NG 2
CH ƯƠ HÀM S PH C VÀ ÁNH X Ố Ứ
Ạ
1/n
ố
2.1 Hàm s ph c ố ứ 2.2 Ánh x c a hàm s ph c ứ ạ ủ 2.3 Ánh x tuy n tính ế ạ t 2.4 Hàm lũy th a đ t bi ệ ặ ừ 2.4.1 Hàm lũy th a zừ n 2.4.2 Hàm lũy th a zừ
t p A đ n t p B là qui lu t
ậ trong
m i ph n t ầ ử trong B. M t hàm s f t ố ừ ậ ộ t ng quan ng u nhiên t ẫ ươ A đ n m t và ch m t ph n t ế ế ậ ừ ỗ ầ ử ỉ ộ ộ
ố ố ứ ứ ố
ề ậ ị
2.1 Hàm s ph c: M t hàm s ph c f là m t hàm s có mi n xác ộ ộ đ nh ( D(f) ) và mi n giá tr ( R(f) ) là t p con ề ị c a t p s ph c C ố ủ ậ ứ
VD :
f(z) = -z3 + 2.z + z b) z = 2 – i c) z = 1+2i
f(2 - i) = -(2 - i)3 + 2.(2 - i) + 2 - i
a) z = i iả : Gi a) f(i) = -(i)3 + 2.(i) + i = 4i b) = -(8 – 12i + 6i2 - i3) + 4 – 2i + 2 – i
= 4 + 8i
c) f(1 + 2i) = -(1 + 2i)3 + 2.(1 + 2i) + 1 + 2i = -(1 + 6i + 12i2 + 8i3) + 2 + 4i +1 +2i
= 14 + 8i
• Ph n th c và ph n o c a hàm s ố ầ ả ự ủ
2
ầ ph cứ
Ta có w = f(z) mà z = x + iy đ t w = u + iv ặ s w = z Gi ả ử => w = ( x + iy)2 = x2 - y2 + 2xyi => f(z) = u(x,y) + v(x,y)i u(x,y) g i là ph n th c. ự v(x,y) g i là ph n o. ầ ầ ả ọ ọ
• VD:
(cid:222) f(z) = 6z – 5 + 9i v i z = x + iy ớ f(z) = 6.(x + iy) - 5 + 9i
= 6x – 5 + (6y + 9)i
=> u(x,y) = 6x – 5 v(x,y) = 6y + 9
ố
ố c đ nh nghĩa nh sau : ị ượ ư
• Hàm s mũ s ph c e ứ z Hàm s eố z đ ez
ượ ứ ọ
= excosy + iexsiny c g i là hàm s mũ s ph c và ố ầ ầ ả
thì đ ố u(x,y) = excosy - ph n th c ự v(x,y) = exsiny - ph n o
z
z + 1
2
ấ ộ ố
z
z - 1
2
z 1 = e z
2
e e
M t s tính ch t: e0 = 1 1z 2z e e = e
(ez )n = enz v i n = 0, ớ
±1,± 2,…
p
3
p => x = 3, y = 3
p
p
3
3
p e3 + i = e3cos ( ) + ie3 sin ( ) 3
VD: a) z = 3 + i
+ ie3
1 2
3 2
= -e3
To đ c c: ạ ộ ự z = x + iy bi u di n ể ễ ở ạ
d ng Đ Các : ề z = r(cosθ + isin θ) = reiθ
N u w = f(z), ta thay c vi t d ố ượ z = r(cosθ + isin θ) lúc ế ướ ạ i d ng to đ ạ ộ
ế này hàm s đ c c nh sau: ư ự
c g i là ph n th c w = f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ) ọ ẫ ượ ự ầ
u(r, θ) và v(r, θ) v n đ và ph n o c a w. ầ ả ủ
q
2
p
p
f(z) = r2.cos + i.3.sin(2.θ) v i z = i ớ
4
p
VD: Ta có: i = cos + i.sin
2
p p f(i) = cos + 3.s in .i 2
(cid:222) r = 1 , θ =
2 2
=
ố
ứ
ạ ủ
ứ
ự
2.2 Ánh x c a hàm s ph c: Công c h u ích trong vi c nghiên c u hàm th c ồ ị ủ t c các đi m (x,f(x)) trong
ng t
ươ
ứ
ứ
ề
ế
ả ồ
ứ
ặ
ằ
đ u z vào 2 chi u t
