Bài giảng Xác suất thống kê: Biến ngẫu nhiên - Nguyễn Ngọc Phụng

Bieán ngaãu nhieân

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

ÑT: 0989 969 057 E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com phungvl@yahoo.com

10-10-2010

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Bieán ngaãu nhieân

Ñònh nghóa

Bieán ngaãu nhieân laø moät pheùpï töông öùng moãi phaàn töû ω cuûa Ω vôùi moät soá thöïc.

Taäp giaù trò cuûa X ñöôïc kí hieäu laø X(Ω) Ví duï:

1 Tung moät con xuùc xaéc, goïi X laø soá chaám cuûa con xuùc xaéc. Ta coù

X(Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

2 Tung hai con xuùc xaéc, goïi X laø toång soá chaám cuûa hai con xuùc xaéc. Ta

coù X(Ω) = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Phaân loaïi bieán ngaãu nhieân

Döïa vaøo taäp giaù trò cuûa bieán ngaãu nhieân, ta chia bieán ngaãu nhieân laøm 2 loaïi:

Ñònh nghóa (Bieán ngaãu nhieân rôøi raïc)

Bieán ngaãu nhieân maø taäp giaù trò cuûa noù laø moät taäp höõu haïn hoaëc voâ haïn ñeám ñöôïc, ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân rôøi raïc.

X laø bnn rôøi raïc ⇔ X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn} hoaëc X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn, . . .}.

Ñònh nghóa (Bieán ngaãu nhieân lieân tuïc)

Bieán ngaãu nhieân maø taäp giaù trò cuûa noù laø moät taäp voâ haïn khoâng ñeám ñöôïc, ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Phaân loaïi bieán ngaãu nhieân

Ví duïï:

1 Tung 3 con xuùc xaéc caân ñoái. Goïi X laø toång soá chaám cuûa 3 con xuùc

xaéc. Ta coù X(Ω) = {3..18}.

2 Moät ngöôøi neùm boùng vaøo roå töø vò trí caùch roå 5m ñeán khi naøo vaøo roå thì ghi nhaän laïi soá laàn neùm boùng cuûa mình (X). Ta coù X(Ω) = N∗. 3 Ño möïc nöôùc bieån ôû moät khu vöïc cho thaáy noù chæ dao ñoäng töø 1m ñeán 1,2m so vôùi moät moác coá ñònh. Goïi X laø möïc nöôùc bieån (m) ôû khu vöïc ñoù taïi moät thôøi ñieåm ngaãu nhieân. Khi ñoù X(Ω) = [1; 1, 2].

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc

Ñònh nghóa

Phaân phoái xaùc suaát cuûa X coøn ñöôïc goïi laø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X, cho bieát khaû naêng X nhaän moãi giaù trò trong X(Ω) töông öùng.

· · · · · · · · · · · · X x1 P p1 x2 p2 xn pn

vôùi P(X = xi) = pi

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc

Tính chaát (1) X pi = p1 + · · · + pn + · · · = 1.

i

Tính chaát (2) X P(a ≤ X < b) = pi, xi ∈ X(Ω).

a≤xi

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc

Ví duï:

1 Moät hoäp saûn phaåm coù 6 chính phaåm vaø 4 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp ra 2 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Goïi X laø soá pheá phaåm laáy ñöôïc. a) Tìm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. b) Tính P(1 ≤ X ≤ 2).

2 Moät ngöôøi neùm boùng töø vò trí caùch roå 5m cho ñeán khi neùm vaøo roå

thì döøng. Bieát raèng caùc laàn neùm ñoäc laäp vôùi nhau vaø khaû naêng neùm boùng vaøo roå ôû moãi laàn neùm laø 0,3. Goïi X laø soá laàn ngöôøi ñoù ñaõ neùm. a) Tìm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. b) Tính xaùc suaát ngöôøi ñoù phaûi neùm ít nhaát 3 laàn.

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát

(Tröôøng hôïp lieân tuïc)

Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc X ñöôïc ñaëc tröng bôûi haøm maät ñoä xaùc suaát f(x) coù caùc tính chaát sau:

f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R

+∞ Z

f(x)dx = 1.

−∞

b Z

P(a ≤ X ≤ b) = f(x)dx.

a

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Bieán ngaãu nhieân lieân tuïc Phaân phoái xaùc suaát

Ví duï:

Cho bieán ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát:

f(x) = (cid:26) 0 cx , x /∈ [0; 1] , x ∈ [0; 1]

a) Xaùc ñònh c. b) Tìm P(−1 ≤ X ≤ 1

2 ).

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Bieán ngaãu nhieân Haøm phaân phoái xaùc suaát

Ñònh nghóa (Haøm phaân phoái xaùc suaát)

Haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân X, kí hieäu laø FX(x) hay F(x), laø haøm ñöôïc xaùc ñònh bôûi:

F(x) = P(X < x), x ∈ R

Haøm phaân phoái xaùc suaát cho bieát khaû naêng X nhaän giaù trò beân traùi x. Neáu X laø bnnrr thì

X X F(x) = P(X = xi) = pi.

xi

xi

x R

Neáu X laø bnnlt thì F(x) = f(t)dt.

−∞

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Bieán ngaãu nhieân Haøm phaân phoái xaùc suaát

Ví duï:

1 Cho bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X coù baûng phaân phoái xaùc suaát nhö sau:

1 0, 5 2 0, 3 0 X P 0, 2

a) Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. b) Veõ ñoà thò cuûa haøm phaân phoái xaùc suaát vöøa tìm ñöôïc.

2 Bieán ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát laø:

. Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. f(x) = (cid:26) 2x 0 , x ∈ [0; 1] , x /∈ [0; 1]

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ

Bieán ngaãu nhieân

Phaân phoái xaùc suaát

Bieán ngaãu nhieân Haøm phaân phoái xaùc suaát

Tính chaát (1) X laø bnn lieân tuïc ⇔ F(x) lieân tuïc treân R.

Tính chaát (2)

F(−∞) = 0, F(+∞) = 1.

Tính chaát (3)

P(a ≤ X < b) = P(X < b) − P(X < a) = F(b) − F(a).

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