Bài giảng Kinh tế lượng: Phần 2 - PGS. Nguyễn Quang Dong

Chia sẻ: Tháng Năm Vội Vã | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:143

Thêm vào BST

Báo xấu

315
lượt xem 77
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 Bài giảng Kinh tế lượng cung cấp cho người học các kiến thức: Phương sai của sai số cơ bản, tự tương quan, chọn một mô hình và kiểm định việc định dạng mô hình, mô hình hồi tự quy, mô hình có trễ phân phối và kiểm định quan hệ nhân quả. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Kinh tế lượng: Phần 2 - PGS. Nguyễn Quang Dong

CHƯƠNG VI PHU0NG SAI CÙA SA! s ố THAY BỔI Một trong những giả thiết quan ưọng cùa mổ hỉnh hồi quy tuyến tính cổ điển 1&các nhiẻu ngẫu nhiên ụ trong hàm hồi quy tổng thể có phuơng sai khổng dổi. Nhung liẹu trong thục tế giả thiết này cố thổ bị vi phạm không? Nếu g ii thiết này bị vi phạm tlủ điều gì sẽ xảy ra? Làm thế nào để biết dược rằng giả thiết này bị vi phạm? Cách khấc phục như thế nào? Đó là một loạt các câụ hỏi mà chúng ta sẽ trả lời trong chuong này. ì 6.1. NGUYÊN NHÂN CỦA PHUƠNG SAI CỦA SAI s ố THAY Đ ổ i l ễ Phương sai của saỉ số thay đổi là gì? Khi nghiên cứu mố hình hồi quy tuyến tính cổ điển, chúng ta đã dưa ra giả thiết rằng: phương sai của mỗi một nhiễu ngẫu nhiên ụ trong diều kiện giá trị dã cho của biến giải thích Xi là không đổi, nglũa là Var(lí I Xi) = E tú - E (lí )]2 = E(Ụ )2 = ơ 2 (6.1) i = 1,2 ,... n V6 mặt đồ thị thì mo hình hồi quy 2 biến có phưong sai khổng đổi được m in h h ọ a ở h ìn h 6 ẳl. 124
Ngược với trưòmg hợp trên là trường hợp: phương sai có điều kiện của Yi thay doi khi X, thay dổi, nghĩa là: E(Ụ )2 = CT| (trông đó các ơjJ khác nhau). Thí dụ k h i, nghiên cứu mối quan hệ giữa lỗi mắc phải do đánh máy trong một thời kỳ đã cho VỚI số giờ thực hành, thì người ta nhận thấy số giờ thực hành đánh máy càng tàng thì lỗi sai trung bình mác phải càng giảm. Điều này mô tả bàng đồ thị hình 6.2. 2. Nguyên nhân của phưong sai của sai số thay đổi Phương sai thay đổi có thể do một trong các nguyên nhân sau: - Do bản chất của các mối liên hê kinh tế: có nhiều mối quan hộ kinh tế đã chứa đựng hiện tượng này. Chẳng hạn mối quan hệ giữa thu nhập và tiết kiệm thông thường thu nhập tăng thì mức độ biến động cùa tiết kiệm cũng tảng. - Dó kỹ thuật thu nhập số liộu được cải titíh, ơ 2 dường như giảm. Kỹ thuật thu thập số liệu càng dược cải tiến sai lầm phạm phải càng ít hơn. - Do con người học được hành vi trong quá khứ. Chẳng hạn, lỗi cùa người đánh máy càng ít nếu thời gian thục hành càng tăng... - Phương sai của sai số thay đổi cũng xuất hiện khi có các quan sát ngoại lai. Quan sit ngoại lãi là các quan sát khác biột rất nhiều (quá nhò hoặc quá ĩớii) với các quan sát khác trong mấu. Việc đưa vào hay loại bò các quan sát này ảnh hường rất lớn đến phân tích hổi quy - Một nguyên nhân khác là mô hình định dạng sai. Có thể do bỏ sót biến thích hợp hoặc dạng giải Uch của hàm là sai 125
