zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Một vài ứng dụng của toán tử giả vi phân giải tích

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Một vài ứng dụng của toán tử giả vi phân giải tích nghiên cứu một vài ứng dụng sâu sắc của toán tử giả vi phân giải tích đã và đang được một số nhà toán học quan tâm. Không gian các hàm nguyên exponent type bé hơn R và đại số các toán tử giả vi phân giải tích trên không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một vài ứng dụng của toán tử giả vi phân giải tích

Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 Transport and Communications Science Journal SOME APPLICATIONS OF ANALYTIC PSEUDO-DIFFERENTIAL OPERATORS Nguyen Sy Anh Tuan University of Transport and Communications, No 3 Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 27/03/2022 Revised: 04/05/2022 Accepted: 08/06/2022 Published online: 15/06/2022 https://doi.org/10.47869/tcsj.73.5.5 * Corresponding author Email: anhtuanns@utc.edu.vn; Tel: +84 903231051 Abstract. The theory of analytic pseudo-differential operators is an extension of differential operators, which is a powerful tool to study the application of Fourier analysis to partial differential equations. This paper studies some profound applications of the analytic pseudo- differential operator that has been of interest to some mathematicians. The space of entire functions of exponential type is less than R and the algebra of pseudo-differential analytic operators on this space are included in Part 2 of the paper. The criterion for identifying a function in the space of exponent entire functions of type less than R is stated and proven in Proposition 2.1. In Part 3 of the paper, an application of the analytic pseudo-differential operator is presented, denoted as the exponent generator function of the extended Bernoulli series of numbers, is presented to study the solution of differential equations, where the shift operator and, the constant is the polynomial of the difference (5) introduced in Part 3. The convolution operator is an analytic pseudo-differential operator cleverly used in the inverse Laplace transform problem in the separable Hilbert spaces included at the end of the paper. Keywords: Pseudo-differential operator, differential equation, inverse Laplace transform.  2022 University of Transport and Communications 502
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN GIẢI TÍCH Nguyễn Sỹ Anh Tuấn Trường Đại học Giao thông vận tải, Số 3 Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam THÔNG TIN BÀI BÁO CHUYÊN MỤC: Công trình khoa học Ngày nhận bài: 27/03/2022 Ngày nhận bài sửa: 04/05/2022 Ngày chấp nhận đăng: 08/06/2022 Ngày xuất bản Online: 15/06/2022 https://doi.org/10.47869/tcsj.73.5.5 * Tác giả liên hệ Email: anhtuanns@utc.edu.vn; Tel: +84 903231051 Tóm tắt. Lý thuyết toán tử giả vi phân giải tích là một phần mở rộng của toán tử vi phân, là một công cụ mạnh để nghiên cứu ứng dụng của Giải tích Fourier vào phương trình đạo hàm riêng. Bài báo này nghiên cứu một vài ứng dụng sâu sắc của toán tử giả vi