Bài giảng Thống kê y học - Bài 2: Một số khái niệm căn bản về xác suất

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CĂN BẢN VỀ XÁC SUẤT

ả ứ

ị

ấ ợ ủ ượ ậ ự ợ c t p giao và h p c a 2 t p h p xác đ nh

ổ ợ ể c hai công th c chuy n v và t h p

ư ậ ứ ề ị

ấ ấ Mục tiêu ủ ề ọ Sau khi nghiên c u ch đ , h c viên có kh năng: ụ ề Trình bày 2 đ nh nghĩa v xác su t và đ a ra các ví d ị Xây d ng đ ị ệ ượ t đ Trình bày và phân bi ệ ủ Trình bày đ nh nghĩa c a xác su t có đi u ki n ấ ứ ứ ộ Trình bày công th c c ng xác su t và công th c nhân xác su t

1. Ðịnh nghĩa về xác suất

ị ầ ấ ấ ươ

ấ ữ ườ ố ng đ i ầ ụ ệ ố ấ ố ỉ ằ ầ ẽ ấ ổ ế ố ố ộ ử ố ầ ả ế ố ề ầ ố ủ ầ ầ ng đ i c a bi n c ế ấ ủ ẽ ấ ỉ ằ

EP (

(cid:0))

1.1 Ð nh nghĩa xác su t theo t n su t t ề ấ ươ Theo ngôn ng thông th ng, xác su t chính là t n su t t ng đ i. Thí d m nh đ ầ ố ị ẳ ề ầ kh ng đ nh xác su t sinh con trai là 0,515 có nghĩa là khi th ng kê nhi u l n sinh, t n ấ ả ầ ấ ươ ấ ươ ng đ i là t n su t x y su t t ng đ i sinh con trai s x p x b ng 0,515 (t n su t t ượ ế ra bi n c quan tâm chia cho t ng s l n th ). Nói cách khác, n u m t quá trình đ c ế ố ấ ươ ậ ạ i n nhi u l n, và n u có f l n x y ra bi n c E, t n su t t l p l E s x p x b ng xác su t c a E. f n (1)

ượ ề ầ ấ ồ ặ ấ ặ ấ ấ

ầ ự ụ ệ ệ c 2048 l n xu t hi n Thí d : Buffon th c hi n 4040 l n tung đ ng ti n và quan sát đ ỉ ấ ả ố ả ấ ươ ầ ặ ấ m t s p. T n su t t ng đ i x y ra m t s p là . Xác su t x y ra m t s p cũng x p x ằ b ng 0,507.

ử ế ụ ế ố ế ố ố ậ

ộ ề ộ ồ ấ ặ ặ ặ ộ ệ ớ ế ể ả ả ồ ệ ề ự ể ấ ặ ấ ệ ọ ấ c. Ng ề ế ụ ườ ặ ử ủ ồ

ấ ắ ự ng t ắ ượ ọ ử ẫ ặ ấ ệ ặ ệ ế ẫ ặ ố ế ắ ồ ế ố ầ ử ầ ử ệ ậ ồ ộ , 0 ph n t ầ ử hay 1 ph n t ộ ừ ể ế ộ ợ ặ ế ố c g i là bi n c s c p.

ế ể ả ố ắ ặ ổ ộ ế ụ ồ ủ ắ ế ế ố ổ ố ể 1.1 Phép th , k t c c, bi n c , bi n c đ i l p ế ẳ Khi chúng ta gieo m t đ ng ti n lên m t m t ph ng có th x y ra m t trong hai k t ử ệ ụ c c: xu t hi n m t s p ho c xu t hi n m t ng a v i k t qu không th tiên đoán ượ ặ ử đ i ta g i vi c gieo đ ng ti n là phép th (experiment) và s xu t hi n m t ấ x p hay m t ng a c a đ ng ti n là các k t c c (outcome). ệ ươ ể T , khi chúng ta tung con xúc x c, có th xu t hi n các m t 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì ệ ấ c g i là phép th ng u nghiên và vi c xu t hi n m t 1, xu t vi c tung con xúc x c đ ế ế ụ ượ ọ ệ hi n m t 2, 3, 4, 5 và 6 đ c g i các k t c c ng u nhiên. N u chúng ta quan tâm đ n ặ ế ế ụ ố ẵ ặ bi n c ra m t xúc x c ch n thì bi n c (event) này bao g m 3 k t c c: ra m t 2, ra ở ế ụ ợ ậ ặ ặ là các k t c c. B i m t 4 và ra m t 6. Nói khác đi bi n c là t p h p mà các ph n t ầ ử ể nên vi c ra vì t p h p có th có bao g m toàn b các ph n t ừ ụ ắ ể ặ m t m t xúc x c nào đó (thí d ra m t 2) v a có th xem là k t cu c v a có th xem ế ố ơ ấ ượ ọ ế ố là bi n c : bi n c đó đôi khi đ ế ụ ệ ắ t , có k t c c sau có th x y ra {1,1,1} (ba N u chúng ta tung 3 con xúc x c phân bi ố ể ế con xúc x c ra m t 1); {1,1,2}; {1,1,3};....; {6,6,5}; {6,6,6}. Bi n c có t ng s đi m ắ ể ị ự ươ ủ chúng ta có th đ nh ng t c a 3 con xúc x c =18 bao g m m t k t c c {6,6,6}. T ố ể ố ổ ế ố ể ố ổ nghĩa bi n c t ng s đi m c a ba con xúc x c <=10, bi n c t ng s đi m là 11; bi n c t ng s đi m >=12.

