§¸nh gi¸ æn ®Þnh bÒn v÷ng
hÖ thèng ®iÒu khiÓn ®èi t−îng mê
PGS. TS. lª hïng l©n
ThS. lª thÞ tuyÕt nhung
Khoa §iÖn - §iÖn tö
Tr−êng §¹i häc Giao th«ng VËn t¶i
Tãm t¾t: Bμi b¸o giíi thiÖu mét ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ®é dù tr÷ æn ®Þnh bÒn v÷ng cña hÖ
thèng ®iÒu khiÓn kÝn ®èi t−îng víi c¸c tham sè mê. Dùa trªn c¸c kh¸i niÖm vÒ æn ®Þnh bÒn v÷ng
cña Kharitonov vμ Tsypkin - Polyak, mét ph−¬ng ph¸p míi nh»m ®¸nh gi¸ æn ®Þnh vμ x¸c ®Þnh
mèi quan hÖ gi÷a ®é dù tr÷ æn ®Þnh bÒn v÷ng cña hÖ thèng ®iÒu khiÓn víi kho¶ng c¸ch tõ
®−êng ®¸p øng tÇn sè hÖ hë tíi ®iÓm (-1,j0) sÏ ®−îc ®Ò cËp.
Summary: This paper presents a method of determining the robustness margin of the
closed - loop control systems with fuzzy parametric uncertainty. Owing to the Kharitonov’s and
Tsypkin - Polyak’s robust stability concept, it is determined to analyse and associate the
robustness margin of the closed-loop systems with the distance of the frequency response to
the (-1,j0) point.
CB
A
i. ®Æt vÊn ®Ò
Mét vÊn ®Ò quan träng cña nghiªn cøu vÒ ®iÒu khiÓn ®èi t−îng mê lµ t×m ra c¸c ph−¬ng
ph¸p ®¸nh gi¸ æn ®Þnh hÖ thèng ®iÒu khiÓn kÝn ®èi t−îng víi c¸c tham sè mê. §· cã mét sè
c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ vÊn ®Ò nµy ch¼ng h¹n nh− [1-5]. §i theo h−íng nµy trong [8-9] t¸c gi¶
®· ®−a ra ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ æn ®Þnh hÖ thèng ®iÒu khiÓn víi ®a thøc ®Æc tr−ng cã chøa
tham sè mê trªn c¬ së më réng tiªu chuÈn æn ®Þnh bÒn v÷ng Tsypkin - Polyank.
Mét trong c¸c gi¶i ph¸p lµ më réng c¸c ph−¬ng ph¸p æn ®Þnh bÒn v÷ng víi c¸c hÖ sè chøa
tham sè kho¶ng sang c¸c hÖ chøa tham sè mê.
Bµi b¸o ë ®©y sÏ xem xÐt mét khÝa c¹nh kh¸c ®ã lµ æn ®Þnh hÖ thèng ®iÒu khiÓn kÝn cã
chøa ®èi t−îng víi c¸c tham sè mê. B»ng c¸ch tæng qu¸t hãa c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ æn
®Þnh bÒn v÷ng trong [10] vµ [11], tiªu chuÈn æn ®Þnh ®−îc ®Ò xuÊt trong bµi b¸o cã thÓ hiÖn ®å
häa trùc quan vµ trùc tiÕp ®−a ra mèi quan hÖ gi÷a ®é dù tr÷ æn ®Þnh tham sè víi ®é mê cña
th«ng tin vÒ ®èi t−îng.
ii. gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
Gi¶ sö cã m« h×nh hÖ thèng ®iÒu khiÓn tù ®éng kÝn, ph¶n håi ©m ®¬n vÞ (unity feedback).
HÖ thèng cã ®èi t−îng P(s,a,b) vµ bé ®iÒu khiÓn C(s) trong m¹ch ®iÒu khiÓn hë. Hµm truyÒn ®¹t
cña ®èi t−îng ®iÒu khiÓn:
nm
a...sbsa
b...sbsb
)a,s(A
)b,s(B
)b,a,s(P
0
1n
1n
n
n
0
1m
1m
m
m≤
+++
+++
== −
−
−
− (1)
Víi: (2)
+−+− ≤≤≤≤ iiiiii bbb,aaa
Cho tr−íc hµm truyÒn ®¹t cña bé ®iÒu khiÓn C(s), bµi to¸n ®Æt ra lµ ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh
cña hÖ thèng.
