intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng lý thuyết đồ thị - Chương 6

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

64
lượt xem
14
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG (Bài toán tìm đường đi ngắn nhất và bài toán luồng cực đại) 6.1 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất 6.1.1 Tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có trọng số Bài toán: Cho đồ thị không có trọng số G = (V,E) và hai đỉnh u, v ∈ V.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng lý thuyết đồ thị - Chương 6

  1. Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ Chương 6 MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG (Bài toán tìm đường đi ngắn nhất và bài toán luồng cực đại) 6.1 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất 6.1.1 Tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có trọng số Bài toán: Cho đồ thị không có trọng số G = (V,E) và hai đỉnh u, v ∈ V. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến đỉnh v, tức là đường đi từ u đến v có số cạnh (cung) là ít nhất Để giải quyết bài toán này ta có thể thực hiện theo thuật toán sau đây: Thuật toán: Bước 1: Tại đỉnh u ta ghi số 0 Các đỉnh kề với u (có cạnh đi từ u đến) ta ghi số 1 Các đỉnh kề với các đỉnh đã được ghi số 1 ta ghi số 2 Giả sử ta đã ghi tới i, tức là ta đã đánh số được các tập đỉnh là V(0) = {u}, V(1), V(2),..,V(i). Trong đó V(i) là tập tất cả các đỉnh được ghi bởi số i. Ta xác định tập các đỉnh được đánh số bởi số i+1 như sau: V(i+1) = {x| x ∈ V, x ∉ V(k) với k=0,1,..,i và ∃ y ∈ V(i) sao cho từ y có cạnh (cung) đi tưới x} Do tính hữu hạn của đồ thị, sau một số hữu hạn bước, thuật toán dừng lại và cho ta tập các đỉnh có chứa đỉnh v được đánh số bởi m là V(m). Bước 2: Do ở bước 1 đỉnh v được đánh số là m, điều này chứng tỏ đường đi từ u đến v có m cạnh (cung) và là đường đi ngắn nhất từ u tới v. Để tìm tất cả các đường đi có độ dài m ngắn nhất từ u tới v, ta xuất phát từ v đi ngược về u theo nguyên tắc sau đây: - Tìm tất cả các đỉnh có cạnh (cung) tới b được ghi số m-1, giả sử đó là xik (k=1,2...). - Với mỗi đỉnh xik tìm tất cả các đỉnh có cạnh (cung) tới xik được ghi số m-2. Bằng cách lùi dần trở lại, đến một lúc nào đó gặp đỉnh ghi số 0, đó chính là đỉnh u. Tất cả các đường đi xác đinh theo các bước trên là đường đi từ u tới v với độ dài m ngắn nhất cần tìm Ví dụ Xét đồ thị có hướng cho bởi hình dưới đây (Hình 6.1) v2 v3 v4 v1 v10 v9 v8 v5 v6 v7 Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh v1 đế 60 NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi
  2. Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ Chu ý: Thuật toán tìm đường đi giữa hai đỉnh u và v trong đồ thị bằng cách áp dụng thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng chính là đường đi ngắn nhất từ u tới v (theo số cạnh). 6.1.2 Tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số Bài toán: Cho đồ thị có trọng số G = (V,E) và hai đỉnh s, t ∈ V. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến đỉnh t, tức là đường đi từ s đến t có tổng trọng số của các cạnh (cung) là nhỏ nhất. Phần lớn các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ s đến t được xây dựn trên ý tưởng như sau: Từ ma trận trọng số c[u,v]; u,v ∈ V, ta tính cận trên d[v] của khoảng cách từ đỉnh s đến tất cả các đỉnh v ∈ V, mỗi khi phát hiện d[u]+c[u,v]d[u] +c[u,v] thì ta thay trọng số d[v] bởi d’[v]=d[u]+c[u,v]. Trường hợp ngược lại ta giữ nguyên là d[v]. Quá trình thực hiện cho tới khi trọng số của tất cả các đỉnh đã đạt cực tiểu, tức là ∀v ∈ V không tồn tại u ∈ V kề với v mà d[u]+c[u,v]
  3. Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ Procedure Ford_Bellman; (* Đầu vào: Đồ thị G = (V,E) với n đỉnh, s ∈ V là đỉnh xuất phát, c[u,v] là ma trận trọng số; Đầu ra: Khoảng cách ngắn nhất từ s đến tất cả các đỉnh còn lại d[v], Truoc[v] ghi nhận đỉnh đi trước v trong đường đi ngắn nhất từ s đến v; Giả thiết: Đồ thị không có chu trình âm; *) Begin (* Khởi tạo *) For v ∈ V do Begin d[v]:=c[s,v]; Truoc[v]:=s; End; d[s]:=0; For k:=1 to n-2 do For v ∈ V\{s} do For u ∈ V do If d[v]>d[u]+c[u,v] then Begin d[v]:=d[u]+c[u,v]; Truoc[v]:=u; End; End; 6.1.2.2Tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số không âm (thuật toán Dijkstra) Dijkstra đề nghị một thuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh tới tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị. Thuật toán Dijkstra được xây dựng dựa trên cơ sở gán cho các đỉnh các nhãn tạm thời. N hãn của mỗi đỉnh cho biết cận trên của độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh xuất phát đến nó. Các nhãn này sẽ được biến đổi theo các bước lặp, trong mỗi bước lặp có một nhãn tạm thời trở thành nhãn cố định. N ếu nhãn của một đỉnh nào đó trở thành cố định thì nó sẽ cho ta độ dài của đường đi ngắn nhất từ đỉnh xuất phát đến nó. Thuật toán được mô tả cụ thể như sau: Procedure Dijkstra; (* Đầu vào: Đồ thị G=(V,E) với n đỉnh cho bởi ma trận trọng số c[i,j] s ∈ V là đỉnh xuất phát Đầu ra: Khoảng cách từ đỉnh s đến tất cả các đỉnh v còn lại là d[v] Truoc[v] ghi nhận đỉnh đi trước v trong đường đi ngắn nhất từ s đến v Giả thiết: Trọng số các cạnh (cung) của đồ thị là không âm *) Begin (* Khởi tao *) For v ∈ V do Begin d[v]:=c[s,v]; Truoc[v]:=s; End; 62 NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi
  4. Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ d[s]:=0; T:=V\{s}; (* T là tập các đỉnh có nhãn tạm thời *) (* Bước lặp *) While T ≠ φ do Begin Tìm đỉnh u thuộc T thoả mãn: d[u] = min{d[z]; z thuộc T}; T:=T\{u}; (* Cố định nhãn của đỉnh u *) for v thuộc T do (*Gán lại nhãn cho các đỉnh *) if d[v]>d[u] + c[u,v] then Begin d[v]:=d[u]+c[u,v]; Truoc[v]:=u; End; End; End; Ví dụ: 63 NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2