ỗ ố ớ ế ố ố ậ ượ ọ Ac (đ ấ ế ố ồ ặ ở ề ẵ ế ố ặ ẻ ớ ế ố ế ố ặ ộ c đ c là Đ i v i m i bi n c A có m t bi n c đ i l p (complementary event ) ụ ủ ử ế ụ . Tr v thí d c a phép th tung không A) bao g m các k t c c không có tính ch t A ế ế ố ặ ế ố ố ậ ắ con súc s c 6 m t, bi n c đ i l p v i bi n c ra m t ch n là bi n c ra m t l . Bi n ặ ố ố ậ c đ i l p cho bi n c ra m t >=2 là bi n c ra m t 1.

ả ế ụ ồ

ồ ấ ườ ậ ệ ả ị ặ ặ ệ ấ ả ng cho phép chúng ta ặ ặ ặ ặ đ nh vi c xu t hi n k t c c ra m t 1, ra m t 2, ra m t 3, ra m t 4, ra m t 5, ra m t ế ụ ồ ế ụ ả ọ

ấ ổ ể ị

ạ ừ ẫ ế ụ ể ả ế ụ ế ố ấ ả ố i cho bi n c E, xác su t x y ra bi n c ượ ệ 1.2 K t c c đ ng kh năng ắ Khi chúng ta gieo con xúc x c đ ng nh t, c m nh n thông th ấ ế ụ gi ư 6 có xác xu t nh nhau. Khi đó ta g i các k t c c này là k t c c đ ng kh năng. 1.4 Ð nh nghĩa xác su t c đi n ế ấ ử ẫ N u phép th ng u nhiên có th x y ra theo N k t c c lo i tr l n nhau và có xác su t ế ố ậ ợ ọ ư nh nhau và g i m là s các k t c c thu n l ẽ ằ c kí hi u là P(E), s b ng m chia cho N E, đ

P E (

) (cid:0)

m N

ố ố ế ụ ượ ọ (2) ể c g i là s các k t c c có th và m s các k t c c thu n l

ặ ầ ắ ế ụ ặ ớ ặ ữ ụ ế ặ ậ ợ i. ặ ế ụ ồ ấ ẵ ế ế ượ ạ c l ế ố i) và đ ng xác su t. Gi ể ả ắ ồ ặ ế ố ố ấ ả ế ố ẵ

ụ ủ ệ ệ ệ ậ ổ ợ ẫ ậ ườ ữ ủ ệ ệ ữ ở ữ ệ ố ố ữ i là n . ủ khoa ph i? Có bao nhiêu trong s nh ng b nh nhân c a ệ ữ ổ

ướ ể ệ ạ ớ c tiên chúng ta l p m t b ng chéo đ phân lo i các b nh nhân theo gi ề ạ i tính và ả ừ ề đ bài vào b ng này ố ở i (các các ô còn l ườ

N còn đ ặ Thí d : N u chúng ta tung con xúc x c (xí ng u) có 6 m t: m t 1, m t 2, m t 3, m t 4, ạ ừ ế ụ ể ả ặ m t 5, m t 6 thì có th x y ra v i 6 k t c c khác nhau. Nh ng k t c c này lo i tr ả ử ặ ẫ l n nhau (n u ra m t 1 thì không ra m t 2 và ng s ta ặ quan tâm đ n bi n c con xúc x c ra m t ch n. Bi n c này có th x y ra theo 3 cách, ặ ế ụ ế nói khác đi bi n c này bao g m 3 k t c c. Khi đó xác su t x y ra bi n c ra m t ch n là 3/6=0.5 Thí d : Khoa ph i và khoa Th n c a b nh vi n Ch R y có 50 b nh nhân trong s này có 35 b nh nhân n . Có 12 b nh nhân c a khoa Th n trong đó có là 8 ng ổ Có bao nhiêu b nh nhân n ằ ở khoa Ph i. 2 khoa này là n hay n m ộ ả ậ Tr ị ậ ổ ề theo khoa đi u tr (Ph i hay Th n) và đi n các thông tin đã cho t ủ ả ậ ừ ố (các s in đ m c a b ng). T các thông tin này chúng ta tính các s ủ ả ố s in th ng) c a b ng chéo Bảng 1. Giới tính của bệnh nhân của khoa Phổi và khoa Thận bệnh viện Chợ rẫy

ổ ố T ng s Khoa Ph iổ Khoa Th nậ

Nam 11 4 15

Nữ 27 8 35

ổ ố T ng s 38 12 50

ố ệ ữ ủ ữ ổ ế ượ ố ệ c s b nh n c a khoa ph i là 27 và s b nh nhân n i.

ấ

ằ ở ụ ử ụ ọ ườ ấ ấ ộ ổ ổ ừ ả T b ng chéo chúng ta bi t đ ườ ổ hay n m khoa ph i là 46 ng ố ệ ủ ả Thí d : S d ng s li u c a b ng trên hãy tính các xác su t: i b t kì tính xác su t ng 1. Ch n m t ng ườ ằ ở i n m khoa Ph i P(Khoa Ph i):

ố ế ậ ợ ể ế ộ ố ộ i cho 38;

N: S k t cu c có th là 50; m: s các k t cu c thu n l P (Khoa Ph i) =

ộ ọ ấ ườ i đó là nam P(Nam)

2. Ch n m t ng ố ế ổ ườ ấ i b t kì tính xác su t ng ố ộ ể ế ộ ậ ợ i cho 15;

N: S k t cu c có th là 50; m: s các k t cu c thu n l P (Nam) = ệ ề ố

ị ọ ệ ờ ả ứ ở ộ ườ ơ h c là nguy c . Nguy c đ m t nhóm ng ư ậ ộ ệ ị ệ ả ơ ượ ườ ấ ủ c xem là xác su t c a m t ng ầ ề ị ắ ứ ệ ờ ấ ệ ứ ị ễ ố ố .