phân giải tích đã và đang được một số nhà toán học quan tâm. Không gian các hàm nguyên exponent type bé hơn R và đại số các toán tử giả vi phân giải tích trên không gian này được đưa vào ở Phần 2 của bài báo. Tiêu chuẩn để nhận biết một hàm thuộc không gian các hàm nguyên exponent type bé hơn R được phát biểu và chứng minh ở Mệnh đề 2.1. Ở Phần 3 của bài báo trình bày một ứng dụng của toán tử giả vi phân giải tích với ký hiệu là hàm sinh exponent của dãy số Bernoulli mở rộng để nghiên cứu nghiệm của phương trình sai phân (5) được đưa vào ở Phần 3. Toán tử tích chập là một toán tử giả vi phân giải tích được sử dụng một cách khéo léo vào bài toán biến đổi Laplace ngược trên không gian Hilbert tách được được đưa vào ở phần cuối của bài báo. Từ khóa: Toán tử giả vi phân, phương trình sai phân, biến đổi Laplace ngược.  2022 Trường Đại học Giao thông vận tải 503
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Việc nghiên cứu toán tử giả vi phân bắt đầu từ những năm 1960 với các công trình của Kohn, Nirenberg, Hömander và Bokobza. Vào những năm 1980, Dubinskii (xem [1]) đã nghiên cứu toán tử giả vi phân giải tích với ký hiệu là hàm giải tích trên miền tuỳ ý    n và ứng dụng vào toán – lý. Cơ sở của các ứng dụng này là đại số các toán tử giả vi phân giải tích tác động bất biến và liên tục. Trong bài báo này, tác giả ứng dụng toán tử giả vi phân với ký hiệu là hàm giải tích trong miền    để nghiên cứu hai bài toán ở Mục 3 và Mục 4. Các kết quả, các chứng minh và các ví dụ của tác giả là hoàn toàn mới. Một số kiến thức hỗ trợ:  Công thức tổng Euler-Maclaurin n 1  1 nh 1 B2 r 2 r 1 (2 r 1)  f ( x  kh)  f ( x  t ) dt   f ( x  nh )  f ( x )    h  f ( x  nh)  f (2 r 1) ( x)  k 0 h 0 2 r 1 (2 r )! z z  B trong đó B2 r (r  1, 2,...) là các số Bernoulli, được xác định bởi z  1    2r z 2r . e 1 2 r 1 (2r )!  Giả sử X và Y là các không gian Hilbert và A : X  X và B : Y  Y là các toán tử tuyến tính bị chặn. Khi đó chúng ta nói rằng B là tương đương unitary với A nếu tồn tại toán tử U : X  Y sao cho B  U AU 1 .  Biến đổi Laplace L2 (  )  L  L2 (  ) là toán tử bị chặn, hơn nữa ta có L L2  L2  . 2. KHÔNG GIAN ExpR ( Z ) VÀ ĐẠI SỐ CÁC TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN GIẢI TÍCH Chúng ta xét các hàm nguyên u ( z ), z   . 2.1. Không gian ExpR ( Z ) Giả sử R  0 và S R      :   R là miền tròn mở bán kính R . Định nghĩa (xem [6]) : Ta đặt   ExpR ( Z )  u ( z ) : u ( z )  M .e r . z , z   Z , trong đó M  0 là một hằng số và 0  r  R . Như vậy ExpR ( Z ) là không gian con của không gian các hàm nguyên exponent type r  R . Ví dụ 2.1: + Đa thức bất kỳ P ( z )  ExpR ( Z ) với R  0 tuỳ ý. + Hàm e a. z là hàm nguyên exponent có type a  e az  ExpR ( Z ) với R  a (xem [7]). + Hàm sin  z là hàm nguyên exponent có type   sin  z  ExpR ( Z ) với R   . + Hàm f thuộc không gian Paley-Wiener (xem [5]) (nghĩa là f là hàm bình phương khả tích trên  và supp f    L, L  , với L  0 và f là biến đổi Fourier của f ) là hàm nguyên exponent type 2 L , do đó f  ExpR ( Z ) với R  L . 504
