zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Các bài toán về phép đếm (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

Báo xấu

846
lượt xem 162
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các bài toán về phép đếm (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán về phép đếm (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11 tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 11-04 Các bài toán về phép đếm Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị? Bài 2: Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. Bài 3: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông: a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ. b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ? Bài 4: Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6 giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi? Bài 5: Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ? Bài 6: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9. Bài 7: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ. Bài 8: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? Bài 9: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem). Có bao nhiêu cách làm như vậy? Bài 10: Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau? ………………….Hết……………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 2 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 08-04 Bài 1: Chứng minh rằng với k , n ∈ ¥ ; 2 ≤ k ≤ n luôn có: Cn + 4Cn −1 + 6Cn − 2 + 4Cnk −3 + Cn − 4 = Cn + 4 k k k k k Giải: Ta có : VT = Cnk + Cnk −1 + 3 ( Cnk −1 + Cnk − 2 ) + 3 ( Cnk − 2 + Cnk − 3 ) + Cnk − 3 + Cnk − 4 = Cnk+1 + 3Cnk+−11 + 3Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ 1 + Cnk+−11 + 2 ( Cnk+−11 + Cnk+−12 ) + Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ 2 + 2Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 2 + Cnk+−2 + Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 3 + Cnk+−3 = Cnk+ 4 = VP 1 1 1 1 ⇒ DPCM Bài 2: Chứng minh rằng: 2Cn + 5Cn +1 + 4Cn + 2 + Cn +3 = Cn + 22 + Cn +33 k k k k k+ k+ Giải: Ta có : Cnk + 2Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk + Cnk + 1 + Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk++11 + Cnk++12 = Cnk++22 Cnk + 3Cnk + 1 + 3Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk + Cnk + 1 + 2 ( Cnk + 1 + Cnk + 2 ) + Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++11 + 2Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++11 + Cnk++12 + Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++22 + Cnk++23 = Cnk++33 ⇒ 2Cnk + 5Cnk + 1 + 4Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++22 + Cnk++33 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau: S = C2010C2010 + C2010C2009 + ... + C2010C2010−−kk + ... + C2010 C10 0 2009 1 2008 k 2010 2009 Page 3 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Giải: Ta có : C2010C2010−−kk = k 2009 2010! . ( 2010 − k ) ! = 2010! = 2010.2009! k !( 2010 − k ) ! (2009 − k )! k !( 2009 − k ) ! k !( 2009 − k ) ! = 2010C2009 k ⇒ S = 2010 ( C2009 + C2009 + ... + C2009 + ... + C2009 ) = 2010(1 + 1) 2009 = 1005.22010 0 1 k 2009 Bài 4: Với n, k là số nguyên dương và 1 ≤ k ≤ n . Chứng minh rằng: Cn Cnk − CnCnk−11 + Cn Cnk− 22 − ... + (−1)Cnk C0n − k = 0 0 1 − 2 − Giải: k ( 1 + x ) = Ck + C1 x + Ck x2 + ... + Ck xk 0 k 2 k Ta có :C m .Cn = k k! . n! = n! . ( n − m) ! k m !