ẽ ấ ấ ặ ộ ố ụ ề ấ ộ ứ ể ế ả ấ ầ ử ụ ố ộ ộ ề ổ ị

ấ ủ ượ ủ ế ệ ế ằ ố c kí hi u là Odds(A) b ng xác su t c a bi n c A ố ế ố ộ ấ ủ ơ Khái ni m v nguy c và s chênh (odds) ỉ ị ễ ọ ộ c đ nh nghĩa là t M t khái ni m quan tr ng trong d ch t ầ ệ ắ i ng i lúc đ u l m c b nh trong kho ng th i gian nghiên c u ườ ị ắ ệ ể ượ không b b nh. Nh v y còn có th đ i b m c b nh ớ trong kho ng th i gian nghiên c u v i đi u ki n lúc đ u không b m c b nh. Đó là lí ộ ạ do t i sao xác su t và th ng kê có m t vai trò then ch t trong các nghiên c u d ch t ề ặ ậ ợ ữ i v m t toán Nh ng chúng ta s th y xác su t là m t hàm s có đ c tính thu n l ạ ị ư ọ h c, thí d nh nguyên lí c ng tính. Tuy nhiên xác su t có mi n xác đ nh là đo n [0;1] ổ ế ể xác su t theo m t bi u th c tuy n tính c n s d ng các phép bi n đ i nên đ mô t ể ở ộ ế đ m r ng mi n xác đ nh. M t trong các phép bi n đ i đó là s chênh (odds) ố S chênh c a m t bi n c A đ chia cho xác su t c a bi n c không A.

Odds(A)= =

ị ủ ố ượ ủ ạ ớ ố ị ế ố ở ộ ọ ộ ặ ố ế ố ị

ề ề c m r ng so v i mi n xác đ nh c a xác Mi n xác đ nh c a s chênh là đo n [0;∞) đ ủ ấ su t. S chênh cũng có m t đ c tính khác quan tr ng là s chênh c a bi n c không A ả ủ ố ằ b ng ngh ch đ o c a s chênh bi n c A. Odds(Ac) = = 1: = 1:Odds

ố ặ ọ ủ ố ệ ặ ộ ể ử ụ ộ ộ ố

ụ ế ụ ấ ồ ề ấ ượ ử ượ ặ ấ ấ c m t s p, P(s p) = = 0,5. S chênh đ ố ặ ấ ự ấ ấ ộ ằ ệ ượ ử ặ M c dù lí do chính đ s d ng s chênh là đ c tính toán h c c a nó, s chênh cũng là m t khái ni m quen thu c trong cu c s ng hàng ngày. ả ồ Thí d : Khi ta gieo đ ng ti n chúng ta chúng ta có 2 k t c c s p và ng a đ ng kh ặ ấ c m t s p, năng. Khi đó xác su t đ Odds(s p) = = . Th c ra trong dân gian cách nói xác su t ra m t s p là 0,5 không quen thu c b ng cách nói là vi c đ c m t ng a là 1 ăn 1 thua (hay 5 năm 5 thua).

» ế ấ ấ ố 1 nên s chênh và xác su t là x p x . T ỉ ừ ượ ứ ể ấ ế Khi bi n c A hi m (P(A)<0,1) thì 1P(A) ố s chênh chúng ta cũng có th tính đ ố c xác su t theo công th c sau:

P(A) =

ị ấ ủ

ầ ấ ề ệ ủ ượ ở ụ ỉ ẫ ữ ứ ử ề ụ ệ ể ệ ệ ứ ế ể ng ng u nhiên mà còn đ ể ể ậ ướ ử ằ ư ắ ế ượ t đ ứ ể ể ữ ử ề 1.3 Ð nh nghĩa xác su t ch quan ầ ề ướ Khái ni m v xác su t ch quan l n đ u tiên đ ng b i Von Newman, c đ x ấ ệ Morgenstern, Ramsey và Savage. Theo khái ni m này, xác su t không ch áp d ng cho ề ệ ượ ử ụ ệ ượ c s d ng cho các m nh đ (proposition). Có các hi n t ề ằ ệ ậ ạ ượ c (thí d m nh đ nh ng m nh đ có th ki m ch ng b ng th nghi m l p l i đ ử ể ượ ẫ c ki m ch ng sau khi th nghi m ki m tra “chi c nh n vàng này là th t” có th đ ắ ề ệ ự ủ ệ ặ ử c th nghi m, tính chân th c c a m nh đ là không ch c vàng b ng l a). M c dù tr ề ệ ệ ử c m nh đ này là đúng hay sai. ch n nh ng sau th nghi m chúng ta luôn luôn bi ậ ạ ượ ệ ằ ệ c i đ Tuy nhiên có nh ng m nh đ không th ki m ch ng b ng th nghi m l p l