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 Mệnh đề 2.1: Hàm nguyên u ( z ) thuộc ExpR ( Z ) khi và chỉ khi tồn tại M  0, 0  r  R sao cho D u ( z )  M .e .r  , z   z ,  là số nguyên không âm và D u ( z ) là đạo hàm cấp  rz của hàm u ( z ) . Điều kiện đủ là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện cần. Thật vậy, giả sử u ( z )  ExpR ( Z ) . Áp dụng công thức tích phân Cauchy ta có ! u ( ) D u ( z )    d 2 i   z  a (  z ) n 1 ! e ra Ta có u ( z )  M .er z  M .er z .era với M  0 , do đó D u ( z )  M .er z .e ra   M .e r z . !min . a a 0 a  e ra  e Vì min  đạt tại a  và áp dụng công thức Stirling [11]  !   2 khi    nên a 0 a r     tồn tại M  0; r  r  R sao cho D u ( z )  M .e r z . r , z   z  Điều kiện cần được chứng minh xong. Sự hội tụ trong không gian ExpR ( Z ) Ta nói dãy u ( z ) hội tụ đến hàm u ( z ) khi    trong không gian ExpR ( Z ) nếu thoả mãn hai điều kiện sau: + Dãy u ( z ) hội tụ đến u ( z ) đều địa phương trong  Z . + Tồn tại hằng số M  0 và 0  r  R sao cho u ( z )  M .er z , z   z ,   1, 2,... Hiển nhiên với sự hội tụ này ExpR ( Z ) là không gian tô pô tuyến tính đầy đủ. 2.2. Toán tử giả vi phân với ký hiệu là hàm giải tích trong S R Giả sử A( ) là hàm giải tích bất kỳ trong miền tròn mở S R . Ta so sánh hàm A( ) với toán d tử A( D) , bằng cách thay hình thức biến  bởi toán tử đạo hàm D  (xem [9]). dz Hàm A( ) được gọi là ký hiệu của toán tử A( D) . Ta đã biết hàm A( ) giải tích trong miền tròn mở S R nên khai triển được thành chuỗi Taylor dạng  D A(0) A( )   a .  ,   S R trong đó a  (xem [13]).  0 ! Định nghĩa: Tác động của toán tử A( D) được xác định bởi công thức  A( D )u ( z )   a .D u ( z ), u ( z )  ExpR ( Z ) . (1)  0 Mệnh đề 2.2: 505
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 Nếu hàm u ( z ) thuộc ExpR ( Z ) thì hàm A( D)u ( z ) được xác định và cũng thuộc không gian ExpR ( Z ) , hơn nữa ánh xạ A( D) : ExpR ( Z )  ExpR ( Z ) là liên tục. Mệnh đề 2.3: Tập hợp A ( S R ) tất cả các toán tử giả vi phân giải tích A( D) có ký hiệu là hàm A( ) giải tích trong miền tròn mở S R là một đại số các toán tử đẳng cấu với đại số O( S R ) các hàm giải tích A( ) trong S R . Khi đó A( D )  A( ) ,  A( D)   B( D)   A( )   B( ) , A( D) B( D)  A( ) B( ) . Đặc biệt nếu A( ) và A1 ( ) cùng thuộc O( S R ) thì A1 ( D) là toán tử nghịch đảo của A( D) (xem [14]). Ví dụ 2.2: Như đã biết các số Bernoulli [4] là các hệ số Bk của hàm sinh exponent   Bk k A( )     . (2) e 1 k 0 k ! Ta có A( ) giải tích trong miền tròn mở S R   :   2  , là ký hiệu của toán tử giả vi phân giải tích A( D) tác động trong không gian Exp2 ( Z ) được xác định bởi công thức  Bk A( D)u ( z )    D k u ( z ) , u ( z )  Exp2 ( Z ) . k 0 k ! Ví dụ 2.3: Xét toán tử vi - sai phân m Au ( z )   b D  u ( z  a ) . (3)  0 m Dễ dàng thấy rằng Au ( z ) là toán tử giả vi phân giải tích với ký hiệu là A( )   b   .e  . a .  0 Ví dụ 2.4: Xét toán tử dịch chuyển (xem [14]) Au ( z )  u ( z  a ) , trong đó a   là véc tơ dịch chuyển, z   z .  D u ( z )   a Ta có khai triển Taylor Au ( z )  u ( z  a )    a    D u ( z ) .  0 !  0  ! Do đó toán tử dịch chuyển là toán tử giả vi phân giải tích với ký hiệu là hàm  a A( )       e .a .  0  ! Ví dụ 2.5: Giả sử  (d ) là độ đo compact trong  . Xét toán tử tích chập Au ( z )   u ( z   )  (d  ) , (4)  trong đó u ( z ) là hàm nguyên exponent trên  . Theo công thức Taylor ta có 506
