Bài giảng Xác suất thống kê - Trường ĐH Sài Gòn

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:123

Thêm vào BST

Báo xấu

46
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê Đại cương về Giải tích tổ hợp; Đại cương về Xác suất; Biến ngẫu nhiên; Một số phân phối xác suất quan trọng; Lý thuyết mẫu và ước lượng tham số; Kiểm định giả thuyết thống kê. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê - Trường ĐH Sài Gòn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -----------------O0O----------------- Bài giảng XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giảng viên: Phan Trung Hiếu Mail: sguhieupt@gmail.com Facebook: Hieu Pt Lưu hành nội bộ 3/2015 1
MỤC LỤC Trang CHƯƠNG 0. ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP.……………...…………1 I. Tập hợp……………………………………………………………………………………....2 II. Các phép toán tập hợp…………………………………………………………………..…..3 III. Các tính chất………………………………………………………………………………..5 IV. Các quy tắc đếm……………………………….…………………………………………...5 V. Giải tích tổ hợp………………………………………………………………………….......6 VI. Một vài ví dụ tổng hợp………………………………………………………………...…...7 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT……………………….......…….…9 I. Hiện tương ngẫu nhiên………………………………………………………………….....…9 II. Phép toán trên các biến cố……………………………...…………...…………..…………10 III. Quan hệ giữa các biến cố…………………………………...……………..…………...…11 IV. Các tính chất của biến cố ……………...………………………………..……………..…13 V. Nhóm đầy đủ các biến cố…………………………………..………..…………………….13 VI. Định nghĩa xác suất…………………………………………...……………………….….14 VII. Các công thức tính xác suất………………………………..……………………….……18 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN……………………………………….……22 I. Định nghĩa…………………………………………………………….…………...……….22 II. Biến ngẫu nhiên rời rạc…………………………………………………...……...………..22 III. Biến ngẫu nhiên liên tục…………………………………………...…………………..….23 IV. Hàm phân phối (tích lũy)………………………………………..………..……………....24 V. Các tham số đặc trưng…………………………………..……………………………..…..26 VI. Định nghĩa biến ngẫu nhiên n chiều……………..………………………………….……30 VII. Biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc…………………………..……………………...………30 VIII. Biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục……………………….……………………………….33 IX. Hàm của các biến ngẫu nhiên……………………………………..………………..…….33 X. Các tham số đặc trưng khác………………………………..……………………..……….35 CHƯƠNG 3. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT…….……..…37 I. Phân phối nhị thức B(n,p)…………………………………………………………………..37 II. Phân phối siêu bội H(N,M,n)……………………………...…………...………………..…39 III. Liên hệ giữa B(n,p) và H(N,M,n)…………………………………...………..…………...40 IV. Phân phối Poisson P(  )……………...………………………………...…………….......40 V. Liên hệ giữa B(n,p) và P(  ) ………………………………………………..……...…….41 VI. Phân phối chuẩn N(  , 2 )……………………………………………...……………..….42 VII. Liên hệ giữa B(n,p) và N(  , 2 )……………………….………….…………….………43 VIII. Phân phối đều U(a,b)…………………………………………………………………...44 IX. Phân mối mũ E(  )………………………………………………………………….……45
CHƯƠNG 4. LÝ THUYẾT MẪU & ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ………..……46 I. Tổng thể và mẫu…………………………………………………………….……………...46 II. Các đặc trưng của tổng thể…………………………………………………...……. ..........46 III. Các đặc trưng của mẫu…………………………………………...…………………....….46 IV. Lý thuyết ước lượng………………………………………..………..…………………...49 V. Ước lượng điểm…………………………………..…………………………………...…..49 VI. Ước lượng khoảng…………………………………………………………………..……49 VII. Ước lượng trung bình của tổng thể…………………………..……………………..……50 VIII. Ước lượng tỉ lệ của tổng thể……………………….……………………………...…….51 IX. Ước lượng phương sai của tổng thể……………………………………..…………….….53 X. Các bài toán liên quan đến ước lượng trung bình………………………………..…….