ơ ụ ệ ả ử ệ đ ế ổ ự ế ệ

ử ắ ủ ườ ắ ng v m c đ không ch c ch n c a m nh đ và s đo l ủ ư ả ử ụ ng này đ ấ ủ ế ườ ủ ậ ổ ượ ệ i. Tuy v y nh ng ng ủ ừ ủ ậ ậ ậ ằ ả ị ố ộ ọ ươ ủ ề ể ủ ủ ư ị ạ ươ ệ ạ ọ ề ử ụ ư ệ ư ẽ (thí d nh m nh đ “s d ng vitamine A b sung s làm gi m nguy c ung th ” không th ể ch ng minh ở ế ượ ứ c dù chúng ta có th c hi n đ n 10 th nghi m lâm sàng b i ữ ớ ả ố ử ả ủ ệ vì k t qu c a 10 th nghi m này không cho k t qu gi ng h t nh nhau). V i nh ng ộ ố ề ệ ướ ề ệ c hay sau th nghi m chúng ta đ u ph i s d ng m t s đo m nh đ này thì tr ọ ề ứ ộ ườ ố ề ệ c g i là xác l ế ậ ộ ề ở ỗ ể ủ ấ ch xác su t c a m nh đ là m t su t ch quan. Khuy t đi m c a các ti p c n này ườ ậ ị ữ con s ch quan và thay đ i theo nh n đ nh c a t ng ng i ộ ố ấ ủ ng h nó l p lu n r ng dù có ch p nh n tính ch quan hay không, trong cu c s ng và ủ ng pháp này là khoa h c nhi u qu đ nh c a chúng ta là ch quan và u đi m c a ph ơ ở ủ ủ ả ị ủ nó minh b ch hoá tính ch quan c a các gi đ nh. Đ nh nghĩa ch quan là c s c a ố ng pháp Bayes (Bayes method) trong th ng kê h c hi n đ i. ph

ộ ậ ng xác đ nh và khác nhau. Nh ng đ i t ợ ượ ọ ố ượ ậ ợ ợ ệ ằ ị ườ ượ ố ượ ữ ng ữ c kí hi u b ng ch in và có ng đ ề ữ ầ ử ủ ậ c a t p h p. T p h p th ồ ả ể ể ị ằ 2. Nhắc lại về lí thuyết tập hợp ồ M t t p h p là g m nhi u nh ng đ i t c g i là ph n t này đ th bi u th b ng gi n đ Venn.

Hình 1. Giản đồ Venn (Venn diagrams)

ắ ế ụ ế ợ ộ ớ ộ ậ ộ ư ậ ể ả ầ ử ế ự ố k t cu c nh v y chúng ta có xây d ng các ế ố

ướ ế ố ỉ c, các bi n c ch có ầ ử ộ c g i là bi n c s c p)

ấ ả ế ể ọ ư ế ố ơ ấ ố ế c g i là bi n c toàn th khi t ế ụ t c các k t c c

Thí d khi ta tung con xúc x c có th x y ra 6 k t cu c (1, 2, 3, 4, 5, 6). Do bi n c (event) là m t t p h p v i các ph n t bi n c sau: E1={1}; E2={2}; E3={3}; E4={4}; E5={5}; E6={6} (nh đã quy ộ ế ụ ượ ọ m t ph n t là m t k t c c đ ượ ố S={1, 2, 3, 4, 5, 6} (bi n c này đ ế ố ầ ử ủ ề c a bi n c này) đ u là các ph n t ẵ ặ ế ố A= {2,4,6}: A là bi n c ra m t ch n.

ể ỉ ị c a ử ụ ộ ụ ụ ệ ợ ị ầ ử ủ X và kí hi u xệ X đ ch r ng x không ể ỉ , ta có th ể ỉ ằ Kí hi u ệ x X đ ch đ nh x là m t ph n t ầ ử thu c t p h p X. Áp d ng thí d trên và s d ng kí hi u ch đ nh ph n t vi ộ ậ tế

1 E1; 1 S; 1 E2 ; 1 A

ộ ậ ủ ệ ằ ậ ợ ợ ˙ B )g m nh ng ữ ồ ủ ậ ợ ầ Ph n giao c a hai t p h p A và B là m t t p h p (kí hi u b ng A ầ ử ph n t chung c a hai t p h p.

ầ ợ ủ ậ ằ ợ ữ ồ ¨ B) g m nh ng ph n t ầ ử ậ ặ ợ

ợ ậ ẵ ủ ặ ụ ế ậ ợ ậ ặ ắ Ph n h p c a hai t p h p A và B là t p h p (kí hiêu b ng A ặ có m t trong t p h p A ho c có m t trong t p h p B. ợ ủ Thí d : N u A là t p h p c a các m t ch n c a con xúc x c.

A= {2,4,6}

ặ ằ ặ ớ ế ậ ợ ơ N u B là t p h p các m t l n h n ho c b ng 3

B = {3,4,5,6} A¨ B = {2,3,4,5,6} A˙ B = {4,6}

ư ể ề ể ặ ặ ộ

4. Nhắc lại về đại số mệnh đề ộ ệ M t m nh đ (proposition) là m t phát bi u ho c đúng ho c sai nh ng không th cùng đúng và cùng sai.

ề ệ ể ể ụ

ế

ự ố ụ ấ

ấ

ứ ề ể ầ i: Hai phát bi u đ u (a và b) là m nh đ và phát bi u th ba (c) không ỉ ộ ệ

Thí d : Trong 3 phát bi u sau, phát bi u nào là m nh đ a. 42 chia h t cho 7 ấ b. Trái đ t là hành tinh duy nh t trong vũ tr có s s ng ữ ậ c. Mua hai vé xem đá banh tr n đ u gi a Manchester United và Leed United ệ ể ả ờ Tr l ả ph i là m nh đ mà ch là m t m nh l nh. ệ ệ ề ộ ằ ề ừ và thì chúng ta có m t m nh đ thì ệ ệ ế ợ ỉ

ệ ệ ề ụ ệ ề ệ ề Khi chúng ta k t h p hai m nh đ con b ng t ề ế m nh đ này ch đúng n u hai m nh đ con đ u đúng: ề ệ

ế

ố

ệ ề ệ ộ ỉ ề i: M nh đ (a) là đúng còn m nh đ (b) sai vì ch có m t m nh đ con ề ố ố ệ i (91 là s nguyên t ) sai.

