5 loại bất đẳng thức

Bất đẳng thức tam giác

Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam

giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại.

Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức

cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán

học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gian

metric.

Không gian vectơ định chuẩn

Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu như sau: ||x

+ y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớn

hơn tổng chuẩn của hai vectơ đó.

Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì

thế có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau:

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn

trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó.

Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam

giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y:

[Không gian metric

Trong không gian metric M với metric là d, bất đẳng thức tam giác có dạng

d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y,z) với mọi x, y, z thuộc M

tức là, khoảng cách từ x đến z không thể lớn hơn tổng các khoảng cách từ x đến y với

khoảng cách từ y đến z.

Hệ quả

Người ta thường sử dụng một hệ quả sau đây của bất đẳng thức tam giác, thay vì cho cận

trên hệ quả này cho cận dưới:

| ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y|| hay phát biểu theo metric | d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)

điều này cho thấy chuẩn ||–|| cũng như hàm khoảng cách d(x, –) là 1-Lipschitz và do đó là

hàm liên tục.

Sự đảo chiều trong không gian Minkowski

Trong không gian Minkowski thông thường hay trong các không gian Minkowski mở

rộng với số chiều tùy ý, giả sử các vectơ không và các vectơ giống-thời-gian có cùng

chiều thời gian, bất đẳng thức tam giác bị đảo chiều:

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V sao cho ||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 và tx ty ≥ 0

Bất đẳng thức Cauchy

Bài này viết về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. Để xem bài viết về bất

đẳng thức trong tích vectơ, xem Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung

bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân

của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó

bằng nhau.

• Với 2 số:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

• Với n số:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Tổng quát hóa

Trung bình có hệ số

Cho n số x1, x2, ..., xn ≥ 0

và các hệ số α1, α2, ..., αn > 0.

. Đặt

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có

hệ số, như sau:

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

Với các loại trung bình khác

Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng

Đẳng thức khi và chỉ khi

Ứng dụng trong lý thuyết toán

bat dang thuc nay rat phu hop voi viec danh gia tu trung binh cong sang tb nhan

Ứng dụng trong các lĩnh vực khác

Việc sử dụng bất đẳng thức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vô tỉ.

Bất đẳng thức Bunyakovsky

Bất đẳng thức Bunhia hay còn gọi là Bất đẳng thức Bunyakovsky được Victor

Yakovlevich Bunyakovsky đưa ra để chứng minh các bất đẳng thức trong toán học.

Một số dạng cơ bản

Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường

•

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

• Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi

thành: (ad - bc)² ≥ 0

• Dấu " = " xảy ra khi

Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số

• Với hai bộ số (a ;a ;...;a )

n và (b ;b ;...;b ) 1

n ta có :

2

1

2

• Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

với quy ước nếu một số bi

nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì ai tương ứng bằng 0.

Bất đẳng thức Bernoulli

Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng

các lũy thừa của 1 + x.

Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức

này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như

sau:

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.

Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức

khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

Chứng minh:

Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng.

Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k:

Cần chứng minh:

(vì theo giả thiết Thật vậy,

)

(vì

)

=> Bất đẳng thức đúng với r=k+1.

Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi

Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì

với r ≤ 0 or r ≥ 1, và

với 0 ≤ r ≤ 1.

Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm.

Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r

thuộc tập số tự nhiên.

Các bất đẳng thức liên quan

Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số thực x

bất kỳ, r > 0, chúng ta có

với e = 2.718.... Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e.

Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty

Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho

và

thì

Tương tự, nếu

và

thì

Chứng minh

Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức hoán vị.

Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau

và

Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có

là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.

Cộng vế theo vế, ta có:

chia cả hai vế cho n2, ta nhận được:

(điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức Holder

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Holder, đặt theo tên của nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian Lp: giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc Lp(S) và g thuộc Lq(S). Khi đó fg thuộc L1(S) và

Các số p và q nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau.

Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian Lp, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh Lp là đối ngẫu với Lq.

Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý

• Với p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

• Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là {1,...,n} với một độ đo kiểu

đếm, chúng ta có kết quả là với mọi x, y trong Rn (Cn)

• Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đó chúng ta có được bất đẳng thức Holder

cho các dãy từ không gian lp

.

• Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có

• Trong trường hợp không gian xác suất

, là các ký hiệu

để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên với momentphữu hạn,

, trong đó là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở

thành

.

Trường hợp tổng quát

Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp

Giả sử sao cho

. Khi đó ta có và Giả sử

Bất đẳng thức Jensen

Với mọi hàm lồi f trên và mọi ta có

.

Với mọi hàm lõm f trên và mọi ta có

.

Lưu ý: f là hàm lồi khi ta có f''(x) > 0 trên và là hàm lõm khi ta có f''(x)< 0 trên

Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata.

Bất đẳng thức Minkowski

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Minkowski dẫn đến kết luận rằng các không gian Lp là các không gian vector định chuẩn. Giả sử S là một không gian đo, giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, đồng thời f và g là các phần tử của Lp(S). Khi đó f + g cũng thuộc Lp(S), và chúng ta

có

dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi f và g phụ thuộc tuyến tính.

Bất đẳng thức Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác trong Lp(S). Có thể chứng

minh nó bằng cách dùng bất đẳng thức Holder.

Cũng như bất đẳng thức Holder, có thể đưa bất đẳng thức Minkowski về các trường hợp

đặc biệt cho các dãy và các vector bẳng cách dùng khái niệm độ đo kiểu đếm được:

với mọi số thực (hay số phức) x1, ..., xn, y1, ..., yn và n là số chiều của S.