Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 3

Chương 3

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP

Chương 3

3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

• Luật “không - một” A(p) Bernoulli • Luật nhị thức B(n,p) Binomial • Luật Poisson P() Poisson • Luật siêu bội H(N,M, n) Hypergeometric

Phân phối Không – một

• Ký hiệu khác: X~A(p) • Còn gọi là phân phối Bernoulli. • Bảng ppxs:

X P

0 q

1 p



• Tham số đặc trưng:  E X



 V X



Phân phối Nhị thức

Ví dụ mở đầu. Bắn ba viên đạn vào bia. Xác suất bắn trúng của mỗi viên đều là 0,8. Gọi X là số viên đạn trúng bia. Khi đó X nhận giá trị 0,1,2,3. Ta có:

P X (

 0 )



 0.2 0.2 0.2 1

 



0  0.8 0.2

KKK





3 

P X (

 1 )





  3 0.8 0.2 0.2 3 0.8 0.2

 





1  2

P X (

 2 )





  3 0.8 0.8 0.2 3 0.8 0.2

 



TTK

 P KTK  P TKT

 

 P TKK  P KTT





 

 1 

P X (

 3 )



 0.8 0.8 0.8 1

 



TTT

3   0.8 0. 2





  P KKT  

   

   

Phân phối Nhị thức (Binomial)

n x 

C p q

  p x

• Kí hiệu: X~B(n,p) • Hàm khối xác suất:  k n

• x={0,1,2,3…n} • n,p gọi là các tham số (parameter)

Khi nào có phân phối B(n,p)

• Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là có

phân phối Nhị thức nếu:

• Một thí nghiệm hoặc một phép thử được thực hiện

trong cùng một điều kiện đúng n lần

• Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố. Một biến cố gọi là

“thành công” và một biến cố “thất bại”.

• n phép thử độc lập nhau. • Xác suất thành công, ký hiệu p, là như nhau trong mỗi

phép thử. Xác suất thất bại là q=1-p.

• Biến ngẫu nhiên X = số lần thành công trong n phép

thử

Ví dụ 1

• Một giảng viên đại học lấy mẫu ngẫu nhiên các sinh viên cho đến khi anh ta tìm thấy bốn sinh viên tình nguyện đi mùa hè xanh. Đặt X là số sinh viên được lấy mẫy. X có phải là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức không?

• Một đồng xu được chế tạo sao cho xác suất xuất hiện mặt ngửa mỗi lần tung là 70%. Tung đồng xu 100 lần, theo các cách y hệt nhau. Gọi X là số lần đồng xu xuất hiện mặt ngửa. X có phải là biến ngẫu nhiên có phân phối Nhị thức?

Ví dụ 2

• Một cuộc khảo sát với cỡ mẫu n = 1000 người Mỹ trưởng thành ngẫu nhiên được tiến hành. Đặt X là số người sở hữu một chiếc xe thể thao đa dụng (SUV) trong mẫu. X có phải là biến ngẫu nhiên nhị thức không?

• Một nhân viên kiểm soát chất lượng điều tra một lô gồm 15 sản phẩm. Anh ta lấy mẫu ngẫu nhiên (không thay thế) 5 sản phẩm từ lô. Đặt X bằng số sản phẩm đạt yêu cầu. X có phải là biến ngẫu nhiên nhị thức không?

Effect of n and p on Shape

For small p and small n, the binomial distribution is what we call skewed right

For large p and small n, the binomial distribution is what we call skewed left

Effect of n and p on Shape

For small p and large n, the binomial distribution approaches symmetry.

For p = 0.5 and large and small n, the binomial distribution is what we call symmetric.

Tham số đặc trưng



)

• Cho bnn X~B(n,p). Ta có: 

 E X ii VX npq

)



  1

ModX





  1

 iii n )



 1

Ví dụ 3

• Xác suất để 1 bệnh nhân được chữa khỏi khi điều trị một bệnh hiếm gặp về máu là 0,4. Nếu 15 người đồng ý chữa trị thì xác suất:

• A) Có ít nhất 10 người khỏi • B) Có từ 3 đến 8 người khỏi • C) Có đúng 5 người khỏi Là bao nhiêu?

