M C L CỤ Ụ
N i dungộTrang
1. M đuở ầ 2
1.1. Lí do ch n đ tàiọ ề 2
1.2. M c đích nghiên c uụ ứ 2
1.3. Đi t ng nghiên c u.ố ượ ứ 2
1.4. Ph ng pháp nghiên c uươ ứ 2
2. N i dung c a sáng ki n kinh nghi m.ộ ủ ế ệ 2
2.1.C s lí lu nơ ở ậ 2
2.2.Th c tr ng c a v n đự ạ ủ ấ ề 4
2.3.Gi i pháp và t ch c th c hi nả ổ ứ ự ệ 4
2.4. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m.ệ ả ủ ế ệ 14
3. K t lu n và đ xu t.ế ậ ề ấ 15
3.1. K t lu nế ậ 15
3.2.Ý ki n đ xu tếềấ 16
1. M đuở ầ
1.1. Lí do ch n đ tài.ọ ề
Trong đ thi c a kì thi THPT qu c gia th ng có m t câu h i ph n hình ề ủ ố ườ ộ ỏ ầ
h c trong không gian liên quan đn tính kho ng cách. Th c t cho th y khi ọ ế ả ự ế ấ
tính kho ng cách t m t đi m đn m t m t ph ng ho c kho ng cách gi a ả ừ ộ ể ế ộ ặ ẳ ặ ả ữ
1
hai đng th ng chéo nhau thì s h c sinh làm đc ph n này không nhi u. ườ ẳ ố ọ ượ ầ ề
Đc bi t môn toán đã s d ng ph ng pháp thi tr c nghi m thì vi c đa ra ặ ệ ử ụ ươ ắ ệ ệ ư
đáp s nhanh và chính xác là r t quan tr ng và c n thi t. Đã có r t nhi u tài ố ấ ọ ầ ế ấ ề
li u đa ra m t s ph ng pháp đ tính kho ng cách t m t đi m đn m t ệ ư ộ ố ươ ể ả ừ ộ ể ế ộ
m t ph ng, kho ng cách gi a hai đng th ng chéo nhau. Song ph n l n các ặ ẳ ả ữ ườ ẳ ầ ớ
tài li u l i ch a trình b y m t cách tr c quan thông qua bài toán t ng quát g nệ ạ ư ầ ộ ự ổ ắ
v i hình chóp ho c lăng tr đ các em h c sinh có th gi i d ng toán này m tớ ặ ụ ể ọ ể ả ạ ộ
cách nhanh chóng và d dàng. ễ
Do đó khi g p lo i toán này nhi u h c sinh r t lúng túng, đc bi t là s h cặ ạ ề ọ ấ ặ ệ ố ọ
sinh có h c l c trung bình không bi t h ng gi i quy t. Nh m giúp các em cóọ ự ế ướ ả ế ằ
thêm ki n th c, phát tri n năng l c t duy sáng t o và g i cho các em h ng ế ứ ể ự ư ạ ợ ướ
gi i quy t t t khi g p lo i toán này. Tôi xin trình bày ả ế ố ặ ạ bài toán t ng quát tính ổ
kho ng cách trong hình h c không gian ả ọ d i d ng m t bài vi t nh , v i hyướ ạ ộ ế ỏ ớ
v ng ph n nào giúp các em h c sinh không lúng túng khi g p d ng toán này.ọ ầ ọ ặ ạ
1.2. M c đích nghiên c u.ụ ứ
Trong bài vi t này tôi mu n đ c p v “bài toán t ng quát tính kho ng cáchế ố ề ậ ề ổ ả
trong hình h c không gian” nh m trang b thêm cho h c sinh m t s công cọ ằ ị ọ ộ ố ụ
h u hi u đ gi i m t bài toán tính kho ng cách t m t đi m đn m t m tữ ệ ể ả ộ ả ừ ộ ể ế ộ ặ
ph ng ho c kho ng cách gi a hai đng th ng chéo nhau. Vi c đa ra cáchẳ ặ ả ữ ườ ẳ ệ ư
gi i cho m t bài toán d ng t ng quát s giúp cho h c sinh có cái nhìn sâu h nả ộ ạ ổ ẽ ọ ơ
và nhanh chóng đa ra đc l i gi i khi làm m t bài t p c th .ư ượ ờ ả ộ ậ ụ ể
1.3. Đi t ng nghiên c u. ố ượ ứ
Đ tài nghiên c u, t ng k t v v n đ tính kho ng cách t m t đi m đn ề ứ ổ ế ề ấ ề ả ừ ộ ể ế
m t m t ph ng, tính kho ng cách gi a hai đng th ng chéo nhau trong ộ ặ ẳ ả ữ ườ ẳ
không gian.