ệ ụ ữ trong đ i s s c p là đ th c a hàm. Đ th c a ồ ị ủ ạ ố ơ ấ hàm y = f(x) là t p t ể ậ ấ ả h to đ Đ Các 2 chi u. ệ ạ ộ ề ề cho hàm s ph c. Tuy M t đ nh nghĩa t ộ ị ố ự nhiên n u w= f(z) là hàm ph c, c z và w đ u n m trên m t ph ng ph c, nó g m t t c các ằ ấ ả ẳ đi m (z,f(z)) n m trên không gian 4 chi u (2 ề ể đ u ra c a w). chi u t ủ ề ừ ầ
ề ừ ầ
ề
ậ
d dàng minh ho .Vì v y:
ễ
Dĩ nhiên t p con c a không gian 4 chi u không th ể ủ ậ ạ ể ẽ ồ ị ủ
ứ Chúng ta không th v đ th c a hàm ph c
N u w = f(z) là ánh x ph c và n u S là ứ ế
ể ẳ
ủ ả ả ả
ạ ế t p các đi m trong m t ph ng z, chúng ta ặ ậ g i t p các nh o S qua f là nh c a S, ọ ậ kí hi u S’. ệ
N u t p S có tính ch t c ng thì S là mi n xác ấ ộ
ề
ố
ệ ổ
ế ậ đ nh, kí hi u là D, D’. ệ ị S bi u di n gi ng nh hình 2.1 mang ý nghĩa ư ễ ự ể truy n thông tin v m i liên h t ng quát gi ữ ề ố ề đi m tuỳ ý z và nh c a nó w = f(z). ủ
ể
ả
i w = iz.
VD: nh c a n a m t ph ng d ữ
Ả
ủ
ặ
ẳ
ướ
≥ 2 d
ả
ủ
ẳ
ặ ph c w = iz và bi u di n hình h c ánh x .
Tìm nh c a n a m t ph ng Re ử ọ
i ánh x ạ ướ ạ
ứ
ể
ễ
Gi t c nh ng ặ ứ ấ ả ữ
2. ứ
ữ ể
ng x = 2 có pt z = 2 + iy iả : Đ t S là n a mp ch a t ử đi m ph c z v i Re ớ ể T t c nh ng đi m z trên ấ ả ườ
i các ị ủ
ng th ng là ườ ể
đ trong vùng (-∞ < y < ∞). Giá tr c a f(z) = iz t ạ đi m trên đ ẳ w = f(2 + iy) = -y + 2i.
Vì t p các đi m w = -y +2i là
đ ể ậ ng v = 2 trong mp w. ườ
c ậ ế
ườ ườ ng x = 2 trong mp z đ ượ ng v = 2 trong mp w b i ở
Ta k t lu n đ ánh x lên đ ạ ánh x w = iz. ạ
c miêu t
b i 2
Ở
ả ở
hình 2.2 a) t p S có th đ ậ ể ượ b t đ ng th c đ ng th i: ờ ứ ấ ẳ
ồ x ≥ 2 và -∞ < y < ∞ (1)
ễ ả
ủ
ể
ể
Đ bi u di n nh c a S, chúng ta bi u di u ủ
ự
ả
ể ể ánh x w = iz trong ph n th c và o u, v c a ầ ạ nó.Ta thay z = x +iy vào w = iz
ừ
t c các đi m w = u + iv trong mp thõa
w = i(x + iy) = -y + ix u(x,y) = -y và v(x,y) = x (2) v ≥ 2 và -∞ < u < ∞ T (1),(2) : Đó chính là t p S’ nh c a S qua w = iz bao ủ ậ ấ ả
g m t ồ 2 b t đ ng th c đ ng th i: ờ ứ
ấ ẳ
ả ể ồ
v ≥ 2 và -∞ < u < ∞
(cid:222)
ng th ng w = z 2
ủ
ườ
ẳ
ủ
ướ
i ánh ườ 2 và bi u di n hình h c ánh x . ạ
ng th ng đ ng x = 1 d ứ ễ
ẳ ể
ọ
ng th ng x = 1
VD 2: nh c a đ Ả Tìm nh c a đ ả x ph c w = z ứ ạ i:ả ặ
ậ
ể
ẳ
ộ
Nh
2 là
ậ VD 1 ph n th c và ph n o c a w = z ư ở
ườ ớ -∞ < y < ∞. ủ ầ ả
ự
Gi Đ t C là t p các đi m thu c đ hay t p các đi m z = 1 + iy v i ể ầ u(x,y) = x2 – y2 và v(x,y) = 2xy .
u(1,y) = 1 – y2 ,v(1,y) = 2y
Vì z = 1 + iy (cid:222) (cid:222)
ể
u
(cid:236)
u = 1 -
S’ là t p các đi m thu c w = u + iv thoã 2 pt ậ ộ đ ng th i: ờ ồ -= 1 =
¥<
<
(cid:237)
2 y (cid:222) y
2
y
v
)
(
2v 4
- ¥ (cid:238)
v
ể ấ ậ
ả
i (0, ạ ng x = 1 đ ớ ỉ ±2).Trên c ánh ượ ắ ườ
ng parabol ườ
ứ ạ
y có th l y giá tr th c t ị ự ừ nên v nh n giá tr th c C’ ị ự ( nh c a C) là đ ng ườ ủ parabol trong mp w v i đ nh (1,0), c t u t hình đ x thành đ ạ 2v u = 1 - qua ánh x ph c 4 w = z2
ố ứ ườ
Đ ng cong tham s trong mp ph c: •
ữ
ự ồ
ng cong tham s ho c đ ị ế ế ể ườ ố
ng cong ế ứ ố ị
ng cong tham s chính Đ nh nghĩa: N u x(t) và y(t) là nh ng hàm th c c a ủ ự bi n th c t ,khi đó t p C g m t t c các ấ ả ậ ≤ t ≤ b đgl đi m z(t) = x(t) + iy(t), a đ ườ ặ tham s ph c.Hàm tr ph c c a bi n ủ ứ th c t, z(t) = x(t) + y(t) đgl hàm tham s ố ự c a Củ • Nh ng đ ữ ườ ố
trong mp ph c :ứ
ườ
Đ ng th ng: Hàm tham s c a đ
ng th ng qua đi m z
ẳ ố ủ
ườ
ể
ẳ
0 và z1 là:
-∞ ≤ t ≤ ∞
z(t) = z0(1 – t) + z1t
Đo n th ng:
ẳ
ạ
0 ≤ t ≤ 1
z(t) = z0(1 – t) + z1t
Tia:
0 ≤ t ≤ ∞
Đ ng tròn:
0 ≤ t ≤ 2p
z(t) = z0(1 – t) + z1t ườ z(t) = z0 + r(cost + isint)
0 ≤ t ≤ 2p
Tính g n đúng : ầ z(t) = z0 + reit
ng cong tham s d Ả ườ ố ướ i ánh x ạ
nh c a đ ủ ph c:ứ
ứ ế ạ
N u w = f(z) là ánh x ph c và n u C là a ≤ t ≤ b thì ng cong có tham s z(t), ế đ ườ
w = f(t) = f(z(t)) là hàm tham s hoá c a nh C’ c a C qua w = f(z) ủ ả
ố
ố a ≤ t ≤ b ủ
ng cong tham s ủ Ả
ố 1 đ n i d ế ừ i ướ ẳ
ả ạ
1 đ n i và C’ là nh ừ ẳ ế ả
VD: nh c a 1 đ ườ Tìm nh c a đ an th ng đi t ọ ủ ánh x ph c w = iz. ứ iả : Gi Đ t C là đ an th ng đi t ặ ọ c a C theo f(z) = iz. ủ
z(t) = 1 – t +it 0 ≤ t ≤ 1
Ta có: z0 = 1 ,z1 = i Theo công th c ứ (cid:222) w(t) = f(z(t)) = i(1 – t +it) = -i(1 – t) – t,0 ≤ t ≤ 1
(cid:222) z0 = -i, z1 = -1 theo w(t)
nh C’ là đ an th ng đi t ọ Ả ẳ ừ -i đ n -1 ế
ạ
2.3 Ánh x tuy n tính: M t ộ hàm s th c có d ng f(x) = ax+b ạ ế ố ự v i ớ
hàm s ố ọ ằ
T ế ng t ự
ta có m t hàm s ph c tuy n tính ế ố v i a,b là ố ớ
ứ
M t ánh x tuy n tính ph c có th đ ạ
ứ h p 3 cách: ổ ợ c ể ượ phép d i ờ
s giãn. a,b là h ng s th c ,ta g i là ố ự tuy n tính. ộ ươ ứ là hàm s có d ng f(z) = az + b ạ h ng s ph c. ố ằ ế ộ t o thành b ng t ằ ạ tr c t a đ , phép quay, t ụ ọ ỷ ố ộ
Phép d i tr c t a đ
ộ ộ: ế
ọ
0 + iy0, khi đó:
ờ ụ ọ M t hàm s ph c tuy n tính: ứ ố T(z) = z + b b ≠ 0 (1) c g i là d i tr c t a đ . đ ộ ờ ụ ọ N u z = x+iy và b = x ượ ế
