Bất đẳng thức tam giác
Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam
giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại.
Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các
không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức
cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán
học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gian
metric.
Không gian vectơ định chuẩn
Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu như sau: ||x
+ y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớn
hơn tổng chuẩn của hai vectơ đó.
Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì
thế có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau:
Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn
trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó.
Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam
giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y:
[Không gian metric
Trong không gian metric M với metric là d, bất đẳng thức tam giác có dạng
d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y,z) với mọi x, y, z thuộc M
tức là, khoảng cách từ x đến z không thể lớn hơn tổng các khoảng cách từ x đến y với
khoảng cách từ y đến z.
Hệ quả
Người ta thường sử dụng một hệ quả sau đây của bất đẳng thức tam giác, thay vì cho cận
trên hệ quả này cho cận dưới:
| ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y|| hay phát biểu theo metric | d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)
điều này cho thấy chuẩn ||–|| cũng như hàm khoảng cách d(x, –) là 1-Lipschitz và do đó là
hàm liên tục.
Sự đảo chiều trong không gian Minkowski
Trong không gian Minkowski thông thường hay trong các không gian Minkowski mở
rộng với số chiều tùy ý, giả sử các vectơ không và các vectơ giống-thời-gian có cùng
chiều thời gian, bất đẳng thức tam giác bị đảo chiều:
||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V sao cho ||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 và tx ty ≥ 0
Bất đẳng thức Cauchy
Bài này viết về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. Để xem bài viết về bất
đẳng thức trong tích vectơ, xem Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung
bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân
của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó
bằng nhau.
• Với 2 số:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
• Với n số:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Tổng quát hóa
Trung bình có hệ số
Cho n số x1, x2, ..., xn ≥ 0
và các hệ số α1, α2, ..., αn > 0.
Đặt .
Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có
hệ số, như sau:
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
Với các loại trung bình khác
Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng
Đẳng thức khi và chỉ khi
Ứng dụng trong lý thuyết toán
bat dang thuc nay rat phu hop voi viec danh gia tu trung binh cong sang tb nhan
Ứng dụng trong các lĩnh vực khác
Việc sử dụng bất đẳng thức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vô tỉ.
Bất đẳng thức Bunyakovsky
Bất đẳng thức Bunhia hay còn gọi là Bất đẳng thức Bunyakovsky được Victor
Yakovlevich Bunyakovsky đưa ra để chứng minh các bất đẳng thức trong toán học.
Một số dạng cơ bản
Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường
• (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
• Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi
thành: (ad - bc)² ≥ 0
• Dấu " = " xảy ra khi
Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số
• Với hai bộ số (a;a;...;a)
1 2 n và (b;b;...;b)
1 2 n ta có :
• Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi với quy ước nếu một số bi
nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì ai tương ứng bằng 0.
Bất đẳng thức Bernoulli
Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng
các lũy thừa của 1 + x.
Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:
với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức
này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như
sau:
với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.
Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức
khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:
Chứng minh:
Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng.
Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k:
Cần chứng minh: