1
CÁC PHƯƠNG PHÁP GII PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯNG DÙNG
Phương pháp 1: H s bt ñnh.
Nguyên tc chung:
+) Da vào ñiu kin bài toán, xác ñnh ñưc dng ca f(x), thưng là f(x) = ax + b hoc
f(x) = ax
2
+ bx + c.
+) ðng nht h s ñ tìm f(x).
+) Chng minh rng mi h s khác ca f(x) ñu không tha mãn ñiu kin bài toán.
Ví d 1: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
, 1
f x f y x xy f x x y R+ = + ∀ ∈
.
Li gii:
Thay
1
x
=
∈
vào (18) ta ñưc:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
f f y y f a
+ = +
.
Thay
(
)
1 1
y f
= − −
vào (a) suy ra:
( )
(
)
(
)
1 1 1 1
f f f
− − + = −
. ðt
(
)
(
)
1 1 1
a f f
= − − +
ta
ñưc:
(
)
1
f a
= −
.
Chn
x R
=
∈
ta ñưc:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
f x f a x xa f x xa f x f+ = + ⇒+ =
.
ðt
(
)
(
)
0
f b f x a x b
=⇒= − +
. Th vào (1) và ñng nht h s ta ñưc:
( )
( )
2
1
11
0
a
f x x
aa
a b a a
f x x
b
=
=
=
⇒ ⇒
= −
− − = −
= −
=
.
Vy có hai hàm s cn tìm là
(
)
f x x
=
và
(
)
f x x
= −
.
Ví d 2: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, 2
f f x y y f x f y x y R+ = − ∀ ∈
.
Li gii:
Cho
(
)
(
)
(
)
0; : (2) 0
y x R f f x x R a
= ∈ ⇒= ∀ ∈
.
Cho
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
'
: (2) 0
x f y f f f y y y f a
=⇒+ = .
(
)
(
)
(
)
(
)
'
0
a a f y y f+⇒=
. ðt
(
)
(
)
0
f a f y ay y R
=⇒= ∀ ∈
. Th li (2) ta ñưc:
(
)
(
)
2 2 2
0 ,
a x y a y x y x y R
+ + − = ∀ ∈
(
)
0 0
a f x x R
⇔ = ⇒= ∀ ∈
. Vy có duy nht hàm s
(
)
0
f x
=
tha mãn bài toán.
Ví d 3: Tìm
, :
f g R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2 ,
1
f x g x f y y x y R a
f x g x x x R b
− = − ∀ ∈
≥ + ∀ ∈
.
Li gii:
Cho
x y R
= ∈
khi ñó
(
)
(
)
(
)
a f x g x x
⇒= −
.Thay li (a) ta ñưc:
2
(
)
(
)
2 2 ,
g x x y g y x y R
= − + ∀ ∈
(c).
Cho
0;
y x R
= ∈
: t (c) ta ñưc:
(
)
(
)
2 0
g x x g= +
. ðt
(
)
0
g a
=
ta ñưc:
(
)
(
)
2 ,
g x x a f x x a
= + = +
. Th vào (a), (b) ta ñưc:
(a), (b) ⇔
( )( ) ( )
2 2
2 1
x a x a
x R
x a x a x
+ = +
∀ ∈
+ + ≥ +
(
)
2 2
2 3 1 1 0
x a x a x R
⇔ + − + − ≥ ∀ ∈
( )
2
3 0 3
a a
⇔ − ≤ ⇔ =
. V
y
(
)
(
)
3 ; 2 3
f x x g x x
= + = +
.
Ví d 4: ða thc f(x) xác ñnh vi
x
∀ ∈
ℝ
và tha mãn ñiu kin:
2
2 ( ) (1 ) ,f x f x x x
+ − = ∀ ∈
ℝ
(1). Tìm f(x).
Li gii:
Ta nhn thy v trái ca biu thc dưi du f là bc nht: x, 1 – x v phi là bc hai x
2
.
Vy f(x) phi có dng: f(x) = ax
2
+ bx + c.
Khi ñó (1) tr thành: 2(ax
2
+ bx + c) + a(1 – x)
2
+ b(1 – x) + c = x
2
x
∀ ∈
ℝ
do ñó:
3ax
2
+ (b – 2a)x + a + b + 3c = x
2
,
x
∀ ∈
ℝ
ðng nht các h s, ta thu ñưc:
1
3
3 1
2
2 0
3
3 0
1
3
a
a
b a b
a b c
c
=
=
− = ⇔ =
+ + =
= −
Vy:
2
1
( ) ( 2 1)
3
f x x x
= + −
Th li ta thy hin nhiên f(x) tha mãn ñiu kin bài toán.
Ta phi chng minh mi hàm s khác f(x) s không tha mãn ñiu kin bài toán:
Tht vy gi s còn hàm s g(x) khác f(x) tha mãn ñiu kin bài toán.
Do f(x) không trùng vi g(x) nên
0 0 0
: ( ) ( )
x g x f x
∃ ∈ ≠
ℝ
.
Do g(x) tha mãn ñiu kin bài toán nên:
2
2 ( ) (1 ) ,g x g x x x
+ − = ∀ ∈
ℝ
Thay x bi x
0
ta ñưc:
2
0 0 0
2 ( ) (1 )
g x g x x
+ − =
Thay x bi 1 –x
0
ta ñưc:
2
0 0 0
2 (1 ) ( ) (1 )
g x g x x
− + = −
T hai h thc này ta ñưc:
2
0 0 0 0
1
( ) ( 2 1) ( )
3
g x x x f x
= + − =
ðiu này mâu thun vi
0 0
( ) ( )
g x f x
≠
Vy phương trình có nghim duy nht là
2
1
( ) ( 2 1)
3
f x x x
= + −
3
Nhn xét: Nu ta ch d ñoán f(x) có dng nào ñó thì phi chng minh s duy nht ca các
hàm s tìm ñưc.
Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñnh, liên tc vi
x
∀ ∈
ℝ
và tha mãn ñiu kin:
f(f(x)) = f(x) + x,
x
∀ ∈
ℝ
Hãy tìm hai hàm s như th.
Li gii:
Ta vit phương trình ñã cho dưi dng f(f(x)) – f(x) = x (1).
V phi ca phương trình là m t hàm s tuyn tính vì vy ta nên gi s rng hàm s cn tìm
có dng: f(x) = ax + b.
Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x ,
x
∀ ∈
ℝ
hay (a
2
–a )x + ab = x,
x
∀ ∈
ℝ
ñng nht h s ta ñưc:
2
1 5 1 5
1
1 5
( ) .
2 2 2
00 0
a a a a
f x x
ab b b
+ −
− = ±
= =
⇔ ∨ ⇒=
=
= =
Hin nhiên hai hàm s trên tha mãn ñiu kin bài toán (vic chng minh s duy nht dành
cho ngưi ñc).
Ví d 6: Hàm s
:f
→
ℤ ℤ
tha mãn ñng thi các ñiu kin sau:
) ( ( )) , (1)
) ( ( 2) 2) , (2)
) (0) 1
(3)
a f f n n n
b f f n n n
c f
= ∀ ∈
+ + = ∀ ∈
=
ℤ
ℤ
Tìm giá tr f(1995), f(-2007).
Li gii:
Cũng nhn xét và lý lun như các ví d trưc, ta ñưa ñn f(n) phi có dng: f(n) = an +b.
Khi ñó ñiu kin (1) tr thành:
2
,a n ab b n n
+ + = ∀ ∈
ℤ
ðng nht các h s, ta ñưc:
2
1 1
1
0 0
0
a a
a
b b
ab b
= = −
=
⇔ ∨
= =
+ =
Vi
1
0
a
b
=
=
ta ñưc f(n) = n. Trưng hp này loi vì không tha mãn (2).
Vi
1
0
a
b
= −
=
ta ñưc f(n) = -n + b. T ñiu kin (3) cho n = 0 ta ñưc b = 1.
Vy f(n) = -n + 1.
Hin nhiên hàm s này tha mãn ñiu kin bài toán.
Ta phi chng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nht tha mãn ñiu kin bài toán:
Tht vy gi s tn ti hàm g(n) khác f(n) cũng tha mãn ñiu kin bài toán.
T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0.
S dng ñiu kin (1) và (2) ta nhn ñưc: g(g(n)) = g(g(n+2)+2)
n
∀ ∈
ℤ
.
4
do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2))
n
∀ ∈
ℤ
Hay g(n) = g(n+2)+2
n
∀ ∈
ℤ
.
Gi s n
0
là s t nhiên bé nht làm cho
0 0
( ) ( )
f n g n
≠
Do f(n) cũng tha mãn (4) nên ta có:
0 0 0 0
0 0
( 2) ( ) 2 ( ) 2 ( 2)
( 2) ( 2)
g n g n f n f n
g n f n
− = + = + = −
⇔ − = −
Mâu thun vi ñiu kin n
0
là s t nhiên bé nht tha mãn (5).
Vy f(n) = g(n),
n
∀ ∈
ℕ
Chng minh tương t ta cũng ñưc f(n) = g(n) vi mi n nguyên âm.
Vy f(n) = 1 – n là nghim duy nht.
T ñó tính ñưc f(1995), f(-2007).
BÀI TP
Bài 1: Tìm tt c các hàm s
:f
→
ℝ ℝ
tha mãn ñiu kin:
2
( ) ( ) 2 ( ) (1 ) 2 (3 ), ,f x y f x y f x f y xy y x x y
+ + − − + = − ∀ ∈
ℝ
.
