CT 2
I. MỞ ĐẦU
Cân bằng khối lượng của cơ cấu là các biện pháp làm giảm hoặc triệt tiêu véctơ lực quán
tính chính và véctơ mômen lực quán tính chính của các khâu động của cơ cấu. Bài toán cân
bằng khối lượng của các cơ cấu máy đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, nhiều công trình
nghiên cứu cân bằng khối lượng của cơ cấu được công bố trên nhiều tạp chí chuyên khảo.
Một đánh giá tổng quan các nghiên cứu về cân bằng khối lượng cơ cấu được trình bày
trong công trình [1, 2, 3, 6] và nhiều công trình khác. Các kết quả cân bằng lực quán tính các cơ
cấu chấp hành song song ba, bốn và sáu bậc tự do bằng cách thêm vào các khối lượng phụ trên
các khâu đã được đăng tải trong các công trình [4, 5].
Các tay máy song song không gian ngày càng có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực cơ khí. Do
đó sự cân bằng khối lượng cơ cấu hoặc tay máy song song không gian trở thành một nhiệm vụ
quan trọng. Trong bài báo này thiết lập một dạng các điều kiện cân bằng của các cơ cấu không
gian dựa trên khái niệm véctơ hàm các toạ độ suy rộng dư [3].
II. CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG HỆ LỰC QUÁN TÍNH CỦA CƠ CẤU KHÔNG GIAN
Xét hệ nhiều vật không gian gồm p khâu, được dẫn động quay. Sử dụng các hệ toạ độ suy
rộng q1, q2, …, qq . Véctơ các toạ độ suy rộng có dạng:
T
1 2 p
= q ,q ,...,q
q (2.1)
CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG
KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO
ThS. ĐỖ TRỌNG PHÚ
Bộ môn Thiết kế Máy - Khoa Cơ khí
Trường Đại học Giao thông Vận tải
GS. TSKH NGUYỄN VĂN KHANG
Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí
Trường Đại học Bách khoa
Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng tĩnh cho
cơ cấu không gian nhiều bậc tự do. Phương pháp có ưu điểm là thích hợp với việc áp dụng
các chương trình tính toán số đang được sử dụng rộng rãi như Maple, Mathematica. Các điều
kiện cân bằng hoàn toàn lực quán tính của cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do được
trình bày trong một thí dụ áp dụng.
Summary: This paper presents a method for deriving the static balancing conditions of
spatial mechanisms with multi - degree - of - freedom. The method has advantage of being
suitable for the applications of the widely accessible computer algebra systems such as Maple,
Mathematica. In the example, the static balancing conditions for complete shaking force of a
spatial four - degree - of - freedom parallel mechanism are given.
CT 2
Biểu thức cân bằng lực quán tính theo [6]: p p
*i i i i
i=1 i=1
d
F m a 0 m v 0
dt
r
rr (2.2)
Do là điều kiện đủ, từ (2.2) có thể suy ra: p
i i
i=1
m 0
v (2.3)
Viết lại (2.3) dưới dạng: ppp
i Si i Si i Si
i=1 i=1 i=1
m x = 0, m y = 0, m z = 0
& & & (2.4)
Việc biểu diễn vị trí (
i
S
r
), vận tốc (
i
S
v
) của khối tâm
i
S
của khâu thứ i của một cơ cấu
dưới dạng giải tích tường minh rất khó thực hiện. Để biến đổi các điều kiện cân bằng dạng vi
phân về dạng đại số, ta cần sử dụng số toạ độ suy rộng lớn hơn số bậc tự do của hệ.
