KHAI TRIỂN TAYLOR
Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange
f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0: ) )
(
2
0
0
)
(
)
(
) +
( f x
0
0
0
( f x 1!
(cid:0) (cid:0) (cid:0) f = + - - x x x x f x ( )
n
(
)
)
x 2!
0
n +
)
(
0
( n
f + + - L x x R n
+
n
(
1)
)
(
x !
n
+ 1
(
)
c nằm giữa x và x0
0
(khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)
f = - x x , R n + n ( c 1)!
Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano
f có đạo hàm cấp n tại x0:
)
)
(
f
2
0
0
=
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
(
) +
(
)
( f x
x x
x x
f x ( )
0
0
0
x 2!
(
)
f
n
n
0
+
+
+
- -
(
)
)
L
x x
( o x x (
)
0
0
( f x 1! ( n ) n
x !
Phần dư Peano.
x0 = 0: khai triển Maclaurin.
- -
Ý nghĩa của khai triển Taylor
f(x): biểu thức phức tạp
cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng
f(x) để thuận tiện trong tính toán.
Hàm đơn giản nhất là đa thức.
(cid:0)
f(x) = sinx
f(x) = sinx
= +
f x ( )
x o x ( )
f(x) = sinx
= +
3
f x ( )
x o x ( )
= - x
f x ( )
o x (
)
3 x + 3!
f(x) = sinx
4
n
2
1
n
7
=
-
f x ( )
( 1)
o x (
)
- (cid:0)
x n (2
+ 1)!
n
= 1
= +
3
f x ( )
x o x ( )
= - x
f x ( )
o x (
)
3 x + 3!
-
Ví dụ 1.
Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho
=
f x ( )
1 x
(khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3)
•Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3.
•Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.
= (cid:0) = - = - f x ( ) =� f f (cid:0) � (1) 1 (1) 1 f x ( )
(4)
1 x 1 2 x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = = = f (cid:0) f � f x ( ) (1) 2 x ( )
2 3 x 24 5 x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - = - f f (cid:0) � x ( ) (1) 6
6 4 x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) f f = + - f x x f x ( ) (1) ( - + 1) ( 1)
(1) 1! (1) 2!
3
)
( o x (
(cid:0) (cid:0) (cid:0) f + + 3 - - x ( 1) 1)
(1) 3!
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) f f = + - f x x f x ( ) (1) ( - + 1) ( 1)
(1) 1! (1) 2!
3
)
( o x (
(cid:0) (cid:0) (cid:0) f + + 3 - - x ( 1) 1)
2
3
3
(1) 3!
)
( o x (
- - - - x + x = - f x ( ) 1 - + x 1) ( ( 1) ( 1) 1)
2
3
1 1! 2 2! 6 3!
(
)3
Phần dư Peano
= - + - - - - x x o x 1 ( - + x 1) ( 1) ( 1) ( 1)
Nếu dùng phần dư Lagrange:
2
3
(4)
- - x x = - f x ( ) 1 ( - + x 1) ( 1) ( +- 1) R 3
= f x ( )
(
)4
24 5 x
4
f = - x ( 1) R 3
4
c ( ) 4!
x
(
=
= 4
-
x
(
1)
1) 5
1 24 5 4! c
c
-
Ví dụ 2
Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x
2
2
=
+
f x
x
= + ( ) 1 tan
x
f x ( )
x 2 tan (1 tan
)
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
=
+
f
x
x
x
x ( )
+ 2(1 tan
) 6 tan
+ (1 tan
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
f
f
2
=
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
f
x
x
f x ( )
(0)
(
+ 0)
(
0)
(0) 1!
(0) 2!
- -
f
3
+ 3
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
x
(
0)
( o x (
0)
3
3
+
x
(0) 3! = + x
tan
o x (
)
x 3
- -
Ví dụ 3
Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1,
f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0
Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có
phần dư.
(cid:0)
f
f
f
3
=
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
f
x
x
x
f x ( )
(2)
(
+ 2)
(
+ 2 2)
(
2)
(2) 1!
