Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 2

CHƯƠNG 2

BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

2.1 Khái niệm và phân loại

• Khái niệm. Biến số gọi là biến ngẫu nhiên (random variable) nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên.

• Ký hiệu: X, Y, Z … hay X1,X2,… • Giá trị có thể có của bnn: chữ thường x, y, z, … • {X≤x} {Y=y} là các biến cố ngẫu nhiên.

Ví dụ 1

• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày • Y: Tuổi thọ của một chiếc điện thoại • Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi Z:

số mũ bảo hiểm được trả đúng người

• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới

nhập về

• U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên

trong lớp này

Phân loại bnn

Phân loại

Biến ngẫu nhiên

Liên tục

- Giá trị lấp đầy một hay vài khoảng hữu hạn hoặc vô hạn - Xác suất tại từng khoảng giá trị - Xác suất không tập trung tại các điểm P(X=a)=0 với mọi a

Rời rạc - Hữu hạn giá trị - Vô hạn đếm được giá trị - Xác suất tập trung tại các điểm giá trị

Ví dụ 2

• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi vàng có trong 2 viên lấy ra.

• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên. • Ta có:

Y 

  0 1 2; ;

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???

Hai biến ngẫu nhiên độc lập

• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến cố:









 X x • Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.

• Nói cách khác mọi biến cố liên quan đến hai biến

ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau.

2.2 Quy luật phân phối xác suất

• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu

nhiên và xác suất tương ứng.

Luật phân phối xác suất

• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu

nhiên và xác suất tương ứng.

• Thường gặp 3 dạng:

F(x)

Hàm phân bố xác suất (CDF)

Xác suất bên trái Tỷ lệ bên trái

Rời rạc + Liên tục

Rời rạc

Xác suất tại điểm

Hàm khối xác suất (PMF)

p(x) f(x)

Liên tục Mật độ xác suất

f(x)

Hàm mật độ xác suất (PDF)

Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất (Cumulative Distribution Function), viết tắt CDF của biến ngẫu nhiên X là hàm xác định:





;

  

 

 P X



F x ( ) X

• {X≤x} : biến cố “bnn X nhận giá trị nhỏ hơn hay

bằng x”

• Đôi khi ta còn gọi là hàm phân bố xác suất hay

hàm tích lũy xác suất.

Tính chất



   x R

ii)

  XF x  

X là biến ngẫu nhiên liên tục thì

XF x là hàm không giảm, liên tục bên phải. Nếu  F x là hàm liên tục

iii)

 0

trên R. 

  

F X

  F x X

lim  x

 1



  

F X

  F x X

lim  x

iv)

 P a X b











  F b X

 F a X

Hàm phân phối xác suất

Hàm khối xác suất

• Probability Mass Function (PMF)



P X x



  x





• Tính chất:

i p )



  x

)



• Dạng bảng • Dạng đồ thị

  x



iii P A

)







  x



 x A

Bnn Rời rạc - Bảng ppxs

• Bảng phân phối xác suất của X.

x1 …. x2 …. xn

p1 …. p2 …. pn

• xi : giá trị có thể có của bnn X • pi : xác suất tương ứng;

)



(

)



P X (



)

x i

p i

)

 p i

 1

PMF và CDF

• Hàm phân phối xác suất được xác định như sau:



P X x











  F x X

x k

 



x k



x 1   x



  x



  F x X

p 1 p 1

x 1 x 2

p 2

  ...

  x

p k

p 1

x k

 1

x k

  x  2 x  3  ............................................  

Ví dụ 3

Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt. Không gian mẫu là: Ω = {; ; ; } Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện, X là bnn rời rạc. Hàm khối xác suất:



hay x



;



  x

; ;

x x

 

1 0; 1; 2

1/ 4   1/ 2   0 

Ví dụ 3

X P

0 1/4

1 1/2

2 1/4

• Hàm phân phối xác suất:



  F x X

1 2

,0 ,1 , 2

  x   x  x

  1/ 4    3 / 4   1 

Ví dụ 4

• Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm

đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.

• Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm

loại A lấy ra?

• Xác định PMF, CDF?

Ví dụ 5

Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1 sản phẩm.

a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt

trong 3 sản phẩm lấy ra?

b) Xác định PMF, CDF

Ví dụ 6

• Luật Benford phát biểu rằng trong một lượng rất lớn các số thực ngoài đời, chữ số đầu tiên tuân theo luật phân phối với 30% là số 1, 18% là số 2 và nói chung:

P D j



log



{1, 2,3...,9}





  

 1  j 

• Với D là chữ số đầu tiên của một phần tử chọn

ngẫu nhiên.

• Luật phân phối trên có hợp lý không?