( k − m ) ! k !( n − k ) ! m !( n − m ) ! ( k − m ) !( n − k ) ! m k −m = Cn .Cn−m k ⇒ Cn ( 1 + x ) = Cn Cn + C1C k −1x + Cn C k −2 x 2 + ... + Cn C n−k x k k 0 k n n−1 2 k n−2 0 Thay x = −1 ⇒ Cn Cn − C1C k −1 + Cn C k −2 − ... + (−1)Cn C n−k = 0 ⇒ DPCM 0 k n n−1 2 k n−2 0 • BTVN NGÀY 09-04 Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho: C xy+1 : C xy +1 : Cxy −1 = 6 : 5 : 2 Giải: Page 4 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Điều kiện: 0 ≤ y ≤ x +1  Cxy+1 Cxy +1   = (1)  y ≥1  6 5 0 ≤ y + 1 ≤ x ⇔  ⇔ 0 ≤ y − 1 ≤ x  x ≥ y + 1  Cxy +1 Cxy −1  = (2)  5  2 1 ( x + 1)! 1 x! (1) ⇔ . = . ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1) 6 y !( x − y + 1)! 5 ( y + 1)!( x − y − 1)! 1 x! 1 x! (2) ⇔ . = . ⇔ 2( x − y )( x − y + 1) = 5 y ( y + 1) 5 ( y + 1)!( x − y − 1)! 2 ( y − 1)!( x − y + 1)! 5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1) ⇔ ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 15 y ( y + 1) ⇔ x + 1 = 3 y  2( x − y )( x − y + 1) = 5 y ( y + 1) ⇒ x = 3 y − 1thay vào (4) ⇒ 2(2 y − 1)(2 y ) = 5 y ( y + 1) ⇔ 4(2 y − 1) = 5 y + 5 ⇔ y = 3 ⇒ x = 8 ⇒ S = {(8;3)} Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2 Axy + Cxy = 50   y ( x, y ∈ ¥ ) 5 Ax − 2Cx = 80 y  Giải Đặt: a = Axy  5a − 2b = 80 a = 20  ⇒ ⇒  b = Cxy  2a + b = 50 b = 10  x!  ( x − y )! = 20  y! = 2  x( x − 1) = 20  x 2 − x − 20 = 0   ⇒ ⇒  x! ⇒ ⇔  x! = 20  y = 2 y = 2 = 10  ( x − y )!   y !( x − y )!  x = 5 ⇔ y = 2 Bài 3: Giải bất phương trình: Page 5 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 5 2 Cn −1 − Cn −1 − 4 3 An − 2 < 0 (n ∈ ¥ ) 4 Giải Điều kiện: n − 1 ≥ 4  n − 1 ≥ 3 ⇒ n ≥ 5 n − 2 ≥ 2  (n − 1)! (n − 1)! 5(n − 2)! n −1 n −1 5 ⇒ − −
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  x( x − 1) = 12 x = 4 x = 4 ⇔ ⇔ ⇔  y ( y − 1)( y − 2) = 60 ( y − 5)( y + 2 y + 12) = 0 y = 5 2 ⇒ S = { ( 4;5) } Bài 5: Giải PT: C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 220 − 1 (n ∈ ¥ ) 1 2 n Giải C2 n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 1 Vì :(1 + 1)2 n +1 = C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 + C2nn++1 + ... + C22nn++11 1 1 Do : C2kn +1 = C22nn++11− k (∀ k = 0;2n + 1) ⇒ 22 n +1 = 2 ( C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 ) ⇒ C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 = 22 n 1 1 ⇒ 220 − 1 = C2 n +1 + ... + C2nn +1 = 22 n − 1 ⇒ 22 n = 220 ⇒ n = 10 1 • BTVN NGÀY 11-04 Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị? Giải Giả sử số có 6 chữ số là: a1a2 a3 a4 a5 a6 = AB  6  A = a1 + a2 + a3  A + B = ∑ k = 21  A = 10 Trong đó:  ⇒ k =1 ⇒  B = a4 + a5 + a6   B = 11  A − B = −1 Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có: A = 1+ 3 + 6 = 1+ 4 + 5 = 2 + 3 + 5 Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng Page 7 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Khi ấy có : 3!.3!