….53 XI. Các bài toán liên quan đến ước lượng tỉ lệ………………………………..…………..….53 CHƯƠNG 5. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ………………..……55 I. Các khái niệm…………………………………………………………….………....……...55 II. Các loại sai lầm trong kiểm định…………………………………………………...……...56 III. Kiểm định tham số…………………………………………...…………………..........….56 IV. So sánh trung bình với một số………………………………………..………..………....57 V. So sánh tỉ lệ với một số…………………………………..………………………………..59 VI. So sánh hai trung bình……………………………………………………………………60 VII. So sánh hai tỉ lệ…………………………..………………………………………………61 DẠNG BÀI THỐNG KÊ.………………………..……………..…………..……63 BÀI TẬP CHƯƠNG 0.………………………..……………..……………..……72 BÀI TẬP CHƯƠNG 1.………………………..……………..……………..……77 BÀI TẬP CHƯƠNG 2.………………………..……………..……………..……86 BÀI TẬP CHƯƠNG 3.………………………..……………..……………..……96 BÀI TẬP CHƯƠNG 4.………………………..……………..…………………103 BÀI TẬP CHƯƠNG 5.………………………..……………..…………………104 CÁC BẢNG SỐ THÔNG DỤNG.………………………..……………..…..…107 TÀI LIỆU THAM KHẢO.………………………..…………....………..…..…120
3/4/2015 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): XÁC SUẤT Dự lớp đầy đủ: 10 điểm THỐNG KÊ Vắng 1 buổi không phép: trừ 1 điểm. Chỉ duy nhất 1 lần có phép. Giảng viên: Phan Trung Hiếu -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3): 45 tiết Tự luận, không được sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. LOG O 2 Nội dung: Tài liệu học tập: Chương 0: Đại cương về Giải tích tổ hợp. [1] Bài giảng trên lớp. Chương 1: Đại cương về Xác suất. [2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng Chương 2: Biến ngẫu nhiên. dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. Chương 3: Một số phân phối xác suất quan [3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê trọng. ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. Chương 4: Lý thuyết mẫu và ước lượng [4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh, tham số. Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011. Chương 5: Kiểm định giả thuyết thống kê. Các tài liệu tham khảo khác. 3 4 Dụng cụ hỗ trợ học tập: Chương 0: Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus. ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giảng viên: Phan Trung Hiếu LOG O 5 1
3/4/2015 1.2. Ký hiệu: I. Tập hợp: ▪ Tập hợp: A, B, C,…,X, Y, Z,… 1.1. Khái niệm: ▪ Phần tử: a, b, c,…,x, y, z,… -Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không ▪ x là một phần tử của tập hợp A: x  A có định nghĩa. -Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau ▪ x không là một phần tử của tập hợp A: x  A cho ta hình ảnh của tập hợp. Các đối tượng này ▪ A : số phần tử của tập hợp A. trở thành phần tử của tập hợp. Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong giờ môn XSTK tại phòng A… . 8 7 1.3. Các phương pháp xác định tập hợp: Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn  Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn 1000: (đếm được, thấy được cụ thể) B  0, 1, 2, …, 997, 998, 999  Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và bé hơn 6: 500  B B 1000 A   2, 3, 4, 5  Chú ý: Phương pháp liệt kê 3A 5 A 0 A - Không quan tâm thứ tự liệt kê. - Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không A 4 lặp lại. 9 10 Trưng tính: Ví dụ 2: - Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại trong tập hợp. phòng A…..} - Hay dùng khi số phần tử là vô hạn.  Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín, Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên chẵn: không tự cắt. A   x x   và x  2  Ví dụ 1: 3 3 A 2 7 10  A 101  A 4  A 5 7 A A 4 A  2,3, 4,5 11 12 2
3/4/2015 Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai 1.4. Tập hợp con: môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. Có 5 A là tập con của B, ký hiệu: bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký A B  BA chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể A chứa trong B B chứa A thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể thao. A A  B  x  A  x  B 7 bạn đăng ký CL 3 2 2 BB B 3 bạn không đăng ký 13 14 1.5. Tập hợp rỗng:  I. Tập hợp: -Là tập hợp không chứa một phần tử nào. Ví dụ: Ví dụ 1: A  {1, 2, 3, 5, 7} A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng BA A…. mà có số tuổi lớn hơn 80}  A   B  {1, 5}  Ví dụ 2: B   x x   và x 2  1  B   CA Quy ước:  là tập con của mọi tập hợp. C  {1, 2, 8} Chú ý: ( X ) là tập tất cả các tập con của X. ( X )  { A A  X }. ( X )  2n , n: số phần tử của X. 16 15 1.6. Tập hợp bằng nhau: II. Các phép toán tập hợp: 2.1. Phép giao: A  B A  B   x | x  A và x  B A B B  A A B A B A B  A B   (A và B rời nhau) 17 18 3
3/4/2015 2.2. Phép hợp: II. Các phép toán tập hợp: A  B   x | x  A hay x  B Ví dụ: A  {1, 2, 3, 4} A B B  {3, 4, 5, 6, 7} C  {2, 8, 9} A B A  B  {3, 4} A  B  {1, 2,3, 4,5,6, 7} A  C  {2} A  C  {1, 2,3, 4,8,9} BC   B  C  {2,3, 4,5,6,7,8,9} 19 20 2.3. Phép lấy hiệu: A \ B   x | x  A và x  B II. Các phép toán tập hợp: Ví dụ: A B A  {1, 2, 3, 4} B  {3, 4, 5, 6, 7} A\ B C  {6, 7, 8, 9} A \ B  {1, 2} C \ B {8, 9} A\C  A A\ A   C\ A C B\ B 21 22 2.4. Phép lấy bù: II. Các phép toán tập hợp: A   x  X | x  A Ví dụ: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn X hơn 10. Hỏi A  ? A Giải X  {1, 2, 3, 4, 5,....} A A  {11, 12, 13, 14, 15,....} Nhận xét: A   x  X | x  A  1, 2, 3, 4,...,10 A A   A A  X 23 24 4
3/4/2015 III. Các tính chất: IV. Quy tắc đếm: 3.1. Phân phối: 4.1. Quy tắc cộng: A   B  C   A  B   A  C A   B  C   A  B   A  C Công việc 3.2. De Morgan: 1  n1 cách AB  A B Phương án 2  n cách 2 thực hiện (Trường hợp) A B  AB   3.3: k  nk cách A A n1  n 2  ...  nk cách X B A B A B  B   B  A  B  A  26 Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây. Hỏi có 4.2. Quy tắc nhân: mấy cách chọn 1 quần để mặc mặc? Giải Công việc TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách. 1  n1 cách TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây: 3 cách. 2  n 2 cách Vậy có: 4 + 3 = 7 cách. thực hiện Bước   Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8 k  nk cách quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóa n1  n 2  ...  nk cách khác nhau. Một học sinh được chọn 1 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 10 + 8 + 6 = 24 cách. 27 28 Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh mi khác nhau. Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Nhà mặc? trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người Giải dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách. 1 học sinh chuyên Toán. Hỏi có bao nhiêu cách Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi: 3 cách. lập một đoàn như trên? Vậy có: 4  3  12 cách. 12  18  216 cách. 29 30 5
3/4/2015 Tóm lại: V. Giải tích tổ hợp: -Khi thực hiện một công việc có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong 5.1. Hoán vị: n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác công việc. Khi đó, ta dùng quy tắc cộng. nhau theo một thứ tự nhất định n ! cách. Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 3 người vào -Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua a) Một bàn dài có 3 chỗ ngồi. 3!  6 cách nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng b) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi: quy tắc nhân. 2!  2 cách c) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi có đánh số: 3!  6 cách 31 32 5.3. Chỉnh hợp: 5.2. Tổ hợp ( C nk ): Từ n vật khác nhau, bốc (chọn) ra k vật rồi rồi xếp Từ n vật khác nhau, bốc (chọn) ra k vật. vào k chỗ khác nhau n! C nk  cách.  Xếp có lặp lại, có hoàn lại n k cách. k !(n  k )! (0  k  n; k , n  ) Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao  Xếp không lặp lại, không hoàn lại n! nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp. Ank  cách. C 40 3  9880 cách. (n  k )! (0  k  n; k , n  ) Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách rút ra 3 lá bài từ bộ bài 52 lá? C 523  22100 cách. Nhận xét: Ank  Cnk . k ! 33 34 Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2 nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp người, một người lau bảng, một người quét lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào cho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người? nếu: A52  20 cách. a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc Ví dụ 3: Có 5 bức tranh khác nhau. Hỏi có mấy nhiều chức danh? 403  64000 cách. cách: b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường? C 53 cách. danh? A40 3  59280 cách. b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên tường?A53 cách. 35 36 6
3/4/2015 Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác VI. Một vài ví dụ tổng hợp: nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1 văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên chiếc ghế dài có 5 chỗ. Có bao nhiêu cách xếp: một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau. a) Năm người vào ghế? Giải Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4! cách. b) Sao cho C ngồi chính giữa? c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế? Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách. Giải Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6! cách. a) Xếp 5 SV vào 5 chỗ: 5! cách. Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách. b) B1: Xếp C ngồi chính giữa: 1 cách. Vậy có: 4! 2! 6! 3! cách. B2: Xếp 4 SV còn lại vào 4 chỗ còn lại: 4! cách. Vậy có: 4! cách. c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế: 2! cách. B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3! cách. Vậy có: 2! 3! cách. 37 38 Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành Ví dụ 4: Trong một bình có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. 3 nhóm: nhóm 1 có 4 người, nhóm 2 có 3 người, Lấy ra 2 bi. Có bao nhiêu cách để 2 bi lấy ra nhóm 3 có 3 người? cùng màu? Giải Giải B1:Chọn 4 người từ 10 người để lập nhóm 1: TH1: Lấy được 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ:C42 cách. C104 cách. TH2: Lấy được 2 bi xanh từ 3 bi xanh: C32 cách. B2:Chọn 3 người từ 6 người để lập nhóm 2: C63 cách. Vậy có: C42  C32 cách. B3:Chọn 3 người từ 3 người còn lại để lập nhóm 3: C33 cách. Vậy có: C104 . C63 .C33 cách. 39 40 Ví dụ 5: Từ 7 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 6 c) có ít nhất 2 nữ ( 2 nữ) người trong đó: TH1: chọn 2 nữ và 4 nam: C42 .C74 cách. a) có 3 nam và 3 nữ. TH2: chọn 3 nữ và 3 nam: C43 .C73 cách. b) có đúng 2 nữ. TH3: chọn 4 nữ và 2 nam: C44 .C72 cách. c) có ít nhất 2 nữ. Vậy có: C42 .C74  C43 .C73  C44 .C72 cách. d) có nhiều nhất 2 nữ. d) có nhiều nhất 2 nữ ( 2nữ) e) có không quá 1 nữ. TH1: chọn 6 nam:C76 cách. Giải a) B1:Chọn 3 nam từ 7 nam: C73 cách. TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: C41 .C75 cách. B2:Chọn 3 nữ từ 4 nữ: C43 cách. TH3: chọn 2 nữ và 4 nam: C42 .C74 cách. Vậy có: C73 .C43 cách. Vậy có: C76  C41 .C75  C42 .C74 cách. b) B1:Chọn 2 nữ từ 4 nữ: C42 cách. e) có không quá 1 nữ ( 1 nữ) B2:Chọn 4 nam từ 7 nam: C74 cách. TH1: chọn 6 nam: C76 cách. Vậy có: C42 .C74 cách. TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: C41 .C 75 cách. 41 Vậy có:C76  C41 .C 75 cách. 42 7