ừ ề ệ ệ ề ộ hay thì chúng ta có m t m nh đ thì ế ợ ỉ ề ề ệ ề ệ

ụ ề ệ ệ ề

ế

ố

ệ ề ề ệ ệ ề ả ề i: M nh đ (a) là đúng vì c hai m nh đ con đ u đúng. M nh đ (b) đúng vì có ệ ủ ề ề ề Thí d : Trong hai m nh đ sau, m nh đ nào là m nh đ đúng. ế 42 chia h t cho 7 và 100 chia h t cho 10 ố 2 + 2 = 4 và 91 là s nguyên t ề ả ờ Tr l ạ ệ ủ c a nó là đúng. M nh đ con còn l ằ Khi chúng ta k t h p hai m nh đ con b ng t ế m nh đ này ch sai n u hai m nh đ con đ u sai: ề ệ Thí d : Trong hai m nh đ sau, m nh đ nào là m nh đ đúng. ế 42 chia h t cho 7 và 100 chia h t cho 10 ố 2 + 2 = 4 và 91 là s nguyên t ả ờ Tr l ộ m t m nh đ con c a nó là đúng (2+2 = 4).

ấ ầ ự ế ỉ nh ng t ề ả c xây d ng n n t ng tiên đ t ờ ế ủ ế ọ ự ể ủ ộ ẽ ề ề ươ ấ ự ằ ọ ự ủ ụ ả ế ớ i th c hay không. Nhà toán h c Nga ấ ự ấ ế ự ườ ề ể ư

ệ ử ế ợ ọ ố ế ể ế ụ ủ ả ộ ớ ấ

ộ ớ ấ ố ỗ ộ ố ế ố c g i là xác su t gán cho m i bi n c A thu c l p M m t con s không

ế ố ơ

ể ằ ấ ả i t c ạ ừ ươ ấ ủ ự ế ố 1, A2,… là lo i tr t ổ ủ

j, thì P(A1 A2 …) = P(A1) + P(A2) + ấ ỗ ẫ ng h l n nhau thì xác su t c a s xu t ấ ơ ẻ ố ằ ơ ả ượ ứ ọ c g i là nguyên lí 5. Nến tảng tiên đề của lí thuyết xác suất ư ượ Vào đ u th k 20, lí thuy t xác su t đã đ ự các ngành khác c a toán h c. Nh đó s phát tri n c a lí thuy t xác su t d a trên các ữ ặ ỉ tiên đ này ch ph thu c vào tính ch t ch logic (logic correctness) dù r ng nh ng ị Kolmogorov là đ nh lí c a nó có ph n ánh th gi ệ ủ ườ i đã có công xây d ng trình bày các bài toán xác su t theo các khái ni m c a lí ng ượ ế thuy t đo l c trình ng và các tiên đ đ xây d ng lí thuy t xác su t do ông đ a ra đ bày sau đây: ậ N u chúng ta kí hi u S là t p h p các k t c c c a phép th (còn g i là bi n c toàn ế ố th ), M là m t l p các bi n c và M tho 3 tính ch t sau: (i) S M; (ii) n u ế A M, thì Ac M; (iii) n u ế A1, A2, . . . M, thì A1 A2 M. ượ ọ Hàm s P đ ấ âm và có 2 tính ch t sau: ị ấ ủ 1. P(S) = 1 (Xác su t c a bi n c toàn th b ng đ n v ) 2. N u ế A1, A2, . . . M và Ai Aj = Ø cho t ế … (N u các bi n c A hi n Aệ 1 hay A2 hay .. b ng t ng c a các xác su t đ n l ). ề ứ Tiên đ th hai là c b n cho các ch ng minh trong th ng kê và đ ộ c ng tính (principle of additivity)

ả ổ ợ ứ i tích t ị ự ữ ạ ề ủ ử ệ ạ ệ ố ề ệ ợ ị ỉ ọ ự h p (Combinatorics) là lãnh v c toán nghiên c u v các bài toán ch n l a, trong h th ng h u h n. Trong ph m vi c a tài li u này chúng ta ổ ợ ỉ h p 6. Giải tích tổ hợp Gi hoán v và các toán t ch trình bày các khái ni m v hoán v (arrangment), ch nh h p (permutation) và t (combination).

ắ ạ ề

ượ ọ ừ ượ ố c đ c là n giai th a và đ ệ c kí hi u là n! ừ 6.1 Nh c l i v giai th a (factorial) ớ Giai th a c a n (v i n là s nguyên) đ

ườ ể ế ộ ắ ắ ộ t m t cách v n t t tích m t chu i các ch s ữ ố ứ ệ ằ ỗ 2 3 4 5 6 7 b ng kí hi u 7!

ế ụ ằ ừ ủ n!=n.(n1).(n2)...1 ướ c, 0! =1. Theo quy ừ ệ ờ i ta có th vi Nh kí hi u giai th a ng ể ệ ể ụ liên ti p. Thí d : Th hi n bi u th c 1 ứ ể ể ệ Thí d : Th hi n bi u th c 3 4 5 6 7 b ng

ứ ị ạ ể ứ ắ ố ế có 3 v trí đ treo 3 b c tranh A, B, C. S cách s p x p 3 b c tranh vào 3 v ị ậ c tính theo cách l p lu n sau:

ể ấ ả

ể ọ ể ọ ậ ứ ứ

ạ i, v y ậ ở ị ị ị ị ể ộ ỉ ỉ 6.2 Hoán v ị ế Tr m y t ể ượ trí có th đ ố V trí s 1 có th ch n 1 trong 3 b c tranh đ treo, nh v y có t ố V trí s 2 có th ch n 1 trong 2 b c tranh còn l ấ ố V trí s 3 ch còn duy nh t m t tranh đ treo, v y ư ậ ọ t c 3 cách ch n ọ ậ ở ị v trí này có 2 cách ch n ọ v trí này ch có 1 cách ch n

· ế ắ ố ị ứ S cách s p x p 3 b c tranh vào 3 v trí = 1 2 · 3 = 3!