(2) 2!
(2) 3!
- - -
f
f
f
3
=
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
f
x
x
x
f x ( )
(2)
(
+ 2)
(
+ 2 2)
(
2)
(2) 1!
(2) 3!
(2) 2!
2
3
- - -
x
x
x
+ 2)
= - 0
(
+ 2)
(
(
2)
1 1!
4 2!
12 3!
2
3
= -
- - -
x
x
x
(
+ 2) 2(
+ 2)
2(
2)
2
- - -
f (cid:0)
f
= (1) 1,
= (1) 1
� Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
(cid:0) = - + - - x x � f x ( ) 1 4( + 2) 6( 2)
Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản
(x0 = 0)
x
e=
1 .
f x (
)
n
k
(
)
f
x
n
=
+
k +
)
e
f
x
(0)
(
0)
( o x (
0)
k
(0) !
k
= 1
k
x
(
=
�
kf ( ) (0) 1
e=
f
) ( ) x
n
x
k
n
+
e
x
- - (cid:0)
= + 1
o x (
)
k
1 k= ! 1
(cid:0)
=
+
x
2
f x . ( )
n(1 l
)
n
k ( )
f
k
n
+
=
+
+
)
x
f
x
( o x
ln(1
)
(0)
k
(0) !
k
= 1
(cid:0)
k
1
-
1)!
k
(
)
=
f
x ( )
k
+
k ( x
( 1) (1
)
- -
k
k ( )
1
= -
-
f
k
�
(0)
( 1)
(
1)!
n
-
k
n
1
+
=
k +
-
x
ln(1
)
( 1)
o x (
)
x k
k
= 1
- (cid:0)
x
3
f x . ( )
= + ( 1
a )
k
k
(
=
a a
-
a L
f
- + k
x
) ( ) x
(
(
1)
+ 1)(1
a )
=
a a
-
kf (
) (0)
(
- +L a k (
1)
1)
n
k
(
)
f
k
n
+
=
+
+
-
)
x
f
x
( o x
(1
a )
(0)
k
(0) !
a
(cid:0)
(
1)
2
+
+
= k 1 a a +
L
x
x
x
(1
a )
= + 1
-
- + n
1! a a (
1)
1)
n
n
+
+
x
o x (
)
2! a L ( n !
-
Áp dụng cho (cid:0)
= - 1.
a
(
1)
2
+
a a +
+
L
x
x
x
(1
a )
= + 1
-
- + n
1! a a (
1)
1)
n
n
+
+
x
o x (
)
2! a L ( n !
n
2
-
n n + x
- + - L x + 3 x = - + x 1 ( 1) o x ( )
1 + x 1
=
3. f x ( )
sin
p
=
=
kf (
) ( ) x
sin
kf (
k
�
) (0)
sin
� � �
2
k
(
=
=
k
p
f
�
2
p
x p� +� x k 2 � ) (0) p (2
0 1)
1
=
= -
- -
k
p
f
�
2
1
(0)
( 1)
-
n
2
k
)
-
1 ( f
k
n
2
1
=
+
+
-
)
x
f
x
( o x
sin
(0)
(0) !
=
k
0
(cid:0)
n
k k 2
1
-
k
n
1
2
1
=
- -
-
)
x
( o x
sin
( 1)
(cid:0)
x k (2
+ 1)!
k
= 1
-
Lưu ý cho hàm sin x
n
2
k ( )
f
k
n
2
=
+
+
)
x
f
x
( o x
sin
(0)
k
(0) !
=
k
0
f(2n)(0) = 0 (cid:0)
hệ số của x2n là 0.
