ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
TS. Trần Huyên
Ngày 27 tháng 3 năm 2005
Bài 9. Các Bài Toán Về Miền Nguyên
Và Trường
Khái niệm miền nguyên được xem như là sự tổng quát hóa trực tiếp cấu trúc của vành số
nguyên Z. Nó bao hàm hết tất cả các tính chất của vành Z, được đặt trên các phép toán trong
Z. Cụ thể là :
Định nghĩa 1 : Miền nguyên là vành X giao hoán, có đơn vị 16= 0 (và do vậy |X|>1) và
tích của hai phần tử khác 0 là khác 0.
Về điều kiện sau cùng của vành X "tích của hai phần tử khác 0 là khác 0" cũng thường được
phát biểu theo một ngôn ngữ khác tương đương là : Vành X "không có ước của 0". Khái niệm
ước của 0 được xác định như sau :
Định nghĩa 2: Trong vành giao hoán X, phần tử a6= 0 được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần
tử b6= 0 sao cho ab = 0.
Như vậy : Miền nguyên là một vành giao hoán X, có đơn vị 16= 0 và không có ước của 0.
Do điều kiện "không có ước của 0" có thể được diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau, vì vậy
khái niệm miền nguyên ngoài hai định nghĩa được nói ở trên còn có thể xác định theo những
cách khác.
Ví dụ 1 :
Cho vành X giao hoán có đơn vị 16= 0. Chứng minh rằng X là miền nguyên ⇔trong X có luật
giản ước cho các phần tử a6= 0 đối với phép nhân.
Giải
Cho Xlà miền nguyên. Khi đó với mỗi a6= 0, từ đẳng thức ax =ay ta suy ra :
ax −ay = 0 ⇒a(x−y) = 0
⇒x−y= 0 (vì a6= 0)
⇒x=y
tức có luật giản ước cho mỗi phần tử a6= 0 (nếu x−y6= 0 thì alà ước của 0 !).
Ngược lại, nếu Xlà vành giao hoán có đơn vị 16= 0 và có luật giản ước cho mỗi phần tử x6= 0.
1
Khi đó nếu ab = 0 thì hoặc a= 0, hoặc a6= 0; nếu a6= 0 thì từ ab =0=a.0suy ra b= 0, sau
khi giản ước a. Vậy Xkhông có ước của 0, tức Xlà miền nguyên.
Chú ý : Luật giản ước cho mỗi a6= 0 trong miền nguyên là một tính chất quan trọng của
miền nguyên và thường hay được sử dụng trong khá nhiều bài toán liên quan tới miền nguyên,
chẳng hạn ở ví dụ 2 dưới đây.
Trước khi đưa ra ví dụ tiếp theo, ta cần nhắc lại một khái niệm quan trọng khác, là khái niệm
trường.
Định nghĩa 3: Trường là vành Xgiao hoán có đơn vị 16= 0 và phần tử bất kỳ x6= 0 đều có
nghịch đảo x−1(tức xx−1= 1).
Hiển nhiên rằng trường là một miền nguyên và do đó tập các phần tử khác 0 của trường X(ta
kí hiệu là X∗) là ổn định đối với phép nhân, đồng thời lập thành nhóm giao hoán. Vì vậy ta
có thể định nghĩa trường, kế thừa các tri thức về nhóm như sau : Trường là một tập hợp Xcó
nhiều hơn một phần tử, trên đó xác định được hai phép toán cộng (+) và nhân (.), thỏa :
1. (X; +) lập thành nhóm giao hoán.
2. (X∗;.)lập thành nhóm giao hoán.
3. Luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Hiển nhiên muốn kiểm tra một tập Xcho trước với các phép toán nào đó là trường chúng ta
phải tuân thủ một trong các định nghĩa nói trên.
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng một miền nguyên hữu hạn là một trường.
Giải
Nếu Xlà miền nguyên hữu hạn thì hiển nhiên (X; +) là nhóm giao hoán và có luật phân phối
của phép nhân với phép cộng. Vì Xlà miền nguyên nên X∗ổn định đối với phép nhân (tích
hai phần tử khác 0 là khác 0 !). Phép toán nhân trên Xlà kết hợp, giao hoán nên nó cũng kết
hợp, giao hoán trên X∗⊂X. Theo ví dụ 1 phép nhân trên X∗có luật giản ước. Vậy (X∗, .)
là nửa nhóm hữu hạn (do Xhữu hạn) có luật giản ước nên X∗là nhóm và là nhóm giao hoán.
Vậy Xlà trường.
Cũng như trong các bài toán kiểm tra vành, để kiểm tra một miền nguyên hay một trường ta
có thể kiểm tra gián tiếp thông qua tiêu chuẩn cấu trúc con, khi đã xác định được rằng miền
nguyên hay trường cần phải kiểm tra là bộ phận của một miền nguyên hay trường đã biết.
Để ý rằng nếu X là miền nguyên còn A⊂
vX, thì Ahiển nhiên là giao hoán và không có ước
của 0 (hai tính chất này kế thừa từ X) nên khi đó Alà miền nguyên nếu Achứa đơn vị 1.
Còn Xlà trường thì bộ phận A6= ø trong Xlà trường con (kí hiệu A⊂
tX)
⇔ ∀x, y ∈A:x−y∈A
và ∀x, y ∈A∗:xy−1∈A∗.
Ví dụ 3 : Cho các tập số sau :
Z(√−3) = {a+b√−3 : a, b ∈Z}
Q(√−3) = {a+b√−3 : a, b ∈Q}.
Chứng minh rằng Z(√−3) là miền nguyên, Q(√−3) là trường với các phép toán cộng và nhân
thông thường các số.
2
Giải :
Để chứng tỏ Z(√−3) là miền nguyên, do nhận thấy rằng Z(√−3) là bộ phận của trường số
phức (C; +; .)nên trước hết ta chứng tỏ rằng Z(√−3) ⊂
vC.
Thật vậy :
∀a1+b1√−3, a2+b2√−3∈Z(√−3) ta có :
•(a1+b1√−3) −(a2+b2√−3) = (a1−a2)+(b1−b2)√−3∈Z(√−3)
•(a1+b1√−3)(a2+b2√−3) = (a1a2−3b1b2)+(a1b2+a2b1)√−3∈Z(√−3)
Vậy Z(√−3) ⊂
vCtheo tiêu chuẩn của vành con.
Vì trường (C; +; .)là giao hoán, không có ước của 0 nên bộ phận Z(√−3) cũng giao hoán,
không có ước của 0. Hơn nữa đơn vị 1 = 1 + 0√−3∈Z(√−3). Vậy Z(√−3) là vành giao hoán
có đơn vị 16= 0 và không có ước của 0, tức Z(√−3) là miền nguyên.
Để chứng tỏ Q(√−3) là trường, ta chỉ cần chứng tỏ Q(√−3) ⊂
tC. Hiển nhiên là Q(√−3) 6= ø.
• ∀ (a1+b1√−3),(a2+b2√−3) ∈Q(√−3) :
(a1+b1√−3) −(a2+b2√−3) = (a1−a2)+(b1−b2)√−3∈Q(√−3)
• ∀ (a1+b1√−3),(a2+b2√−3) ∈[Q(√−3)]∗:
a1+b1√−3
a2+b2√−3=(a1+b1√−3)(a2−b2√−3)
a2
2+ 3b2
2
=a1a2+ 3b1b2
a2
2+ 3b2
2
+a2b1−a1b2
a2
2+ 3b2
2
√−3∈[Q(√−3)]∗
Vậy Q(√−3) ⊂
tC, tức Q(√−3) là trường.
* Chú ỷ : Trong việc kiểm tra Q(√−3) ⊂
tCở trên khi chỉ ra thương hai phần tử khác 0 của
Q(√−3) là phần tử của [Q(√−3)]∗, ta đã tìm cách biểu diễn thương đó thành phần tử thuộc
Q(√−3) mà không cần kiểm tra tính khác 0 của thương đó, vì trong một trường đã cho trước
thì thương hai phần tử khác 0 hiển nhiên là khác 0.
Từ một miền nguyên ta có thể xây dựng nên một trường cực tiểu chứa miền nguyên đó, gọi là
trường các thương. Nếu Xlà miền nguyên thì Q(X), trường các thương của X, có các phần
tử được viết dưới dạng ab−1với a, b ∈X, b 6= 0; nên để chứng minh một trường là trường các
thương của miền nguyên nào đó, thông thường ta chứng minh miền nguyên có thể nhúng vào
trường xem như vành con của nó và mỗi phần tử của trường được biểu diễn như thương của
hai phần tử của miền nguyên.
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng trường Q(√−3) là trường các thương của miền nguyên Z(√−3)
(ở ví dụ 3).
Giải :
Trước hết ta có Z(√−3) ⊂Q(√−3).
Hơn nữa nếu
q1+q2√−3∈Q(√−3) thì cả q1=a1
b1
, q2=a2
b2
3
là các thương từ Z(√−3) nên chúng là các phần tử của trường các thương của Z(√−3). Hiển
nhiên √−3=1.√−3∈Z(√−3) và thộc vào trường các thương của Z(√−3). Do tính ổn định
đối với các phép toán cộng và nhân của trường mà q1+q2√−3là phần tử của trường các
thương của Z(√−3). Vậy trường Q(√−3), bị chứa trong trường các thương của Z(√−3), tuy
nhiên do tính cực tiểu của trường các thương nên nó trùng với Q(√−3).
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng vành Zncác số nguyên mod nlà một trường ⇔nlà số nguyên tố.
2. Chứng minh rằng trường (Q; +; .)các số hữu tỉ không chứa trường con nào khác ngoài
bản thân nó. Kết luận có đúng với trường Zpvới plà số nguyên tố hay không?
3. Cho Xlà vành mà các phần tử là lũy đẳng, tức ∀x∈Xthì x2=x. Chứng minh rằng :
(a) x=−x, ∀x∈X.
(b) Xlà vành giao hoán.
(c) Nếu Xkhông có ước của 0, có nhiều hơn một phần tử thì Xlà miền nguyên. Khi
đó Xcó phải là trường không?
4. Cho Xlà trường, elà phần tử đơn vị của X. Xét tập con
A={ne :n∈Z}
Chứng minh rằng Alà miền nguyên khi cấp elà vô hạn, còn Alà trường khi cấp elà hữu
hạn. (cấp eở đây là cấp phần tử etrong nhóm cộng (X; +))
5. Cho tập các ma trận cấp hai :
M= a b
b a :a, b ∈R.
(a) Chứng minh rằng Mlà vành giao hoán có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân
ma trận.
(b) Phần tử A=a b
b a là ước của 0 trong M⇔det A= 0.
(c) Tập :
K= a0
0a:a, b ∈R.
là trường con của vành Mvà nếu có một trường con Tcủa Mmà T⊃Kthì T=K.
(d) Tập :
L= a b√2
b√2a:a, b ∈Q.
là một trường con của M. Trường Lcó được tính chất tương tự như trường Kở câu
c không?
4