Bài tập chọn lọc Hình học lớp 10

Hình Học 10 Đại Cương Về Vectơ - Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956

Bài tập chọn lọc hình học 10

−→ AB + Bài 1: Cho ∆ ABC đều cạnh a. Tính

Vấn đề 1: Các bài toán về phép cộng và phép trừ (cid:12) (cid:12) (cid:12)

−→ AB − −→ AC + (cid:12) −→ (cid:12) AC (cid:12). (cid:12) −−→ (cid:12) AD (cid:12). (cid:12) (cid:12) −→ (cid:12) (cid:12) AC (cid:12); (cid:12) (cid:12) −→ (cid:12) AB + (cid:12)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi A(cid:48), B(cid:48), C (cid:48) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng

−−→ AA(cid:48) + −−→ BB(cid:48) + −−→ CC (cid:48) = −→ 0

Bài 4: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng

−→ GA + −−→ GB + −→ GC = −→ 0

N G

(sử dụng công thức này cho các bài sau)

Bài 5: Các tam giác ABC và A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có trọng tâm lần lượt là G và G(cid:48). Chứng minh rằng:

Ũ

(cid:16)−−→ −−→ GG(cid:48) = AA(cid:48) + −−→ CC (cid:48)(cid:17) −−→ BB(cid:48) +

D

1 3

−→ P Q + −−→ M N = −−→ P N + −−→ M Q

−−→ M B + −−→ N C + −−→ P D + −→ 0 Bài 6: Cho lục giác ABCDEF . Gọi M , N , P , Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF , F A. Chứng minh rằng hai tam giác M P R và N QS có cùng trọng tâm. Bài 7: Cho tứ giác M N P Q. Chứng minh: 1. 2. Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh M N , N P , P Q, QN . Chứng minh −→ QA = a. b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh

N G Ọ C

−−→ OB + −→ OC + −−→ OD = −→ 0 −→ OA +

−−→ M K = −−→ M K = −−→ AD + −→ AC + −−→ BC −−→ BD Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Điểm K là điểm đối xứng của M qua N . Chứng minh 1. 2. Bài 9: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F . Chứng minh rằng

−−→ BE + −−→ AD + −→ CF = −→ AE + −−→ BF + −−→ CD = −→ AF + −−→ BD + −−→ CE

−→ AB −

N G U Y Ễ N

Bài 10: Tam giác ABC là tam giác gì nếu thỏa mãn: (cid:12) −→ (cid:12) AC 1. (cid:12) −→ AB + (cid:12) −→ (cid:12) AB + (cid:12) −→ AB + (cid:12) (cid:12) −→ (cid:12) (cid:12) AC (cid:12) = (cid:12) −→ AC vuông góc với −→ CA. 2.

Vấn đề 2: Chứng minh đẳng thức vectơ

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi K là điểm đối xứng của B qua trọng tâm G. Chứng minh

(cid:17) (cid:16)−→ −→ AC − −−→ CK = − AB + −→ AC −−→ AK = −→ AB, 2 3 1 3 1 3

GV chuyên toán tại Quận 7 Đăng kí học: 0976071956 Page 1 of 3

Hình Học 10 Đại Cương Về Vectơ - Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho N C = 2N A. Gọi K là trung điểm của M N .

−→ AB + −→ AC −−→ AK = 1. Chứng minh rằng 1 4 1 6

−−→ KD = −→ AB + −→ AC 2. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh 1 4 1 3 Bài 3: Cho tam giác ABC. M thuộc cạnh BC sao cho M B = 2M C. Chứng minh rằng

−−→ AM = −→ AB + −→ AC 1 3 2 3

Vấn đề 3: Xác định một điểm thỏa hệ thức vectơ. Tìm tập hợp điểm

N G

Ũ

−−→ M A + 2 −−→ M A + 2 −−→ M A − 2 −−→ M A − 2 −−→ M B + 3 −−→ M B − 3 −−→ M B + 4 −−→ M B + 5 Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho −−→ −→ 0 M C = a) −−→ −→ 0 M C = b) −→ −−→ AC M C = 2 c) −→ −−→ AC d) − M C = Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức

D

−−→ M A + −−→ M B + −→ 0 −−→ M C + −−→ M D =

Bài 3*: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho

−−→ M A + 2 −−→ M A + −−→ M B + −−→ M C 2 −−→ M B + 3 −−→ M C (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Bài 4: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: a)

N G Ọ C

b) (cid:12) −−→ (cid:12) M C (cid:12) (cid:12) −−→ (cid:12) M C (cid:12) (cid:12) −−→ (cid:12) M B + (cid:12) (cid:12) −−→ (cid:12) M A + (cid:12) (cid:12) −−→ (cid:12) (cid:12) = M B (cid:12) −−→ (cid:12) (cid:12) = M B (cid:12) −−→ (cid:12) M A + (cid:12) (cid:12) −−→ (cid:12) M A − (cid:12)

Bài 5: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa

−−→ M A + −−→ M B + −−→ M C (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −→ (cid:12) AB (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Vấn đề 4: Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ khác

−−→ AN theo −→ AC. −−→ N C, (k (cid:54)= 1). Tính −−→ AN theo −→ AB, −→ AC.

N G U Y Ễ N

Bài 1: Cho ∆ABC, M là trung điểm BC. −→ AB, a) Tính −−→ b) Lấy N thỏa N B = k Bài 2: Cho ∆ABC, trọng tâm G, gọi D là điểm đối xứng của A qua B và E là điểm trên cạnh AC

sao cho AE = AC.

2 5 −−→ DG theo −−→ DE, −→ AB, −→ AC.

−−→ KB + 3 −−→ KA + a) Tính b) Chứng minh D, G, E thẳng hàng. −−→ KC = 2 c) Gọi K thỏa

−−→ KD. Chứng minh KG, CD song song. −−→ AD = −→ AC, I là trung điểm của DB. M là 3 4

Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm định bởi −−→ BC, (x ∈ R). −→ AC. −−→ BM = x −→ AB, điểm thỏa: −→ AI theo a) Tính

GV chuyên toán tại Quận 7 Đăng kí học: 0976071956 Page 2 of 3

Hình Học 10 Đại Cương Về Vectơ - Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956

−−→ AM theo x và −→ AB, −→ AC.

−→ AB, b) Tính c) Tìm x sao cho A, I, M thẳng hàng. Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. M , N là 2 điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM , CD = 2CN . −−→ −→ AC. AN theo a) Tính b) Gọi G là trọng tâm của tam giác M N B, tính −→ AG theo −→ AB, −→ AC.

. c) AG cắt đường thẳng BC tại I. Tính BC BI

Vấn đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và 3 đường thẳng đồng quy

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD và M N thẳng hàng.

N G

AM CM

= k. Tìm k để B, M , N thẳng hàng.

Ũ

D

−→ AC ⇔ M ≡ M (cid:48)

−→ AC = −→ AC cùng phương khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng. −→ AB,

−−→ BC = −→ AB + −→ AC

N G Ọ C

−→ AC −→ AC = 2 −−→ AD = −→ AB + −→ AI Bài 2*: Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi M , N lần lượt trên các đoạn AC và AE sao cho EN AN Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi A1, B1, C1, D1 là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Chứng minh các đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 đồng quy tại G và G là trọng tâm của tứ giác. Bài 4: Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng trung điểm BC, trung điểm AD và I thẳng hàng. Chú ý: (cid:42) Chứng minh hai điểm trùng nhau: (cid:42) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: (cid:42) Qui tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B, C ta luôn có −→ (cid:42) Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD. Khi đó ta có AB + (cid:42) Qui tắc trung điểm: Cho 3 điểm A, B, C; I là trung điểm BC. Khi đó ta có