ế ắ ổ ố ượ ị ượ ọ ng vào n v trí khác nhau còn đ c g i là ủ ị ố ộ M t cách t ng quát s cách s p x p n đ i t ố ượ ố s cách hoán v (arrangments) c a n đ i t ằ ng b ng n!.

ỉ ợ ổ ợ

ọ ố ượ ố ượ ng t ỉ ợ ỉ ọ ướ ế n đ i t ế ng cho tr ể ế ế ổ ợ ố ượ ượ ệ c. Vi c ứ ự ứ ọ

ạ ụ ả ử ổ ợ ẽ ượ h p s đ c minh ho trong thí d sau. Gi ố ạ ệ

ị ệ ế ầ ạ ố ị ồ ề ố ọ ộ ướ ố ể ọ ệ ạ ả ộ c li nh sau:

AB DA BD DC

AC EA BE EC ệ ọ ộ ợ ố ợ ỉ ỉ t kê ợ ọ ư ậ ọ ợ ỗ M i cách ch n l a li ượ đ ượ đ ng ch n 2 nh sau:

h p 6.3. Ch nh h p và t ừ ề ổ ợ ợ h p đ u là cách ch n k đ i t Ch nh h p và t ượ ọ ng đ ch n các đ i t c g i là ch nh h p (Permutation) n u chúng ta đ ý đ n th t ọ ọ ự l a ch n và đ h p (Combination) n u chúng ta không quan tâm đ n th c g i là t ự ự l a ch n. t ệ ề ỉ ợ s chúng ta Khái ni m v ch nh h p và t ố ượ t (distinguishable objects) là các lo i thu c A (antibiotic), B có 5 đ i t ng phân bi ả ử ể s đ (beta agonist), C (corticosteroid), D (bronchoDilator) và E (expectorant). Gi ạ ả đi u tr cho b nh nhân b hen ph qu n chúng ta c n ph i ch n 2 lo i thu c và hai lo i ố ờ thu c này không dùng đ ng th i (m t thu c dùng tr c, m t thu c dùng sau). Khi đó ở ư ố ượ các cách đ ch n 2 lo i thu c đ t kê CA BA BC AE EB DB DE CE ọ ự ở trên đ ỉ ố c g i là s ch nh h p 5 đ i t ệ c kí hi u là ể ọ ể ọ AD CB CD ED ượ ố ượ ể ứ ấ ứ ậ ố ượ ố ượ ố ượ ầ ọ c g i là m t ch nh h p. S các ch nh h p này ọ ng ch n 2 (permuations of 5 objects taken 2) và ố ượ ố ỉ 5P2. L p lu n đ tính s ch nh h p 5 đ i t ọ ng th nh t chúng ta có 5 cách ch n ng th hai sau khi ch n đ i t Đ ch n đ i t Đ ch n đ i t ng đ u tiên chúng ta có 4 cách

4 = =

nPr (s ch nh h p n đ i t ng có phân bi

ứ ộ ố ố ỉ ọ ợ ệ ọ ọ ố ượ ứ ự ượ đ t th t ng ch n r) là s cách ể c ch n (đ giao các ng ch n ra r đ i t ậ ệ ị ch nọ Do đó 5P2 = 5 · ổ M t cách t ng quát, công th c tính ố ượ ố ượ trong n đ i t ụ nhi m v hay nh n lãnh các v trí khác nhau) là: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Pr (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n ! rn )1 rn rn ( )! nn ( () ( 1 )1 1 (3)

ị ộ ệ ụ ả ử ể ề ờ ầ ồ ả ấ ổ ợ ả s đ đi u tr cho b nh nhân b hen ph qu n ổ ố ổ ị ế ườ ợ ng h p này t ư ổ ợ h p CA và s t ằ ố ỉ ấ ượ ị ủ ợ ồ ồ h p AC cũng đ ng nh t nh t ọ ố ượ c ch n. ng đ

ọ ứ ố ượ ệ ọ ậ ọ ố ổ ợ nCr (s t ng có không phân bi h p n đ i t t th t ố ượ ứ ự ượ đ ố ng ch n r) là s cách trong ẽ c ch n (và s nh n lãnh ộ ị ệ Chúng ta hãy xét m t thí d khác. Gi ố ọ ạ chúng ta c n ph i ch n 2 lo i thu c và cho dùng đ ng th i. Trong tr ư ổ ợ ợ h p BA, t h p AB đ ng nh t nh t ố ố ợ h p b ng s ch nh h p chia s s hoán v c a 2 đ i t Do đó 5C2 = 5C2 /2! = = ổ ộ M t cách t ng quát, công th c tính ố ượ ng ch n ra r đ i t n đ i t ụ ộ cùng m t nhi m v hay cùng m t v trí ) là: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cr (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) rn rn r 1 r n ! rrn )! ! ( ( () ( )1 1 nn ( )1 )1 1 (4)

r hay ệ kí hi u là C ừ ấ ọ c g i là t ch p hay cho t ạ ề ầ ớ Tuy nhiên ph n l n tài li u hi n đ i đ u quy ể đ tránh r m rà.

ổ ợ ể ượ ư ợ ụ ổ ợ ệ L u ý: T h p và ch nh h p có th đ c kí hi u khác. Thí d t ấ h p n l y r còn đ ượ c (cid:0) (cid:0) ỉ n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) r ệ ổ ợ . M t s tài li u nêu rõ t h p là t ậ ượ ố ươ ậ ộ ố l y do đó nCr đ ệ ệ ổ ợ h p không l p ch p r c a n đ i t ướ ổ ợ c t ừ ặ ổ ợ h p không l p và dùng t ủ ặ ng. ặ ổ ợ h p không l p h p có nghĩa là t ườ

ấ ộ ả ế công c ng có n=23 gi ng viên và nhân viên, hãy tính xác su t P trong b ộ ộ ườ

n cách x y ra ngày sinh c a n ng ợ ườ ườ

ể ơ ề ỗ ỉ ườ ộ ẫ ộ ủ ả ườ ọ ủ ỉ ấ ấ ọ ườ ấ đ nh là m t năm ch có 365 ngày và m i ngày đ u có ư i ng u nhiên là nh nhau. Khi đó m t nhóm n i đó. Cách ch n trong 365 ngày sinh ộ i có ngày sinh hoàn toàn khác i khác nhau chính là ch nh h p 365 ch n n. do đó Xác su t trong b i trùng ngày sinh = 1 – xác su t n ng 6.4 Bài toán ngày sinh nh tậ B môn Y t ấ môn ít nh t có 2 ng i trùng ngày sinh. ả ị ả Đ đ n gi n, chúng ta hãy gi ấ ộ xác su t là ngày sinh c a m t ng ườ ẽ ng i s có 365 ể đ gán cho n ng môn ít nh t 2 ng nhau.

ấ ộ ế ấ ộ ườ công c ng có ít nh t 2 ng i trùng

ấ ậ ng ng i gia tăng thì xác su t có ít nh t 2 ng i cùng ngày sinh nh t cũng ườ ố ụ ể ườ ư Thay n=23, chúng ta có xác su t trong b môn Y t ngày sinh là 0,5 ố ượ Khi s l gia tăng. Đáp s c th cho các tr ấ ợ ượ ng h p đ ườ c trình bày nh sau:

S ng ố ườ i 9 23 42 50

ấ ườ XS có ít nh t có 2 ng i trùng ngày sinh 0,0946 0,5073 0,9140 0,9704

ố S chênh 0,1045 1,0296 10,6320 32,7537

ỉ ệ T l cá 1:10 1:1 10:1 33:1

Bài tập

ị ậ

ổ ệ ượ ọ ơ ấ ộ ộ ệ ả ử ế ệ ệ ả c trình bày trong b ng ấ s n u ta ch n m t nhân viên trong b nh vi n., tính xác su t:

ơ ng ề ưỡ ổ ừ ế 26 đ n 35 ng tu i t

ấ Bài t p đ nh nghĩa xác su t 1. M t b nh vi n có c c u nhân viên theo tu i và công tác đ 1. Gi a nhân viên đó là bác sĩ ớ ổ b nhân viên đó là bác sĩ l n h n 35 tu i ề ưỡ c nhân viên đó là đi u d ộ d nhân viên đó là m t đi u d Theo công th cứ 1a.

P E (

) (cid:0)

m N

ớ ố ố ậ ợ i.

ọ ẫ ế ố ộ ế ố ệ ế ố ậ ợ ộ ư ậ ố ế ố ậ ợ i m = 105.

ộ

ọ ượ ấ ự ươ ổ ớ ơ ộ c m t bác sĩ l n h n 35 tu i là 75/1766 = 0,042 = ta có xác su t ch n đ

ề ưỡ ọ ượ

ng là 1220 /1766 = 0,691 = 69,1% ề ộ c m t nhân viên đi u d ượ ổ ừ ưỡ ấ ộ c m t nhân viên đi u d ế 26 đ n 35 = ng tu i t ể V i N là s các bi n c có th và m s các bi n c thu n l ố ế ể ế ọ ự Khi ch n ng u nhiên vi c ch n l c có th k t cu c theo 1766 cách khác nhau (S bi n ố ấ ệ ể c có th N=1766). Trong vi c tính xác su t nhân viên đó là bác sĩ, bi n c thu n l i là ế ố ọ ượ c m t trong 105 bác sĩ. Nh v y s bi n c thu n l bi n c ch n đ ọ ượ c m t bác sĩ là 105/1766=0,059 = 5,9% Ta có xác su t ch n đ ấ 1b. T ng t 4,2% ấ 1c. Xác su t ch n đ 1d. Xác su t chon đ (375+442)/1766 = 817/1766 = 0,463 = 46,3%

ậ ề ậ ợ ệ ề Bài t p v t p h p và m nh đ

ủ ệ

ổ

ệ

ả

B ng 1. Nhân viên c a b nh vi n phân theo tu i và công tác

ổ ố Công tác A1 T ng s £ A4 >35 25 A2 26 30 A3 31 35

B1. Bác sĩ 0 5 25 75 105

ụ ụ ệ B2. Ph c v phòng thí nghi m 20 30 35 35 120

ưỡ ụ ụ B3. Ph c v dinh d ng 3 6 6 10 25

ụ ụ ồ ơ ệ B4. Ph c v h s b nh án 7 15 8 12 42

ụ ụ ề ưỡ B5. Ph c v đi u d ng 200 375 442 203 1220

ượ B6. D c sĩ 1 12 8 3 24

B7. Quang tuy nế 4 10 19 12 45

ụ ụ ề ị B8. Ph c v đi u tr 5 25 15 10 55

ữ 35 50 25 130 B9. Nh ng ngành khác 20

ổ ố T ng s 260 513 608 385 1766

ờ ậ ả ằ ữ ự ữ ợ ậ i nh ng t p h p sau đây. Nh ng t p i thích b ng l ầ ử :