T(z) = (x + iy) + (x0 + iy0) = x + x0 + i(y + y0) Nh v y, nh c a đi m (x,y) theo T là đi m ể ể ư ậ ả ủ
(x + x0,y + y0),ta có hình 2.8
ạ
c xem nh quá trình t nh ti n đi m ị ế ư ế ể ượ
ủ
ủ ố
c g i là phép
Vì th ánh x tuy n tính T(z) = z + b có ế th đ ể z theo vector (x0,y0) đ n đi m T(z) trong ế ể b n sao c a m t ph ng ph c. ẳ ặ ả ứ ơ 0,y0) là vect Đi m (x ể bi u di n c a s ph c ứ ễ ể b,ánh x T(z) = z + b ạ cũng đ ượ d i tr c t a đ b i b ờ ụ ọ ọ ộ ở
VD: nh c a 1 hình vuông theo phép d i ờ ủ
tr c t a đ . ộ
Ả ụ ọ ả ủ ớ ỉ
Tìm nh S’ c a hình vuông S v i các đ nh 1 + i, 2 + i, 2 + 2i và 1 + 2i theo ánh x ạ
ở tuy n tính T(z) = z + 2 – i. ế i:ả
ượ ể ằ
Gi Ta bi u di n S và S’ đ ễ ặ ẽ ả c xây d ng b ng ự ứ
cách v nh c a m t ph c. ủ Theo (1): b = x0 + iy0 = 2 +i(-1).
ỉ ậ là S’, nh c a ả ủ
T p các đ nh c a các vect ơ ứ
ằ
ủ S theo T.Theo hình 2.9 ch ng t ỏ r ng S’ là 1 hình vuông v i ớ các đ nh : ở ỉ
T(1 + i) = (1 + i) + (2 – i)
= 3
T(2 + i) = (2 + i) + (2 – i)
= 4
T(2 + 2i) = (2 + 2i) + (2 – i) = 4 + i
T(1 + 2i) = (1 + 2i) + (2 – i) = 3 + i
ộ ứ
ượ
ậ
ấ
ọ ộ ố ộ ố b t kì s ph c khác không ứ z là m t phép quay. ố ộ
Phép quay: M t hàm tuy n tính ph c: ế R(z) = az, a = 1 đ c g i là m t phép quay. ộ N u ế α là m t s ph c b t kì khác 0, khi đó ấ ứ à |a|=1 .Vì v y v i a = α/ α là m t s ph c v ớ ứ α, ta có R(z) = a a
p
Khi a = 1 và Arg(a) > 0, ta có th vi t a ể ế ở
iθ v i 0 <
d ng mũ a = e θ ≤ ạ ớ
iθ và z = reiΦ thì: R(z) = eiθreiΦ = rei(θ + Φ)
N u a = e ế
ượ ự
ứ ủ
c xây d ng b ng cách ằ t c các ấ ả i ạ ề
N u z và R(z) đ ế v nh c a m t ph c, khi đó t ặ ẽ ả đi m đ u n m trên 1 cung tròn tâm t ằ ể 0,bán kính r.
ẳ
ườ ụ ng th ng theo phép quay VD: nh c a đ Tìm nh c a tr c th c y = 0 theo ánh x ạ ự
2
2
ủ ủ tuy n tính:
1 2
1 2
Ả ả ế R(z) = ( + i )z.
i:ả
Gi ặ ự
Đ t C là tr c th c y = 0 ụ và C’ là nh c a C theo ủ
2
1 2
1 2
ả R.Vì
p
i
4
2
ph c R(z) là m t phép ộ
1 2
Ta có: + i =e 2 + i = 1, ánh x ạ 2 ứ quay. 1 2
p
i
4
ẽ
c v trong m t sao c a c
ặ
ể
ủ ượ
p
ồ ộ
ặ ể c chi u kim đ ng h m t góc ồ
4
Vì y=0 => z=r => R(z)=re Do đó,n u z và R(z) đ ế ượ m t ph c,khi đó đi m R(z) chính là đi m z đ ứ quay ng ượ ỉ ố
ế
ộ
a > 0
c g i là t s giãn
ậ ạ
ề Phép t s giãn: M t hàm ph c tuy n tính: ứ M(z) = az , đ ỉ ố ọ ượ N u z = x + iy, khi đó M(z) = az = ax + iay, vì v y ế nh c a đi m (x,y) là đi m (ax,ay).Khi dùng d ng ể ủ ả mũ z = reiθ
a, r là nh ng s th c và đ l n c a M là ar.