Sử dụng ma trận côsin chỉ hướng để xác định vị trí khối tâm
i
S
của khâu thứ i đối với hệ
toạ độ cố định theo hệ thức:
i i i
i
S O i S
r r A r
(2.5) trong đó
i
O
r
là véctơ toạ độ của điểm gốc
i
O
của hệ toạ độ động
i i i i
O
ξ η ζ
gắn liền với khâu thứ i đối với hệ toạ độ cố định
Oxyz
và
i
i
S
r
là véctơ toạ độ của điểm
i
S
trên hệ toạ độ
động
i i i i
O
ξ η ζ
như trên hình 2.1.
i
A
là
ma trận cosin chỉ hướng của khâu thứ i:
i i i i
T
i
S S S S
=ξ η ζ
r (2.6)
Chọn một véctơ hàm các toạ độ suy
rộng dư
T
1 2 m
z z ... z
z bao gồm
các phần tử là hàm của các toạ độ suy rộng
dư, sao cho vị trí của khối tâm
i
S
có thể
biểu diễn dưới dạng: Hình 2.1. Định nghĩa hệ trục toạ độ không gian
i i i
* T * T * T
S xi i S yi i S zi i
x = e + , y = e , z = e , i =1,2,...,p
a z b z c z (2.7)
Véctơ
i i i
, ,
a b c
có các thành phần không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng
q
, các thành phần
của véctơ
z
là các hàm của các toạ độ suy rộng,
* *
xi yi
e ,e
và
*
zi
e
là hằng số.
Tương tự như cách biểu diễn phương trình (2.7), các phương trình liên kết của cơ cấu có
thể viết dưới dạng ma trận:
= ,
*
I II
Dz + f 0 D = D D
(2.8)
Các ma trận D và
*
f
chỉ gồm các phần tử là các tham số hình học của cơ cấu và không phụ
thuộc vào toạ độ suy rộng
q
. Phân véctơ z thành hai nhóm:
T
z = v w
(2.9) với v là véctơ
hàm các toạ độ suy rộng tối thiểu, (2.7) có thể viết lại dưới dạng:
i i i
* T T * T T * T T
S xi iI iII S xi iI iII S xi iI iII
x = e + , y = e , z = e , i =1,2,...,p
a v a w b v b w c v c w (2.10)
Trong đó:
T T T
i iI iII i iI iII i iI iII
, , a a a b b b c c c (2.11)
CT 2
Phương trình liên kết (2.8) có thể viết lại dưới dạng: *
I II
0
D v D w f (2.12)
Ma trận
II
D
được chọn sao cho là ma trận vuông không suy biến, số phần tử của véctơ
w
chính là số phương trình biểu diễn liên kết hình học của cơ cấu. Từ (2.12) có thể biểu diễn véctơ
w
qua véctơ
v
như sau:
1 *
II I
w D f D v
(2.13)
Thế (2.13) vào (2.10) ta được: i i i
T T T
S xi i S yi i S zi i
x = e , y = e , z = e
g v h v k v
(2.14)
Từ đó suy ra:
i i i
TTT
S i S i S i 1 2 n
, , , q ,q ,...,q
v v v
x g y h z k q
q q q (2.15)
Trong đó
i i
,
g h
và
i
k
có dạng:
T T T 1 T T T 1 T T T 1
i iI iII II I i iI iII II I i iI iII II I
* T 1 * * T 1 * * T 1 *
xi xi iII II yi yi iII II zi zi iII II
, ,
e = e , e = e , e = e
g a a D D h b b D D k c c D D
a D f b D f c D f
(2.16)
Thế phương trình (2.15) vào các điều kiện cân bằng (2.4) thu được:
p p p
T T T
i i i i i i
i=1 i=1 i=1
m 0, m 0, m 0
v v v
g h k
q q q (2.17)
Để cho điều kiện (2.17) được thoả mãn với mọi giá trị của
v
thì:
p p p
T T T
i i i i i i
i=1 i=1 i=1
m = 0, m = 0, m = 0
g h k (2.18)
Các phương trình (2.18) chính là các điều kiện cân bằng lực quán tính của cơ cấu dưới
dạng đại số. Việc dẫn ra các phần tử của
i
g
,
i
h
và
i
k
là tương đối phức tạp về mặt toán học,
thí dụ trong mục 3 sẽ cho thấy phương pháp này rất phù hợp với hệ chương trình như Maple.