3/4/2015 Ví dụ 6: Trong một bình có 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. Ví dụ 7: Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút Lấy ra 4 bi. Có bao nhiêu cách để số bi lấy ra không đủ 3 màu? máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3 Giải cây bút máy để tặng cho 3 sinh viên, mỗi em một Lấy 4 bi trong 15 bi: C154 cách. Số cách để 4 bi lấy ra có đủ 3 màu: cuốn sách và một cây bút máy. Hỏi có mấy cách? TH1: Lấy được 1 Đ, 1 T, 2 V: C41 .C51 . C62 cách. Giải 1 TH2: Lấy được 1 Đ, 2 T, 1 V: C4 .C5 .C6 cách. 2 1 B1: Chọn 3 trong 10 cuốn sách để tặng cho 3 em: TH3: Lấy được 2 Đ, 1 T, 1 V: C42 . C51 .C61 cách. A103 cách.  Có: C 41 .C51 .C62  C41 .C52 .C61  C42 .C51 .C61 cách để số bi B2: Chọn 3 trong 7 cây bút để tặng cho 3 em: lấy ra có đủ cả 3 màu. A73 cách. Vậy có: Vậy có: A103 . A73 cách. C154   C4 .C51 .C62 C41 .C52 .C61  C 42 .C51.C6  1 1 44  645 cách thỏa yêu cầu. 43 Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 20 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên học tập, 1 ủy viên đời sống nếu: a) Chọn bất kỳ. A304 cách. 3 b) Lớp trưởng là nữ. 10.A29 cách. 3 c) Có đúng 1 nam.20.C10 .4! cách. d) Toàn là nữ. A104 cách. e) Có ít nhất 1 nam. A304  A104 cách. 45 8
3/4/2015 I. Hiện tượng ngẫu nhiên: Chương 1: Hiện tượng tất định: Hiện tượng ngẫu nhiên: ĐẠI CƯƠNG VỀ là những hiện tượng là những hiện tượng mà XÁC SUẤT mà khi thực hiện dù được thực hiện trong trong cùng một điều cùng một điều kiện như Giảng viên: Phan Trung Hiếu kiện như nhau sẽ nhau vẫn có thể cho cho kết quả như nhiều kết quả khác nhau. nhau. biết trước kết quả không biết trước được LOG sẽ xảy ra kết quả sẽ xảy ra O 2 -Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát 1.2. Không gian mẫu ( ):Tập hợp tất cả các của lý thuyết xác suất. kết quả có thể xảy ra của phép thử. -Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu Ví dụ 1: nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”. ▪ T: tung một con súc sắc 1.1. Phép thử (T ):thí nghiệm, phép đo, sự quan    {1, 2,3, 4,5,6}|  | 6. sát hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không ▪ T: tung một đồng xu thể dự đoán trước được.    {S , N } |  | 2. Ví dụ: T: tung một con súc sắc ▪ T: tung hai đồng xu T: mua 1 tờ vé số    {SS , SN , NS , NN }|  | 4. Ví dụ 2: T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy ▪ T: tung 2 con súc sắc |  | 6  6  36. 3 4 Ví dụ 3: 1.3. Biến cố: là tập con của không gian mẫu. ▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Thường được ký hiệu là A, B, C,… Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Ví dụ 1: T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi T: tung một con súc sắc   {1, 2,3, 4,5,6}. |  | C102  45. A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm” Ví dụ 4:  A  {2, 4, 6} | A | 3. ▪ Một kho có 50 sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho. Khi nào biến cố T: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 50 sản phẩm A xảy ra? |  | C 50 1  50. Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra. 5 6 9
3/4/2015 Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Ví dụ 3: T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi |  | C102  45. T: tung một con súc sắc A: “Lấy được 2 bi đỏ”   {1, 2,3, 4, 5, 6}. | A | Số cách lấy được 2 bi đỏ  C 42  6. A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số chấm B: “Lấy được 2 bi khác màu” không vượt quá 6” | B | C 61C 41  24.  A {1, 2,3, 4,5,6} . Chú ý: B: “Súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm”  A   : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).  B  .  A  : biến cố không thể (không bao giờ xảy ra). 8 7 II. Phép toán trên các biến cố: Ví dụ: Theo dõi 3 con gà mái đẻ trứng trong một ngày. 2.1. Quan hệ kéo theo: D0 :“Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày” D1 :“Có 1 con gà đẻ trứng trong một ngày” A  B : biến cố A kéo theo biến cố B D2 :“Có 2 con gà đẻ trứng trong một ngày” D3 :“Có 3 con gà đẻ trứng trong một ngày” A  B  A xảy ra thì suy ra B xảy ra B: “Có nhiều hơn 1 con gà đẻ trứng trong một ngày”. Trong các biến cố Di (i  0, 3) trên, biến cố A nào kéo theo biến cố B? D0  B D1  B D2  B D3  B B  9 10 2.2. Quan hệ tương đương: 2.3. Tổng của các biến cố: A  B : biến cố A tương đương với biến cố B AB  AB A  B A + B xảy ra  có ít nhất 1 trong hai biến cố A  B  A, B xảy ra B  A  hoặc A,  A xảy ra thì suy ra B xảy ra A B hoặc B, và ngược lại. hoặc cả A và B đều xảy ra.  11 12 10
3/4/2015 Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. 2.4. Tích của các biến cố: A: “Sinh viên A đậu”. A.B  A  B B: “Sinh viên B đậu”. A.B xảy ra  A xảy ra VÀ B xảy ra C: “Có ít nhất một sinh viên đậu”  C  A  B. Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy (tất cả) ngẫu nhiên ra 3 bi. T: “3 bi lấy ra là 3 bi trắng”. Đ: “3 bi lấy ra là 3 bi đỏ”. A B A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau”  A  T  Đ.  13 14 Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. Ví dụ 3: Một thợ săn bắn 2 viên đạn vào một con A: “Sinh viên A đậu”. thú. B: “Sinh viên B đậu”. A1 : “Viên đạn thứ 1 trúng con thú”. C: “SV A và SV B đều đậu”  C  AB . A2 :“Viên đạn thứ 2 trúng con thú”. Ví dụ 2: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy. A: “Con thú bị trúng đạn”. A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”. Chọn câu đúng: B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”. a ) A  A1 b ) A  A2 c ) A  A1  A2 C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy” d ) A  A1.A2  C  AB . e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng. 15 16 Ví dụ 4:Có 2 hộp bi. Hộp I có 6 bi trắng và 4 bi III. Quan hệ giữa các biến cố: đỏ. Hộp II có 7 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu 3.1. Xung khắc: nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi. T1 : “Bi lấy từ hộp I là bi trắng”. A và B xung khắc T2 : “Bi lấy từ hộp II là bi trắng”.  A và B không bao giờ cùng xảy ra. A: “2 bi lấy ra là bi trắng”.  AB   Chọn câu đúng: a ) A  T1 b ) A  T2 c ) A  T1.T2 d ) A  T1 T2 A B e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.  17 18 11
3/4/2015 Ví dụ 1: Ví dụ 2: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá. T: tung một con súc sắc A: “Lấy được lá ách”. A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm”. B: “Lấy được lá cơ”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. b) A và B không xung khắc. b) A và C xung khắc. c) B và C không xung khắc. d) Tất cả đều sai. 19 20 Ví dụ 3: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá. 3.2. Đối lập: A: “Lấy được 2 lá ách”. A và B được gọi là đối lập nhau B: “Lấy được 2 lá cơ”.  luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra Chọn câu đúng: (có 1 và chỉ 1) a) A và B xung khắc. Ký hiệu: A là biến cố đối (lập) của biến cố A. b) A và B không xung khắc. A : “Không xảy ra biến cố A”. AA   A A AA   21  22 Ví dụ 1: Ví dụ 2: T: tung một đồng xu T: tung một con súc sắc A: “Xuất hiện mặt ngửa”. A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Xuất hiện mặt xấp”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút lẻ”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm”.  A và B đối nhau. Chọn câu đúng: a) A và B không xung khắc. b) A và B đối nhau. c) B và C không xung khắc. d) B và C đối nhau. 23 24 12