Tõ c¸c gi¶ thiÕt trªn suy ra ®a thøc ®Æc tr−ng danh ®Þnh kÝn 1)b,a,j(P).j(C +
ω
ω
. Theo tiªu
chuÈn Nyquist xÐt cho tr−êng hîp hÖ hë æn ®Þnh, ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ kÝn æn ®Þnh lµ ®¸p øng tÇn sè
cña hÖ hë kh«ng bao ®iÓm M(-1,j0).
Trë l¹i bµi to¸n ®iÒu khiÓn víi ®èi t−îng tham sè kho¶ng (1), gi¶ sö ®· cã mét hÖ thèng
danh ®Þnh æn ®Þnh víi bé tham sè , ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ kÝn æn ®Þnh lμ chuçi c¸c miÒn gi¸ trÞ
kh«ng bao ®iÓm (-1,j0).
*
i
*
ib,a
{
),0[),b,a,j(P).j(C +∞∈ωωω
}
ë ®©y c¸c tham sè ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng:
*
i
*
ib,a
2
aa
a,
2
aa
a,aaa
2
bb
b,
2
bb
b,bbb
ii
i
ii
*
ii
*
ii
ii
i
ii
*
ii
*
ii
−++−
−++−
−
=Δ
+
=Δγ+=
−
=Δ
+
=Δγ+=
(3)
Khi ®ã chuyÓn sang miÒn tÇn sè c¸c ®a thøc tö sè cã thÓ viÕt l¹i nh− sau:
CB
A
()
(){}
()({}
{}{}
*
B
*
BB
*
B
3*
3
*
1
3*
3
*
1
2
20
2*
2
*
0
m
m
*
m
1
*
1
0
*
0
m
m10
IIjRR
...bb...bbj...bb...bb
)j)(bb(...)j)(bb()bb(
)j(b...)j(bb)b,j(B
Δγ++Δγ+=
+ωΔ−ωΔγ++ω−ω++ωΔ−Δγ++ω−=
ωΔγ+++ωΔγ++Δγ+=
ω++ω+=ω
)
)
(4)
T−¬ng tù ®a thøc mÉu sè biÓu diÔn sang miÒn tÇn sè:
()
(){}
()({}
{}{}
*
A
*
AA
*
A
3*
3
*
1
3*
3
*
1
2
20
2*
2
*
0
IIjRR
...aa...aaj...aa...aa
)a,j(A
Δγ++Δγ+=
+ωΔ−ωΔγ++ω−ω++ωΔ−Δγ++ω−=
=ω
(5)
C¸c sè phøc )b,j(B
ω
,gåm c¸c phÇn thùc vµ phÇn ¶o lµ tæng c¸c sè kho¶ng. )a,j(A ω
Nh− vËy t¹i mçi tÇn sè ω> 0, ®Æc tÝnh tÇn sè )b,a,j(P
ω
lµ miÒn gi¸ trÞ:
(
)
(
)
()()
A
*
AA
*
A
B
*
BB
*
B
AA
BB
IIRR
IIjRR
jIR
jIR
)b,a,j(P Δγ+Δγ+
Δγ++Δγ+
=
+
+
=ω (6)
trong ®ã:
...bbI;...bbI
...bbR;...bbR
3*
3
*
1B
3*
3
*
1
*
B
2
20
B
2*
2
*
0
*
B
+ωΔ−ωΔ=Δ+ω−ω=
+ωΔ−Δ=Δ+ω−= (7)
...aaI;...aaI
...aaR;...aaR
3*
3
*
1A
3*
3
*
1
*
A
2
20
A
2*
2
*
0
*
A
+ωΔ−ωΔ=Δ+ω−ω=
+ωΔ−Δ=Δ+ω−= (8)
CB
A
}
XÐt mét ®iÓm cè ®Þnh thuéc mÆt ph¼ng phøc. §iÓm M sÏ n»m trong miÒn gi¸ trÞ
Nyquist
{
khi vµ chØ khi tån t¹i mét gi¸ trÞ thùc
jvuM +=
),0[),b,a,j(P).j(C +∞∈ωωω
γ
sao cho:
)j(C
jvu
)b,a,j(Pjvu)b,a,j(P).j(C ω
+
