III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN
BM Điều Khiển Tự Động Th.S. Đặng Văn Mỹ
1
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN
3.1 MỘT SỐ CÔNG CỤ TOÁN HỌC
ĐẠI SỐ MA TRẬN
Định nghĩa ma trận
Amxn
Ma trận hàng, ma trận cột, ma trận đơn vị, ma trận đường chéo
I 3x 3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Các phép toán ma trận: cộng, trừ, nhân, chia
p
Cmxn = Amxn ± Bmxn = (aij + bij )
AB = C ⇔ cij =
aikbkj
A(B + C) = AB + AC
AI = IA = A
∑
k=1
Ma trận chuyển vị và các tính chất
(AB)T = AT BT
AT
Hạng của ma trận
Định thức ma trận
Ma trận nghịch đảo
A−1 =
Aadj det(A)
Với ma trận bù có các ph tử
' =(−1)i+ j det( Aji ) aij
Aadj
2
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI
Những hệ thống điều khiển có nhiều đầu vào - nhiều đầu ra (MIMO) thì phương pháp tổng hợp hệ thống trong không gian trạng thái thường được sử dụng. Phương pháp này cho phép người ta tính được cả các điều kiện khởi tạo để tổng hợp hệ thống khi cần thiết.
B
Quãng đường dịch chuyển
Vận tốc khối vật
&x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
⎧ ⎨ ⎩
3
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI
&x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
⎧ ⎨ ⎩
Xét hệ gồm có:
A: Ma trận hệ thống (nxn)
m tín hiệu vào
u(t) = {u1(t),...,um (t)}
B: Ma trận đầu vào (nxm)
r tín hiệu ra
y(t) = {y1(t),..., yr (t)}
C: Ma trận đầu ra (rxn)
n biến trạng thái
D: Ma trận liên thông (rxm)
x(t) = {x1(t),..., xn(t)}
Hệ tham số phụ thuộc thời gian &x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
Hệ tham số rải (phụ thuộc không gian) &x(t) = A(v)(x(t) + B(v)u(t) y(t) = C(v)x(t) + D(v)u(t)
⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎨ ⎩
Ưu điểm: So với phương trình hàm truyền, hệ phương trình trạng thái có thể sử dụng để mô tả hệ MIMO. Ngoài ra, MHTT còn giúp ta khảo sát được trực tiếp các trạng thái bên trong hệ thống.
4
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI
XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ QUAN HỆ VÀO RA
Xét hệ SISO có một tín hiệu vào u(t) và một tín hiệu ra y(t):
a0y + a1
+ ...+ an−1
+ ...+ bn−1
dy dt
d n−1y dt n−1 +
d ny dt n = b0u + b1
du dt
d n−1u dt n−1 + bn
d nu dt n
Mô hình được viết lại thành:
B(1xn)
G(s) =
=
A(nxn)
Y (s) U(s)
B(s) A(s)
b0 + b1s + ...+ bnsn a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + sn =
Đặt:
X1 =
, X2 =
,..., Xn =
x1 x2
0 0
1 0
0 0
U(s) A(s)
sU(s) A(s)
sn−1U(s) A(s)
u
=
+
dx dt
M 0
0 K 0 1 K 0 M O 0 0 K 1
sX1 = X2,K, sXn−1 = Xn
M 0 1
M 0 −a0 −a1 −a2 K −an−1
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
M xn−1 xn
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
X1 =
⇒ A(s)X1 = U(s) = a0 X1 + a1X2 +K+ an−1Xn + sXn
U(s) A(s)
Y (s) =
= b0 X1 + b1X2 + ...+ bn−1Xn + bnsXn
U(s)(b0 + b1s + ...+ bnsn ) A(s)
} → (*)
= a0 X1 + a1X2 +K+ an−1Xn + L{
⇔ y = (b0 − a0bn )x1 + (b1 − a1bn )x2 + ...+ (bn−1 − an−1bn )xn + bnu
x1
⇒
= x2,
dxn dt = xn
= x3,K,
dx1 dt
dx2 dt
dxn−1 dt
+ bnu
⇔ y = (b0 − a0bn ),(b1 − a1bn ),...,(bn−1 − an−1bn )
(
)
M xn
(*) →
= −a0x1 − a1x2 −K− an−1xn + u
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
dxn dt
C(nx1)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ D(1x1)
5
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP)
XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN ĐẠT
MÔ HÌNH TRẠNG THÁI DẠNG CHUẨN ĐIỀU KHIỂN
G(s) =
=
Với hệ có PTHT:
Y (s) U(s)
B(s) A(s)
b0 + b1s + ...+ bnsn a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + sn =
Đặt:
X1 =
, X2 =
,..., Xn =
U(s) A(s)
sU(s) A(s)
sn−1U(s) A(s)
Ví dụ: Cho hệ có PTHT
G(s) =
=
Y (s) U(s)
B(s) A(s)
b0 + b1s + b2s2 a0 + a1s + a2s2 + s 3 =
x1 x2
0 0
1 0
0 0
u
=
+
Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn điều khiển
dx dt
M 0
0 K 0 1 K 0 M O 0 0 K 1
M 0 1
M 0 −a0 −a1 −a2 K −an−1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
M xn−1 xn
,
X1 =
, X2 =
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
sU(s) A(s)
Đặt
x1
X3 =
U(s) A(s) s2U(s) A(s)
+ bnu
y = (b0 − a0bn ),(b1 − a1bn ),...,(bn−1 − an−1bn )
)
(
M xn
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
6
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP)
XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN ĐẠT
MÔ HÌNH TRẠNG THÁI DẠNG CHUẨN QUAN SÁT
Hệ số an=1
=
G(s) =
Cho hệ có PTHT
b0 + b1s + ...+ bnsn a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + sn
Y (s) U(s) ⇒ a0Y + a1sY + a2s2Y +K+ an−1sn−1Y + snY = b0U + b1sU + b2s2U +K+ bnsnU → (*) X1 = Y − bnU ⎧ ⎪ X2 = an−1Y − bn−1U + s(Y − bnU ) ⎪ ⎪ X3 = (an−2Y + an−1sY ) − (bn−2U + bn−1sU ) + s2 (Y − bnU ) = (an−2Y − bn−2U ) + s(an−1Y − bn−1U + s(Y − bnU )) ⎨ ⎪ M ⎪ Xn = (a1Y + a2sY +K+ an−1sn−2Y ) − (b1U + b2sU +K+ bn−1sn−2U ) + sn−1(Y − bnU ) → (**) ⎪ ⎩ → (*) & (**) ⇒ b0U − a0Y = s (a1Y + a2sY +K+ an−1sn−2Y ) − (b1U + b2sU +K+ bn−1sn−2U ) + sn−1(Y − bnU )
(
) = sXn
x1 x2
−an−1 −an−2
bn−1 bn−2
u
+
&x =
M −a1 −a0
M xn−1 xn
M b1 b0
1 0 K 0 0 1 K 0 M O 0 M 0 0 K 1 0 0 K 0
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
x1
+ bn.u
(
)
y = (1,0,K,0
x1 = y + bnu ⎧ ⎪ &x1 = x2 + bn−1u − an−1x1 ⎪ &x2 = x3 + bn−2u − an−2x1 ⎪ ⎨ M ⎪ ⎪ &xn−1 = xn + b1u − a1x1 ⎪ &xn = b0u − a0x1 ⎩
M xn
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
7
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP) XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN ĐẠT
G(s) =
=
Ví dụ: Cho hệ có PTHT
Y (s) U(s)
B(s) A(s)
b0 + b1s + b2s2 a0 + a1s + a2s2 + s 3 =
Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn quan sát
Mô hình trạng thái dạng chuẩn quan sát
8
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP)
XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN ĐẠT
G(s) =
=
Y (s) U(s)
b0 + b1s + ...+ bnsn a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + sn
Chuẩn điều khiển
Chuẩn quan sát
Chuẩn điều khiển
Chuẩn quan sát
x1 x2 −an−1 −an−2 bn−1 bn−2 x1 x2 0 0 1 0 0 0
u + &x = u = + dx dt M 0 0 K 0 1 K 0 M O 0 0 K 1
M 0 1 M −a1 −a0 M xn−1 xn M b1 b0 1 0 K 0 0 1 K 0 M O 0 M 0 0 K 1 0 0 K 0 M 0 −a0 −a1 −a2 K −an−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ M xn−1 xn ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
x1 x1
(
)
)
(
+ 0.u y = (1,0,K,0 + bnu y = (b0 − a0bn ),(b1 − a1bn ),...,(bn−1 − an−1bn )
M xn M xn ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Làm sao để đưa mô hình trạng thái bất kì về dạng chuẩn điều khiển hoặc chuẩn quan sát?
9
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP)
SỰ KHÁC BIỆT GIỮA MỘT SỐ KÍ HIỆU TRONG MHTT
Hệ tham số hằng - SISO
&x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
⎧ ⎨ ⎩
Hệ tham số hằng - MIMO
&x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
⎧ ⎨ ⎩
Hệ tham số hằng - MISO
&x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
⎧ ⎨ ⎩
Hệ tham số t - MISO
&x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
⎧ ⎨ ⎩
10
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP)
XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRUYỀN TỪ MÔ HÌNH TRẠNG THÁI
Định lý: Cho hệ SISO tuyến tính với mô hình trạng thái:
&x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
⎧ ⎨ ⎩
Khi đó hệ có phương trình hàm truyền: a)G(s) = C(sI − A)−1 B + D
G(s) = b) Nếu thì
B(s) A(s)
A(s) = a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + ansn = det(sI − A) B(s) = b0 + b1s + ...+ bms m = C
) Aadj B + D.det(sI − A)
với là ma trận bù của ma trận (sI-A) với
) Aadj
(sI − A)−1 =
) Aadj det(sI − A)
11
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.2 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI
Qũi đạo trạng thái là nghiệm của hệ phương trình vi phân:
= Ax(t) + Bu(t)
dx(t) dt
( )u t
(0)x
ứng với một kích thích và trạng thái ban đầu cho trước
x=
0
Không gian trạng thái là tập hợp tất cả các quĩ đạo trạng thái của hệ thống
0 → ∞
x(t)
Đồ thị quĩ đạo trạng thái là đường cong biểu diễn khi cho t chạy từ trong không gian trạng thái
nR
12
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI (TIẾP)
Tương tự với phương trình vi phân thứ 2
Vậy ảnh Laplace của hệ phương trình vi phân là
13
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI (TIẾP)
Lấy ảnh Laplace ngược để tìm nghiệm x(t)
Ma trận chuyển trạng thái
14
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI (TIẾP)
Ma trận chuyển trạng thái:
15
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.2.1 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI (TIẾP)
Giả sử với tín hiệu vào bước nhảy đơn vị u(t)=1, ta có
Giả sử với tín hiệu vào bước nhảy đơn vị u(t)=1, ta có
Suy ra nghiệm của hệ phương trình vi phân:
16
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014