Ví dụ 4

• Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua một loại thiết bị điện tử về để bán. Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bị hư hỏng của loại thiết bị này là 3%.

a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lô hàng được giao. Xác suất có ít nhất 1 thiết bị hỏng là bao nhiêu?

b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng 1 tháng và với mỗi lô hàng đều được kiểm tra ngẫu nhiên 20 thiết bị. Xác suất có đúng 3 lô hàng có chứa ít nhất 1 thiết bị hỏng trong số 20 thiết bị được kiểm tra?

Ví dụ 5

• Có giả thiết cho rằng 30% các giếng nước ở vùng nông thôn có tạp chất. Để có thể tìm hiểu kỹ hơn người ta đi xét nghiệm một số giếng (vì không đủ tiền xét nghiệm hết).

• A) Giả sử giả thiết trên đúng, tính xác suất có đúng

3 giếng có tạp chất.

• B) Xác suất có nhiều hơn 3 giếng có tạp chất? • C) Giả sử trong 10 giếng đã kiểm tra thì có 6 giếng có tạp chất. Có thể kết luận gì về giả thiết trên?

Tính chất

Cho X1, X2 là hai bnn độc lập. Giả sử:

;



 B n 1

 B n 2

Khi đó:





 B n 1

n p , 2

Ví dụ 6

• Hai đội A và B tham gia đấu giải với nhau và đội nào đạt 4 trận thắng trước là đội chiến thắng cả giải. Xác suất đội A thắng một trận đấu bất kỳ đều là p và giả sử rằng các trận đấu đều độc lập nhau.

• Xác suất A thắng giải là bao nhiêu?

Phân phối siêu bội

• Định nghĩa. Nếu ta chọn ngẫu nhiên n phần tử, không hoàn lại, trong một tập hợp gồm N phần tử với:



  p x

• NA phần tử thuộc một loại, giả sử loại A. • Và N- NA phần tử còn lại thuộc loại khác. • Gọi X là số phần tử loại A trong số n phần tử được

chọn. Khi này PDF của X dạng  n x x C C . N N  N n N

Phân phối siêu bội



i x n )  ii x N  )

  p x

x n x  C C . N N N  n N

A iii n x N N   

)

• Các giá trị của bnn X thỏa mãn:

• Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối siêu bội. • Ký hiệu: X~H(N,NA,n)

Mô hình siêu bội

Tính chất A

N N

Xét tập hợp có N phần tử.

Lấy ngẫu nhiên n phần tử. Lấy ngẫu nhiên n phần tử,

không hoàn lại.

X: số phần tử có t/c A trong n phần tử đã lấy.

Các tham số đặc trưng

Cho bnn X~H(N,NA,n) ta có:



;



npq

 E X



 V X



N n  N  1

Trong đó:



;

  1

AN N

ModX



k ModX k 0

 0 1

• Ta có:





 1





 1  2

• Với

• Công thức trên cho ta khoảng chứa ModX.

Ví dụ 7

• Một hồ có 600 con cá, 80 con được đánh dấu bởi các nhà khoa học. Một nhà nghiên cứu chọn ngẫu nhiên 15 con từ hồ. Hãy tìm công thức cho hàm P.M.F của biến ngẫu nhiên X, với X là số cá được đánh dấu có trong mẫu lấy ra.

Ví dụ 8

• Giả sử có 5 người, trong đó có bạn và một người bạn của bạn, xếp hàng một cách ngẫu nhiên. Gọi X là biến ngẫu nhiên thể hiện số người ở giữa bạn và bạn của mình. Hãy xác định PMF của X dưới dạng bảng. Hãy kiểm ta tính hợp lý của hàm PMF này.

X

0

1

2

3

0,4

0,3

0,2

0,1

Ví dụ 9

• Kiện hàng chứa 40 sản phẩm. Bên mua sẽ không mua kiện hàng nếu có từ 3 sản phẩm lỗi trở lên. Để tiện, bên mua quy ước lấy 5 sản phẩm ra kiểm tra, nếu có đúng 1 sản phẩm lỗi thì không mua lô hàng. Xác suất tìm thấy đúng 1 sản phẩm lỗi biết lô hàng có 3 sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

Ví dụ 10

Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5 bóng hỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3 bóng. Gọi X là số bóng hỏng người đó mua phải. a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức? b) Tính kì vọng, phương sai của bnn X? c) Tính ModX?

Ví dụ 11

Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp. Gọi X là số phế phẩm trong 4 sp.

a) Luật phân phối xác suất của X. b) Tính E(X), Var(X)? c) Tìm Mod(X)

Quan hệ giữa Nhị thức và siêu bội

 X H N N n



 X B n p



N>20n

 n k

P X k









k C p q n

 n k k C C  N N N n N

Ví dụ 12

• Nhà sản xuất thông báo rằng trong số 5000 lốp xe máy gửi cho một nhà phân phối ở HCM có 1000 lốp có lỗi nhẹ. Nếu một người mua ngẫu nhiên 10 lốp xe từ nhà phân phối này thì xác suất có 3 lốp mắc lỗi là bao nhiêu?

Phân phối Poisson

• X: số lần một sự kiện xh trong 1 khoảng thời gian

(không gian)

• X=0,1,2,… • X có thể là bnn Poisson • Ví dụ: • Số lỗi sai trên 1 trang in • Số khách hàng vào ATM trong 10 phút • Số người qua ngã tư trong 2 phút

Phân phối Poisson P(λ)

  p x

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật

Poisson P(λ) nếu có PMF dạng:   e . x !

• x=0,1,2,3… và λ>0 • Kí hiệu: X~ P(λ)

Điều kiện để xấp xỉ phân phối Poisson

• X: số lần sự kiện xh trong 1 khoảng liên tục. • X tuân theo quá trình xấp xỉ Poisson với tham số λ>0

nếu:

a) Số lượng các sự kiện xh trong những khoảng rời nhau

là độc lập.

b) Xác suất có đúng 1 sự kiện xh trong 1 khoảng ngắn có

độ dài h=1/n xấp xỉ với λh = λ(1/n) = λ/n.

c) Xác suất có đúng 2 hoặc nhiều hơn hai sự kiện xh

trong một khoảng ngắn là 0 (rất nhỏ).

Hàm mật độ

• Từ công thức

n x

P X x C 



(

)



x n

 n

x      

  

    n 

• Lấy giới hạn, ta có:

n x 



x n

lim n 

 n

x      

  

   n 







lim n 

x  k !

 n

1 n

2 n

 n

  

n      

   n 

  

     

  

  







p x ( )

x  x !

Các tham số và tính chất

)





ii V X

)





iii

)

ModX





• Cho X~ P(λ). Ta có:   E X     1 

• X1, X2 là hai bnn độc lập và X1~ P(λ1); X2~ P(λ2).





 ~   1 2

Ta có:

Tham số đặc trưng

 1









  1







 P X k  P X k

   1 

k    1 k k  ! k

    k





 P X k  P X k

• Xét tỷ lệ P(X=k+1) và P(X=k) ta có:

   1   



1 ModX





• Vậy

Một số ví dụ

• Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi

phút.

• Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong mỗi

phút.

• Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời

gian xác định.

• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy. • Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi

đơn vị độ dài của một con đường.

• Số lượng cây thông trên mỗi đơn vị diện tích rừng

hỗn hợp.

Ví dụ 13

Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1 giờ có a. Đúng 3 ống sợi bị đứt. ( biến cố A) b. Có ít nhất 1 ống sợi bị đứt.( bc B)

Ví dụ 14

Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc

gọi trong một giờ. Tính xác suất:

a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút. b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút.

Xấp xỉ B(n,p) bằng P(λ)

• Khi n lớn và p nhỏ thì ta có thể xấp xỉ phân phối

Nhị thức bằng phân phối Poisson

n x 

 e

nC p q

  x !

n p E X

.





• Nghĩa là:



100

hay



0,05



0,1

  

• Trong đó: • Điều kiện để xấp xỉ tốt: 

Ví dụ 15

• Năm phần trăm (5%) bóng đèn cây thông Giáng sinh do một công ty sản xuất bị lỗi. Giám đốc của bộ phận kiểm soát chất lượng của công ty khá quan ngại và do đó lấy mẫu ngẫu nhiên 100 bóng đèn ra khỏi dây chuyền lắp ráp. Gọi X là số bóng đèn trong mẫu bị lỗi. Xác suất mà mẫu chứa nhiều nhất là ba bóng đèn bị lỗi là bao nhiêu?

Ví dụ 16

• Một cửa hàng một ngày nhận bán 10 loại nhật báo khác nhau. Xác suất bán hết báo trong ngày của mỗi loại là 0,8. Vậy nếu trong một năm với khoảng 300 ngày bán hàng thì có khoảng bao nhiêu ngày bán không hết báo?