6.2. UỠC LUDNG Bì n h p h u ơ n g n h ò n h ấ t k h i p h u ơ n g s a i c ủ a s a i s ố THAY ĐỔI Trong mục này chúng ta hãy xem điều gl sẽ xảy ra đối với các ưóc lượng bình phương bé nhất và phucmg sai của chúng nếu phưtmg sai của sai số thay đổi nhung vẫn giữ nguyên các giả thiẾt khác của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển ? Để trả lời cho vấn d& đó ta xét mò hình hai biến sau: Ỵ = p, + p2Xi + U (6.2) Áp dụng công thức thống thường của phutmg pháp bình phưong nhỏ nhít đã cho ờ chương truớc để tính p 2 ta đuục: ỵ ( X , - X ) ( Y ắ- Y ) M__________ (6.3) À = -x ỹ còn phuong sai là V a r(p 2) = E (P 2 - p 2 ) 2 = E (Z k iU i)2 i=l =EO^Ư,+ + ì^vế+ạ, feu, u+... + 2kn., k„ú., U) = E (k Iỉư 1 + k 22ư 2 + ...+ k níư„) (do giả thiếc không tương quan) = k, E (ư .) + k22E (Ư 2) + k 2E (ư„) ( \2 Xầ' 2 =Ề ^ ? = ỉ ễ n 2 (6.4) i=I i=I Ẻ x 5 . -> II X i-X trong đó k| = ẳ(X i-X )2 i=l i-1 Nhung phương sai của p 2 trong trường hợp E (ự )2 = ơ 2 l à : Var(p2) = ơ2/ l ( x i- x ) 2 (6.5) Dĩ nhiên nếu ơ |2 = ơ 2 thì (6.4) và (6.5) trùng nhau, 126
Như ta đã biết P 2 là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất của p 2 nếu các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được thòa mãn. Nhưng liệu nó có còn là ước lượng tuyến tính khóng chệch tốt nhất trong trường hợp giả thiết phương sai của sai số không thay đổi không được thỏa mãn nữa không? Dê chứng tỏ rằng p 2 vẫn là ước lượng tuyến tính khồng chệch của P2. Nhưng liệu P 2 có vẫn là ước lượng hiộu quả nữa không? Liệu phương sai tính được từ (6.4) có phải là phưcmg sai cực tiểu không? Nếu không thì cái gì là ước lượng tuyên tính không chệch tốt nhất trong trường hợp này? Để trả lời câu hòi đó ta xét mục sau: 6.3. PHUƠNG PHÁP BÌNH PHUƠNG NHỎ NHẤT TổNG QUÁT Để giải đáp cho câu hỏi ở-mục trên ta cần phải xét phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát. Trước khi đi vào nội dung cụ thể, chúng ta trình bày “phương pháp bình phương nhò nhất có trọrig số”. 1. Phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số XỂt mô hình 2 biến Ỵ = p, + fcXi + lí Như ta đã biết phương pháp bình phữơng nhò nhất không có trọng số: cực tiểu tổng bình phương các phần dư: È e ? = Ề ( Y i - p , - P 2X i) 2 (6 .6) 1=1 i=l để thu được các ước lượng. Còn phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số cục tiểu tổng bình phưcmg các phần dư có trọng số: Ẻ W ie ? = ẳ W i(Yi - P Ĩ - p ; X i)2 (6.7) i=l i=I Trong đó pi* và p2* là các ước lượng bình phương nhỏ nhất có trọng số, ở đây các trọng số Wi là nhu sau: w = 1/ƠI2 (Vi) (ơi2 > 0 ) • Nghĩa là trọng số tỷ lệ nghịch với phương sai của Ư, với điều kiện Xi đã cho, trong đó Var(Ụ I Xi) = Var(Yi I Xi) = ơ 2i Vì phân cà 2 vế của phương trình (6.1) theo 3i* và p2’ ta được: 127
a £ w ,e ? n -fc j-5 ------- 2 S w ì( y ì - P Ĩ - P * 2X ì)(-1 ) , SPi i»i ' a ẳ w ie ' » ^ = b ------- 2 Ĩ W i(Y i - p ; - p ’2X i) ( - X i) . (6.8) OP2 . i»l Cho các đạo hàm riêng bằng khống ta thu được hệ phương trình chuẩn: Ẻ V ịY ị-P ĨỈV i + P Ỉẳ ^ X ị i=l 1-1 i=l Z W iX iY ^ P tZ W iX i+ p jZ W iX ? (6.9) i=l i=l i=l giải hệ này ta được: p ;= Ỹ ễ- p ; r (6 . 1 0 ) ( Ỉ W ,X Ỉ W ,X ,Y , T . ( Ị > , X |X Ỉ > , Y , ) và ------------ — ---------- — --------- (6. 11) (Z w jX lW iX fi-c IW iX i)2 i=l i- 1 i- 1 Trong đó Ỹ* = Ỉ W j Yi / ẳ Wj và X* = Ẻ W j X j / X W j . i=l / i=l i=l •/ Ĩ«1 Rõ rặng rằng khi Wi = w (Vi) thì trung bình có trọng số bằng trung bình thông thường 2. Phương pháp bình phương nhỏ n hát tổng quát Bây giờ ta quay lại ước luợng bình phương nhò nhất cùa Pĩ đã cho ở trên lì p 2. p 2 vẫn là ước lượng tuyến tính khồng chệch nhung không phải là tốt nhất. Vi sao? Nguyên nhân của hiện tuợng đó là do một giả thiết cùa mô hình cổ điển khống được thỏa mãn đố là giả thiết phương sai của sai số khổng đỏi bị vi phạm. Vậy làm thế nào dể khắc phục tình trạng đỗ? Đổ trả lời cụ thể cho câu hòi này chúng ta phải phân biẹt từng trường hợp đã biết hoặc chua biết phucng sai (xem ở mục cuối ở chương này). Ở đây chúng ta chỉ trinh bày một phương pháp tổng quát dể đưa một mô hình khống thỏa mãn giả thiết: phưcmg sai của sai số khỗng thay đổi, về mô hình thỏa mãn giả thiết đó, để làm cơ sở cho việc xem xét ảnh huờng của viộc vi phạm giả thiết này. 128
Xét mô hình 2 biến Yj = p m-t- p2X + u, , trong đó tất cả các giả thiết của mô hình h'ôi quy tuyến tính cổ điển được thỏa mãn trừ giả thiết phương sai của sai số không đổi. Phương Irình này có thể viết lại dưới dạng Yi = piXoi + P2X1Ụ (6.12) Trong đó: Xi = 1 (Vi). Vói mỗi i, chia cả 2 vế của (6 .12) cho ơi (ơi > 0) ta đuợc: Y; o x 0i n X Ui „ = P | ơj ơ| „ + P 2 ơj „ ơj
Hay: - K ^ - ẽ Ặ Ĩ - ỉ v ^ - é ỉ x , ] ’. i .|ơ j Ề,|V ơ i Oị ơ j.; ị= lơj Đặl Wj = - J ta quay về dạng (6.7), cho nên ta có thể viết ngay duợc các uúc luợng: °I p;=ỹĩ -p;xĩ' (6.16) (Ẻ W t) ( ẳ W iX 1Y , ) - ( ẳ W iX i) ( ẳ W iYi) ậ ' = - £ ! ■ ---- —Éi-------------- j=!— ------ i=l-------- (6.17) (ẳwi)(ỉw ixf)-(l:wixi)í ẵ i-1 i»l i-l V ar{/Í;) = — ------^ ?i»l w‘ ----------------------- - (6.18) i< i-l i-l i-l 6.4. HẬU QUẢ CỦA PHUONG s a i c ủ a s a i s ố THAY Đ ổ i Mục này ta sẽ xét xem phương sai cùa sai số thay đổi ảnh hưởng như thế nào đốn cíc ước lượng thu đuợc. Chúng ta sẽ cbỉ ra rằng: • Các ước luạng bình phucmg nhỏ nhít vẫn là không chệch nhung khổng hiệu quả. ■ u&c lượng của các phương sai sẽ bị chệch, như vậy làm mất hiệu lực khi kiém định. Vi quan tâm của chúng ta chủ yếu là hẹ số góc Pĩ cho nên để đơn giản ta xét mổ hình khổng có hệ số chặn sau: Y,= P,Xi + ụ (6.19) Trong dó Ụ là nhiễu ngỉu nhiên thỏa mãn các điều kiẽn : • E(U) = 0 • Cov(U,Uj) = 0 • Var(Ụ) = ơi2 Theo phương pháp bình phuong nhỏ nhất ta được uớc lượng bình phương nhỏ nhất cùa p 2 là: 130
. _ Ệ X iYi * .. X: p 2 = -H = J k .Y i : trong đó ki = - £ j - . £x» •i-' Ẹ x? iễl i-1 Vậy p 2 vẫn tuyến tính theo Ỵ. Mạt khác từ Yi = p2 Xi + Ui ta suy ra: . Ế x iYi ẳ X i (P 2X i + U i ) ẳ X iU i ậ2 = jĩ ~ = S — ^ — --------= p * + j= í r — £*? ẳx? ẳx? i=l i=l i=l Vì E(ư,) = 0 và X không phải là ngẫu nhiên nên E (32) = p 2, vậy P2 là uớc lượng không chệch cùa p2- Ta tính được: Var( /?;) = ---- (6.20) (È x?)’ 1=1 (cách làm tương tự nhu đã nói ở trên). Bây giờ chúng ta thưc hiên đánh trọng sô' cho quan sát thứ i lầ — trong đó Zj Zi thỏa mãn điều kiên Zj2 = ơi2 / ơ 2 (ơ 2 là hằng số). (Luu ý ràng phép biến đổi ở đây tổng quát hơn ở trên một chút vì chĩ cần đặt ơ 2 = 1 ta được ngay Zi = 1/Wj). Ta sử dụng p" để chì uớc lượng tham số cùa mô hình đã biến đổi. Lúc đó (6.17) có thể viết lại là:
È (Y i/Z iXX,7Z1) Ẻ (X ,/Z ,)V ! t ó - .Hã ! -____________ _ _ n ễ i-1 ___________ (6 .22) Z (* i/Z i) ẳ (X i/Z i)z i=l ị.l Lấy kỳ vọng 2 vế của (6.22) ta có E (ậj) = Pí Như vậy là uớc lượng không chệch cùa 32. Ta sẽ chỉ ra ràng pj hiệu quà hơn p2. Chúng ta có ạ* V ar(Â ’) = S ( X i/Z j)í i“l Thay ơi2 = ơ ^ i vào (6.18) ta đuợc: o*ẳX ?Z f »■1 Var(P2) = ỈA Y %xn VN y LẠp tỉ SỐ V H Ẹ ), (I x ?) ĩ Var(p2) £ (x ? /z ? )ẳ x fz ? i-l 1=1 Đặt ai = X |Z j ; b, = Xi/Zi lúc đó: (6.23) V ar(ậ2) = J a ? £ b? i=l i=l Theo bất đẳng thức Bunhiacopski cho n sđ tùy ý thì: V È « ? Ẻ b ? i(Ẻ a ib , i=l i*l M=1 và dấu bằng xảy ra khi và chi khi _£n. bf b 2 -"ệề’ bn Áp dụng vào (6.23) ta được 132
Var(p;> S Ị Var(P2) Nghĩa là Var(pj) < Var(p2), dấu bàng chì xảy ra khi và chì khi ai XjZj J bĩm' W k ' ếZì=const nghĩa là ơj2 không đổi, vậy ước lượng ậ2 không hiệu quả.Bây giờ ta quay lại với ước lượng cùa phương sai cùa p 2 như đã biết, nó được ước lượng bởi công thức RSS 1 sau: _ ■Trong đó RSS- là tổng bình phương các phần dư thu đươc từ mô £ X2 hình ước lượng bình phương nhỏ nhất. Ta tính kỳ vọng của RSS : E(RSS) = E [ £ ( Y i - p 2 X i)2] ẳx?a? Ỉ 0ỉ i x f - ẳ x ? 0? : V _2 i=l i=l i=l i=l "°* ■ ------= X --------------- i=1 Êx? Ẻx? i=l i=l 2 ___ 2 Lưu ý rằng nếu ơị = ơ (Vi) thì E(RSS) = (n -l)ơ ằ Chúng ta ước lượng phương sai p 2 mà giá trị kỳ vọng của nó là: / “ L - l j = 1 c rc ssi = V ' Sx? J ( n -l) Z x f E(RSS) ( n - lx E x ? ) * ■ Trong khi đó phương sai thực là: — — V . (IX ?)2 Như vậy phương sai đã được ước lượng cOng là ước lượng chệch. Bây giờ giả thiết rằng ơj2 và Xi2 có tương quan dưong (điều này thường xảy ra với các số liệu kinh tế) mà thỏa mãn điều kiộn 1=1 n 1=1 i=l thì giá trị kỳ vọng của phương sai đã được ước lượng nhò hơn phương sai thực. Như vậy chúng ta sẽ ước lượng quá thíp phưcmg sai thực của ước lượng bình phương nhỏ nhất và sẽ thu được khoảng tin cậy hẹp hơn khoảng tin cậy thực. Điều này sẽ làm ảnh hưởng kiểm định giả thiết về p2 . Hay nói cách khác là khoảng tin cậy và các kiểm định gia thiết dựa trên phân phối t và F không còn đáng tin cây nữa. VI vậy nếu sử dụng thủ tục kiểm định già thiết thông thường có thể dẫn đến nhũng kết luận sai lầm. Điều này sẽ dãn đến hậu quả khônp lường trước đuợc trong 133
thục tiễn. Đó chính là lý do vì sao chúng ta phải nghiên cứu vấn dè này. Nhung làm thế nào để biết được rằng phương sai của sai số thay đổi hay không? 6.5. PHÁT HIỆN RA PHTJONG SAI CỦA SAI s ố THAY Đ ổ i N hu chúng ta đã thấy VẾ m ặt lý thuyết thì dẻ dàng chì ra hậu quả của hiện tuợng phương sai của sai số thay dổi, nhung việc phát hiện ra hiện tượng nầy trong thục tế thì cOng không phải 1&vắn dề đơn giản. Vì sao vậy? Bồi vì chúng ta biét đuợc ơi2 chi khi chúng ta có toàn bô tổng thể luơng úng với những giá trị X duợc chọn, nhung điều này hầu như hiếm xảy ra, nghĩa là chúng la ít khi có đuợc toàn bộ tổng thể dể nghiên cứu. Thông thuờng chúng ta chĩ có đuợc mảu rút ra đuợc từ tổng thé muốn nghiên cứu mà thoi. Như vậy chúng ta chi có những giá trị dcm cùa Y ứng với những giá tri đã cho cùa biến X và ta lại không có cách nào để xác định phương sai ơi2 từ giá trị đơn của Y. Vậy thì làm thế nào để phát hiện ra phuơng sai của sai số thay đổi? Cũng như trong truờng hợp “đa cộng tuyến”, chúng ta không có một phuung pháp chác chắn để phát hiện ra phương sai của sai số thay đổi. Chúng ta chỉ có vài công cụ để chẩn đoán có thể giúp chúng ta phát hiện ra hiện tượng này. Sau đìy chúng ta hãy xét một vài cách chẩn đoán. 1. Bản chất của vấn đ'ê của nghiên cứu Thông thuờng bản chất cùa vấn dề nghiên cứu gợi ý cho chúng ta ràng có thể xảy ra hiện tượng: Phương sai của sai số Ihay đổi hay khồng? Trên thực tế thì ở số liệu chéo liẻn quan đến các dcm vị khổng thuần nhất hay xảy ra hiện tượng phương sai cùa sai sđ thay dổi. Chảng hạn trong nghiên cứu số liệu chéo của chi phí trung binh của sản