(cid:0)
n
k
2
1
-
k
n
1
2
=
-
-
)
x
( o x
sin
( 1)
(cid:0)
x k (2
+ 1)!
k
= 1
-
Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản
n
2
x
n
= + + + + + L e 1 o x ( )
n
3
x n x 1! x 2! !
n
n
-
+ - + - L x = - x ln(1 ) ( 1) o x ( )
2 x + 2
x + 1 n x 3
2
a )
a - ( 1) a a + + + L x x x (1 = + 1
n
n
- - + n 1) 1! a a ( 1) + + x o x ( )
2! a L ( n !
n
2
n n + x
- + - L x + 3 x = - + x 1 ( 1) o x ( )
1 + x 1
5
2
-
n
n
1
2
1
- -
)
( o x
- + - L x = - x sin ( 1)
3 x + 3!
n 1 + 1)!
2n
)
)
- x 5!
n
4
n
n
2
x n (2 (
( + hay o x ) ( o x
2 x + 2!
- + - L x os c = - 1 ( 1)
2 x + n 2 )! (
+ 1n
2
x 4!
)
(
)
( o x
+ hay
Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic
n
3
5
1
2
-
n
2
1
+
)
+ L
x
= + x
( o x
sinh
- -
+ 1)!
n
2
+
-
)
+ L
x
( o x
cosh
= + 1
x 3! 2 x 2!
x 5! 4 x 4!
x n (2 n 2 x + n (2 )!
Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu
-
5
1
-
n
n
1
2
1
)
+ - L
x
= - x
( o x
arctan
( 1)
- - -
3 x + 3
x 5
n 2 x + n 2
1
Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.
-
Lưu ý về thay tương đương cho sinh, cosh
n
3
5
2
1
-
n
2
1
+
)
+ L
x
= + x
( o x
sinh
- -
x 3!
x 5!
x n (2
+ 1)!
bậc cao hơn x (khi x→0)
-
:
x
x
x
sinh
,
0
khi
n
2
4
2
n
2
+
(cid:0) (cid:0)
)
+ L
x
( o x
cosh
= + 1
x 2!
x 4!
x + n (2 )!
2
-
:
x
cosh
1
0
, khi x
x 2
(cid:0) - (cid:0)
Ví dụ áp dụng
1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho:
=
f x ( )
1 x
x0 = 1 (cid:0)
2
3
0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1 )
( o u
= = - + - + 3 u f x ( ) 1 u u 1 + u
2
3
3
1 Trả về biến cũ:
)
x
+ x
= - f x ( ) 1 (
- + x 1)
(
1)
(
1)
( o x (
1)
- - - -
2. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho:
=
+
x
f x ( )
ln(
2)
n
3
n
n
+
+ - L
x
= - x
u = x – 1
ln(1
)
( 1)
o x (
)
x + 1 n
- -
=
2 x + 2 + + ln(1 2
x 3 )u
= + u f x ( ) ln(3 )
3
2 +
3 +
(
)
+ + (2 ) (2 )
o u = + - u 2 + (2 )
Sai! (u + 2) (cid:0)
0 khi u = 0 (hay x = 1)
u 2 u 3
x(cid:0)
1
= + u f x ( ) ln(3 )
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
= ln 3 1 + n 3 ln 1 l
u� � = + � � 3 � �
= ln 3 o
2 u� � � � 3 � �- 2
0 u � � + � � 3 � � 3 u� � � � 3 � �+ 3
3 � �� � u + � �� � 3 � �� �
3
u+ 3
= + + 2 + 3 - u u u ln 3 o u ( )
Nhớ trả về x
1 3 1 18 1 81
3. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: +
x
=
f x ( )
2
2 x
x
3
4
- -
+ -
= = f x ( )
- - 2 x x 1 + x 6 x x + 1)( ( + 1) 5( 4) 4) 5(
- 1 = -
1 1 + x 5 - 6 1 201
Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai
triển đến bậc được yêu cầu.
x 4
- 1 = - f x ( )
1 1 + x 5 - 6 1 201
2
3
-
)
(
= - - + x x + 3 x 1 x 4 o x ( )
2
3
1 5
+ - - - - - - o
3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
6 20 x + - 4 x 4 x 4 x 4 � � � � 1 � � � � � � � � � �
3
-
= + 2 + 3 - x x x f x ( ) o x ( )
n
2
1 1 + 8 2 25 128 7 32
+ - L
x
n n + x
+ 3 x
= - + x 1
( 1)
o x (
)
1 +
x
1
-
4. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:
x
=
+
e
x
f x ( )
.ln(1
)
1. Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các lũy
thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ tự
bậc từ thấp đến cao.
2. Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g:
Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k
(cid:0) g khai triển đến bậc (n – k)
Và ngược lại.
xe
ln(1
)x+
2
3
3
+ + - - L + + x L
2 x + 2
4 x + 4
Bậc thấp nhất trong khai triển của ex là x0.
x 2! x 6! x 3 � 1 � � � � � � x � � � � �
ln(1 + x) khai triển đến x3
Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1
(cid:0)
ex khai triển đến x2
(cid:0)
2 x e
khai triển cấp 3
3 + ln(1
(0)
(1)
2
2
= x f x ( ) )
3( o x
+ - + + x f x = ( ) o x ( ) )
2 x + 2
3 x + 3
2
3
x 2! � 1 � � � � � � x � � � � �
3( o x
+ + = + x )
x 2 x 3
5. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4 cho:
=
+
x
f x ( )
x sin .ln(1
)
1. Khai triển cấp 4:
3
3 +
=
f x ( )
x sin .ln(1 (1)
x ) (1)
3
3( o x
3( o x
2 x + 2
3 x + 3
- - ) f x = ( ) )
2
� � � � � �
= - x � x � � 3( o x )
4 x + 6
� x +� x 3! � 3 x + 2
2. Khai triển cấp 3:
2
2 x sin .ln(1 (1) (1)
2
= + x f x ( ) )
(
)2( )
2( o x
- + x o x f x = ( ) )
2
� � �
3 x + 2
= - x � x +� x 2 � 3( o x )
7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:
2
x x
=
e
f x ( )
Đặt u(x) = x – x2 thì u(0) = 0
-
khai triển Maclaurin của f theo u.
Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy thừa từ x3 trở xuống
(cid:0)
) 22
(
2
x x
2
x x- -
= - + e x x f x ( ) = + 1
) ) 32
( (
2!
2
1
x x-
:
x x
x
( o x
- + - + x
(
2
3!
3x-
+ x = + - 1 x
)32 ) )3o x (
21 x+ 2
31 x+ 6
2
3
)
( o x
- x + 3 x = + - x 1
Để tìm bậc khai triển của f theo u phải xác định bậc VCB của u theo x.
1 2 5 6
6. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 4 cho:
=
f x ( )
x ln(cos )
=
x
1)
x ln(cos )
-
+ ln(1 cos 21 x 2
(cid:0) khai triển f đến u2
Cần khai triển đến x4
2
= - -: u x cos 1
(
2
) 1 +
(
- cos - - -
(
)
) 1
x x o x + ln(1 cos - = 1) cos 1 cos
x 2
2
(
2
) 1 +
(
- cos - - -
(
)
) 1
o x x x cos + ln(1 cos - = 1) cos 1
4
x 2
)
( o x
= - 1
1
2 x + 2!
4 x + 4!
4
4
-
)
)
( o x
( o x
- - - + 1
2 x + 2!
4 x + 4!
2 � � �
2
4
1 2 � 1 � �
)
( o x
= - -
4 x + 12
x4 trong số hạng bình phương không sử dụng
2 �
2
x 2
)
( o x
cos x chỉ cần khai triển đến x2
- - - (cid:0) (cid:0) 1
2 x + 2!