ề ề

ể ệ ệ ạ ộ ỗ Aedes ố ệ ủ ả 1. D a vào s li u c a b ng 1. Gi ợ h p đó có bao nhiêu ph n t A4˙ B3 ; B5˙ A2 ; B3¨ A4 ; (A4¨ A3)˙ B3 ệ ệ 2. Trong các m nh đ sau, m nh đ nào là đúng 2+2 là 4 hay Darwin là con khỉ B nh AIDS do m t lo i virus gây ra và b nh AIDS có th lây lan qua mu i aegypti

Bài gi

ậ ả ợ i thích các t p h p

ổ ậ ữ ấ ưỡ ng >35 tu i. n(A4

ậ ữ ổ ừ ề ưỡ ế ng tu i t 26 đ n 30. n(B5

ợ ườ ưỡ ữ ấ ˙ B3) = 10 ˙ A2) = 375 ổ ng hay trên 35 tu i. i nhân viên c p d

ổ ừ ưỡ ữ ấ ợ ở ng tu i t 31 tr lên.

ệ ệ ề ề ề ệ ệ ộ

ủ ề ề ệ ộ ệ ỗ ệ ệ iả 1. Gi A4˙ B3 là t p h p nh ng nhân viên c p d ợ B5˙ A2 là t p h p nh ng đi u d ợ B3¨ A4 là t p h p nh ng ng ậ n(B3¨ A4)=385 +25 10 = 400 (A4¨ A3)˙ B3 là t p h p nh ng nhân viên c p d ậ N{(A4¨ A3)˙ B3}=16 ủ ề 2. M nh đ (a) là m nh đ hay. M nh đ này đúng do m t m nh đ con c a nó là đúng (2+2 =4), ệ ề ề M nh đ (b) là m nh đ và. M nh đ này sai do m t m nh đ con c a nó ể (b nh AIDS có th lây lan qua mu i Aedes aegypti ) là sai.

ợ ậ ề ỉ ổ ợ

h p ị ệ ắ ệ ậ ạ ộ ế ằ t r ng có ệ ả Bài t p v ch nh h p, t ế 1. M t nhân viên v t lí tr li u s p k ho ch làm vi c trong ngày. Anh ta bi 7 công vi c ph i làm trong ngày đó.

ể ế ể ố ệ a. N u anh ta có th ti n hành công vi c theo ý mu n, thì anh ta có th có bao ế nhiêu cách s p x p?

ế ắ ế ỉ ổ ệ ổ ề b. N u anh ta quy t đ nh ngh bu i chi u và ch làm 3 công vi c vào bu i sáng ế ế ị ắ

ộ ư ủ ẫ ỉ ố ẫ ẫ ọ ỏ ấ ể ể ẫ

ườ ệ ệ s trong phòng thí nghi m có 3 công vi c khác nhau ph i làm và có 5 ng i làm ườ ệ ỏ ỉ thì anh ta có bao nhiêu cách s p x p? ệ 2. M t nhân viên mu n làm xét nghi m 4 m u máu nh ng bà ta ch có đ hóa ch t đ ệ xét nghi m cho 3 m u mà thôi. H i có bao nhiêu cách ch n 3 m u máu trong 4 m u đ làm xét nghi m?ệ ả ả ử 3. Gi ể ệ vi c đó. H i có bao nhiêu cách đ giao 3 công vi c này cho 5 ng i?

Bài gi

ậ ế ườ ắ ệ ể · 5 · 6 · 1= 5040 cách.

ỉ ế ệ 4 · ủ ờ ệ ọ ẽ ượ ắ ả ừ 7 ế c s p x p khác ệ c ch n s đ ọ ư ậ ể ắ

ượ ế 1 / 4 · ố ế 6 · 5 = 210 1 = 7 · 2 · 4 · 3 · 2 · 6 ·

ườ ẫ ấ i nhân viên này mu n ch n t ệ ọ

ệ ẫ ậ ố 1 / (1 · 2 · 3 · 3 · 2 · iả ố ị ệ i nhân viên v t lí tr li u này mu n liên k t 7 công vi c khác nhau 1a. Do ng ạ ờ ế ể ế vào 7 th i đi m khác nhau trong k ho ch công tác, anh ta có th có s p x p 2 · 3 · ệ công vi c theo 7!=7 ể 1b. N u anh ta ch còn có đ th i gian đ làm 3 công vi c, anh ta ph i t công vi c ch n ra 3, 3 công vi c này sau khi đ ạ nhau. Nh v y, s k ho ch anh ta có th s p x p là: 7P3 = 7!/(73)! = 7 · 3 · 5 · cách. ẫ ố ọ ừ 4 m u máu l y 3 m u, 3 m u máu này 2. Ng ọ ượ ề ệ t (đ u đ sau khi ch n là không phân bi c làm xét nghi m). V y s cách ch n 4C3 = 4!/(43)!3! = 4 · ể ẫ 3 m u máu đ xét nghi m là 1) = 4

ọ ườ ườ ệ ẽ i ch n ra 3, và 3 ng

5P3 = 5!/(53)! = 5 ·

i này s có nh ng công vi c khác nhau. S 3 · 1 / 3 · ữ 4 · ố 1 = 2 · 2 · ừ 3. T 5 ng ể ạ ế k ho ch có th phân công là: 60