xuất tùy theo số lượng sằn phẩm được săn xuất ra, trong mảu gồm những doanh nghiệp có quy mổ khác nhau, người ta thíy rằng dường như phương sai của sai số thay đổi. 2. Xem xét đò thị của phần dư ĐỒ thị cùa sai số cùa hồi quy (phần dư) đối với biến độc lập X hoặc giá trị dự đoán Ỹ sẽ cho ta biết liệu phucmg sai cùa sai số có thay đổi hay không. Phuơng sai của phần dư đuợc chi ra bầjig độ rộng cùa biểu đ6 phân rải của phần dư khi X tảng. Nếu độ rộng của biểu đồ rải của phần dư tảng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết về phương sai hàng số có thể khổng đuọc thỏa mỉn. É - T h í dụ tf j.ểThí dụ sau đây là biểu hiện quan hệ của chi tiêu cho tiêu dùng (Y) và thu thập (X) hàng tháng của 20 hộ gia đình ở một vùng nông thôn. I 134
Bàng 6.1. Chi tiêu cho tiêu dùng(Y) và thu nhập (X) Đ/v 10.000 đ Gia Chi tiêu Thu nhập Gia Chi tiêu Thu nhập X đình Y X đình Y 1 19,9 2.3 11 8,0 8,1 2 31,2 32,3 12 33,1 34,5 3 31,8 33,6 13 33,5 38,0 4 1 2 ắ1 12,1 14 13,1 14,1 5 40,7 42,3 15 14,8 16,4 6 6,1 6,2 16 2 1,6 24,1 7 38,6 44,7 17 29,3 30,1 8 25,5 26,1 18 25,0 28,3 9 10,3 10,3 19 17,9 18,2 10 38,8 40,2 20 19,8 20,1 Can cứ vào số liêu trên đây, sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất và ước lượng được hàm : Ỹ= 0,847 + 0.899X. Bảng 6.2. Phần dư đối với hàm tièu dùng được ước lượng từ tập số liệu dã cho ở bảng 6.1 Quan sát Giẩ trị của X Phần dư Quan sát Giá trị của X Phần dư 6 6 ,2 -0,32 8 26,1 1,18 11 8,1 -0,13 18 28,3 -1,30 9 10,3 0,19 17 30,1 1,38 4 12,1 0,37 2 32,2 1,30 14 14,1 -0,43 12 34,5 1,23 15 1,4 -0,80 3 36,6 -1,96 19 18,2 0,69 13 38,0 1,52 20 20,1 0 ,88 10 40,2 1,80 1 22,3 - 1,00 5 42,3 1,81 16 24,1 -0,92 7 44,7 -2,45 Các giá trị dự đoán và phần du được tính trong bảng 6.2. Bảng 6.2 sắp xếp theo thứ tự của giá trị cùa các quan sát tăng dần lừ nhỏ đến lớn và các phần dư tữcmg ứng. 135
Vói giá trị đã cho trong bảng: đỏ thị của phần du đối với Xđuọc cho ờ ỉủnh 6.3. Biểu đồ phần dư đối với Xcho chúng ta thấy rằng độ rộng của biểu dò rải tàng lên khi X tăng, cho nên có chúng cớ dể cho ràng phương sai của sai sổ thay đổi khi Xtăng. Chú ý rằng dối khi người ta vẽ dò thị của phần dư bình phương dối với X Nhưng có m ột vấn đề thực hành mà ta cần bàn tới là nếu chúng ta xem xét h'ốỉ quy bội có nhiều hơn một biến giải thích thl chúng ta phải làm thế nào? Liệu có thể dùng dồ thị nữa không? Một trong các cách có thể làm là vẽ đồ thị của phần dư (hoặc phần dư bình phương) theo Ỳ. Vì Ỹ| là tổ hợp tuyến tính của các giá ưị của X nên
2. Từ h'ôi quy gốc thu được các phần dư e, sau đó bình phương chúng được C\ rồi đến lấy ln e ,\ 3. Uơc lượng hồi quy (6.23) trong đó biến giải thích (X) là biến giải thích trọng hồi quy gốc, nếu có nhiều biến giải thích có thể uớc lượng hồi quy đối với môi biến giải thích, hoặc có thể ước lượng hồi quy đối với Ỹị làm biến giải thích, trong đó Yi là Ỵ| đã được ước lượng. 