3/4/2015 Ví dụ 3: Nhận xét: T: tung một con súc sắc đều không xảy ra A và B A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút ít nhất là 4”.  A và B đều xảy ra không đối nhau. Chọn câu đúng: a)A : “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút là 3”.  đối nhau  xung khắc. b) A  1, 2, 3 .  c)A : “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút nhiều nhất  A xảy ra  A không xảy ra. là 3”. d) Cả hai câu b và c đều đúng. 25 26 Ví dụ 4: Có 2 sinh viên đi thi. Đặt Si : “Sinh viên i thi đậu”. (i=1,2) IV. Các tính chất của biến cố: Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Si :  A  B  B  A; A.B  B. A a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”. A  S1.S 2  ( A  B)  C  A  ( B  C ); ( A.B ).C  A.( B.C ) b) B: “Không có ai thi đậu”. B  S 1.S 2 c) C: “Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu”. C  S1  S 2  A.( B  C )  A.B  A.C ; d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu”. D  S1.S 2  S1.S 2  A  B  A  B  B; A.B  A e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu”. E  S1.S 2  A  A  ; A. A   f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu”. F  S1.S 2  S 1.S2  A  A  A; A    A; A. A  A; A.   g) G: “Có sinh viên thi đậu”.G  S1  S2  C  A  B  A.B; A.B  A  B h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”.  A A H  S 1.S 2  S1.S 2  S 1.S 2  B  F  B. A B. A B  ( B. A)  ( B. A) 27 B 28 V. Nhóm đầy đủ các biến cố: Ví dụ 1: A và A là một nhóm đầy đủ. A1 , A2 , A3 ,..., An   là nhóm đầy đủ Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng, 2 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. A1  A2  A3  ...  An   T: “Lấy được viên trắng”.  AAi j   khi i  j Đ: “Lấy được viên đỏ”. X: “Lấy được viên xanh”.  luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra.  T, Đ, X là một nhóm đầy đủ. A1 A2 ...  An 30 29 13
3/4/2015 VI. Định nghĩa xác suất: 6.1. Định nghĩa cổ điển: |A| Xác suất của một biến cố là một con số đặc P (A)  trưng cho khả năng xảy ra khách quan của || biến cố đó. | A |: số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra. Ký hiệu: |  |: số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. P(A): xác suất của biến cố A. Chú ý:  0  P (A)  1, A  P ( )  1  P ( )  0  P (A)  1  P (A) 32 31 Ví dụ 1: Lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10 Ví dụ 2: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 người trực lớp. Tính xác 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra suất để người được chọn là nam. 3 bi. Tính xác suất để: Giải a) 3 bi lấy ra là 3 bi xanh. T: chọn ngẫu nhiên 1 người trong 30 người b) 3 bi lấy ra có đúng 1 bi xanh. |  | 30. c) 3 bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ. A: “Người được chọn là nam”| A |20 Giải T: lấy ngẫu nhiên ra 3 bi trong 10 bi | A | 20  P (A)    0, 6667. |  |C 103  120. |  | 30 33 34 a) A: “3 bi lấy ra là 3 bi xanh” c) Cách 1: C: “3 bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ”. | A |C  20 3 6 | C | C 42 .C 61  C 43 .C 60  40 | A | 20 | C | 40  P (A)    0,1667.  P (C )    0, 3333. |  | 120 |  | 120 b) B: “3 bi lấy ra có đúng 1 bi xanh” Cách 2:C : “3 bi lấy ra có nhiều nhất 1 bi đỏ”. | B | C 61 .C 42  36 | C | C 4 .C 63  C 4 .C 62  80 0 1 | B | 36 | C | 80 2  P (B )    0,3.  P (C )    |  | 120 |  | 120 3 2 1  P (C )  1  P (C )  1    0,3333. 35 36 3 3 14
3/4/2015 Chú 6.2. Định nghĩa theo thống kê: V.ý (Điều Địnhkiện của định nghĩa xácnghĩa cổ điển): suất: -Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất  Các kết quả trong không gian mẫu  phải hiện k lần thì tỷ số đồng khả năng xảy ra. k  Không gian mẫu  phải hữu hạn. : Tần suất của biến cố A. n -Trong thực tế, khi n đủ lớn thì k P( A)  n 37 38 Ví dụ 1: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút Ví dụ 2: T: tung một đồng xu. thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi. S: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”  P (S )  0,5 Khi đó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thì xác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng: N: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” P (N )  0,5 91 Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để  0,91 100 kiểm chứng: Người thí Số lần Số lần Tần nghiệm tung ngửa suất P (N )  0,5  Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 39 40 6.3. Định nghĩa theo hình học: Ví dụ: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình Xét một phép thử đồng khả năng, không gian tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm. mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành Giải một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài, A: điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp diện tích, thể tích). 22 3 S   3 cm 2 Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền . 4 ??? 1 ???  A: điểm M thuộc miền S   r cm  S S  cm 2 3 3 độ đo của S  /3  P( A)   P ( A)    0,6046. độ đo của  3 3 3 41 42 15
3/4/2015 6.4. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn: 6.5. Xác suất có điều kiện: -Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trong P( AB) thực tế nó không xảy ra trong một phép thử. P( A | B)  P( B)  P ( B)  0  -Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trong P(A|B): xác suất để A xảy ra biết B đã xảy ra. thực tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử. B: thông tin. 43 44 Chú ý: Ví dụ 1: Một nhóm có 10 học sinh, trong đó P( AB ) có 5 bạn giỏi Toán, 4 bạn giỏi Văn, 2 bạn  P( B | A)  giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. P( A) Tính xác suất chọn được bạn giỏi Văn, biết  P( A | B)  1  P ( A | B) rằng đã chọn được bạn giỏi Toán? Giải T: chọn ngẫu nhiên 1 bạn |  | 10.  P( A1  A2 | B )  P( A1 | B)  P( A2 | B) A: “Chọn được bạn giỏi Văn”. nếu A1 và A2 xung khắc. B: “Chọn được bạn giỏi Toán”. P(A|B )=? 46 45 A.B:“Chọn được bạn giỏi cả 2 môn” Ví dụ 2: Cho một hộp đựng 8 bi gồm: 5 bi đỏ 2 và 3 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi (lấy không hoàn | A.B | 2  P (A.B )   0, 2 lại). Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi 10 đỏ biết lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ? Giải P (A.B ) 0, 2 Đ1 : “Lần thứ nhất lấy được bi đỏ”.  P (A | B )    0, 4. P (B ) 0,5 Đ2 : “Lần thứ hai lấy được bi đỏ”. P Đ2 | Đ1  4  0,5714. 7 47 48 16
3/4/2015 6.6. Biến cố độc lập: Chú ý: Nếu A và B độc lập với nhau thì Hai biến cố được gọi là độc lập nếu sự xảy  A và B cũng độc lập với nhau. ra hay không xảy ra của biến cố này không  A và B cũng độc lập với nhau. làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia.  A và B cũng độc lập với nhau. Ví dụ 1: A, B độc lập  P( A | B)  P ( A) T: tung 2 đồng xu. hoặc A: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”. P ( B | A)  P ( B ) B: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”. Hệ quả:  A và B độc lập. A, B độc lập  P( A.B)  P ( A).P( B ) 49 50 Ví dụ 2: T: tung 1 đồng xu. Giải A: “Xuất hiện mặt sấp”. Lấy mẫu Lấy mẫu B: “Xuất hiện mặt ngửa”. có hoàn lại không hoàn lại  A và B không độc lập. Lần 1 lấy ra quan sát Lần 1 lấy ra quan rồi bỏ trở lại vào hộp, sát rồi để ra ngoài Ví dụ 3: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2 sau đó lấy tiếp lần 2. luôn, sau đó lấy tiếp bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi. lần 2. a) Tính xác suất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ? b) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ? 52 51 Lấy mẫu Lấy mẫu Nhận xét: có hoàn lại không hoàn lại Lấy mẫu Lấy mẫu a) Đ1: “Lần thứ 1 lấy được bi đỏ”. có hoàn lại không hoàn lại P (Đ1)  2 Kết quả 10 Kết quả độc lập nhau b) Đ2: “Lần thứ 2 lấy được bi đỏ”. không độc lập nhau Đ2 = Đ2 |Đ1 + Đ2 |Đ1 P (Đ2)  2 P(Đ2) = P (Đ2 |Đ1)  P (Đ2 |Đ1) 10 1 2 1 = 9 + 9= 3 53 54 17