1 2 � 1 � �
7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 5 cho:
=
x
f x ( )
tan
4
=
=
x
x
tan
5 sin
(cid:0)
x x
x
sin cos
(1)
1 + 1 cos (0)
2
2
=
-
1 (
)
x
x
o
x
sin
- + x 1)
(cos
+ 1)
(cos
1)
� � 1 (cos �
� �
2
4
2
4
=
- - -
x
sin
o x (
+ ) 1
o x (
+ ) 1
o x (
)
2 x + 2
4 x + 24
x 2
� 1 � �
� � + 1 � � � �
2 � � �
� � 1 � �
� � � �
- - - - -
2
4
2
4
=
x
sin
o x (
+ ) 1
o x (
+ ) 1
o x (
)
2 x + 2
4 x + 24
x 2
� 1 � �
� � + 1 � � � �
2 � � �
� � 1 � �
� � � �
2
4
4
+
+
+
=
- - - - -
x
x
o x (
)
5( o x
)
1 2
5 24
� 1 � �
� � �
3 x + 6
5 x + 120
� x � �
� � �
3
5
5
+
+
= + x
x
x
o x (
)
1 3
2 15
-
Cách 2:
5
- x o x ( )
= = x tan
5
3 x + 6 2 x + 2
5 x + 120 4 x + 24
4
5
x x sin cos - 1 o x ( )
1
x -
x 24
3 x + 6
3
5
+
x
-
x
x
+ o
2 x + 2 31 x+ 3
52 x 15
1 3
+
+ o
x 120 1 30 52 x 15
3
5
5
+
+
x
= + x
x
x
tan
o x (
)
1 3
2 15
-
Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = cosh x
x
x
e
=
x
cosh
n
n
2
3
2
1
2
n
2
-+ e 2 +
=
+
+
+
+
)
L
+ + x
( o x
- (cid:0)
1
(cid:0)
x 2!
x 3!
x n (2
x n (2 )!
1)!
- (cid:0)
n
2
2
-
n
2
)
L
( o x
+ - + x 1
: 2
- -
x 2!
3 x + 3!
x n (2
n 1 + 1)!
2 x + n (2 )!
-
n
2
2
n
2
+
+
+
)
L
( o x
= + 1
x 2!
x n (2 )!
Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = arctan x
=
x
=
=
f x ( )
arctan
f x ( )
g x ( )
2
1 + x
1
Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n.
n
n
n
4
2
2
+ 2
(cid:0)
g x
x
x
+ 6 x
+ x
= - ( ) 1
o x (
)
-
( 1) = -
+ - L (cid:0)= g
f
(0)
(0)
1 2!
=
f
(0)
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
k
k (2 )
(2
1)
=
=
g
f
-
(0)
(0)
0
=
f
g
(0)
= (0) 1
+
k
(2
1)
k (2 )
=
= -
(cid:0)
=
f
g
k
(0)
(0)
k ( 1) (2 )!
f
(cid:0)= g
(0)
(0)
0
(cid:0) (cid:0)
f
f
f
2
3
=
+
+
+
+
f
x
x
x
f x ( )
(0)
(0) 1!
(0) 3!
n (2 )
(2
(0) 2! + n )
f
f
n
n
n
2
2
+ 1
2
+ 1
+
+
+
+
)
L
x
x
( o x
n
(0) n (2 )!
(0) + )!
(2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
5
1
-
n
n
1
2
1
)
+ - L
x
= - x
( o x
arctan
( 1)
- - -
3 x + 3
x 5
n 2 x + n 2
1
Cách viết khai triển cho arctan là cách viết khai triển cho hàm ngược nói chung.
-
Các lưu ý khi viết khai triển Taylor tai x0
1. Luôn luôn chuyển về khai triển Maclaurin
2. Áp dụng các công thức cơ bản trên biểu thức
u(x) với điều kiện u(x0) = 0.
3. Khai triển cho tổng hiệu: từng hàm phải khai triển
đến bậc được yêu cầu.
4. Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ ra bậc
thấp nhất trong kt mỗi hàm để biết được bậc kt
của hàm còn lại.
5. Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x).
Áp dụng trong tính đạo hàm.
Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của f tại x0.
B1: Viết khai triển taylor theo (x-x0) đến cấp n
B2: Xác định hệ số của (x-x0)n trong khai triển.
B3: Giả sử hệ số trong B2 là a
f(n)(x0) = a.n!
Ví dụ
1. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex.sinx
Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là
2
2
3
=
+
+ + x
f x ( )
o x (
)
o x (
)
x 2!
3 x + 3!
� 1 � �
�� x �� ��
� � �
3
-
Các số hạng chứa x3 là:
3 x + 3!
x 2!