4. Kiểm định giả Ihiết Ho: Pỉ = 0 nghĩa là không có hiện tượng phương sai cùa sai số thay đổi. Nếu có t'ôn tại mối liên hệ có ý nghĩa v'ê mặt thống kẻ giữa Ln e và lnXj thì giả thiết Ho: p 2 = 0 có thể bị bác bỏ, trong trường hợp này ta phải tìm cách khác phục. 5. Nếu giả thiết Ho: p 2 = 0 được chấp thuận thì Pi trong hồi quy 6.25 có thể dược giải thích như là giá trị cùa phương sai không đổi (Pi = lna2) Thí dụ: Cân cứ vào số liệu đã cho ỏ bảng 6.2 “Phần dư đối với hàm tiêu dùng được ước lượng từ tập số liệu đã cho ờ bảng 6.1”. u&e lượng h‘ôi quy 6.23 kết quả là như sau: 'L n è 2 = -8,407406 + 2,6174451nXi Báng 6.3 Biến Hệ số Sai lệch chuẩn t[Pro.] InX 2,61744 0,2198363 11.906f0.00] INPT -8,4074 0,6911656 -12,164(0,00] Nhìn vào kết quả ta Ihấy có mối liên hệ có ý nghĩa giữa Ln e 2 và ln?Q nên già thiết Hn: H«: P2 = 0 bị bác bỏ ờ mức ý nghĩa 5% nghĩa là phương sai của sai số thay đổi, giống như kết luận đã rút ra từ đồ thị phần đư. 4. Kiểm định G lejser Kiểm định Glejser cũng tương tự như kiểm định Park. Sau khi thu được phần dư e; từ hồi quy theo phương pháp bình phương nhò nhất, Glejser đề nghị hồi quy giá trị tuyột đối cùa ej , 1ejl đối với biến X nào mà cớ thể có kết hợp chặt chẽ vối ơị2 . Trong thực nghiệm Glejser sử dụng các dạng hàm sau: \eé\ = fl, + 0 1 X , + v Ê (6.26) ịe ^ /} , + 02ypc7+ vẫ ,(6.27) 137
K lấ A + P! ~ x + y ' (6.28) Vi \ ~ P i + /?2 Ụ == + »'. (6.29) KI “ VA Ịe,| = VA + 0>x ỉ + v < T ro n g đó Vi là sai số. Giả thiết Ho trong mỗi trường hợp đã nẽu trên là không có phương sai của sai số thay dổi, ngMa là Ho: p 2 = 0 . Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì có Ihể có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi. Cân lưu ý ràng kiểm dịnh Glejser cũng có vấn dê như kiểm định Park. Goldfeld và Quandt đã chi ra rằng sai số Vị trong hồi quy của Gleifser có một số vấn dề, như giá trị kỳ vọng của nó khác không, nó có tương quan chuỗi. Tuy nhiên Glejser dã cho rằng trong mẫủ lớn thì 4 mô hình đầu cho ta kết quả tốt trong việc vạch ra hiện tượng phuơng sai của sai số thay đổi (2 mô hình cuối cùng còn có vấn dề vì là phi tuyến theo tham số, do đó, khống thể ước lượng đuợc bằng thủ tục binh phương nhỏ nhất thòng thường). Do vậy mà kiểm định Glejser dược sử dụng như là một công cụ để chẩn đoán trong mẫu lóm. Thị dụ: Sử dụng số liệu đã cho về chi liêu của tiêu đùng phụ thuộc vào thu nhập ở bảng (6 . 1) và phần dư tách được ở bảng (6 .2 ) chúng ta tiến hành kiểm định Glcjser kết quả như sau: - Đối với dạng (6.26) ta thu dược kết quả sau |ê ệ|= -0.2093825 + 0.0511835X, Kết quả chi tiết cho ở bảng 6.4. Ị Bảng 6.4 Biến Hệ số Sai lệch chuẩn t[Pro.] X 0,511835 0,0033863 15,115(0,00] INPT -0,209383 0,0941067 -2,225(0,00] Đối với dạng (6.25) ta được |ê ị |= - lệ232191 + 0.4752725-ựx” 138
Bảng 6.5 Biến Hê số Sai lệch chuẩn t[Pro.l 7*7 0,4752735 ■0,0369738 12,867[0,00] INPT -1,223219 0,18561 -6,639[0,00] Đối với dạng(6.28) ta được |êj|= 1.826248- 13.77976— Xj Kết quả chi tiết cho ở bảng sau: Bảng 6.6 Biến Hệ số Sai lệch chuẩn t p 1/X -13,77976 2,387942 -5,771 0 ,0 0 0 co n s 1,826248 0,1549618 11,785 0 ,0 0 0 - Đối với dạng (6.29) ta được: |êj I = 2.825054 -'7.849832-= = vx i Bảng 6.7 Biến Hệ số Sai Iộch chuẩn . t[Pro.] 1 -7,84893 1,049445 -7,479(0,000] # 7 INPT 2,82505 0,2437281 11,591(0,000] Nhìn vào 4 bảng ta đều thấy có mối liên hệ có ý nghĩa |ê;| và biến giải thích % cho nên chúng ta thấy rằng: Cả 4 kết quả đều cho ta cùng một kết luận là giả thiết Ho: p 2 = 0 bị bác bỏ với mức ý nghĩa 5% nghĩa là có hiện tượng phương sai cùa sai số thay đổi. Các kết luận này cũng giống như kết luận thu được từ kiểm định Park. 5ẵ Kiểm định tương quan hạng của Spearm an Trước khi trình bày chương này chúng la hãy định nghĩa hộ số tương quan hạng cùa Spearman. Định nghĩa: Hệ số tương quan hạng Spearman rs được xác định như sau: Yd? Ts = ỉ: 6 ^ T ) (6-30) 139