1.4. Ph ng pháp nghiên c u.ươ ứ
Xây d ng c s lí thuy t.ự ơ ở ế
Kh o sát, đi u tra t th c t d y h c.ả ề ừ ự ế ạ ọ
T ng h p, so sánh, đúc rút kinh nghi m.ổ ợ ệ
2. N i dung c a sáng ki n kinh nghi m.ộ ủ ế ệ
2.1. C s lí lu n.ơ ở ậ
a. Kho ng cách t m t đi m đn m t m t ph ng.ả ừ ộ ể ế ộ ặ ẳ
*Cho đi m M và m t ph ng (P). ể ặ ẳ
G i H là hình chi u vuông góc c a ọ ế ủ
M lên (P).Khi đó kho ng cách gi a ả ữ
hai đi m M và H đc g i là ể ượ ọ
kho ng cách t đi m M đn(P) và ả ừ ể ế
kí hi u là ệ
(M,( ))d P
. [1]
P
H
M
2
*Cho hai đi m A, B không thu c m t ph ng (P)ể ộ ặ ẳ
+ N u AB // (P) thì ế
( ,( )) d( ,( ))d A P B P=
Ch ng minh: G i A’, B’ l n l t làứ ọ ầ ượ
hình chi u vuông góc c a A và B lên (P)ế ủ
khi đó ABB’A’là hình ch nh tữ ậ
AA’=BB’
( ,( )) d( ,( ))d A P B P=
P
B
B'
A
A'
+ N u AB không song song v i (P) .G iế ớ ọ
I là giao đi m c a đng th ng AB vàể ủ ườ ẳ
(P). Khi đó
(A,( ))
(B,( ))
d P AI
d P BI
=
Ch ng minh: G i A’ và B’ l n l t là ứ ọ ầ ượ
hình chi u vuông góc c a A và B lên (P)ế ủ
Xét
có BB’//AA’.Theo đnh líị
Talet ta có:
( ,( )) '
( ,( )) '
d A P AA AI
d B P BB BI
= =
P
A
A'
I
B'
B
b. Kho ng cách gi a hai đng th ng chéo nhau :ả ữ ườ ẳ
+Đng vuông góc chung c a haiườ ủ
đng th ng chéo nhau a và b là đngườ ẳ ườ
th ng c c t c hai đng th ng a và bẳ ắ ả ườ ẳ
đng th i vuông góc v i c hai đngồ ờ ớ ả ườ
th ng y.ẳ ấ
+ Đng th ng c c t hai đng th ng aườ ẳ ắ ườ ẳ
và b l n l t t i M và N thì đo n MN làầ ượ ạ ạ
đo n vuông góc chung c a hai đngạ ủ ườ
th ng chéo nhau a và c.ẳ
+ Kho ng cách gi a hai đng th ngả ữ ườ ẳ
chéo nhau a và b là đ dài đo n th ngộ ạ ẳ
MN, kí hi u là ệ
( , )d a b
a
b
c
M
N
+ Kho ng cách gi a hai đng th ngả ữ ườ ẳ
chéo nhau a và b b ng kho ng cáchằ ả
gi a a và (P) ch a b và song song v i a.ữ ứ ớ
( , ) ( ,(P)) d(A,(P))d a b d a= =
(V i ớ
A a
và
( ) / /P a
). [1]
P
b
a
A
c. Các h th c l ng trong tam giác vuông:ệ ứ ượ
3
Cho tam giác ABC vuông t i A, đng ạ ườ
cao AH (H
BC).
