Bất đẳng thức Bernoulli
Giảng viên hướng dẫn: TS.Nguyễn Minh Tuấn
Sinh viên: Nguyễn Thanh Tuấn
Lớp:K48A1S
Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội
Tóm tắt nội dung
Bất đẳng thức Bernoulli là một trong những bất đẳng thức quen
thuộc trong chương trình toán lớp 12. Nó thường được sử dụng để
chứng minh nhiều bất đẳng thức khác. Vì vậy việc xây dựng va chứng
minh bất đẳng thức này có ý nghĩa rất quan trọng.
Bản thân bất đẳng thức này thường được chứng minh bằng cách sử
dụng đạo hàm (hoặc có thể dùng phương pháp quy nạp).
Trong bài tiểu luận này tôi xin trình bày một số vấn đề về bất đẳng
thức Bernoulli:
1. Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli.
2. Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài toán
mới.
Mục lục
1 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli 1
2 Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài
toán mới. 2
1 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli
Ta luôn có: x2+ 1 ≥2x(∀x∈R)⇔x2+ (2 −1) ≥2x(∀x∈R)
Tổng quát: xα+ (α−1) ≥αx . Đúng hay không ? Nếu đúng thì điều kiện
của xcủa αlà gì ?
1
Bất dẳng thức Bernoulli:
Với mọi x>0:
a. Khi 0≤α≤1, ta có: xα+ (α−1) ≤αx
b. Khi α≤0∨α≥1, ta có: xα+ (α−1) ≥αx
Chứng minh. Xét hàm số: f(x) = xα−αx + (α−1) t
2 Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc
sáng tạo các bài toán mới.
Bài toán 1. Cho αlà một số thực nằm trong đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng:
1 + α≥2α≥1 + α2
Chứng minh. Do α∈[0; 1] nên áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có:
2α+ (α−1) ≤2α⇔2α≤α+ 1 (1)
Mặt khác, do 1−α∈[0; 1] nên theo (1) ta có:
21−α+ (1 −α−1) ≤2(1 −α)⇔21−α≤2−α
Từ đó suy ra:
2α≥2
2−α(2)
Bây giờ ta chứng minh:
2
2−α≥1 + α2(3)
Thật vậy, dễ thấy bất đẳng thức (3) tương đương với bất đẳng thức đúng
α(α−1)2≥0
Vậy: 1 + α≥2α≥1 + α2
Bài toán 2. Cho α1, α2, α3,...,αm(m≥1) là các số thực không âm thỏa
mãn điều kiện α1
2+α2
2+···+αm
2= 1.Chứng minh:
2α1+ 2α2+···+ 2αm≥m+ 1
Chứng minh. Thật vậy, từ α1
2+α2
2+···+αm
2= 1 ta suy ra được:
α1∈[0; 1]; α2∈[0; 1]; ...;αm∈[0; 1]
2
Áp dụng bất đẳng thức 2α≥1 + α2lấn lượt cho α1, α2, α3,...,αm(m≥1)
Ta có:
2α1≥1 + α1
2
2α2≥1 + α2
2
...
2αm≥1 + αm
2
Cộng các bất đẳng thức trên vé theo vế ta được:
2α1+ 2α2+···+ 2αm≥1 + 1 + ···+ 1
|{z }
m
+(α1
2+α2
2+···+αm
2)
hay:
2α1+ 2α2+···+ 2αm≥m+ 1
3