III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN
BM Điều Khiển Tự Động Th.S. Đặng Văn Mỹ
1
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
Ma trận hàm mũ
Xuất phát từ phân tích:
∞
∞
1(t)} =
L{t k.1(t)} =
∑
∑
(At)k k!
Ak s k+1
k=0
k=0
∞
∞
∞
⇒
∑
∑
∑
k! s k+1 ⇒ L{eAt .1(t)} = L{ Ak Ak+1 s k+1 = (sI − A) s k+1 =
A0 s0 = A0 = I
k=0
k=0
k=0
∞
⇔
∑
Ak s k − Ak s k+1 = (sI − A)−1
k=0
Vậy suy ra:
eAt = L−1{(sI − A)−1}
2
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
Ma trận hàm mũ (tiếp)
eAt
x(t)
Ma trận hàm mũ được sử dụng để xác định nghiệm trong phương trình:
= Ax(t) + Bu(t)
dx(t) dt
∞
∞
Xuất phát từ:
ex =
E(t) = eAt =
∑
∑
x k k!
(At)k k!
k=0
k=0
Đây là chuỗi hội tụ
Định Nghĩa:
∞
Ma trận hàm là giá trị tới hạn của chuỗi
eAt
∑
(At)k k!
k=0
trong đó A là một ma trận vuông (n x n) và
A0 = I
3
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
Ma trận hàm mũ (tiếp)
∞
∞
Ta có:
L{t k .1(t)} =
1(t)} =
∑
∑
k! s k+1 ⇒ L{eAt .1(t)} = L{
(At)k k!
Ak s k+1
k=0
k=0
∞
∞
∞
⇒
∑
∑
∑
Ak s k −
Ak+1 s k+1 = (sI − A)
Ak s k+1 =
A0 s0 = A0 = I
k=0
k=0
k=0
∞
⇔
∑
Ak s k+1 = (sI − A)−1
k=0
Vậy
eAt = L−1{(sI − A)−1}
4
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
Xác định ma trận hàm mũ
- Nhờ toán tử Laplace
A =
- Ví dụ: cho hệ có
1 2 0 3
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
−1
eAt = L−1{(sI − A)−1} = L−1 = L−1 s − 1 0 s − 3 0 −2 s − 3 1 (s − 1)(s − 3) 2 s − 1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎧ ⎪ ⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎪ ⎬ ⎭⎪ ⎧ ⎪ ⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎪ ⎬ ⎭⎪
1 s − 1 = L−1 =
et 0 e3t − et e3t ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 0
5
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014
2 (s − 1)(s − 3) 1 s − 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
Xác định ma trận hàm mũ (tiếp)
- Nhờ định lý Cayley - Hamilton
n−1 (2)
là giá trị riêng của ma trận A:
eAt = a0 (t)I + a1(t)A +K+ an−1(t)An−1 (1) An = −(a0 (t)I + a1(t)A +K+ an−1(t)An−1) và An+1 = AAn sk eskt = a0 (t) + a1(t)sk +K+ an−1(t)sk
A =
- Ví dụ: với hệ có
1 2 0 3
⎞ ⎠⎟
det
⎛ ⎝⎜ - Bước 1: xác định các giá trị riêng của ma trận A s − 1 0
⎛ ⎝⎜
e3t
et −
a0 (t) =
1 2
−2 s − 3 - Bước 2: Sử dụng công thức (2)
⇒
⎞ ⎠⎟ = 0 ⇔ s1 = 1; s2 = 3 et = a0 (t) + a1(t) e3t = a0 (t) + 3a1(t)
(e3t − et )
⎧ ⎪ ⎨ ⎩⎪
a1(t) =
3 2 1 2
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
- Bước 3: Sử dụng công thức (1)
eAt = a0 (t)I + a1(t)A =
et 0
e3t − et e3t
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
6
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
Xác định ma trận hàm mũ (tiếp)
- Nhờ định lý Cayley - Hamilton (tiếp)
- Nếu giá trị riêng sk là nghiệm bội q, ta sử dụng công thức
sau bổ sung vào bước 2 để xác định nghiệm:
n−3an−1(t)
t q−1eskt = (q − 1)!aq−1(t) +
n−qan−1(t) s1
skaq (t) +K+
teskt = a1(t) + 2ska2 (t) +K+ (n − 1)sk n−2an−1(t) t 2eskt = 2a2 (t) + 6ska3(t)K+ (n − 1)(n − 2)sk M q! 1!
(n − 1)! (n − q)!
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
7
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014
3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC
Nghiệm của phương trình trạng thái có tham số hằng
Nghiệm của phương trình trạng thái có tham số phụ thuộc thời gian (tham khảo)
8
Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014