=36 cách. Vậy có tất cả: 3.36=108 (số) Bài 2: Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. Giải Ta có 2 trường hợp sau: • TH1: a1a2 a3 a4 a5 a6 0 Như vậy 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0) Có: A86 = 20160 • TH2: a1a2 a3a4 a5 a6 a7 với a7 ∈ { 2; 4; 6;8} Vậy có 4 cách chọn a7 Và 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại đi những số đứng đầu là số 0. Vậy có: 4( A8 − A7 ) = 70560 6 5 Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số) Bài 3: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông: c) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ. d) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ? Giải: a) Có 3 khả năng xảy ra là: Page 8 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 * ( 1D ;3T ;3V )  * ( 1D ; 2T ; 4V )  * ( 1D ;1T ;5V ) Vậy có tất cả: C4 .C33 .C5 + C4 .C32 .C54 + C4 .C3 .C5 = 112 1 3 1 1 1 5 b) Cũng có 3 khả năng là: * ( 3V ;3D ;1T )  * ( 3V ; 4 D )  * ( 4V ;3D ) Vậy có tất cả: C4 .C53 .C3 + C5 .C4 + C54 .C4 = 150 3 1 3 4 3 Bài 4: Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6 giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi? Giải: Có 3 trường hợp lien quan đến việc chịn ra cây ổi: • TH1: ( Không có ổi) Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có: C4 .C6 4 2 = 15 • TH2: ( Có 1 ổi). Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài. Vậy có: C2C44 .C6 + C2 .C4 .C62 = 132 1 1 1 3 • TH3: (Có 2 ổi). Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có: C22 .C4 .C6 = 24 3 1 Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách) Bài 5: Page 9 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ? Giải: 8 Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là: C15 Xét 3 trường hợp: 8 • Không có nữ: Có C10 1 7 • Có 1 nữ: Có C5 .C10 2 6 • Có 2 nữ: Có C5 .C10 8 ( Vậy có tất cả: C15 − C10 + C5 .C10 + C5 .C10 = 3690 8 1 7 2 6 ) Bài 6: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9. Giải:  6  a1a2 a3a4 a5 a6 M ⇔  ∑ ak M 9 9  k =1  Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999 Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng: u1 = 100017  un = 999999 ⇒ un = (n − 1)d ⇔ 999999 = 18(n − 1) ⇔ n = 50000 d = 18  Vậy có 50000 số thõa mãn. Bài 7: Page 10 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ. Giải: Vì : Lẻ= chẵn + lẻ nên: Khi xét số có 5 chữ số: a1a2 a3a4 a5 ta có 2 khả năng: • Nếu a1 + a2 + a3 + a4 chẵn thì a5 = { 1;3;5; 7;9} • Nếu a1 + a2 + a3 + a4 lẻ thì a5 = { 0; 2; 4; 6;8} Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số a1a2 a3 a4 là: 9.10.10.10 = 9.103 Mà mỗi số đó sinh ra 5 số có 5 chữ số. Vậy có tất cả là: 5.9.103 = 45000 (Số) Bài 8: Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? Giải: Để lập nhóm ta tiến hành 3 bước: • Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có C83 cách 4 • Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có C7 cách • Chọn 2 em biết tiếng Đức từ 5 em: Có C52 cách Vậy có tất cả: C8 .C7 .C5 = 19600 ( Cách) 3 4 2 Bài 9: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem). Có bao nhiêu cách làm như vậy? Giải: Ta có: Page 11 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 • Số cách chọn tem thư là: C53 3 • Số cách chọn bì thư là: C6 • 3! Cách dán tem. Vậy số cách làm là: C5 .C6 .3! = 1200 3 3 Bài 10: Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau? Giải: α = a1a2 a3 a4 a5   Đặt: E = { 0;1; 2...;9} và số có 5 chữ số là: ai ∈ E; i = 1;5 a ≠ 0  1  Ta có: a1 được chọn từ tập E\{0} => Có 9 cách. a2 được chọn từ tập E\{ a1} => Có 9 cách. a3 được chọn từ tập E\{ a2} => Có 9 cách. a4 được chọn từ tập E\{ a3} => Có 9 cách. A5 được chọn từ tập E\{ a4} => Có 9 cách. Vậy số các số thõa mãn là: 9.9.9.9.9=59049 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 12 of 12

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.