/ /
, , , , ,BC a AB c AC b AH h BH c CH b= = = = = =
Ta có m t s h th c sau.ộ ố ệ ứ
c
a
b
h
B
A
C
H
*
2 2 2
a b c= +
*
2 / 2 /
, .b ab c a c= =
*
. . 2 ABC
a h b c S∆
= =
*
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
*
sin cos ,sin cos
b c
B C C B
a a
= = = =
,
tan cot , tan cot
b c
B C C B
c b
= = = =
. [2]
2.2. Th c tr ng c a v n đ.ự ạ ủ ấ ề
Các ki n th cế ứ kho ng cách t m t đi m đn m t m t ph ng, kho ngả ừ ộ ể ế ộ ặ ẳ ả
cách gi a hai đng th ng chéo nhauữ ườ ẳ trong sách giáo khoa trình b y r t đnầ ấ ơ
gi n. Trong khi đó các k thi Đi h c và Cao đng cũng nh kì thi THPTả ỳ ạ ọ ẳ ư
qu c gia trong nh ng năm g n đây thì năm nào cũng có bài toánố ữ ầ tính th tíchể
c a kh i chóp ho c kh i lăng tr và tính kho ng cách t m t đi m đn m tủ ố ặ ố ụ ả ừ ộ ể ế ộ
m t ph ng ho c kho ng cách gi a hai đng th ng chéo nhauặ ẳ ặ ả ữ ườ ẳ . K năng gi iỹ ả
quy t d ng bài t p này đi v i nhi u h c sinh, đc bi t là h c sinh tr ngế ạ ậ ố ớ ề ọ ặ ệ ọ ườ
THPT Tri u S n 6 th c s còn nhi u lúng túng.ệ ơ ự ự ề
Vì th thông qua h c t p làm sao giúp các em rèn luy n kh năng t duyế ọ ậ ệ ả ư
sáng t o, t đó có kĩ năng gi i quy t các v n đ trong h c t p, giúp h c sinhạ ừ ả ế ấ ề ọ ậ ọ
có h ng thú h c t p b môn. Vi c làm này tôi nghĩ c n thi t và phù h p v iứ ọ ậ ộ ệ ầ ế ợ ớ
yêu c u c a giáo d c trong giai đo n m i.ầ ủ ụ ạ ớ
T th c tr ng trên đ công vi c đt hi u qu h n, trong chuyên đ nàyừ ự ạ ể ệ ạ ệ ả ơ ề
tôi mu n chia s v i các em h c sinh cũng nh đng nghi p ố ẻ ớ ọ ư ồ ệ “bài toán t ngổ
quát tính kho ng cách trong hình h c không gian”.Trong chuyên đ s cóả ọ ề ẽ
nh ng bài t p minh h a là đ thi đi h c ho c THPT qu c gia các năm g nữ ậ ọ ề ạ ọ ặ ố ầ
đây đ t đó các em m t l n n a n m ch c thu t toán đ gi i lo i toán này.ể ừ ộ ầ ữ ắ ắ ậ ể ả ạ
Tôi hy v ng chuyên đ này s đem l i cho các th y cô giáo nh ng c iọ ề ẽ ạ ầ ữ ả
ti n gi ng d y m i, nh m góp ph n vào vi c nâng cao ch t l ng giáo d cế ả ạ ớ ằ ầ ệ ấ ượ ụ
hi n nay.ệ
2.3. Gi i pháp và t ch c th c hi n.ả ổ ứ ự ệ
Chuyên đ đã th c hi n trong năm h c 2016-2017 t i l p 11A1. Sau khiề ự ệ ọ ạ ớ
th c hi n có ki m tra, đi ch ng, tôi th y h c sinh đã gi i đc các bài toánự ệ ể ố ứ ấ ọ ả ượ
d ng này tôt h n r t nhi u so v i tr c đây khi ch a đc ti p thu chuyênạ ơ ấ ề ớ ướ ư ượ ế
đ. Và cũng qua đó h c sinh t a ra h ng thú h c t p đi v i ph n này.ề ọ ỏ ứ ọ ậ ố ớ ầ
Trong m i bài t p c th s có h ng d n h c sinh liên h v i bài toán t ngỗ ậ ụ ể ẽ ướ ẫ ọ ệ ớ ổ
quát. T đó giúp các em có cách nhìn r ng, hi u sâu h n đ có th gi i t từ ộ ể ơ ể ể ả ố
d ng toán này.ạ
4
Sau đây là “bài toán t ng quát tính kho ng cách trong hình h c không gian”ổ ả ọ
mà tôi đã rút ra đc trong quá trình ôn t p thi đi h c nh tr c đây mà nayượ ậ ạ ọ ư ướ
là kì thi THPT qu c gia. ố
Bài toán t ng quát đc xây d ng trên hình chóp đnh S. Khi g p bài ổ ượ ự ỉ ặ
toán v lăng tr thì ta th quy v bài toán v hình chóp b ng cách ch n ề ụ ể ề ề ằ ọ
m t hình chóp có đáy là m t đáy c a lăng tr còn đnh S thu c đáy còn l i ộ ộ ủ ụ ỉ ộ ạ
c a lăng tr .ủ ụ
a. Bài toán t ng quát.ổ Cho m t hình chóp có đnh S. Đi m H là hình chi uộ ỉ ể ế
vuông gióc c a đnh S lên m t ph ng đáy. Mp(SAB) là m t m t bên không đi ủ ỉ ặ ẳ ộ ặ
qua đi m H, mp(SPQ) là m t ph ng đi qua đi m H (ể ặ ẳ ể V i PQ là giao tuy n c a ớ ế ủ
(SPQ) và m t đáy).ặ
1/ Tính kho ng cách t đi m H đn (SAB) ả ừ ể ế
2/ Tính kho ng cách t đi m M ả ừ ể thu c m t đáyộ ặ c a hình chóp đn (SAB) ủ ế
3/ Tính kho ng cách t đi m M ả ừ ể không thu c m t đáyộ ặ c a hình chóp đn ủ ế
(SAB)
4/ Tính kho ng cách t đi m M ả ừ ể thu c m t đáyộ ặ c aủ hình chóp đn (SPQ)ế
5/ Tính kho ng cách t đi m M ả ừ ể không thu c m t đáyộ ặ c aủ hình chóp đn ế
(SPQ)
6/ Tính kho ng cách gi a hai đng th ng chéo nhau SA và đng th ng CD ả ữ ườ ẳ ườ ẳ
(v i CD là đo n th ng n m trong m t đáy).ớ ạ ẳ ằ ặ
Cách gi i:ả
1/Ta th c hi n các b c sau đâyự ệ ướ .
B c 1ướ : D ng HI ự AB t i Iạ
B c 2ướ : D ng HK ự SI t i K ạ
d(H,(SAB) = HK
*Ch ng minh: SH ứ (HAB)
AB SHAB (SHI)AB HK
Ta có. HK AB và HK SI nên
HK (SAB). Do đó d(H,(SAB) = HK
*Cách tính HK.
Tam giác SHI vuông t i H và HK ạ
SI nên.
2 2 2
1 1 1
HK SH HI
= +
.Ta tính SH
và HI t đó tính đc HK.ừ ượ
S
H
A
B
I
K
Đi m H là hình chi u vuông góc c a đnh hình chóp lên m t đáy c a hình ể ế ủ ỉ ặ ủ
chóp và sau đây g i t t là ọ ắ đi m hình chi u.ể ế Vi c xác đnh đi m hình chi u ệ ị ể ế
và tính kho ng cách t đi m hình chi u đn m t m t ph ng đi qua đnh S là ả ừ ể ế ế ộ ặ ẳ ỉ
5