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513  1 Au ( z )   a .D u ( z ) , trong đó a   !   ( )  (d ) .  0  Như vậy, toán tử tích chập là toán tử giả vi phân giải tích với ký hiệu là A( )   a    .  0 3. TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Ký hiệu toán tử dịch chuyển là f ( z )  f ( z  1) và toán tử đạo hàm là Df ( z )  f ( z ) . Khi đó ta có   e D . Thật vậy khai triển Taylor hàm f ( z  1) ta có f ( z ) f ( z ) 2  D D2 2  f ( z )  f ( z  1)  f ( z )  1  1  ...   1  1  1  ...  f ( z )  e D f ( z ) . 1! 2!  1! 2!  Xét phương trình sai phân (xem [12]) P () f ( z )   ( z ) (5) n trong đó f ( z )  f ( z  1) là toán tử dịch chuyển và P ( )   c  là đa thức của toán tử sai  0 phân với hệ số là hằng số. Bổ đề 3.1: Giả sử  ( z )  ExpR ( Z ) và z  1 là nghiệm bội m của đa thức đặc trưng n P ( z )   c .z . Khi đó nếu f ( z )  ExpR ( Z ) là nghiệm của phương trình vi phân  0 D m f ( z )  A( D) ( z ) (6)  Bk (m) k trong đó A( D )    D và Bk (m) là các số Bernoulli mở rộng thì f ( z ) là nghiệm của k 0 k! phương trình sai phân P() f ( z )   ( z ) (7) Chứng minh: Ta biết rằng hàm u ( z )  ExpR ( Z ) nếu và chỉ nếu tồn tại M  0, 0  r  R sao D u ( z )  Me r  , z   Z , . Do đó các nguyên hàm của hàm u ( z ) cũng rz cho thuộc ExpR ( Z ) . Bây giờ giả sử hàm f ( z ) là nghiệm của phương trình D m f ( z )  A( D) ( z ) . n Ta có đa thức toán tử sai phân P ()   c  tác động như toán tử giả vi phân giải tích trong  0 Exp ( Z ) và thoả mãn P ()  P(e ) , nghĩa là P () ( z )  P (e D ) ( z ) ,  ( z )  Exp ( Z ) . D m  Bk (m) k Đặt A( )      , trong đó Bk (m) là các số Bernoulli mở rộng, m chỉ số bội P (e ) k 0 k! của nghiệm   0 . Khi đó hàm A( ) giải tích trong miền tròn mở S R      :   R ( R là khoảng cách bé nhất từ điểm   0 đến các không điểm của P (e ) ). Do đó A( D) là toán tử giả vi phân giải tích xác định trên không gian ExpR ( Z ) . 507
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 Từ đó suy ra P (e D ). A( D)  D m . Theo giả thiết có D m f ( z )  A( D) ( z ) ⇒ P (e D ). A( D) f ( z )  A( D) ( z ) . Nhân hai vế phương trình với toán tử A1 ( D) ta suy ra P (e D ). f ( z )   ( z ) . Như vậy nếu  ( z ) thuộc không gian ExpR ( Z ) thì f ( z ) là nghiệm của phương trình sai phân P() f ( z )   ( z ) (đpcm). Ví dụ 3.1: Tìm nghiệm của phương trình sai phân P () f ( z )   ( z ) , trong trường hợp  ( z )  e az , 0  a  R (8) Ta có  ( z )  ExpR ( Z ) , giả sử m là số bội của nghiệm z  1 của đa thức đặc trưng P( z ) . Áp dụng Bổ đề trên ta có     B ( m) k B (m) k az B (m) k az B ( m) k Dm f ( z)   k  D  ( z)   k  D (e )   k  a e  eaz  k a  k 0 k! k 0 k! k 0 k! k 0 k! am  e az  . P (e a ) am Lấy tích phân hai vế của D m f ( z )  e az  liên tiếp m lần (m  1) ta có nghiệm của P (e a ) phương trình là e az f ( z)  a  c1 z m 1  ...  