III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

BM Điều Khiển Tự Động Th.S. Đặng Văn Mỹ

III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

Phản hồi đầu ra

Phản hồi trạng thái

) = Ax + B w − RCx

&x(t) = Ax + Bu ( = Ax + B w − Ry (

)

&x = Ax + Bu ) = Ax + B w − Rx ) x + Bw

( ( = A − BR

( = A − BRC

) x(t) + Bw

Cần xác định ma trận R thỏa mãn:

det sI − A + BR

det sI − A + BRC

(

(

) = (s − s1)(s − s2 )K

) = (s − s1)(s − s2 )K

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI GÁN ĐIỂM CỰC PHƯƠNG PHÁP ACKERMANN Nguyên lý đặt điểm cực là phương pháp xác định ma trận R sao cho hệ kín có các điểm cực mong muốn. Đối tượng là hệ một đầu vào và điều khiển được

Đặt

Bước 1: Kiểm tra tính ĐK được của đối tượng

sT = (0,K,0,1)(B, AB,K, An−1B)−1 ⇔ sT (B, AB,K, An−1B) = (0,K,0,1)

0 0

sT sT A

sT B sT AB

Đặt ma trận S =

⇒ SB =

=

M 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

M sT An−1

M sT An−1B

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

sT A sT A2

sT A sT A2

Bước 2: Đưa MHTT về dạng chuẩn điều khiển &x = Ax + Bu y = Cx + Du

=

Ta có SA =

M sT An

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎧ ⎨ ⎩ Bước 3: Xác định ma trận điều khiển R

0 0

1 0

0 0

1 0

sT A sT A2

S =

M 0

M 0

0 K 0 1 K 0 M O 0 0 K 1

0 K 0 1 K 0 M O 0 0 K 1

)

M sT An

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

M 0 −a0 −a1 −a2 K −an−1

M 0 −a0 −a1 −a2 K −an−1

M −a0sT − a1sT A −K− an−1sT An−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

sT A sT A2

=

= SA

(

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

M −a0sT − a1sT A −K− an−1sT An−1

Đổi biến

z = Sx ⇒ &x = S −1

&z

0 0

1 0

0 0

u

( R = r1,r2,...,rn Từ phân tích ) x + Bw &x = A − BR ( ⇒ det sI − A + BR ( ) + a1 + r2 = a0 + r1

(

)sn−1 + sn

x +

) = (s − s1)(s − s2 )K ( )s +K+ an−1 + rn

&x = Ax + Bu ⇔ &z = SAS −1x + SBu =

M 0

0 K 0 1 K 0 M O 0 0 K 1

M 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

M 0 −a0 −a1 −a2 K −an−1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

Đặt

PHƯƠNG PHÁP ACKERMANN

sT = (0,K,0,1)(B, AB,K, An−1B)−1 ⇔ sT (B, AB,K, An−1B) = (0,K,0,1)

0

Đặt ma trận

0 sT sT A sT B sT AB S = ⇒ SB = =

M 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

Bước 2: Đưa MHTT về dạng chuẩn điều khiển

M sT An−1 M sT An−1B ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Ta có SA =

sT A sT A2 sT A sT A2 =

M sT An ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

0 0 1 0 0 0 1 0 sT A sT A2 S =

M 0 M 0 0 K 0 1 K 0 M O 0 0 K 1 0 K 0 1 K 0 M O 0 0 K 1

M sT An ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ M 0 −a0 −a1 −a2 K −an−1 M 0 −a0 −a1 −a2 K −an−1 M −a0sT − a1sT A −K− an−1sT An−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

sT A sT A2 = SA =

Đổi biến

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ M −a0sT − a1sT A −K− an−1sT An−1

z = Sx ⇒ &x = S −1 &z

0 0 1 0 0 0 u x + &x = Ax + Bu ⇔ &z = SAS −1x + SBu =

M 0 0 K 0 1 K 0 M O 0 0 K 1 M 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ M 0 −a0 −a1 −a2 K −an−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN

Hãy tìm ma trận phản hồi trạng thái K sao cho hệ kín có được các điểm cực mong muốn là

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI GÁN ĐIỂM CỰC

PHƯƠNG PHÁP ROPPENECKER

Dành cho đối tượng MIMO

(Tham khảo)

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI GÁN ĐIỂM CỰC PHƯƠNG PHÁP MODAL Đối tượng MIMO có mô hình: &x = Ax + Bu y = Cx + Du

⎧ ⎨ ⎩

Bước 1: Xác định ma trận Modal M để đưa ma trận A về dạng đường chéo

M−1AM=

= diag(λi )

0 L 0 λ1 0 λ2 L 0 M O M M 0 L λn 0

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

λi M =

)

là các vec tơ bên phải của A

Với là các giá trị riêng của A a1 K an )ai = 0

( ( λiI − A

ai

Ví dụ: Biến đổi ma trận A thành dạng đường chéo:

A=

1 2 3 2

⎛ ⎝⎜

⎞ ⎠⎟

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

PHƯƠNG PHÁP MODAL

Bước 2: Đổi biến để thu được MHTT tương đương

x = Mz ⇒ z = M −1x

⇒ &z = M −1AMz + M −1Bu = Gz + M −1Bu

G = M−1AM=

= diag(λi )

0 L 0 λ1 0 λ2 L 0 M O M M 0 L λn 0

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Bước 3: Xác định ma trận đường chéo S chứa tất cả điểm cực mong muốn của hệ

s1 0

S =

= diag(si )

M 0

0 L 0 s1 L 0 M O M 0 L sn

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

PHƯƠNG PHÁP MODAL

Bước 4: Xác định bộ điều khiển

= B−1M

⇒ R = −T S − G

)−1 ( T = M −1B (

) M −1 Bộ điều khiển phản hồi âm

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

PHƯƠNG PHÁP MODAL

Trường hợp ma trận B suy biến

Chọn ma trận vuông Kr không suy biến từ

M −1B ⇔ Kr

−1

Xác định ma trận

Tr = Kr

−1

Xác định BĐK

( R = −Tr Sr − Gr

)Kr

s1 0

Với

Gr =

Sr =

M 0

0 L 0 λ1 0 λ2 L 0 M O M M 0 L λr 0

0 L 0 s1 L 0 M O M 0 L sr

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Thuật toán này chỉ cho phép dịch chuyển r điểm cực trong số n điểm cực của đối tượng tới giá trị mong muốn.

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI ĐẦU RA GÁN ĐIỂM CỰC PHƯƠNG PHÁP MODAL

Tính toán bộ ĐK phản hồi đầu ra dành cho đối tượng MIMO

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI ĐẦU RA PHƯƠNG PHÁP MODAL

Từ mô hình ĐK phản hồi trạng thái với Rx là bộ ĐK, cần tìm một ma trận Q để có thể chuyển điểm trạng thái x về y , nghĩa là:

QC = I ⇔ Q = C −1

QC = I ⇔ CQC = C ⇔ Q = C T (CC T )−1

Tuy nhiên không phải lúc nào cũng tìm được Q do ma trận C suy biến. Do đó, ta tính nghiệm Q theo phương pháp sau:

3.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI ĐẦU RA PHƯƠNG PHÁP MODAL

Các bước thiết kế bộ ĐK R phản hồi đầu ra theo phương pháp Modal:

Bước 1: Thiết kế BĐK phản hồi trạng thái Modal Rx

Bước 2: Xác định ma trận Q

Q = C T (CC T )−1

Bước 3: Tính BĐK R

R = RxQ