-
Hệ số của x3 là:
1 1 = + 3! 2!
1 3
(cid:0) -
=
f (cid:0)
�
(0)
= � 3! 2
1 3
(cid:0) (cid:0)
2
=
+ + x
x
2. Tìm đh cấp 3 tại x = 0,
f x ( )
ln(1
)
Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là
+
+
x
x
(
(
2
3
2 2 ) +
2 3 ) +
= + x
x
f x ( )
o x (
)
x 2
x 3
3
3
-
x
x
2
Các số hạng chứa x3 là:
1 + (cid:0) 3
1 2
- (cid:0)
Hệ số của x3 là:
2 3
- (cid:0)
= -
f (cid:0)
�
(0)
= - � 3!
4
2 3
(cid:0) (cid:0)
=
3. Tìm đh cấp 12, 13 tại x = 0,
f x ( )
3
1 + x
2
Khai triển Maclaurin đến cấp 13 của f là
2
3
3
(cid:0)
=
+
f x ( )
1
3
(cid:0) - -
1 = (cid:0) 2
x 2
x 2
1 2
3 3 � � � � � � x � � � � � � � 2 � � � � � �
+
(cid:0)
1
1 x 2
4
(cid:0)
3
3
+
(
)
o
x 2
x 2
-
13
=
5 � � � � + � � � � � � � � )
+ L
( o x
12 + + 0
1 2
x 16
� � �
� �� 1 �
-
12
13
=
)
+ L
( o x
f x ( )
+ + 0
1 2
x 16
� �� 1 �
� � �
-
Hệ số của x12 là:
2 3 Hệ số của x13 là: 0
(12)
(13)
=
f
�
�
(0)
� 12! ,
= (0) 0 13!
f
1 16
(cid:0) -
Áp dụng khai triển Taylor trong tính giới hạn
1. Thông thường chỉ áp dụng kt Tayor để tính gh
nếu các pp khác (gh cơ bản, VCB, L’Hospital)
tính quá dài hoặc không tính được.
2. Đa số các bài dùng Taylor rơi vào trường hợp
thay VCB hoặc VCL qua tổng, hiệu gặp triệt
tiêu.
Do đó các biểu thức được khai triển đến khi
hết triệt tiêu ở phần đa thức thì dừng, phần
VCB bậc cao bỏ đi khi tính lim
Ví dụ
1. Tìm các hằng số a,p để VCB (cid:0) (x) (cid:0)
axp khi x → 0.
a
a
= - x
x
/
x ( )
sin
30( x
- = - x )
3
� � �
3 � x +� x 3! � +
30( x
= )
x 3! 3
= = : a p � , 3
x 3! 1 6
x
-
x +
a = - b x e e / x ( ) 2
3
3
= - x x 2 2sinh
3 � x +� + x 3! �
= - x x 2 2 o x ( ) 2
� : � �
2
3
2
a = - c x x x / x ( ) sin cos
3 x + 6
- - = - x x o x ( ) o x ( )
3
3
� x +� 1 2 � � � �
3( o x
= + : )
x 3 x 3
2. Tính giới hạn:
2
a
/ lim x
50
x x
x
+ 1 5
1
2
x
=
(cid:0) - -
lim x 0
2
+
+
2 +
(cid:0)
)
x
x
x
1
.5
o x (
)
1
1 5
1 1 1 2! 5 5
� � ( 1 5 � � � �
2
2
x
=
=
= -
2
- - -
2
lim x 0
lim x 0
2
1 2
+
o x (
)
x 2
x x 2
(cid:0) - (cid:0) -
x
x
tan
b
3
4
-
e +
/ lim x 0
e x
x
3
(cid:0)
x
x
tan
e
1
x
tan
=
e
3
- -
lim x 0
x
(cid:0)
x
x
=
-
lim 1 x 0
tan 3 x
3
(cid:0)
x
x
o x (
)
=
= -
- -
lim x 0
1 3
3 x + 3 3 x
(cid:0)