trong đó d| = hiệu của các hạng duợe gán cho 2 đặc trong khác nhau cùng mội phin tử thứ i và n = số các phần tử đuợc xếp hạng. Thí dụ cho xếp hạng cùa 10 sinh viên theo kết quả cùa kỳ thi giũa kỳ: yà kỳ thi cuổi nâm là như sau: Bảng 6.8 V Phần tử A B c D E F G H I J Hạng Hạng: giữa kỳ 1 3 7 10 9 5 4 8 2 6 Hạng: cuối kỳ 3 2 8 7 9 6 5 10 1 4 Hẹ sổ tuong quan hạng có thổ dùng dể pbát hiện ra phương sai của sai số thay đổi. Chúng ta xét mổ hình Y ,- p , + fc jq + Ui. Thủ tục kiểm định nhu sau: Bước 1: u&c lượng hồi quy ữên tập sổ liệu đối với Y và X thu duợe phần dư ej. Bước 2: Xếp hạng |ej|và Xi theo thứ tự giảm hoặc tang, tính d = hạng |e i Ị - hạng X i, sau đó tính hộ số tương quan hạng Spearman. Bước 3: Giả sử hệ số tuong quan hạng cùa tổng thể là pi bàng 0 và n > 8 thì ý nglũa của hệ số tuong quan hạng mẫu u có thể đuọc kiểm định bàng tiêu chuẩn t sau: rs>/n - 2 t= (6.31) a/Ĩ1 ? ■' vối bậc tự do df = n -2 . NỂU giá ưị t tính dược mà vượt điểm tới bạn t, chúng ta có thể chấp nhận giả thiết phuang sai của sai số thay dổi; ngược lại chúng ta lừ bỏ giả thiết vồ phuơng sai sai số thay đổi. Nếu mô hình hồi quy có biến giải thích thì hẹ số tương quan hạng có thể tính giữa |e iI với mỗi một biến X riêng và có thể kiểm ,định ý nghĩa thống kẽ bằng tiêu chuẩn ò trên. 6 . Kiểm định G oldfeld-Quandt N íu ta giả thiết ràng phuơng sai của sai số thay đổi ơi2 có thể liên hệ duơng với một trong các biến giải thích trong mô hình hồi quy thì la có thể sử dụng kiểm định này. Đ ể đơn giản ta hãy xét mô hình 2 biến: Yi = p, + p2?í + ụ Giả sử ơ |2 có liên hệ dương với biến Xtheo cách sau: ơi2 = Ơ2X 2 (6.32) 140
Trong đó a2 là hàng số. Giả thiết này có nghĩa là ơi2 tỉ lệ với bình phuơng của biên X. Nếu giả thiết (6.32) là thích hợp thì điều này có nghĩa là khi X tãng ơ,7 cũng tăng. Thủ tục kiểm định cùa Goldfeld-Quandt gồm các bước sau: Bước 1: Sấp xếp các quan sát theo thứ tụ tãng dần về giá trị cùa biến X Bứớc 2: Bỏ c quan sát ở giữa theo cách sau: Đối với m ô hình 2 biến, George G. Judge đề nghị : c = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30 c = 10 nếu cỡ mẫu khoảng n= 60. và chia số quan sát còn lại Ihành hai nhóm, trong đó mỗi rihóm có ——- quan sát. Bước 3: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất ước lượng tham sô' của các n —c hàm hồi quy đối với ——— quan sát đầu và cuối; thu được tổng bình phương các phần dư của RSS|, RSSj tương ứng. Trong đó RSS| đại diện cho RSS từ hồi quy ứng với các giá trị của Xi nhỏ hcm và RSSị - ứng với các giá trị X; nhỏ hơn. Bậc tự do n -c n - c - 2k tương ứng là —— - k h o ặ c ------------ . Trong đó k là số các tham số được ước lượng kể cả hẹ số chặn (trường hợp 2 biến k = 2 ). RSS2 / Bước 4: Túỉh T - j i s t f / df Nếu u là phân phối chuẩn và nếu giả thiết về phương sai có diều kiện không đổi được thỏa mãn thì F tuân theo phân phối F với bậc tụ do ờ từ số và mẫu số là (n - c - 2k)/2, nghĩa là F có phân phối F(df, df). Trong úng dụng nếu F tính được lớn hơn điểm tói hạn F ờ mức ý nghĩa mong muđn, thì chúng ta có thể từ bò giả thiết Ho: phưcmg sai có điều kiện khống đổi, nghĩa là có thể nói có thể phương sai cùa sai số thay đổi. Chú ý rằng trong trường hợp các biến giải thích X nhiều hơn 1 thì việc sấp xếp các quan sát trong kiểm định ở bước 1 có thể làm đối với một biến bất kỳ trong các biến giải thích đó. Chúng ta có thể tiến hành kiểm định Park đối với mỗi biến X. Thí dụ sau đây là số liệu về chi tiêu (Y) cùa 30 gia đình và thu nhập (X) cùa họ. Số liêu nay đã dược sắp xếp theo thứ tự tăng đan của X Thí dụ: Bảng số liệu chi tiêu tiêu dùng Yvà thu nhập X 141
