  AE  1  a sin 3 x và 2 2 AD  AE 2  DE 2  1  a sin 3x    a cos 3x   1  a 2  2a sin 3x . BF a Trong tam giác vuông ADE , có sin x    a  2sin x. (1) AB 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM GC AC  AD 1  1  a 2  2a sin 3x Mặt khác, ta có sin x    . (2) BC 2 BC 2a Từ (1) và (2), ta có a 1  1  a 2  2a sin 3x   a 2  1  1  a 2  2a sin 3x 2 2a 2  1  a 2   1  a 2  2a sin 3 x  a 4  3a 2  2a sin 3 x  0  a 3  3a  2sin 3 x  0  8sin 3 x  6sin x  2sin 3 x  0  sin 3 x  3sin x  4sin 3 x. Chứng minh2. Dựng hình chữ nhật ABCD với các điều kiện như hình vẽ. Ta có sin 3 x  2sin x cos 2 x  sin x  2 sin x 1  2sin 2 x   sin x  3sin x  4sin 3 x. b) cos 3 x  2 cos cos 2 x  cos x  2 cos x  2 cos 2 x  1  cos x  4 cos3 x  3cos x. 5 1 Bài 6. Không sử dụng lượng giác, hãy chứng minh sin18o  . 4 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM   36o , đặt AB  1, BC  x . Dựng tam giác cân ABC , với BAC Ta có tam giác ABC đồng dạng tam giác BCD nên AB BC 1 x 1  5     x2  x 1  0  x  . BC CD x 1 x 2 1  5 3  5 3 5 Suy ra CD  1  x  1    DH  . 2 2 4 DH 3  5 2 3 5 5 1 Ta có sin18o   .   . BD 4 5 1 2 5 1  4  I. BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1 1 1 Bài 7. Với góc  nhọn. Chứng minh rằng    4. sin  cos  sin  cos  Chứng minh Vẽ tam giác ABC vuông ở C , có  ABC   , CD  1 với D là hình chiếu của C lên cạnh AB . 1 1 1 1 1 Ta có BC  ; AC  , suy ra AB  AC 2  BC 2  2  2  . sin  cos  sin  cos  sin  cos  2 Ta có AB   2 . Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có sin 2 1 1 1 BC  AC  AB  2 AB     2 AB  4. sin  cos  sin  cos  1 1 1 Vậy    4. sin  cos  sin  cos    Bài 8. Với góc  ,  ,    0;  thoả mãn cos 2   cos 2   cos 2   1 . Chứng minh rằng  2 tan  tan  tan   2 2. Chứng minh https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Dựng hình hộp chữ nhật ABCD. AB C D  với AB  a; AA  b; BC  c và   ABD   , B    BD   , CBD b2  c2 a2  c2 b2  a 2 Ta có tan   , tan   , tan   . a b c b2  c2 a 2  c2 b2  a 2 Từ đó tan  tan  tan   . . . a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có b2  c2 a 2  c2 b2  a 2 2bc 2ac 2ba . .  . .  2 2. a b c a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c        arctan 2. Bài 9. Cho x, y, z   , các góc  ,  ,    0;   thoả mãn 0        2 và          . Chứng minh rằng x 2  2 xy cos   y 2  x 2  2 xz cos   z 2  y 2  2 yz cos   z 2 . Chứng minh Dựng hình chóp O. ABC với OA  x, OB  y , OC  z , đặt  AOB   ,    . AOC   , BOC Khi đó ta có AB  x 2  2 xy cos   y 2 ; AC  x 2  2 xz cos   z 2 ; BC  y 2  2 yz cos   z 2 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có AB  AC  BC hay x 2  2 xy cos   y 2  x 2  2 xz cos   z 2  y 2  2 yz cos   z 2 .   Bài 10. Cho góc    ;  . Chứng minh rằng 4 2  1  sin   cos   2. sin  Chứng minh Dựng hình vuông ABCD cạnh bằng 1 và lấy điểm E trên cạnh BC , góc  AEB   . 1 cos  cos  sin   cos  Khi đó ta có AE  ; BE  cot   . Suy ra EC  1   . sin  sin  sin  sin  Xét tam giác AEC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có 1 sin   cos  AE  EC  AC  2    2. sin  sin  1  sin   cos   Suy ra  2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   . sin  4 II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 Bài 1. Không sử dụng biến đổi lượng giác, hãy tính giá trị S   tan10 o . cos 50 o 1 Bài 2. Sử dụng hình học chứng minh rằng cos 36 o  cos 72 o  . 2  2 3 Bài 3. Sử dụng hình học, chứng minh cot  cot  cos  7. 7 7 7 Bài 4. Cho các góc  ,  ,  thoả mãn cos 2   cos 2   cos 2   1 . Chứng minh rằng 2 . cot  cot  cos   4 4  7 2  sin  4  7 Bài 5. Cho góc    . Chứng minh rằng   . 3 2  cos  3 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.