Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Cực trị của hàm số

Chương 3: 1. CỰC TRỊ TỰ DO 2. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 3. GTLN, GTNN

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

,...,

x

(

0 0 x x , 1 2

A

)



)

f

a  ij (

x 0(

a ij

'' x x i

j





2

(

)

2 d f x 0

a dx dx ij i

2 a dx ii i

j

2.CỰC TRỊ TỰ DO Cực trị của hàm n biến Tất cả các định nghĩa về cực trị, định lý điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị trên được phát biểu tương tự cho hàm nhiều biến. 0 0 f x ( ) x  ) Giả sử là điểm dừng và có n 0x tất cả các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 tại . Đặt . Ta được ma trận là ma trận đối xứng cấp n. Ma trận A là ma trận dạng toàn phương vi phân cấp 2 n 



i

 1

i



j

A

;...;

 

  1

  2

a 12 a 22

a 11 a 21

1

2

0x 0

0x

n 1, ) :





0

 k

2.CỰC TRỊ TỰ DO Cực trị của hàm n biến Trong ma trận A, đặt a ; 11 Theo định lý điều kiện đủ của cực trị và tiêu chuẩn Sylveter trong đstt ta có quy tắc xét tính cực trị của hàm 0x tại điểm dừng như sau: Nếu  n     0 0;...; 0; 1) thì là điểm cực tiểu n 2) thì là điểm cực đại        0;...;( 1) 0; n 2 1 3) nhưng không thỏa mãn (1) hoặc 1, 2,.. , n k    k 0 0x (2) thì không là điểm cực trị. k k ( 4) thì chưa có kết luận gì.

3

2

4

z

f

2

y 

2 

z 2;

 f

x 3 

y  2  4 z

 4

 ' y

' z

2

  3

0

x

   0

2

2

y

(1,1,1),

 ( 1,1,1)

P 1

P 2

  4

0

4

z

 3     f

x f

6 ,

2,





f



4,

f



f



f



0

'' yy

'' xx

'' zz

'' xy

'' xz

'' yz

2.CỰC TRỊ TỰ DO Cực trị của hàm n biến Ví dụ: Tìm cực trị của hàm 2 x f x y z   , ) ( , ' 2 3; f y x   3 Ta có: x Giải hệ

3

2

y

x





2

z



3

x



2

y



4

z

6 0 0

A

0 2 0

0 0 4

     

    

12

6

2

  3 

 )

0  

5.

0;. CTf

48 f P 1(

1 1P

2.CỰC TRỊ TỰ DO Cực trị của hàm n biến Ví dụ: Tìm cực trị của hàm 2 f x y z ( ,  , ) 1P Tại điểm Vì       0; nên là điểm cực tiểu, Tương tự xét tại điểm . 2P

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

1.CỰC TRỊ TỰ DO

2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Chú ý: Phương pháp nhân tử Lagrange cũng được mở rộng cho hàm n biến số (n = 3,4,5, ….) (Sinh viên tự liên hệ)

3.GTLN, GTNN

3.GTLN, GTNN

3.GTLN, GTNN

3.GTLN, GTNN

3.GTLN, GTNN

3.GTLN, GTNN

3.GTLN, GTNN

3.GTLN, GTNN

3.GTLN, GTNN

3.GTLN, GTNN