=ω⇒+=ωω (9)
Tõ (6) vµ (9) cã:
(
)
(
)
()()
'jv'u
)j(C
jvu
IIRR
IIjRR
A
*
AA
*
A
B
*
BB
*
B+=
ω
+
=
Δγ+Δγ+
Δγ++Δγ+ (10)
(
)
(
)
(
)
()( )( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
Δγ++Δγ+=Δγ+
Δγ+−Δγ+=Δγ+
A
*
AA
*
AB
*
B
A
*
AA
*
AB
*
B
RR'vII'uII
II'vRR'uRR (11)
Suy ra:
(
)
(
)
(
)
()( )( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
Δγ++Δγ+=Δγ+
Δγ+−Δγ+=Δγ+
A
*
AA
*
AB
*
B
A
*
AA
*
AB
*
B
RR'vII'uII
II'vRR'uRR (12)
()
(
)
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=Δ−Δ−Δγ+−−
=Δ+Δ−Δγ++−
⇒0R'vI'uIR'vI'uI
0I'vR'uRI'vR'uR
AAB
*
A
*
A
*
B
AAB
*
A
*
A
*
B (13)
Khi ®ã tÝnh æn ®Þnh bÒn v÷ng cña hÖ thèng ®−îc ®¸nh gi¸ qua tiªu chuÈn sau:
§Þnh lý 1: HÖ thèng ®iÒu khiÓn kÝn ®èi t−îng víi tham sè kho¶ng (1) lμ æn ®Þnh bÒn v÷ng
khi vμ chØ khi:
a. HÖ thèng kÝn danh ®Þnh æn ®Þnh
b. γ≥ω ∞
)b,a,j(L
Víi
(
)
()
(
)
()
AAB
*
A
*
A
*
B
AAB
*
A
*
A
*
B
R'vI'uI
R'vI'uI
j
I'vR'uR
I'vR'uR
)b,a,j(L Δ−Δ−Δ
−−
+
Δ+Δ−Δ
+−
=ω (14)
Chøng minh
Gi¶ sö víi bé tham sè hÖ thèng kÝn æn ®Þnh.
*
i
*
ib,a
Theo tiªu chuÈn Nyquist më réng ®· tr×nh bµy ë trªn, ®Ó hÖ thèng kÝn æn ®Þnh th× miÒn gi¸
trÞ
{}
),0[),b,a,j(P).j(C +∞
∈
ωωω kh«ng bao ®iÓm (u,jv), ta cã:
(
)
(
)
()()
)j(C
jvu
IIRR
IIjRR
A
*
AA
*
A
B
*
BB
*
B
ω
+
≥
Δγ+Δγ+
Δγ++Δγ+ (15)
()
(
)
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥Δ−Δ−Δγ+−−
≥Δ+Δ−Δγ++−
⇒0R'vI'uIR'vI'uI
0I'vR'uRI'vR'uR
AAB
*
A
*
A
*
B
AAB
*
A
*
A
*
B (16)
Tõ (16) suy ra:
⎣⎦
()
()
(
)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ−Δ−Δ
−−
Δ+Δ−Δ
+−
≤γ
AAB
*
A
*
A
*
B
AAB
*
A
*
A
*
B
R'vI'uI
R'vI'uI
,
I'vR'uR
I'vR'uR
min (17)
Vµ suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh: γ≥ω ∞
)b,a,j(L .
BiÓu thøc (17) thÓ hiÖn vÒ mÆt ®å häa nh− sau:
γ
lµ b¸n kÝnh h×nh vu«ng tiÖm cËn víi
®−êng cong ë (14), ®ã chÝnh lµ ®é dù tr÷ tham sè æn ®Þnh bÒn v÷ng (robustness
margin) cña hÖ thèng.
)b,a,j(L ω
VÝ dô:
Cho hÖ thèng ®iÒu khiÓn kÝn sau: §èi t−îng
01
2
01
~
asas
bsb
)s(P ++
+
=.
Trong ®ã c¸c tham sè cña ®èi t−îng lµ tham sè kho¶ng:
[
]
[
]
[
]
[
]
3.3,1.3,7.2b,3.2,9.1,7.1b,5.10,2.10,5.9a,5.2,2.3,5.3a 1001 =
=
=
−
−−= CB
A
Bé ®iÒu khiÓn 5s10s
23s20
)s(C 2++
+
=:
Khi ®ã ®a thøc ®Æc tr−ng danh ®Þnh kÝn: . 7.94s3.195s2.45s8.6s)s(A 234
k++++=
§a thøc nµy cã 4 nghiÖm n»m ë nöa tr¸i mÆt ph¼ng phøc:
;5495.0p;9024.4p;8909.5j6741.0p;8909.5j6741.0p 4321 −=
−
=
−
−
=
+
−=
Nh− vËy hÖ thèng danh ®Þnh kÝn æn ®Þnh. §å thÞ )b,a,j(L
ω
nh− h×nh vÏ:
Tõ h×nh vÏ ta cã I
I
R
R
2.8 Δ
=
Δ
==γ cho biÕt
ph¹m vi ®iÒu chØnh tham sè, ®ã chÝnh lµ ®é dù tr÷
tham sè æn ®Þnh bÒn v÷ng (robustness margin)
iii. Bμi to¸n x©y dùng tiªu chuÈn æn
®Þnh bÒn v÷ng hÖ thèng ®iÒu khiÓn kÝn
®èi t−îng víi tham sè mê
Gi¶ sö cã m« h×nh hÖ thèng ®iÒu khiÓn tù
®éng kÝn, ph¶n håi ©m ®¬n vÞ (unity feedback). §èi t−îng mê vµ bé ®iÒu khiÓn C(s) n»m
trong m¹ch ®iÒu khiÓn hë cña hÖ thèng kÝn. Trong ®ã hµm truyÒn ®¹t ®èi t−îng:
)q,s(P ~~
nm,
a...sbsa
b...sbsb
)a,s(A
)b,s(B
)q,s(P
0
~
1n
1n
~
n
n
~
0
~
1m
1m
~
m
m
~
~~
~~
~~ ≤
+++
+++
==
−
−
−
− (18)
Víi vÐc t¬ tham sè mê ; c¸c tham sè
)b,a(q ~~~ =m,1j,bj
~=;n,1i,ai
~= lµ c¸c sè mê cã hµm
thuéc tam gi¸c, dùa vµo kh¸i niÖm vÒ l¸t c¾t
λ
cã thÓ biÓu diÔn sè mê nh− mét sè kho¶ng nh−
sau:
[]
()
()
() ()
[]
+−
+−+−−+
Δλ−+Δλ−−=
ΔΔλ−+=λλ=ΔΔλ=
i
*
ii
*
i
ii
*
iiiiiii
a1a,a1a
a,a1a)(a),(a)a,a,(aa (19)
T−¬ng tù víi :
j
~
b
[
]
(
)
(
)
() ()
[]
+−
+−+−−+
Δλ−+Δλ−−=
ΔΔλ−+=λλ=ΔΔλ=
j
*
jj
*
j
jj
*
jjjjjjj
b1b,b1b
b,b1b)(b),(b)b,b,(bb (20)
Khi ®ã chuyÓn sang miÒn tÇn sè, c¸c ®a thøc mÉu sè vµ tö sè cã thÓ viÕt nh− sau:
() ()
[]
() ()
[]
()
() ()
[]
()
()
()
[]
()
()
[]
+−+−
+−
+−+−
−
−
ΔΔλ−++ΔΔλ−+=+=
=ωΔλ−+Δλ−−+
+ωΔλ−+Δλ−−+Δλ−+Δλ−−=
=++ω+ω=ω
BB
*
BBB
*
BBB
n
m
*
mm
*
m
1
*
11
*
10
*
00
*
0
0
~
1m
1m
~
m
m
~~~
I,I1IjR,R1RjIR
jb1b,b1b
...jb1b,b1bb1b,b1b
b...)j(b)j(b)b,j(B
(21)
CB
A
trong ®ã:
..bbbI,...bbbR
...bbbI,...bbbR
...bbbI,...bbbR
5
5
3
31
B
4
4
2
20
B
5
5
3
31B
4
4
2
20B
5*
5
3*
3
*
1
*
B
4*
4
2*
2
*
0
*
B
+ωΔ+ωΔ−ωΔ=Δ+ωΔ+ωΔ−Δ=Δ
+ωΔ+ωΔ−ωΔ=Δ+ωΔ+ωΔ−Δ=Δ
+ω+ω−ω=+ω+ω−=
+−+++−++
−+−−−+−− (22)
T−¬ng tù:
()
(
)
[]
()
(
)
[
]
+−+− ΔΔλ−++ΔΔλ−+=+=ω AA
*
AAA
*
AAA
~~ I,I1IjR,R1RjIR)a,i(A (23)
Víi
..aaaI,...aaaR
...aaaI,...aaaR
...aaaI,...aaaR
5
5
3
31
A
4
4
2
20
A
5
5
3
31A
4
4
2
20A
5*
5
3*
3
*
1
*
A
4*
4
2*
2
*
0
*
A
+ωΔ+ωΔ−ωΔ=Δ+ωΔ+ωΔ−Δ=Δ
+ωΔ+ωΔ−ωΔ=Δ+ωΔ+ωΔ−Δ=Δ
+ω+ω−ω=+ω+ω−=
+−+++−++
−+−−−+−−
(24)