ðáp s: f(x) = x
3
.
Bài 2: Hàm s
:f
→
ℕ ℕ
tha mãn ñiu kin f(f(n)) + f(n) = 2n + 3,
.
n
∀ ∈
ℕ
Tìm f(2005).
ðáp s: 2006.
Bài 3: Tìm tt c các hàm
:f
→
ℕ ℕ
sao cho:
2 2
( ( )) ( ( )) 3 3,
f f n f n n n
+ = + +
.
n
∀ ∈
ℕ
ðáp s: f(n) = n + 1.
Bài 4: Tìm các hàm
:f
→
ℝ ℝ
nu:
1 1 8 2
3 5 , 0, ,1, 2
3 2 2 1 3
x x
f f x
x x x
− −
− = ∀ ∉ −
+ − −
ðáp s:
28 4
( )
5
x
f x
x
+
=
Bài 5: Tìm tt c các ña thc P(x)
[
]
x
∈
ℝ
sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y),
,x y
∀ ∈
ℝ
ðáp s: P(x) = x
3
+ cx.
Phương pháp 2: phương pháp th.
2.1. Th n to PTH mi:
Ví d 1: Tìm f: R\{2} → R tha mãn:
( )
2
2 1
2 1 1
1
x
f x x x
x
+
= + ∀ ≠
−
.
Li gii: ðt
{ }
1
2 1
\ 2
1
x
x
t MGT t R
x
≠
+
=⇒=
−
(tp xác ñnh ca f). Ta ñưc:
1
2
t
x
t
+
=
−
th vào (1):
( )
2
2
3 3
( ) 2
2
t
f t t
t
−
= ∀ ≠
−
. Th li thy ñúng.
5
Vy hàm s cn tìm có dng
( )
2
2
3 3
( )
2
x
f x
x
−
=−
.
Nhn xét:
+ Khi ñt t, cn kim tra gi thit
x
x D
MGT t D
∈
⊃
. Vi gi thit ñó mi ñm bo tính cht: “Khi
t chy khp các giá tr ca t thì x = t cũng chy khp tp xác ñnh ca f”.
+ Trong ví d 1, nu f: R → R thì có vô s hàm f dng:
( ) ( )
( )
2
2
3 3
2
2
( )
2
xx
x
f x
a x
−
≠
−
=
=
(vi a∈R
tùy ý).
Ví d 2: Tìm hàm f :
(
]
(
]
; 1 0;1
R
−∞ − ∪ →
tha mãn:
( )
2 2
( 1) 1 1 2
f x x x x x− − = + − ∀ ≥
.
Li gii: ðt
( )
2 2
2
2
0
1 1 1
x t
t x x x x t
x x t
− ≥
= − − ⇔ − = − ⇔
− = −
2
2 2 2
1
1 2
2
x t
x t
t
x x xt t x
t
≥
≥
⇔ ⇔
+
− = − + =
. H
có nghi
m x
2
1
2
t
t
t
+
⇔ ≥
1
0 1
t
t
≤ −
⇔
< ≤
(
]
(
]
; 1 0;1
t⇒∈ −∞ − ∪ . V
y
(
]
(
]
1
; 1 0;1
x
MGT t D
≥
= = −∞ − ∪ .
V
i
2
1
t x x
= − −
thì
2
1 1
1 ( )
x x f t
t t
+ − = ⇒=
th
a mãn (2).
V
y
1
( )f x
x
=
là hàm s
c
n tìm.
Ví d 3: Tìm f : R\
2;3
3
R
→
th
a mãn:
( )
3 1 1
1, 2 3
2 1
x x
f x x
x x
− +
= ∀ ≠ ≠ −
+ −
.
Li gii: ðt
( )
1
2
3 1 2
\ ;3
2 3
x
x
x
t MGT t R
x
≠
≠
−
=⇒=
+
⇒
2 1
3
t
x
t
+
=
−
th vào (4) ta ñưc:
4
( )
3 2
t
f t
t
+
=
−
tha mãn (3). Vy hàm s cn tìm là:
4
( )
3 2
x
f x
x
+
=
−
.
Ví d 4: Tìm f :
(
)
(
)
0; 0;
+ ∞ → + ∞
tha mãn:
(
)
( ( )) ( ( )) , 0; (4)
x f x f y f f y x y= ∀ ∈ + ∞
.
Li gii:
Cho y = 1, x ∈
(
)
0;
+ ∞
ta ñưc:
( (1)) ( (1))
x f x f f f
=
.
Cho
1
(1)
x
f
=
ta ñưc:
( (1) 1 ( (1)) 1
f f x f x f
=
⇒=
1
( (1))f x f
x
⇒=
. ðt: