Về một phương trình Parabolic chứa tích chập

Chia sẻ: Chauchaungayxua@gmail.com Chauchaungayxua@gmail.com | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày bài toán biên và ban đầu cho phương trình Parabolic tuyến tính. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho sinh viên chuyên ngành Toán trong quá trình học tập và nghiên cứu phương trình Parabolic chứa tích chập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về một phương trình Parabolic chứa tích chập

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TÍCH CHẬP Trần Minh Thuyết*, Nguyễn Thanh Sang† 1. Mở đầu Trong bài này, trước tiên xét bài toán C1   C1     q1 ( x, t )C1    2 C1   1 ( x, t ) t x  x  (1.1)  ( 2  C1 )( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,  C1  x (0, t )  q1 (0, t )C1 (0, t )  0, 0  t  T ,  (1.2)  C1 (1, t )  q (1, t )C (1, t )  0, 0  t  T ,  x 1 1 C1 ( x,0)  C10 ( x), 0  x  1, (1.3) trong đó phương trình (1.1) chứa tích chập t ( 2  C1 )( x, t )    2 (t  r )C1 ( x, r )dr , (1.4) 0 với  2  0 là hằng số cho trước và q1 , C10 ,  1 ,  2 là các hàm cho trước sẽ được giả thuyết sau. Bài toán (1.1)-(1.4) có liên quan đến bài toán khuếch tán trong hoá học (xem [1-3, 6, 7] và các tài liệu tham khảo trong đó), mà mấu chốt vấn đề về mặt toán học dẫn đến bài toán sau. Cho   (0 ,1), ta đặt QT    (0 , T ), 0  T  . Xét bài toán : Tìm (C1 , C2 ) thỏa cặp bài toán sau :  C1   C1   t  x  x  q1 ( x, t )C1   R1 (C1 , C2 ), 0  x  1, 0  t  T ,     C1  (0, t )  q1 (0, t )C1 (0, t )  0, 0  t  T ,  x (1.5)  C  1 (1, t )  q1 (1, t )C1 (1, t )  0, 0  t  T ,  x  C1 ( x, 0)  C10 ( x), 0  x  1, * TS. Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM † ThS. Trường CĐ Cộng đồng Kiên Giang 54 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007  C 2   R2 (C1 , C 2 ), 0  x  1, 0  t  T ,  t (1.6)  C ( x, 0)  C 0 ( x), 0  x  1,  2 2 trong đó, q1 , C10 , C 20 cho trước, các số hạng R1 (C1 , C 2 ), R2 (C1 , C 2 ) có dạng cụ thể  R1 (C1 ,C2 )  1  2C1  3C2 ,   R2 (C1 , C2 )  1  2C1  3C2 , (1.7)   0,   0, i  1, 2, 3 laø caùc haèng soá döông.  i i Bằng cách khử ẩn hàm C2 từ (1.5) - (1.7), ta thu được bài toán (1.1) - (1.4), trong đó  1  1 ( x, t )  1   3  1  exp(   3t )    3 exp(  3t )C 2 ( x), 0 3  t  ( 2  C1 )( x, t )    2 (t  r )C1 ( x, r ) dr , (1.8)  0  (t )    exp(  t ).  2 3 2 3  Bài báo gồm 3 phần. Trong phần 1, với các điều kiện C10  L2 (), q1  C (QT ),  1  L2 (QT ),  2  L2 ( 0, T ),  2  0, cùng với một số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của bài toán (1.1)-(1.4). Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và về tính compact. Trong phần 2, với điều kiện đầu C10  H 1 (), q1  C 1 (QT ),  1,  1/  L2 (QT ),  2  H 1 (0, T ),  2  0, cùng với một số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh nghiệm thu được của bài toán (1.1)-(1.4) có tính trơn tốt hơn, cụ thể là C1  L (0, T ; H 1 )  L2 (0, T ; H 2 )  C 0 ([0, T ]; H 1 )  H 1 (QT ), C1/  L2 (QT ). Cuối cùng, trong phần 3, với điều kiện đầu C10  L2 (), C10  0, a.e. x  . cùng với một số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh được rằng tồn tại một nghiệm địa phương của bài toán (1.1)-(1.4) cũng không âm trên   (0 , T ). 