III. CÂN BẰNG CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN BỐN BẬC TỰ DO
Xét cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do dẫn động quay như hình 3.1. Cơ cấu gồm 5
chân liên kết bệ máy với bàn máy động, trong đó 4 chân được dẫn động. Mỗi chân nối với bàn
máy cố định bằng một khớp bản lề và nối với bàn máy động bằng một khớp cầu. Chân 5 không
được dẫn động và chỉ gồm một khâu, bốn chân được dẫn động đều gồm có 2 khâu, nối với nhau
bằng khớp các - đăng.
Để mô tả vị trí khối tâm của mỗi khâu, trên mỗi khâu định nghĩa một toạ độ tham chiếu. Hệ
trục toạ độ cố định
Oxyz
với trục
z
hướng lên trên và gốc toạ độ
O
được đặt tại tâm của khớp
bản lề của chân thứ 5 như trên hình 3.2. Hệ toạ độ di động
O x y z
được gán với bàn máy động
tại điểm
O
thuộc bàn máy động.
Toạ độ đề - các của bàn máy động được xác định qua vị trí của gốc O' so với hệ toạ độ cố
định
Oxyz
và được ký hiệu là
T
x,y,z
p, hướng của bàn máy động (hướng của hệ toạ độ
CT 2
động
O x y z
với hệ toạ
độ cố định) được xác định
qua ma trận quay
Q
. Các
phần tử của ma trận quay
là các hàm của các góc
Euler, các bất biến bậc
hai, bất biến tuyến tính
hoặc các thành phần
khác.
Toạ độ các điểm nối
i
P
trong hệ toạ độ động
của bàn máy động được
ký hiệu là
i i i
a ,b ,c
với
i 1,..,5
. Khi đó: Hình 3.1. Sơ đồ cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do dẫn động quay
i 5 i 5
, i 1,..,4
p p Q p p (3.1)
trong đó
i
p
là véctơ vị trí của các điểm
i
P
trong hệ toạ
độ cố định
Oxyz
,
i
p
là véctơ vị trí của các điểm
i
P
trong hệ toạ độ động
O x y z
:
T T
i i i i i i i i
x y z , a b c
p p (3.2)
Véctơ
5
p
là vị trí của điểm
5
P
trong hệ toạ độ cố định
như mô tả trên hình 3.2, được xác định theo:
T
5 5 5
= l cos
α 0 l cosα
p (3.3)
Giả thiết rằng vị trí khối tâm của chân thứ 5 nằm trên đường nối giữa
O
và
5
P
, khi đó có
thể xác định véctơ vị trí khối tâm của chân thứ 5 theo hình 2 như sau: 5c
5 5
5
l
l
r p (3.4)
Trong đó
5
r
là véctơ vị trí khối tâm,
5
l
là chiều dài của chân và
5c
l
là chiều dài từ
O
tới
khối tâm
5
S
. Hai khâu của chân thứ i của cơ cấu được mô tả như hình 3.3, hai hệ toạ độ tham
chiếu
i1 i1 i1 i1
O
ξ η ζ
và
i2 i2 i2 i2
O
ξ η ζ
lần lượt gắn với khâu động thứ nhất và thứ hai của chân thứ i.
Hai gốc toạ độ
i1
O
và
i2
O
lần lượt được đặt tại tâm của hai khớp. Giả thiết rằng khối tâm
i2
C
của khâu thứ 2 thuộc chân thứ i (i=1 ,.., 4) nằm trên đường nối
i2
O
và
i
P
. Như hình 3.3, sử
dụng các ký hiệu
i2 i2 i i2 i2 i2
l = O P ,
ξ = O C
và gọi i
C i2 i
l = C P
hay
i i2
C i2 C
l = l
ξ
.