3.2. Biến ngẫu nhiên liên tục

• Phân phối đều U(a, b) Uniform • Phân phối lũy thừa Exponential • Phân phối chuẩn Normal • Phân phối Student • Phân phối Khi bình phương Chi-squared, • Phân phối Fisher

Phân phối đều

Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều U(a,b) nếu hàm mật độ có dạng:

f x

( ) 

1 b a 

Trong đó: ≤ ≤

F x ( )



x a  b a 

Phân phối đều







 i E X )



 Var X



a b  2

b a  12

)

a b ,

MedX







ii ModX x   0

a b  2

• Các tham số đặc trưng

Ứng dụng của phân phối đều • Các giá trị gần đúng của phân phối U (0,1) có thể được mô phỏng trên hầu hết các máy tính sử dụng bộ tạo số ngẫu nhiên. Các số được tạo sau đó có thể được sử dụng để chỉ định ngẫu nhiên một người điều trị trong các nghiên cứu thử nghiệm hoặc chọn ngẫu nhiên một cá nhân để tham gia vào một cuộc khảo sát.

• Các số ngẫu nhiên được tạo từ máy tính không thực sự ngẫu nhiên về mặt kỹ thuật, vì chúng được tạo từ một số giá trị ban đầu (được gọi là hạt giống- seed).

• Nếu cùng một hạt giống được sử dụng lặp đi lặp lại, cùng một chuỗi các số ngẫu nhiên sẽ được tạo ra. Việc tạo số ngẫu nhiên như vậy đôi khi được gọi là tạo số giả ngẫu nhiên. Mặc dù một chuỗi các số ngẫu nhiên được xác định trước bởi một số hạt giống, các số này hoạt động như thể chúng thực sự được tạo ngẫu nhiên, và rất hữu ích trong các ứng dụng như trên. Tuy nhiên, chúng có thể không hữu ích trong các ứng dụng về mật mã hoặc bảo mật internet!

Ứng dụng của phân bố đều

• Bài 1. Lớp có 40 sinh viên, giảng viên cần chia thành 2 nhóm mỗi nhóm 20 sinh viên. Làm cách nào chia nhóm một cách ngẫu nhiên?

• Bài 2. Làm cách nào chọn được ngẫu nhiên 100 sinh viên trong toàn bộ sinh viên đang học tại FTU2 (giả sử gồm 4000 sinh viên) để tham gia khảo sát về chất lượng giảng dạy.

414/node/137/

• Xem bài viết gốc tại: • https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat

Biểu đồ Q-Q (quantile-quantile plot)

• Làm thế nào chúng ta có thể đánh giá nếu một tập hợp dữ liệu cụ thể tuân theo phân phối xác suất cụ thể?

• Cách 1: so sánh các số đặc trưng  không đủ • Cách 2: dùng Q-Q plot (biểu đồ so sánh các phân

vị)

Ví dụ 17

• Tập hợp 19 số dưới đây được phát sinh ngẫu nhiên từ phân phối U(0,1) bằng phần mềm Minitabs. Hãy xem xét xem các số này có phù hợp với mô hình xác suất cho bởi f(x)=1 với 0

Ví dụ 17

Lý thuyết

Data

E(X)

1/2 = 0.5

0.4648

V(X)

1/12 = 0.0833

0.078

Phân phối lũy thừa

Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối lũy thừa E() nếu hàm mật độ có dạng:

f x ( )



  x e

> 0

Trong đó: 0≤ ,

Phân phối lũy thừa



 i E X )



 V X



1 2 

ii MedX

)



ModX





x 

1  ln 2  e   1

  iii F x )

• Các tham số đặc trưng

• Thời gian giữa hai lần xuất hiện trong phân phối

Poisson P( ) có phân phối lũy thừa E(1/ )

Ví dụ 18

• Các cuộc gọi đến một tổng đài điện thoại tuân theo một quy trình Poisson gần đúng với tốc độ trung bình 30 cuộc gọi mỗi giờ. Xác suất để tổng đài viên phải chờ hơn 3 phút để có cuộc gọi tiếp theo là bao nhiêu?