55 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang 2. Các kết quả Đầu tiên, ta đặt các kí hiệu sau :   (0,1), QT    (0, T ), T  0, và bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng : C m ( ), Lp (), H m (), W m , p (), L p ( 0, T ; X ), 1  p  . Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau : Lp ()  Lp , H m ()  H m  W m, 2 , W m , p ()  W m, p . Các định nghĩa này có thể xem trong [4, 5]. Ta cũng dùng các kí hiệu u (t ), u / (t )  ut (t )  u (t ), u // (t )  utt (t )  u(t ), u x (t )  u (t ), u  2u u  2u u xx (t )  u (t ) lần lượt để chỉ u ( x, t ), ( x, t ), ( x , t ), ( x , t ), ( x, t ). t t 2 x x 2 Ta thành lập các giả thiết : ( H1 ) C10  L2  L2 (0,1), (H 2 ) q1  C (QT ), (H3 )  1  L2 (QT ), (H 4 )  2  L2 (0, T ). Nghiệm yếu của bài toán (1.1) - (1.4) được thành lập từ bài toán biến phân : Tìm C1  L (0,T ; L2 )  L2 (0,T ; H 1 ) sao cho : d C1 (t ), v  a t , C1 (t ), v    2 C1 (t ), v   1 (t ), v dt (2.1)  ( 2  C1 )(t ), v , v  H 1 (0,1) , C1 (0)  C10 , (2.2) trong đó 1  C  v a t , C1 , v     1 ( x)  q1 ( x, t )C1 ( x)  ( x) dx, C1 , v  H 1 (0,1), (2.3) 0 x  x 1  1 (t ), v    1 ( x, t )v( x )dx, v  L2 (0,1). (2.4) 0 Khi đó ta có định lí sau đây. Định lí 2.1. Giả sử rằng các giả thiết ( H 1 ) - ( H 4 ) đúng. Khi đó bài toán (1.1)- (1.4) có duy nhất một nghiệm yếu C1  L (0, T ; L2 )  L2 (0, T ; H 1 ). 56 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Chứng minh Định lí 2.1. Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và về tính compact. Chi tiết chứng minh có thể tìm thấy trong [8]. Nếu tăng cường thêm các giả thiết về điều kiện đầu C10  H 1 (), cùng với một số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh được rằng nghiệm thu được của bài toán (1.1) – (1.4) có tính trơn tốt hơn. Ta thành lập bổ sung các giả thiết sau đây : ( H 1/ ) C10  H 1  H 1 (), ( H 2/ ) q1  C 1 (QT ), ( H 3/ )  1 ,  1/  L2 (QT ), ( H 4/ )  2  H 1 ( 0, T ). Khi đó ta có định lí sau. Định lí 2.2. Giả sử rằng các giả thiết ( H 1/ ) – ( H 4/ ) đúng. Khi đó bài toán (1.1)- (1.4) có duy nhất nghiệm yếu C1  L (0, T ; H 1 ), sao cho C /  L2 (QT ). Chú thích. Thật ra định lí 2.2 cho nghiệm tốt hơn, cụ thể nghiệm C1 của bài toán (1.1)-(1.4) sẽ thỏa thêm các tính chất sau : C1  L (0, T ; H 1 )  L2 (0, T ; H 2 )  C 0 ([0, T ] ; H 1 )  H 1 (QT ), C /  L2 (QT ). (2.5) Chứng minh định lí 2.2. Chi tiết chứng minh có thể tìm thấy trong [8]. Phần tiếp theo sau để nhận được nghiệm C1 ( x, t )  0, ta cần tăng cường thêm giả thiết thích hợp. Trước hết ta xét bài toán (1.1)-(1.4) với  2  0, sau đó sẽ xét trường hợp  2 (t )  0 và  2 không đồng nhất bằng không. Ta xét bài toán (1.1)-(1.4) dưới đây tương ứng với  2  0, và với giả sử rằng ( H 1// ) C10  L2 (), C10 ( x)  0 a.e. x  , ( H 2// ) q1  C (QT ), ( H 3// )  1  L2 (QT ),  1 ( x, t )  0 a.e. ( x, t )  QT . Khi đó ta có định lí sau đây. 57 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang Định lí 2.3. Giả sử rằng các giả thiết ( H 1// ) - ( H 3// ) đúng. Khi đó bài toán (1.1)- (1.4) có duy nhất một nghiệm yếu C1  L2 (0, T ; H 1 )  L (0, T ; L2 ) và C1 ( x, t )  0 a.e. ( x, t )  QT . Chứng minh định lí 2.3. Chi tiết chứng minh có thể tìm thấy trong [8]. Phần tiếp theo, ta sẽ xét bài toán (1.1)-(1.4) với trường hợp  2 (t )  0 và  2 không đồng nhất bằng không. Để nhận được nghiệm C1 ( x, t )  0 của bài toán (1.1)-(1.4), ta cần tăng cường thêm giả thiết sau đây. ( H 1// ) C10  L2 (), C10 ( x)  0 a.e. x  , ( H 2// ) q1  C (QT ), ( H 3// )  1  L2 (QT ),  1 ( x, t )  0 a.e. ( x, t )  QT , ( H 4// )  2  L2 ( 0, T ),  2 (t )  0 a.e. t  ( 0, T ). Khi đó ta có định lí sau đây. Định lí 2.4. Giả sử rằng các giả thiết ( H 1// ) - ( H 4// ) đúng. Khi đó tồn tại T  0 sao cho bài toán (1.1)-(1.4) có duy nhất một nghiệm yếu C1  L2 (0, T ; H 1 )  L (0, T ; L2 ) và C1 ( x, t )  0 a.e. ( x, t )  QT . Chứng minh. Ta thiết lập một dãy hàm {u m } như sau : i/ Cho trước u0 ( x, t )  0. ii/ Giả sử u m1  L2 (0, T ; H 1 )  L (0, T ; L2 ), ta xét bài toán tìm u m  L2 (0, T ; H 1 )  L (0, T ; L2 ), là nghiệm yếu của bài toán  u m   u m      q1 ( x, t )u m    2 u m   1 ( x, t )  t x  x    ( 2  u m 1 )( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,   u m (0, t )  q (0, t )u (0, t )  0, 0  t  T ,  x 1 m  (2.6)  u m (1, t )  q (1, t )u (1, t )  0, 0  t  T ,  x 1 m  0 u m ( x,0)  C1 ( x), 0  x  1,  1 u m 1  max0, u m1    u m1  u m 1 .  2 58 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Khi đó C10 , q1 , và hàm ~1 ( x, t )   1 ( x, t )  ( 2  u m 1 )( x, t )  0, lần lượt thỏa các giả thiết ( H 1// ), ( H 2// ), ( H 3// ). Áp dụng định lí 2.3 cho bài toán (1.1)-(1.4) tương ứng với  2  0, và  1 ( x, t ) thay cho ~1 ( x, t )   1 ( x, t )  ( 2  u m 1 )( x, t ), ta có duy nhất một u m  L2 (0, T ; H 1 )  L (0, T ; L2 ), u m ( x, t )  0 trong QT  (0,1)  (0, T ) là nghiệm yếu của bài toán (2.6). Ta sẽ chứng minh rằng dãy hàm {u m } hội tụ mạnh về nghiệm C1 ( x, t ) của bài toán (1.1)-(1.4) (theo một chuẩn thích hợp). Khi đó, dĩ nhiên ta cũng có C1 ( x, t )  0 a.e. ( x, t )  QT . Đặt wm  u m1  u m , khi đó wm là nghiệm yếu của bài toán  wm   wm   t  x  x  q1 ( x, t ) wm    2 wm          2  (u m  u m 1 ) ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,  wm (0, t )  q (0, t )w (0, t )  0, 0  t  T ,  x 1 m (2.7)  w  m (1, t )  q1 (1, t )wm (1, t )  0, 0  t  T ,  x wm ( x,0)  0, 0  x  1,  wm  L2 (0, T ; H 1 )  L (0, T ; L2 ). Nhân phương trình thứ nhất của (2.7) bởi wm , tích phân từng phần theo biến x, và dùng điều kiện biên (2.7)2,3, sau đó tích phân từng phần theo biến t , và sắp xếp lại, ta có t 2t 2 wm 2 wm (t )  2  (s ) ds  2  2  wm (s ) ds 0 x 0 t 1 wm  2  ds  q1 ( x, s) wm (s ) ( s )dx (2.8) 0 0 x t ~ ~    2   2  (u m  u m 1 ) (s ), wm ( s ) ds  I1  I 2 . 0 Ta lần lượt đánh giá hai tích phân bên vế phải của (2.8) như sau 59 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang t 1 ~ wm Đánh giá tích phân I1  2  ds  q1 ( x, s) wm (s ) ( s )dx. 0 0 x t t 2 ~ 2 2 wm I 1   q1 ( s ) L wm ( s ) ds   ( s ) ds. (2.9) 0 0 x t ~ Đánh giá tích phân I 2  2   2  (u m  u m 1 ) ( s ), wm (s ) ds. 0 t t ~ 2  2 I 2    2  (u m  u m 1 ) ( s ) ds   wm ( s ) ds.  (2.10) 0 0 Sử dụng các bất đẳng thức sau x   y   x  y ,  x, y  R , (2.11) t t 2 2 2 ( 2  w)(t )    2 ( ) d  w( ) d , w  L2 (QT ),  2  L2 ( 0, T ), (2.12) 0 0 ta đánh giá số hạng thứ nhất của vế phải (2.10) như sau t t 2    2 2 2  (u m  u m 1 ) s  ds  T  2   2 L ( 0 ,T ) w m 1 ( ) d . (2.13) 0 0 ~ Do đó ta đánh giá I 2 nhờ vào (2.10), (2.13) t t ~ 2 2 2 I2  T  2 L2 ( 0 ,T ) w m 1 ( ) d   wm ( s ) ds. (2.14) 0 0 Kết hợp (2.8), (2.9), (2.14), ta suy ra T t Z m (t )  T  2 2 L2 ( 0 ,T )  2 wm1 ( ) d   1  q1 ( s )  2 L Z m ( s ) ds, (2.15) 0 0 trong đó t t 2 2 wm 2 Z m (t )  wm (t )   (s ) ds  2  2  wm (s ) ds. (2.16) 0 x 0 Do bổ đề Gronwall, ta thu được từ (2.15) rằng T Z m t   T 2  2 2 2 L ( 0 ,T ) exp   1  q1 ( s )  2 L ds w m 1 ( ) 2 L ( 0 ,T ; L2 ) . (2.17) 0  60 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Chú ý rằng W1 (T )  L (0, T ; L2 )  L2 (0, T ; H 1 ), là không gian Banach đối với chuẩn w w W (T )  w L ( 0 ,T ; L2 )  . (2.18) 1 x L2 ( 0 ,T ; L2 ) Chúng ta cần bổ đề sau. Bổ đề 2.5. Trong không gian W1 (T ), chuẩn (2.18) tương đương với chuẩn w   w L ( 0 ,T ; L2 )  w L2 ( 0,T ; H 1 ) . (2.19) Chứng minh bổ đề 2.5. Chứng minh bổ đề 2.5 không khó khăn, chi tiết chứng minh có thể tìm thấy trong [8]. Trở lại chứng minh Định lí 2.4, ta chọn T  0 sao cho 1 T kT  T  2 L2 ( 0,T ) exp   1  q1 (s )  2 L ds  1. (2.20) 2 0  Đặt wm  m  wm L ( 0 ,T ; L2 )   wm W1 ( T ) . (2.21) x L2 ( 0,T ; L2 ) Từ (2.17), ta suy ra  m  k T  m 1 . (2.22) Từ đây ta suy ra rằng 0 m u m  u m p  kT , với mọi m, p = 0, 1, 2, … (2.23) W1 ( T ) 1  kT Như vậy {u m } là dãy Cauchy trong W1 (T ), do đó tồn tại u  W1 (T ) sao cho um  u (2.24) trong W1 (T ), mạnh. Từ các bất đẳng thức (2.11) và (2.12), ta suy ra từ (2.24), rằng  2  u m 1   2  u  trong L (0, T ; L2 ), mạnh. (2.25) Qua giới hạn trong dạng biến phân của (2.7), nhờ vào (2.24) và (2.25), ta thu được u là nghiệm yếu của bài toán 61 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang  u   u   t  x  x  q1 ( x, t )u    2u   1 ( x, t )      ( 2  u  )( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,   u  (0, t )  q1 (0, t )u (0, t )  0, 0  t  T , (2.26)  x  u  x (1, t )  q1 (1, t )u (1, t )  0, 0  t  T ,  0 u ( x,0)  C1 ( x), 0  x  1.  Do u m ( x, t )  0 trong QT và từ (2.24) ta suy ra rằng u( x, t )  0 trong QT , do đó u  u  trong QT . Cũng từ đây ta suy ra u là nghiệm yếu của bài toán (1.1)- (1.4). Từ tính duy nhất nghiệm ta suy ra C1 ( x, t )  u ( x, t )  0 a.e. ( x, t )  QT . Định lí 2.4 được chứng minh hoàn tất. Chú thích. Bên cạnh bài toán (1.5)- (1.7) đã được trình bày trong bài báo này, vẫn còn tồn tại bài toán mở (1.5), (1.6), với các số hạng R1 (C1 , C 2 ), R2 (C1 , C 2 ) là phi tuyến có dạng  R1 (C1 , C 2 )  1   2 C1   3C 2   4 C1C 2 ,  (2.27)  R2 (C1 , C 2 )  1   2 C1   3C 2   4 C1C 2 ,  i  0,  i  0, i  1, 2, 3, 4 là các hằng số dương [3]. Chúng tôi vẫn tiếp tục tìm kiếm thêm công cụ thích hợp để giải bài toán này hứa hẹn cho thêm một số kết quả về bài toán này trong thời gian sắp tới. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R. Alexandre, Alain Phạm Ngọc Định, A. Simon, Nguyễn Thành Long (2003), A mathematical model for the evaporation of a liquid fuel droplet inside an infinite vessel, Nonlinear Analysis and Application : to V. Lakshmikantham on his 80th birthday. Vol. 1, 2, 117-140, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. [2] R. Alexandre, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A mathematical model for the evaporation of a liquid fuel droplet, subject to nonlinear contraints, Applied Mathematics and Computation (to appear). [3] R. Bader, W. Mers (2001), Local existance result of the single dopant diffusion including cluster reactions of high order, Abstract and Applied Analysis, 6 (1) 13–14. 62 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 [4] H. Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson Paris. [5] J.L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris. [6] Đỗ Công Khanh (2001), Giải tích Toán học và các áp dụng, mã số 1.3.11/98, đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ bản giai đoạn 1998-2000, Báo cáo nghiệm thu. [7] Nguyễn Thành Long (2007), Phương trình vi phân và hệ động lực, mã số 100106, đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ bản giai đoạn 2006 – 2008, Báo cáo định kì kết quả thực hiện đề tài. [8] Nguyễn Thanh Sang (2007), Phương trình parabolic chứa tích chập, Luận văn Thạc sĩ, Khoá 11, Đại học Cần Thơ. Tóm tắt Về một phương trình parabolic chứa tích chập Chúng tôi xét bài toán biên và ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính    C1   C1     q1 ( x, t )C1    2 C1   1 ( x, t )  t x  x   t     2 (t  r )C1 ( x, r )dr , 0  x  1, 0  t  T ,   0 (1)  C1  (0, t )  q1 (0, t )C1 (0, t )  0, 0  t  T , x   C1 (1, t )  q1 (1, t )C1 (1, t )  0, 0  t  T ,  x   C1 ( x,0)  C10 ( x),0  x  1, trong đó  2  0 là một hằng số cho trước và q1 , C10 ,  1 ,  2  2  0 là các hằng số cho trước. Bài báo gồm 3 phần. Trong phần 1, với các điều kiện C10  L2 (), q1  C (QT ),  1  L2 (QT ),  2  L2 ( 0, T ),  2  0, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của bài toán (1). Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin và phương pháp compact yếu. Trong phần 2, với q1  C 1 (QT ),  1,  1/  L2 (QT ),  2  H 1 (0, T ),  2  0, chúng tôi chứng minh nghiệm duy nhất  C1  L (0, T ; H )  L (0, T ; H 2 )  C 0 ([0, T ]; H 1 )  H 1 (QT ), C1/  L2 (QT ), 1 2 63 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang nếu điều kiện đầu C10  H 1 (), với một số điều kiện khác. Cuối cùng, trong phần 3, với điều kiện đầu C10  L2 (), C10  0, a.e. x  . cùng với một số điều kiện khác, chúng tôi cũng thu được một nghiệm không âm C1 của bài toán (1) nếu ta giả sử rằng C10  L2 (), C10  0, a.e. x  . Abstract On a parabolic equation involving convolution We consider the initial-boundary value problem for the linear parabolic equation    C1   C1     q1 ( x, t )C1    2 C1   1 ( x, t )  t x  x   t     2 (t  r )C1 ( x, r )dr , 0  x  1, 0  t  T ,   0 (1)  C1  (0, t )  q1 (0, t )C1 (0, t )  0, 0  t  T , x   C1  (1, t )  q1 (1, t )C1 (1, t )  0, 0  t  T , x   C1 ( x,0)  C10 ( x),0  x  1, where  2  0 is given constant and q1 , C10 ,  1 ,  2 are given functions. In this paper, we consider three main parts. In Part 1, under conditions C  L2 (), q1  C (QT ),  1  L2 (QT ),  2  L2 (0, T ),  2  0, we prove a 0 1 theorem of existence and uniqueness of a weak solution C1 of problem (1). The proof is based on the Faedo-Galerkin method and the weak compact method. For the case of q1  C 1 (QT ),  1 ,  1/  L2 (QT ),  2  H 1 (0, T ),  2  0, in Part 2, we prove that the unique solution C1 belongs to L (0, T ; H 1 )  L2 (0, T ; H 2 )  C 0 ([0, T ]; H 1 )  H 1 (QT ), with C1/  L2 (QT ), if we make the assumption that C10  H 1 (), and some others. Finally, in Part 3 we obtain a non-negative solution C1 of the problem (1) if we make the assumption that C10  L2 (), C10  0, a.e. x  . 64