Các toạ độ của các điểm
i
P
trong hệ toạ độ động gắn với bàn máy di động, được ký hiệu là
i i i
a ,b ,c
với
i 1,..,4
, và hướng của hệ toạ độ động
O x y z
đối với hệ toạ độ cố định
Oxyz
Hình 3.2.
Hệ toạ độ gắn với chân thứ 5
CT 2
được mô tả bằng ma trận quay
Q
. Điểm
i1
O
được đặt tại tâm của khớp bản lề của chân thứ
i. Toạ độ của điểm
i1
O
biểu diễn trong hệ toạ
độ cố định là
T
i0 i0 i0
x , y ,z , với
i 1,...,4
.
Ta cũng dùng ký hiệu
i1
C
và
i2
C
lần lượt
là vị trí khối tâm của của khâu dưới (khâu nối
với bàn máy cố định) và khâu trên (khâu nối
với bàn máy động) của chân thứ i. Gọi
i1
θ
và
i2
θ
lần lượt là các góc giữa khâu động thứ
nhất và khâu động thứ hai của chân thứ i với
trục z của hệ toạ độ cố định,
i
γ
là góc giữa
hướng dương của trục
x
của hệ toạ độ cố định
với trục
i1
ζ
, và
i
β
là góc giữa hướng dương của trục
x
của hệ toạ độ cố định với trục
2
i
,
trong đó giả thiết rằng véc tơ
i1
ζ
nằm trong mặt phẳng
xy
của hệ trục toạ độ cố định. Với các
ký hiệu đó, có thể viết các ma trận cosin chỉ hướng:
i i1 i i1 i
i1 i i1 i i1 i
i1 i1
sin
γ sinθ sinγ cosθ cosγ
cos
γ sinθ cosγ cosθ sinγ ,
cosθ sinθ 0
Q
i i2 i i2 i
i2 i i2 i i2 i
i2 i2
cos
β sinθ cosβ cosθ sinβ
sin
β sinθ sinβ cosθ cosβ
cosθ sinθ 0
Q (3.5)
Đã giả thiết rằng, khối tâm của khâu thứ hai của chân thứ i nằm trên đường thẳng nối
i2 i
O P
như mô tả trên hình 3.3. Khi đó có thể viết: i1 i0 i1 i1
, i 1,..,4
p r Q l (3.6)
Trong đó
i1
p
và
i0
r
lần lượt là véctơ vị trí của các điểm
i1 i2
O ,O
đối với hệ toạ độ cố định
(hình 3.3),
i1
l
và
i2
l
lần lượt là véctơ từ
i1
O
tới
i2
O
và từ
i2
O
tới
i
P
trong hệ toạ độ khâu.
i0 i1 i1 i2
i0 i0 i1 i1 i1 i2
i0 i1
x x l l
y , y , 0 , 0 , i 1,...,4
z z 0 0
r p l l (3.7)
Với
i1
l
là khoảng cách từ
i1
O
tới
i2
O
,
i2
l
là khoảng cách từ
i2
O
tới
i
P
(
i 1,...,4
). Véctơ vị
trí
i
p
của các điểm
i
P
cũng được xác định theo công thức:
i i
p p Qp
(3.8)
Trong đó :
T T
i i i i
x y z , a b c , i 1,...,4
p p (3.9)
Véctơ vị trí khối tâm của bàn máy động
P
r
, của khâu thứ nhất
i1
r
và của khâu thứ hai
i2
r
của chân thứ i xác định qua:
P P
r p Qc
;
i1 i0 i1 i1
r r Q b
;
i2 i0 i1 i1 i2 i2
r r Q Q b
l (3.10)
Trong đó :
P i1 i2
, ,
c b b
lần lượt là véctơ vị trí khối tâm của bàn máy động, của khâu thứ nhất
và thứ hai của chân thứ i xác định trong hệ toạ độ gắn liền với khâu.
Hình 3.3. Hệ toạ độ gắn với chân thứ
i