Ví dụ 19

• Quãng đường (km) một chiếc xe hơi có thể chạy trước khi phải thay pin ắc quy có phân phối lũy thừa với trung bình là 10.000 km. Chủ xe muốn đi du lịch bụi với quãng đường khoảng 5000km. Xác suất để anh ta có thể hoàn thành chuyến đi mà không cần phải thay pin ắc quy là bao nhiêu?

Phân phối chuẩn N(, 2)

• Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân

phối chuẩn N(, 2) nếu hàm mật độ có dạng:







  2  2

f x (

)



1   2

• Trong đó:

     



 

, 0





 

• Ký hiệu: X ~ N(, 2)

Tính chất

Neáu

thì:

X N ~

2  ,

 



2 

   i E X ) ii ModX

)





  V X MedX





Đối xứng Dạng hình chuông “bell sharped”



  f x

lim x 



 

 



Chuẩn hóa phân phối chuẩn

thì biến ngẫu nhiên , cũng có phân phối



Neáu

thì:

X N ~

2  ,





 0,1 .





 

• Phân phối N(0,1) được gọi là phân phối chuẩn

tắc.

• Standard Normal Distribution

• Định lý. Nếu ~ , chuẩn hóa của nó, = chuẩn. Cụ thể là:

Xác suất của phân phối chuẩn





  • 3) Sử dụng bảng Phụ lục xác suất N(0,1) để tìm xác

Ta có thể tìm xác suất dạng P(a

 P a X b











 

   

   

   

   

suất mong muốn.

Bảng phân phối chuẩn tắc

• Đồ thị của N(0,1) • Bảng phụ lục xác suất N(0,1) thể hiện giá trị xác











  z



2 / 2





  z



1  2

suất dạng:

Tính chất của hàm (x)



  z 0,5

0,5

 

   

0,5

iii

khi z



      )       )     ) z



2 / 2





  z



1  2

Giá trị tới hạn Zα

• Giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ ≤ 1) là số



 P Z

  Z 

thực ký hiệu Zα sao cho với Z~N(0;1) thì:

 

 



 

0,5

Z 1 Z  1 



Z

• Chú ý:

Xác suất của N(μ;σ2)

P a X b 











 

   

   

   

P X a





0,5





       

P X b





0,5





  a       b      

   

Ý nghĩa của giá trị Z

• Giá trị chuẩn hóa Z cho ta thấy mức độ lệch của X so với trung bình, đo bằng đơn vị độ lệch chuẩn. • Nếu Z=-2 nghĩa là X thấp hơn trung bình 2 độ lệch

chuẩn.

• Nếu Z=2 nghĩa là X cao hơn trung bình 2 độ lệch

chuẩn.

• Giá trị Z thường đượng sử dụng trong lĩnh vực y tế để xác định xem một người có vượt quá các ngưỡng trong các đo lường sinh học và vật lý hay không.

Quy tắc k-sigma











)







 P Z 0, 6826

)



0,9544





0,9974

)





 P X  a P X  c P X )

 k          

  2  b P X  d P X

       

• Trong thực nghiệm, nếu một tập số liệu có phân phối

chuẩn thì:

• Khoảng 68% dữ liệu nằm trong một độ lệch chuẩn so với

trung bình

• Khoảng 95% dữ liệu nằm trong hai độ lệch chuẩn so với

trung bình

• khoảng 99,7% dữ liệu nằm trong ba độ lệch chuẩn so với

trung bình

Tính chất

X N ~

2  ;

Z  







 b a ;

 





 aX b N a ~

2

• Nếu a, b là các số thực thì:

• Tổ hợp tuyến tính của các bnn độc lập có phân

Z  



?;?





2   ; 2 2

 2   ; 1 1 

 

   

phối chuẩn là một bnn cũng có pp chuẩn.

Nhận biết phân phối chuẩn

• Q-Q plot • http://www.jbstatistics.com/normal-quantile-

quantile-plots/

• Ví dụ. Liệu các giá trị sau đây có phải được lấy ra

từ một phân phối chuẩn?

• 7.19; 6.31; 5.89; 4.5; 3.77; 4.25; 5.19; 5.79; 6.79.

Nhận biết phân phối chuẩn

B1. Sắp xếp dữ liệu 3.77; 4.25; 4.5; 5.19; 5.79; 5.89; 6.31; 6.79; 7.19 B2. Chia vị trí và xác định các giá trị phân vị trên đường cong chuẩn tương ứng

Nhận biết phân phối chuẩn

-1.28 -0.84 -0.52 -0.25 0 0.25 0.52 0.84 1.28

3.77 4.25 4.5 5.19 5.89 5.79 6.31 6.79 7.19

B3. Vẽ biểu đồ Q-Q plot bao gồm các giá trị được sắp ở B1 và các phân vị ở B2. B4. Nhận xét.