cm 1 z  cm , (9) P (e ) trong đó c1 ,..., cm là các hằng số tuỳ ý. Ví dụ 3.2: Xét bài toán Cauchy đối với phương trình dịch chuyển (xem [10]) u ( , z )  u ( , z  a )  0 (  , z   Z ) , (10)  u (0, z )   ( z ) , trong đó  ( z )  ExpR ( Z ) . u Ta có u ( , z  a )  e aD u ( , z ) nên suy ra ( , z )  eaD u ( , z )  0, u (0, z )   ( z ) . Do đó  u ( , z )  e  .e aD  ( z ) . Vậy nghiệm của bài toán là u ( , z )     e  aD n  ( z ) hoặc là n0 n!        ( z  na) . n n   u ( , z )   e naD  ( z)   n0 n! n 0 n! Trường hợp riêng, nghiệm cơ bản của bài toán Cauchy đã cho là     ( z  na) . n   ( , z )   (11) n0 n! 4. TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN GIẢI TÍCH VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 508
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 Trong phần này chúng ta xét phép biến đổi Laplace [3]: L2 (  )  L  L2 (  ) được xác định bởi  L ( f ( x))( s)   f ( x)e sx dx . (12) 0 Biến đổi Laplace của các hàm thuộc L2 (  ) liên quan mật thiết với các hàm thuộc không gian Hardy được định nghĩa là H 2 (  )   ( x  iy ) , giải tích với x  0 và sup   ( x  iy ) dy  } . 2 x0 R Mệnh đề 4.1: Biến đổi Laplace L2 (  )  L   L2 (  ) là hàm thuộc không gian Hardy H 2 (  ) . Thật vậy, áp dụng công thức Fourier trong L2 (xem [2]) ta có  2 L f ( x  iy ) dy   2 e 2 xt f (2 t ) dt . 2  0   2 Đặt 2 t  v ta có  f ( x  iy ) dy  2  e  xv f (v) dv  2  f (v) dv  2 f 2 2 L L2 (   ) (đpcm).  0 0 Mệnh đề 4.2: Nếu f là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng     z  x  iy, x  0 và thoả mãn sup  f ( x  iy ) dy   thì f là biến đổi Laplace của hàm   L2 (  ) , hơn nữa biến đổi 2 x0  Laplace L2 (  )  L  H 2 (  ) là toán tử unitary (xem [15]). Ta đưa vào toán tử U xác định bởi Uf (v)  ev /2 . f (ev ) . Dễ dàng thấy rằng U là toán tử unitary từ L2 (  ) vào L2 () . Xét toán tử tích phân Carleman trên L2 (  ) xác định bởi  f ( y) Sf ( x)   dy . 0 x y Ta có S  L là toán tử bị chặn, tự liên hợp với S  2 L2   (xem [16]). Bây giờ ta xác định 2 toán tử T tác động trên L () , T  L2 () L2 ()  U 1 U , T  UL 2 U 1 (13) 2 L2 (  )  L L2 (  ), T là toán tử tích phân Carleman được xác định bởi tích chập Tf ( x)  K ( x)  f ( x)   K ( x  y ) f ( y )dy , (14)  1 trong đó K ( x)  . x 2 cosh 2 Thấy rằng T là toán tử bị chặn, tự liên hợp với T   . 509
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 Bổ đề 4.1: Giả sử ɸ  H 2 (  )  L2 (  ) và UL  ( x) có thác triển giải tích trên dải    z   : Im z    . Khi đó L 1  ( x)  U 1  UL ( x  i )  UL ( x  i ) . (15) 2 Chứng minh: Trước hết ta chứng minh eix   cosh x dx   . (16) cosh 2 1 Thật vậy, vì cosh x là hàm chẵn nên giả thiết   0 . Tập hợp các cực điểm của hàm là cosh x   i 3 i 5 i  nghiệm của phương trình cos(ix)  0 , là tập:  , , ,... . 2 2 2  Áp dụng tính chất của thặng dư ta có  i  i 3 i 5 i  e  2 ei  ei  2  ...   2 i  ie  2  ie  2  ie  2  ...     3 5 eix 2   cosh x dx  2 i  i  3 i 5 i      cosh    sinh sinh sinh   2 2 2  2 x Thay hình thức  bởi 2 và x bởi  vào công thức (16) ta có 2 e ix    2 cosh x dx  cosh  . (17) 2 Giả sử f  L2 () với f có giá compact. Lấy biến đổi Fourier của tích chập (xem [8]). 1 Tf ( x)  K ( x)  f ( x)   f ( x) x 2 cosh 2 và sử dụng (17) ta có  ( )  Tf  cosh   f ( )  T 1 f ( )  cosh   1  f ( )  cosh(    (iD)) f ( ) ,  d trong đó D  là toán tử đạo hàm. dx Lấy biến đổi Fourier ngược ta có 1 T 1 f ( x)   cos( D). f ( x) . (18)  Từ công thức (13) suy ra 510
