Phương trình đạo hàm riêng trên miền thay đổi theo thời gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Phương trình đạo hàm riêng trên miền thay đổi theo thời gian trình bày các lý thuyết cơ bản của miền thay đổi theo thời gian. Chúng tôi giới thiệu các định nghĩa về miền thay đổi theo thời gian, phương trình cân bằng, các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của phương trình cân bằng, một số phương trình cân bằng không khuếch tán và khuếch tán, phương trình parabolic trên miền thay đổi theo thời gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình đạo hàm riêng trên miền thay đổi theo thời gian

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN Đỗ Lân1 , Lê Thị Thúy 2 1 Bộ môn Toán học - Khoa CNTT, Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn 2 Bộ môn Toán - Khoa KHTN, Trường Đại học Điện lực, email:thuylt@epu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 2.2. Phương trình cân bằng Trong bài báo này, chúng tôi trình bày các lý Định nghĩa 1. Nếu với mỗi T  0 , f là thuyết cơ bản của miền thay đổi theo thời gian. hàm được định nghĩa bởi: Chúng tôi giới thiệu các định nghĩa về miền f : U   t   t  ¡ ,  y, t   f  y, t  thay đổi theo thời gian, phương trình cân bằng, t T, T  các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của phương trình cân bằng, một số phương trình cân và định nghĩa hàm trên 0 bởi: f  bằng không khuếch tán và khuếch tán, phương f :0    T,T   ¡ , f  x,t   f    t  x, t  trình parabolic trên miền thay đổi theo thời gian. Ta có W  t    t  W0    t  , là một miền 2. NỘI DUNG CHÍNH con trơn với biên W  t  . Khi đó đạo hàm 2.1. Miền phụ thuộc thời gian theo thời gian của hàm T trên W(t) kí hiệu là d Giả sử x là một điểm trên miền cố định  T  y, t  dy được tính như sau: dt cho trước 0  ¡ n (là một tập mở trơn) tại W t thời điểm t  0 , xê dịch theo đường cong Bổ đề 1. Với các ký hiệu như trên, d t a Y(t; x) trên ¡ n . Chúng ta giả sử đường T  y, t  dy được viết dưới dạng hai dt W t  cong này là nghiệm của hệ phương trình vi phân cổ điển ôtônôm: biểu thức sau:  u.r T uuuuur  Y  t; x   V  Y  t; x   (1)  t W t   y, t  dy   y W t  div T   y, t .V   y  dy (2)   Y  0;x   x hoặc:  ur r T với hàm vectơ vận tốc trơn cho trước ur  t  y, t  dy   T  y, t  V  y  ds . (3) V : ¡ n  ¡ n . Với mỗi t  ¡ , ánh xạ: W t  W t   t  : ¡ n  ¡ n ,  t  z  Y  t; z  Giả sử phương trình cân bằng của T  y, t  : là một vi đồng phôi thỏa mãn: d r r T  y, t  dy  f  y, t  dy   Jds i)  0   I ; dt W t   W t  W  t  ii)  t  s     t  o   s ,  t, s  ¡ . trong đó f  y, t  chỉ tỷ lệ sản sinh hay số Ta có  t  là nghịch đảo của  t  . lượng của T trên mỗi đơn vị thể tích trong r Khi đó miền 0 cố định ban đầu xê dịch W  t  và J là trường vectơ chỉ sự chảy hay thành các miền   t    t   0 , t  ¡ , và các sự lưu thông của T trên biên của W  t  . Khi biên   t     t  0 . Các miền con W0 của đó ta có: 0 xê dịch thành W  t    t  W0 , t  ¡ , và d r T  y,t  dy  f  y, t  dy   y Jdy (4) div các biên của nó là W  t    t   W0 . dt Wt   W t  W t  178
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 Từ (4) và Bổ đề 1, ta có mệnh đề sau: Chúng ta sẽ dùng (8) để định nghĩa Mệnh đề 1. Hàm T thỏa mãn phương trình nghiệm của (7), nghĩa là T  y, t  thỏa mãn (7) cân bằng trên miền thay đổi theo thời gian khi khi và chỉ khi T  x,t  thỏa mãn (8). và chỉ khi các đẳng thức sau được thỏa mãn: T ur 2.4. Một số phương trình cân bằng t   y, t  divy T  y, t  V  y  (5) khuếch tán và không khuếch tán r Phương trình không dòng và không   f  y,t   div y J , y    t  , t  0, khuếch tán: hoặc:  ur  ur     t T  y, t   div y T  y, t  .V y   f  y, t  , t   T  x, t   T  x, t  div V  x, t  (6)   y    t , (9) r    f  x, t   