Ví dụ 20

1) Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10 và

P(10

2) Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) là hai biến ngẫu nhiên

độc lập. Tìm xác suất P(X>2Y).

Ví dụ 21

Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ tại một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5; 1,21) a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút? b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t là

không quá 5%?

Ví dụ 22

• Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phân phối N(10; 6,25). Khi bán một máy thì lời 1,4 triệu đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành thì lỗ 1,8 triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trung bình khi bán loại máy lạnh này là 0,9 triệu đồng thì cần qui định thời gian bảo hành là bao lâu?

Phân phối Khi bình phương

• Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n



n 2

x 2

 1 e



n x

  f x

1 n 2

  



           2~X

  n • Ký hiệu: • Là trường hợp riêng của pp Gamma.

bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

Khi bình phương và Chuẩn

2~ 

  1

 

   

   

• Định lý. Nếu ~ , thì:

• Định lý. Cho n biến ngẫu nhiên độc lập cùng có



 0,1

phân phối chuẩn tắc. ~

  2 n



 1

• Khi đó:

Phân phối Khi bình phương



;



 E X

 V X



• Nếu X~χ2(n) thì 

• Đồ thị dạng:

Bậc tự do n và dạng đồ thị

Neáu

thì

2~ 

, 2

  n

 N n n



F

Tính chất

Neáu

)

2 

;



n 1

n 2

 X



 

2 

vaøñoäc laäp thì: 

 n 2

n 1

Neáu

thì

)

2 

  n



 0,1

F  

2    X n 2 n





2 

c) Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn, ~ , .







2* 



 i 

 1

  

  

Khi đó:

Giá trị tới hạn 2 (n; α)

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ ≤ 1) là số thực ký





 2  P Z 

  

  ;n 

hiệu 2(n;) sao cho với Z~ 2(n) thì:

Bảng giá trị tới hạn Khi bình phương

Ví dụ 23

)

20;0,95

 8, 2604



)



c P )



 Z



31, 4104



 2   b P Z  10,8508



• Cho ~ 20 • Tìm các xác suất sau:

Quan hệ với Chuẩn và Khi BP

• Định nghĩa. Nếu ~ 0,1 và ~ là hai



X n Y

X Y ;

biến ngẫu nhiên độc lập thì biến ngẫu nhiên:

có phân phối Student hay phân phối t với n bậc tự do. • Ký hiệu: T~

Phân phối Student t(n)

1

 n   2

x    



  f x

x n

1 n 

  

n    2  n 2

   

     1    

• Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

• Kí hiệu: X ~ t(n)

Tính chất



)



)





 b V T



 2 .

c T )



 0,1

 n n  2 F N n 

• Nếu X ~ t(n) thì:    a E T  1 ;

Giá trị tới hạn (, )

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ ≤ 1) là số thực ký

 Z t



hiệu (, ) sao cho với Z~ (n) thì:



    

 

 







 ;1



  t

;0,5





  ;1 



  ;

 





  ;

Bảng giá trị tới hạn Student

Ví dụ 24

• Cho ~ 15 . Tìm các giá trị tới hạn và xác suất

)





0,025





hay t  15;0,025



)



2,602



)

 Z



2,9467



)



P Z b



0,975

 P Z  P Z  

2,0343 

 hay t  15;0,975



Phân phối Fisher - Snedecor

• Định nghĩa. Nếu ~ ; ~ là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau thì biến ngẫu nhiên:



X n / Y m / • có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m) bậc tự do. • Ký hiệu:

;

 F F n m



Đồ thị hàm mật độ

 F n m ,



 1,0



F   

m n

Tính chất





 E X









 V X





m 2  n m



 F n m ,



m  2  2 m n m  2   m   N 1,0

 4 

F m  n 

 F n m ,



 1,0



F   

m n

• Cho X~F , thì:

Giá trị tới hạn phân phối Fisher





 f n m   ,



 P F



• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ ≤ 1) là số thực ký hiệu F(n, m, α) hay (n, m, α) sao cho với F~ (n,m) thì:

f n m ,

(



 )



1  , f n m ) ,

(

  f n m  ,

• Tính chất:

Bảng giá trị tới hạn Fisher

Ví dụ 25

)





0,05

0,01





)

0,95





)

• Cho F~F(20; 30). Tìm a, b, c sao cho:   a P F a   b P F b   a P F c

Ví dụ 26

• Từ kết quả 2 lần thí nghiệm ta có 2 đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Khi bình phương với bậc tự do tương ứng là 4 và 6. Tìm xác suất để đại lượng thứ nhất bé hơn 3 lần đại lượng thứ 2.

Ví dụ 27





 1,5 ;



 1,11

1 3

1 4

  

  

  

  

• Cho các bnn

2 j

 3

i 2 

 1

  

  

• Giả sử các bnn độc lập nhau. Tính xác suất:

3.3 Định lý giới hạn trung tâm

• Central Limit Theorem • Giả sử X1, X2, ... , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất (bất kỳ dạng nào) với kỳ vọng μ và phương sai hữu hạn σ2. Khi n đủ lớn thì: a) Trung bình cộng của Xi, ký hiệu , có phân phối xấp xỉ

với phân phối chuẩn. b) Với kỳ vọng là =

c) Và phương sai là V =



 ,



  ... n

2  n

 N   

  

Định lý giới hạn trung tâm

• Độ lớn của n phụ thuộc vào độ lệch (skewness) của phân phối xác suất của các bnn Xi ban đầu. • Nếu phân phối của Xi là đối xứng thì chỉ cần n=4

hoặc n=5

• Nếu phân phối của Xi là lệch thì n tối thiểu khoảng

25 hoặc 30

• Nếu phân phối của Xi quá lệch thì ta cần n lớn hơn

nữa.

Ví dụ 28

• Gọi Xi biểu thị thời gian chờ đợi (tính bằng phút) của khách hàng thứ i. Một trợ lý quản lý tuyên bố rằng, thời gian chờ đợi trung bình của toàn bộ khách hàng, là 2 phút. Người quản lý không tin vào tuyên bố của trợ lý, vì vậy anh ta quan sát một mẫu ngẫu nhiên gồm 36 khách hàng. Thời gian chờ trung bình cho 36 khách hàng được quan sát là 3,2 phút. Người quản lý có nên bác bỏ tuyên bố của trợ lý (... và sa thải anh ta) không?

Xấp xỉ xác suất

 X H N N n



 X B n p



n rất lớn p rất nhỏ

n rất lớn p rất lớn

X P ~

Y ~

   n p .



   n q .

Xấp xỉ pp chuẩn

n rất lớn

 X B n p



2  X N 

0,1







30   p

0,9

np     n  0,1 

2 



npq

  E X  V X

 

npq 

Công thức xấp xỉ



2 /2





;



 i P X k )



  f x

1 npq

 k np npq

1  2

   

   



0,5



0,5

k 1

)



 X k







 ii P k 1

npq

    

   

    

   

• Cho ~(; ) ≈ (; 2)

Xấp xỉ Poisson bằng N(0,1)

X P ~



• Cho bnn X có phân phối Poisson    



 V X





 

khi





 E X • Ta chứng minh được:  

 0,1 • Trong thực hành, ta xấp xỉ được khi > 20. Nghĩa là:





khi X P





 0,1

    ,

 

Ví dụ 29

• Trọng lượng các viên thuốc có phân phối chuẩn với kỳ vọng 250mg và phương sai 81 mg2. Thuốc được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Một vỉ được gọi là đúng tiêu chuẩn khi có trọng lượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì). Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra. Tính xác suất:

100

• A. Có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn. • B. Có từ 70 vỉ trở lên đạt tiêu chuẩn.

Ví dụ 30

• Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng trung bình của một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệch chuẩn 4,2 mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn.

• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260

mg.

• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹ

hơn x0.

• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng xung quanh trung bình với độ lệch tối đa 5%. Tính tỷ lệ viên thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc được khảo sát.

101

Bài tập chương 3

102

• 3.1; 3.2; 3.3; 3.6; 3.7; 3.8; 3.11; 3.12; 3.16 • 3.17; 3.22; 3.23; 3.29; 3.32; 3.37; 3.38 • 3.39; 3.40; 3.42 • Tất cả 19 bài

Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 3 - Nguyễn Văn Tiến