Báng 6.9. SỐ liệu được sáp xếp theo giá trị của X Y X Y X Y X 55 80 95 140 144 210 70 85 108 145 152 220 75 90 113 150 140 225 65 100 110 160(*) Bỏ 4 137 230 74 105 125 165(*) quan 145 240 80 110 115 180(») sát 175 245 84 115 130 185(*) này 189 250 79 120 135 190 180 260 90 125 120 200 178 265 98 130 140 205 191 270 Chúng ta giả thiết ctai tiêu về tiêu dùng liên hệ tuyến tính với thu nhẠp, nhung có tồn tại hiện tượng phương sai của sai số thay đổi trong tập sổ liệu, và cũng giả thiết ràng bản chất của phuong sai của sai stf thay dổi được chỉ ra ở (6.32). Thủ tục kiểm định Goldefld-Quandt được tiến hành như sau: Bước 1: Sáp xếp các quan sít theo gía trị tăng dãn của X Bước 2: Loại bỏ 4 quan sát ờ giữa đó là các quan sát từ thứ 14 -17. Bước 3: Chia tập số liệu làm đôi. u&c luọng 2 hồi quy. Hồi quy thứ nhất trên tập số liệu gồm 13 quan sát dầu. Hối quy số 2 tiên tập số liệu cuổi. Kết quả như sau: - Hồi quy ưên 13 quan sát dầu ta làm được hàm: Ỷj = 3,4094 + 0.6968X; Bảng 6.10 Biến Hệ số Sai lệch chuẩn r2 = 0.8887 X 0.6968 ễ0744 R S S , = 3 7 7 .1 7 INPT 3.4094 8.7049 df = 11 - Hồi quy tiên 13 quan sát cuối ta thu được: Bắng 6.11 Biến Hẹ số Sai lệch chuẩn r2 =0.7681 X .7941 .1319 RSSí =1536.8 INPT -28.0272 30.6421 df = 11 Y j = - 2 8 .2 7 2 + 0 . 7 9 4 1 X 142
Từ các kết quả này ta thu được: RSS2 / d f 1536 f i / 11 _ 1Ừ? RSS ị / d f 377J7/U Ở mức ý nghĩa 5% thì FC11.11) = 2,82 và F = 4,07 > 2,82, vậy có phương sai sai SỐ thay đổi. Chú ỷ : Theo kinh nghiệm của các nhà kinh tế lượng thì số quan sát bị loại bò khoảng 20 % tổng số quan sát và không nhất thiết phải bò đi các quan sát ở giữa. Trong trường hợp đó .cẩn phải xác định số bậc tự do cho thích hợp. Các thử nghiêm theo phương pháp Monte Carlo thì c = 8 nếu n khoảng 30; c= 16 nếu n khoảng 60. 7. Kiểm định Breusch - Pagan - Godfrey(BPG) Kết quả cùa kiểm định Goldfeld-Quandt khổng chi phụ thuộc vào sô' các giá trị bị bỏ đi mà còn phụ thuộc vào biến dộc lập nào được chọn ra để sắp xếp lại các giá tri cùa nó. Kiểm định BPG sẽ khắc phục được nhược điểm này. XSt mô hình k biến sau: Yi = Pi + Pí Xịí + ...+ pkXki + Ụ (6.33) Giả sừ phương sai cùa sai số ơi2 đuợe miêu tả nhu là hàm của các biến phi ngẫu nhiên Zi, Zi ở đây là các biến Xi (một số hoặc tất cả) có ảnh hường đến ơị2, có dâng! ơị f(Z2 j, Zytt f(..) là hàm tuyến tính hoặc dạng Ioga. Đặc biệt ta giả thiết ơi2 = (X, + a 2 Z 21+ .•■+ otnZm (6.34) Từ (6.34) ta thấy ràng nếu a 2 = otj = ...= ctm= 0 thì ơ -,5 = a , (hằng số). Do vậy việc kiểm định xem liệu Ơ|J có phải thay đổi hay không, nguời ta có thể kiểm dịnh giả thiết Ho : Ci2 = = •••= Om = 0. Đó chính là tu tưởng cơ bản của kiểm định Breusch-Pagan-Godfrey. Thủ tục kiểm định dược tiến hành như sau: Bước 1: ubc lượng (6.33) bằng phuơng pháp bình phương bé nhất để thu được các phần dư ei, e2> ...e„ Bước 2: Tính ỡ 2 = — ---- n Bước 3: x a y đựng biến Pi = a 2 ì ỡ 2 Bước 4: Hồi quy Pi theo các biến Zị dưới dạng Pi = a , + a 2 Z 2i+ ể..+ a mz mi + V, (6.35) 143