div y J  x, t  , x  0 , t  0. T  y,t   0, y    t  , t,  T  y,0   T0  y  , y  0 , 2.3. Điều kiện biên và điều kiện ban đầu Chúng ta xét điều kiện biên Dirichlet và và: ur  giả sử: t T  x, t   T  x, t  div V    x, t  f  x, t , y   t  x ,   x  0 ,   t    t   0 ,  (10) T  x, t   0, x  0 , t,   t     t   0  ,  T  x, 0   T0  x  , x  0 . khi đó T  y, t   0 ,  y    t  khi và chỉ khi Phương trình vận chuyển (phương trình T  x,t   0 ,  x   0 . dòng và không khuếch tán): Với điều kiện biên ban đầu, ta có  0   I , Ta có   t   1  t    t  . Giả sử r r và T  y,0   T0  y  ,  y  0 khi và chỉ khi J  y, t   a  y,t  T  y,t  , y    t  với a là T  x,0   T0  x  ,  x  0 . hàm lớp C1 từ ¡ n  ¡  ¡ . Khi đó (7) và (8) trở thành: Khi đó (5) và (6) với điều kiện biên và ur  điều kiện ban đầu tương ứng: ur t T  y, t   div y T  y, t  .V y  T  r r    t  y,t   div y T  y,t  V  y        y T  y, t  a  y, t   div y a  y,t  T  y,t   r      f  y,t   div y J , y   t  , (7)   f  y,t  , y    t  ,  T y, t  0 ,    y    t  , t, T  y,t   0, y    t  , t,  T  y,0   T  y  , T  y,0   T  y  , y   , (11)  0 y   0,  0 0  và: ur và:  t   T x, t  T   x, t div V   x, t  T  x, t   T  x, t  C  x,t    T  x, t  r b  x, t   r t x      f  x,t   div y J  x, t  , x  0 , (8)    f  x, t  , x  0 ,  T  x, t   0 , x   0 , t, T  x, t   0, x  0 , t,   T x,0  T y ,    0  x  0 . T  x, 0   T0  x  , x  0 , (12) 179
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 trong đó, với k  0 , c  y, t  là hàm trơn cho trước và ur r r   C  x,t   div y V  x, t   div y a  x,t  ,  g  y, t    g i  y, t  ,...,g n  y,t   . Chúng ta có r r các kết quả sau: b  x, t   D  t y.a  y,t  . Bổ đề 2. Phương trình (15) tương đương với Phương trình r cân bằng khuếch tán: T Giả sử J  y, t   k  y T  y, t  , y    t  ,   x, t   kdiv  B x, t   với mỗi k  0 ,  t r r  ur  x     T  x, t  . h  x, t   d  x, t   t   T y, t   y  T y, t   y .V   ur   c  x,t  T  x, t   f  x, t  , x   0 , (16)      T  y, t  .div V  y   k T  y, t   T  x, t   0, x  0 , t,  T  x, 0   T  x  , x   ,   f  y, t  , t    t  , (13)  0 0 T  y, t   0, y   t  , t,  với B x, t   A  x,t   x T  x, t  , T  y,0   T0  y  , y  0 , A  x, t    a k,i  x, t   , và: n  k  t  y  i  t  y T x,t  ur ak ,i  x, t    . ,   t   T x,t  div V  x,t  j1  y j  y j d i  x, t   si  x, t   ci  x, t  ,   n 2 T x, t  n T x, t   k   a k,i  x,t   .si  x,t   s i  x, t   y  i  t  y ,   k,i1 xkxi i1 xi     n ak ,i  x, t    f  x,t  (14) ci  x, t    ,  k 1 x i T x,t   0, x 0 , t, r  h  x,t  T x,0  T0  x  , x 0 , r r trong đó:    g  x, t  . y 1  t  y,..., g  x, t  . y  n  t  y , n  k  t  y  i  t  y y   t  x . a k,i  x, t    .   y  k . y  i j1 y j y j Bổ đề 3. y    t  x, và Giả sử các điều kiên trên thỏa mãn và với điều kiện ban đầu T0  L2  0  thì (15) và n  2 i  t  y si  x,t      y  i  t  y , y   t  x . (16) có nghiệm duy nhất. j1 y2j 2.5. Phương trình parabolic trên miền 3. TÀI LIỆU THAM KHẢO thay đổi theo thời gian [1] H. Amann, 1995, Linear and Quasilinear Parabolic Problems, 89, Birkhauser Verlag, Trong mục này chúng ta xét một phương Berlin. trình parabolic trên miền thay đổi theo thời [2] F. Cortéz and A. Rodríguez-Bernal, 2013, gian. Phương trình này không nhất thiết là PDEs in moving time dependent domains, phương trình cân bằng. Xét bài toán: In: Rubio R. et al. (eds ) Understanding  n T Complex Systems, Springer, Berlin,  T  y,t   k  yT  y,t     y,t .g i  y, t  Heidelberg, 559-577.   t i 1  yi  [3] P. Hartman, 1964, Ordinary differential   c  y, t  T  y, t   f  t, y , y    t  , (15) equations, John Wiley and sons. T y,t  0, y   t , t, [4] O.A. Ladyzhenskaya, 1969, The     mathematical theory of viscous T  y,0   T0  y , y  0 ,  incompressible flow, Gordon and Breach. 180