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 L 2  U 1.T 1.U  U 1  1  cos( D).U  L 1  1  U 1.cos( D).UL . (19)   Theo giả thiết   H 2 (  )  L2 (  ) nên tồn tại   L2 (  ) sao cho   L  UL = UL 2 . 1 Từ (13) và (18) dễ thấy rằng UL thuộc miền xác định của cos( D) , nghĩa là khi  1   H 2 (  )  L2 (  ) ta có cos( D)UL  L2 () .  Công thức (19) là công thức liên hệ trực tiếp giữa phép biến đổi Laplace ngược với toán tử giả vi phân giải tích. Ký hiệu toán tử tịnh tiến là Eh g ( x)  g ( x  h) và toán tử đạo hàm là Dg ( x)  g ( x) . Khi đó áp dụng công thức Taylor ta có g ( x) g ( x) 2  Dh D 2 h 2  Eh g ( x )  g ( x  h )  g ( x )  h   h  ...  1    ...  g ( x)  e hD g ( x) . 1! 2!  1! 2!  Do đó suy ra ei D  e  i D E  Ei cos( D) g ( x)   g ( z )  i  g ( x) . 2 2 g ( x  i )  g ( x  i ) Do đó cos( D ) g ( x)  , với điều kiện hàm g được xác định trên  và 2 có thác triển giải tích trên dải    z   : Im z    . Theo giả thiết UL ( x) cũng có thác triển giải tích trên dải    z   : Im z    nên UL ( x  i )  UL ( x  i ) cos( D)UL ( x)  . (20) 2 Từ (19) và (20) ta có L 1 ( x)  U 1  UL ( x  i )  UL ( x  i ) (đpcm). (21) 2 Ví dụ 4.1: Xét hàm trong không gian L2 (  ) xác định bởi  (t )  H (t  2021)  H (t  2022) , (22) 1, t  0 trong đó H (t )   là hàm bước đơn vị Heaviside. 0, t  0 Áp dụng tính chất tích phân của biến đổi Laplace ta có    L  L ( L )  L  e 2021s  e 2022 s  1 1  s    L  e 2021s  e 2022 s dx      dx . x  2021 x  2022    x x Suy ra L ( x)  ln( x  2022)  ln( x  2021) . x Do đó UL ( x)  e 2  ln(e x  2022)  ln(e x  2021)  . 511
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 Theo nguyên lý phản xạ Schwartz (xem [16]) trên dải    z   : Im z    ta có UL ( x  i )  UL ( x  i )  UL ( x  i ) . Bởi vậy từ công thức (21) suy ra cos( D)UL ( x)  Re  UL ( x  i ) . Từ đó ta có 1 1  x  cos( D) UL ( x)  Re  Ie 2 ln(2022  e x )  ln(2021  e x )        x 1  e  arg(2022  e x )  arg(2021  e x )  . 2  Suy ra 1 1 U 1 cos( D)UL (t )  arg(2021  t )  arg(2022  t ) .   0 ,  0 Sử dụng arg    ta có  ,   0 1 U 1 cos( D )UL (t )  H (t  2021)  H (t  2022)   (t ) .  5. KẾT LUẬN Bài báo đã trình bày về toán tử giả vi phân giải tích với ký hiệu là hàm giải tích trên miền Runge trong  và ứng dụng để đưa ra công thức nghiệm tường minh cho phương trình sai phân P () f ( z )   ( z ),  ( z )  ExpR ( Z ) và công thức biến đổi Laplace ngược trong không gian Hilbert tách được L2 (  ) . LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân trọng gửi đến Trường Đại học Giao thông vận tải lời cảm ơn chân thành đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện nghiên cứu bài báo này. Đặc biệt tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Tiến sỹ Nguyễn Sĩ Minh và cố Giáo sư Tiến sỹ Trần Đức Vân nguyên là cán bộ Viện Toán học Việt Nam đã hướng dẫn tác giả nghiên cứu về lý thuyết toán tử giả vi phân với ký hiệu là hàm giải tích trên miền Runge trong  . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Y. A. Dubinskii, The algebra of pseudo differential operators with analytic symbols and applications to mathematical physics (Russian), Uspekhi Mat. Nauk, 37 (1982) 97-137. [2]. P. Duren, E. A. Gallardo-Gutierrez, A. Montes-Rodriguez, A. Paley-Wiener theorems for Bergman spaces with application to invariant subspaces, Bull. Lond. Math. Soc., 39 (2007) 459-466. https://doi.org/10.1112/blms/bdm026 [3]. B. Jacob, J. R. Partington, S. Pott, On Laplace-Carleson embedding theorems, J. Funct. Anal, 264 (2013) 783-814. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2012.11.016 [4]. Juha Kinnunen, Partial Differential Equations, 2019. [5]. J. Mashreghi, Representation Theorems in Hardy Spaces, Cambridge University Press, ISBN 9780521517683, 2019. 512
Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue 5 (06/2022), 502-513 [6]. Nguyen Si Minh, Tran Duc Van, Nguyen Sy Anh Tuan, The space of exponential functions associated with a class of differential operator and application, Pro. Of Inter. Conference on Applied analyses and Mechanies of Continuous Media, Ho Chi Minh City (1995) 268-281. [7]. Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, Phép biến đổi Fourier – Cauchy cho các hàm thuộc lớp Holder, Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, 68 (2019) 17-25. [8]. Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, Phương pháp biến đổi Fourier nhiều chiều trong phương trình đạo hàm riêng, Kỷ yếu Hội thảo về Giảng dạy và Nghiên cứu Khoa học cơ bản, (2020) 41-48. [9]. Nguyen Sy Anh Tuan, A Remark on Analytic Pseudodifferential Operators with Singularities, Vietnam Journal of Mathematics, 26 (1998) 91-94. http://www.math.ac.vn/publications/vjm/vjm_26/No.1/91-94_Tuan.PDF [10]. Nguyen Sy Anh Tuan, The Fourier transform to distributions and Solutions of Partial Differential Equations, Transport and Communications Science Journal, 72 (2021) 647-660. https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.11 [11]. P. Agarwal, R.P. Agarwal, M. Ruzhansky, Special Functions and Analysis of Differential Equations, RC Press (2020). [12]. S. P. Polyakov, Indefitine summation of rational functions with factorization of denominators, Programming and Computer Software, 37 (2011) 322-325. https://doi.org/10.1134/S0361768811060077 [13]. E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I), Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-11384-X. (2003) [14]. Tran Duc Van, On the pseudodifferential operators with real analytic symbol and their applications, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Math., 36 (1989) 803-825. https://doi.org/10.15083/00039417 [15]. Yaffe, Laurence. G, Chapter 6: Symmetries, Physics 226: Particles and Symmetries. Retrieved 1 January, 2021. [16]. Y-Q. Song, L Vanka Taramanan, L. Burcaw, Determining the resolution of the Laplace inversion spectrum, Jour. of Chem. Phys, 122 (2005) 104104. https://doi.org/10.1063/1.1858436 513

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.