TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
2
Chương
BIẾN CỐ – XÁC SUẤT
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì
càng ít liên hệ tới thực tế – Albert Einstein
2.1 Biếncố ...................................... 25
2.1.1 Cáckháiniệm .............................. 25
2.1.2 Quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Xácsuấtcủamộtbiếncố............................. 33
2.3 Các công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Công thức xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Công thức nhân và công thức cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 39
23
TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
BIẾN CỐ – XÁC SUẤT
2.3.3 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.4 Công thức xác suất Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Bàitậptựluận................................... 50
Mục tiêu: Sau khi học xong chương này, sinh viên có khả năng giải quyết các vấn đề sau:
1) Hiểu và mô tả khái niệm không gian mẫu và các biến cố trong xác suất.
2) Tính toán xác suất của các biến cố trong không gian mẫu rời rạc.
3) Hiểu và tính toán xác suất của các biến cố liên hợp và giao của các biến cố riêng lẻ.
4) Hiểu và tính toán xác suất có điều kiện của các biến cố.
5) Xác định tính độc lập của các biến cố và sử dụng tính độc lập để tính toán xác suất.
6) Sử dụng định lý Bayes để tính toán xác suất có điều kiện.
7) Vận dụng được công thức Bernoulli để tính xác suất.
Trang 24
TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
BIẾN CỐ – XÁC SUẤT
2.1 Biến cố
2.1.1 Các khái niệm
1) Phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát về hiện tượng nào đó trong cuộc sống tự nhiên
và xã hội, trong một số điều kiện nhất định.
2) Một phép thử được gọi là phép thử ngẫu nhiên nếu thoả mãn:
•Có thể xác định được tất cả các kết quả có thể xảy ra;
•Không biết trước kết quả nào sẽ xảy ra cụ thể.
3) Không gian mẫu Ωcủa một phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra sau khi thực
hiện phép thử.
4) Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) của phép thử là tập con của không gian mẫu Ωcủa
phép thử này.
Ví dụ 2.1. Tung một con xúc sắc cân đối lên một mặt phẳng và quan sát số chấm của mặt trên
cùng của con xúc sắc sau khi nó dừng lại. Ta thấy rằng:
Trang 25
TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
BIẾN CỐ – XÁC SUẤT
•Hành động và quan sát trên là một phép thử ngẫu nhiên. Lưu ý: Một hành động chưa thể
hình thành một phép thử nếu chưa xác định được quan sát điều gì.
•Phép thử trên có không gian mẫu: Ω = {1,2,3,4,5,6}.
•Một số tập biến cố đơn cử là: A={1,3,5},B={2,4,6},. . .
Chú ý 2.1. Ta có thể phát biểu các tập biến cố theo dạng một mệnh đề, đặc biệt trong những
trường hợp các kết quả của phép thử "khó" có thể biểu diễn được theo hình thức liệt kê, hình
học,. . ..
Theo ví dụ trên, ta thấy biến cố A, B có thể được phát biểu lại dưới dạng mệnh đề như sau:
•A: "biến cố xuất hiện mặt lẻ".
•B: "biến cố xuất hiện mặt chẵn".
Ví dụ 2.2. Gieo hai con xúc sắc cân đối một lần và quan sát số chấm của các mặt trên cùng
của chúng.
1) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử trên.
Trang 26
TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
BIẾN CỐ – XÁC SUẤT
2) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:
A={(6,1),(1,6),(3,4),(4,3),(2,5),(5,2)}.
Giải. Ta có
1) Không gian mẫu: Ω = {(i, j)|1≤i, j ≤6}.
2) A: "biến cố tổng số chấm bằng 7".
2.1.2 Quan hệ giữa các biến cố
◆Biến cố tổng của Avà B, ký hiệu A+B≡A∪B, xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong 2
biến cố Ahoặc Bxảy ra.
A B
Ω
A+B={ω|ω∈Ahoặc ω∈B}
Trang 27