ể ta có: M(z) = a(reiθ) = (ar)eiθ ố ự
ữ
ộ ớ
ủ
ả ử ứ
s a > 1,khi đó đi m ph c z và M(z) Gi ể có cùng góc θ nh ng khác môdun (r ≠ ar) ư
ự ác đi m ể
ế ứ
ủ
ứ
là ấ
ứ
ả
N u ta d ng c ph c z và M(z) b ng cách v nh c a ẽ ả ằ m t ph c, khi đó M(z) ặ đi m trên tia xu t phát ể t 0 ch a z và cách 0 ừ m t kho ng ar. Khi a>1 ộ M(z) cách gốc xa h n z.
ơ c g i là h ng s giãn c a S th c a đ ủ ằ ố ọ ượ
ố ự M(z)
VD: nh c a m t cung tròn theo phép t ủ ộ s ỷ ố
Tìm nh c a cung C cho b i = 2 theo ủ ở Ả giãn. ả
ế ạ
z ánh x tuy n tính M(z) = 3z. iả :
Gi ố ậ
w ạ ộ
ằ ể
ạ
H ng s giãn là 3,v y m i ỗ đi m M(z) trong nh có ả môdun là 3.2 = 6. nh C’ là cung tròn = 6 Ả tâm t i góc tr c to đ và ụ bán kính là 6.
AÛn h c u û a 1 ñ ie å m q u a a ù n h x a ï
t u y e á n t ín h
F(z) = az + b laø 1 aùnh xaï tuyeán tính vôùi a≠ 0 vaø z0 laø 1 ñieåm trong maët phaúng phöùc. Neáu ñieåm w0 = f(z0) ñưôïc xaây döïng baèng caùch veõ aûnh cuûa maët phöùc thì w0 laø 1 ñieåm coù ñược baèng caùch
( i) p h ép q u a y z 0 1 goùc Arg(a) so
(ii) phép t s giãn(h ng s giãn |a|) vôùi goác toaï ñoä ỉ ố ố ằ
(iii) phép d i tr c t a đ b i b ờ ụ ọ ộ ở
ộ ế ứ
ạ ể ồ ị M t ánh x tuy n tính ph c w = az + b v i ớ a ≠ 0 có th làm bi n d ng đ th (hình v ) ẽ
ồ ị ế ể ổ ể
VD: nh c a m t hình ch nh t theo ánh x ạ ữ ậ ộ
ạ nh ng không th thay đ i ki u đ th (hình ư v ).ẽ Ả ế ả ủ tuy n tính. ủ ậ ớ
ỉ ế ạ
Gi Tìm nh c a hình ch nh t v i các đ nh -1 + i, ữ 1 + i, 1 + 2i, -1 + 2i theo ánh x tuy n tính f(z) = 4iz + 2 + 3i. i:ả
ữ ậ ớ ỉ
ả ủ
ế
ữ ứ
Đ t S là hình ch nh t v i các đ nh đã cho ặ và S’ là nh c a S theo f. Vì f là ánh x ạ tuy n tính nên S’ cũng là hình ch nh t. ậ V y ta ch c n tìm đ nh c a S’, t c là nh ả ủ ỉ ậ c a các đ nh c a S theo f. ủ ỉ ầ ỉ ủ
f(1 + i) = -2 + 7i f(-1 + 2i) = -6 – I
f(-1 + i) = -2 - i f(1 + 2i) = -6 + 7i V y S’ là hình ch nh t v i các đ nh -2 – i, ậ ớ ỉ ữ
ậ -2 + 7i, -6 + 7i, -6 – i.
Ánh x tuy n tính f(z) = 4iz + 2 + 3i ạ ở
ế ể VD i ố
trên có th làm theo phép quay, phép t giãn, phép d i tr c to đ . ạ ộ
p
i4 p
ượ c bi u ể
s giãn là 4,
ờ ụ Vì Arg(4i) = /2 và = 4, f đ b i phép quay 1 góc /2, t ỷ ố d i tr c 2 + 3i. ở ờ ụ