Chú ý về BNN liên tục

a 

ii P a X b 



)





• Nếu X là bnn liên tục thì: i  ) 0, ) 

X a  ( 

 P a



Hàm mật độ xác suất

• Probability Density Function • Viết tắt: PDF

Hàm mật độ xác suất



 

x R

)

  f x





)

  f x dx





PDF và CDF



  f x

  F x

  t dt

 



  f x

 F x

Ví dụ 7

• Cho biến ngẫu nhiên X có CDF dạng:





  x

  F x



    1 

• A) Xác định hệ số k • B) Tìm PDF

Ví dụ 8

• Cho biến ngẫu nhiên X có PDF dạng:





  f x



 1

k 2 x

• A) Xác định hệ số k • B) Tìm hàm CDF • C) Tính P(2

2.3 Các tham số của biến ngẫu nhiên

• Kỳ vọng (Expected Value) E(X) • Phương sai (Variance) V(X), Var(X) • Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) • Mốt (Mode) m0 • Trung vị (Median) me • Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV • Hệ số bất đối xứng (Skewness) • Hệ số nhọn (Kurtosis) • Giá trị tới hạn

Kỳ vọng (Expected Value)

• Kỳ vọng toán học của bnn X được ký hiệu là E(X)

hay  và tính theo công thức sau:

• E(X) là trung bình theo xác suất của X • E(X) là số xác định và có cùng đơn vị với X

Tính chất

Ví dụ 9 • Tung một cục xúc sắc nhiều lần. Gọi X là số chấm

mặt ngửa của cục xúc sắc.

• Tính kỳ vọng của X • Về lâu dài (in a long run) giá trị trung bình của

những lần tung là bao nhiêu?

Ý nghĩa kỳ vọng

• Là giá trị trung bình của bnn (trong một quá trình lâu dài); phản ánh giá trị trung tâm của ppxs của bnn

• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cần chọn phương án cho năng suất cao ta chọn phương án cho năng suất kì vọng cao

Ví dụ 10

• Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1 ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thành công (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dự kiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năng thành công là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sử kết quả các cuộc hẹn độc lập nhau. Lợi nhuận kỳ vọng của nhân viên bán hàng là bao nhiêu?

Ví dụ 11

• X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử





  f x

 100



20.000 3 x

• Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.

Ví dụ 12

• Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở

1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs:

X

100

120

150

P

0,2

0,4

0,3

0,1

• Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng này

nhập mỗi ngày 100kg thực phẩm.

• Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thực phẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá 20/kg ngàn mới hết hàng.

• Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nên

nhập thêm 20kg mỗi ngày hay không

Ví dụ 13

• Cho bnn X có hàm mật độ:



 



  f x



0

• A) Kiểm tra lại tính hợp lý của PDF trên • B) Tính E(X)

• Biến ngẫu nhiên X như trên gọi là có phân phối mũ

với tham số λ. Ký hiệu: X~E(λ)

Ví dụ 14

• Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ:

, ,...



, 1 2 3

 P X k



 p k



C 2 k

Kỳ vọng của hàm của bnn

• Cho bnn X và hàm (x). Đặt Y=(X) là bnn • Kỳ vọng toán học của Y:

, nếu X rời rạ

, nếu X liên tục

Ví dụ 15

• Xét hai bnn sau:

0,3

0,4

0,3

0,4

0,1

0,3

0,2

• So sánh E(X) và E(Y) • Vẽ đồ thị và nhận xét về mức độ biến thiên của X,

Phương sai

• Định nghĩa. Phương sai (variance) của bnn X, ký

hiệu là V(X) được tính theo công thức:



 E X E X

 V X









2

• Rút gọn:



 V X



 E X



  

 2  

Ý nghĩa của phương sai

• Phương sai đo độ dao động của các giá trị của X

xung quanh kỳ vọng toán E(X)

• Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của X • Nếu X, Y cùng đơn vị, cùng ý nghĩa, V(X)>V(Y) thì:

– X biến động, dao động, phân tán hơn Y – Y ổn định, đồng đều hơn X

• Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số của thiết bị. Trong kinh tế, phương sai đo độ rủi ro của các quyết định.

Tính chất của phương sai

Ví dụ 16

• Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là

các bnn độc lập X, Y:

X P

0 0,3

15 0,5

30 0,2

Y P

-2 0,2

15 0,45 0,35

• Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngành

nào?

• Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào? • Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ

lệ nào?

Ví dụ 17

X P

0 0,3

15 0,5

30 0,2

Y P

-2 0,2

15 0,45 0,35

• Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1 tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 1 tháng?

• Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trung

bình và phương sai của tiền lãi thu được.

• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50 triệu.

• Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B?

Độ lệch chuẩn

• Định nghĩa. Độ lệch chuẩn (standard deviation) của bnn X, ký hiệu (X) hay X, là căn bậc hai của phương sai.

    X

 V X



• Độ lệch chuẩn cũng đo mức độ phân tán, dao động của bnn X và có ý nghĩa tương tự phương sai.

• Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với bnn X.

Ví dụ 18

Ví dụ 19

Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên

• Cho X là bnn có kỳ vọng  và độ lệch chuẩn >0. • Đặt:





 

• Ta có:



 E Z



 V Z



• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.

Ví dụ 20

Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên

X (đơn vị: tháng) với PDF như sau:





  x

  f x

 2 4







• Tìm hằng số k? • Xác định CDF? • Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.

Hệ số biến thiên

• Định nghĩa. Hệ số biến thiên (coefficient of variation)

của X ký hiệu là CV(X) được tính theo công thức:

• Kí hiệu: CV(X).



.100%



 CV X



 E X







 X  E X



• Hệ số biến thiên có đơn vị là %. • Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối. • Có thể so sánh hệ số biến thiên của nhiều bnn khác nhau, không cần cùng đơn vị, ý nghĩa, không có cùng kỳ vọng.

Median (Trung vị)

• Định nghĩa. Trung vị của bnn X, ký hiệu MedX, me

là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác suất

• Nếu X rời rạc:





0,5

P X m e





0,5

 

 

P X m e

   

• Nếu X liên tục:



0,5

  f x dx





Mode X

• Định nghĩa. Mốt (mode) của bnn X, ký hiệu mo là giá trị ứng với xác suất lớn nhất (X rời rạc) hoặc hàm mật độ f(x) lớn nhất (X liên tục).

• BNN X có thể có 1 mod, nhiều mod hoặc không

có mod

• Nếu X rời rạc:







 max P x



P X m 0

x i

• Nếu X liên tục:





 f m 0

  max f x  x R

Ví dụ 21

Cho bnn X

0,1

0,2 0,15 0,3 0,25

Ta có:

4

F(X) 0,1

0,3 0,45 0,75

  4

Vậy

 Med X



 Mod X



Ví dụ 22

• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất



  x





  f x

3 4 0



0, 2





     

• Tìm MedX và ModX?

Phân vị mức (1-)

• Định nghĩa. Với bnn X liên tục, phân vị (percentile) mức 1 − ký hiệu là là số thực thỏa mãn:



   1





P X x 1 

Giá trị tới hạn

• Định nghĩa. Với bnn X liên tục, giá trị tới hạn (critical value) mức (0 ≤ ≤ 1) ký hiệu là là số thực thỏa mãn:

 

 P X



x

x

Ví dụ 23

Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàm mật độ





0;4

 2 4



  f x



0;4

 

 

    

a) Tìm hằng số k b) Tìm Mod(X) c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được 1

tháng tuổi

Ví dụ 24

Cho bnn X có hàm mật độ





  f x



 

 0;1  0;1

    

và E(X)=0,6; V(X)=0,06 a) Tìm a,b,c? b) Đặt Y=X3. Tính E(Y)

Ví dụ 25

• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về loại sách này như sau:

Nhu cầu (cuốn)

P

0,3

0,15

0,3

0,25

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán ra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD một cuốn.

Ví dụ 25

Nhu cầu (cuốn)

P

0,3

0,15

0,3

0,25

lợi nhuận bán được

• Nếu nhập về 32 cuốn thì trung bình là bao nhiêu?

• Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng

là lớn nhất.

Bài tập chương 2

• 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 2.9; • 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17; • 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25 • 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32 • 2.33; 2.34; 2.37

• Tất cả 23 bài.

Anscombe's quartet

I II III IV

x y x y x y x y

10.0 8.04 10.0 9.14 10.0 7.46 8.0 6.58

8.0 6.95 8.0 8.14 8.0 6.77 8.0 5.76

13.0 7.58 13.0 8.74 13.0 12.74 8.0 7.71

9.0 8.81 9.0 8.77 9.0 7.11 8.0 8.84

11.0 8.33 11.0 9.26 11.0 7.81 8.0 8.47

14.0 9.96 14.0 8.10 14.0 8.84 8.0 7.04

6.0 7.24 6.0 6.13 6.0 6.08 8.0 5.25

4.0 4.26 4.0 3.10 4.0 5.39 19.0 12.50

12.0 10.84 12.0 9.13 12.0 8.15 8.0 5.56

7.0 4.82 7.0 7.26 7.0 6.42 8.0 7.91

5.0 5.68 5.0 4.74 5.0 5.73 8.0 6.89

Anscombe's quartet

Property Value Accuracy

Mean of x 9 exact

Sample variance of x 11 exact

Mean of y 7.50 to 2 decimal places

Sample variance of y 4.125 ±0.003

0.816 Correlation between x and y to 3 decimal places

Linear regression line y = 3.00 + 0.500x to 2 and 3 decimal places, respectively

0.67 to 2 decimal places

Coefficient of determination of the linear regression

Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến