Chương IV: PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE (Phần 2)

Chia sẻ: Vu Van Tuyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

902
lượt xem 241
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vị trí cân bằng của cơ hệ. Vị trí cân bằng của cơ hệ là vị trí cơ hệ sẽ luôn luôn ở tại đó tại mọi thời điểm nếu tại thời điểm ban đầu nó chiếm vị trí đó và có vận tốc của mọi chất điểm bằng không Nguyên lý di chuyển khả dĩ. Để vị trí của hệ là vị trí cân bằng, điều kiện cần và đủ là tại vị trí đó tổng công của tất cả các lực hoạt động trên mọi di chuyển khả dĩ bằng không...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương IV: PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE (Phần 2)

CHƯƠNG IV PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE §3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ • Vị trí cân bằng của cơ hệ. • Nguyên lý di chuyển khả dĩ • Ví dụ
§3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ 1. Vị trí cân bằng của cơ hệ. Vị trí cân bằng của cơ hệ là vị trí cơ hệ sẽ luôn luôn ở tại đó tại mọi thời điểm nếu tại thời điểm ban đầu nó chiếm vị trí đó và có vận tốc của mọi chất điểm bằng không 2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ.   Để vị trí rk = rk0 , của hệ là vị trí cân bằng, điều kiện cần và đủ là tại vị trí đó tổng công của tất cả các lực hoạt động trên mọi di chuyển khả dĩ bằng không N   ∑ Fk δrk = 0 k =1 3. Các ví dụ.
3. Các ví dụ   Ví dụ 1. Xác định quan hệ giữa lực ép Q và P  lực quay của đòn trong máy ép.  P Biết a, h P - Cơ hệ khảo sát: máy   ép - Các lực hoạt động ( P , 2 , ) 1 P Q  - Áp dụng NLDCKD ∑ Fk δrk = 0, Q 2 Paδ ϕ − Qδs = 0 h δs = δϕ 2π h h 2 Paδ ϕ − Q δϕ = 0 P= Q 2π 4πa
3. Các ví dụ Ví dụ 2. Tìm quan hệ giữa các lực trong hệ để hệ cân bằng Bai giai Cơ hệ khảo sát: ròng rọc mang các sA D sB B vật nặng A, B, C. sC    A  Các lực hoạt động: ( P1 , P2 , Q)  P2 C Hệ có hai bậc tự do, các toạ độ suy P1 α Q  β rộng s B , yC Các phương trình liên kết s A + s B + 2sC = c1 , sC + c2 = yC P1.δs A sin α + P2δs B sin β + QδyC = 0 1 δs A + δs B + 2δsC = 0, δsC = δyC , δyC = − (δs A + δs B ), 1 2 P1 .δs A sin α + P2δs B sin β − Q(δs A + δs B ) = 0 2 Q Q Q Q P sin α − = 0, P2 sin β − = 0, ⇒P = , P2 = . 2 sin β 1 1 2 2 2 sin α
3. Các ví dụ Ví dụ 4. Xác định lực Q để hệ cân bằng và các phản lực liên kết trong cơ cấu culit Bài giải  • Tính lực Q. Q - δϕ C Cơ hệ khảo sát: culit. Hệ có một bậc tự do, ϕ toạ độ suy rộng ϕ   K - Các lực hoạt động P,Q. - Áp dụng NLDCKD  P δA = −QRδ ϕ + Pδy C = 0 y C = OK .tgϕ = ltgϕ l δy C = δϕ cos ϕ 2 l l − QRδ ϕ + P δϕ = 0 Q= P cos ϕ 2 R cos ϕ 2
3. Các ví dụ • Tính các phản lực tại K - Cơ hệ khảo sát: Cu lit đã giải phóng liên kết K A • Hệ có 3 bậc tự do. Các toạ độ suy rộng δsC  Q (ϕ , s A ,ψ )    ψ C • Các lực hoạt động  P , Q, X A , M O ϕ XA • Áp dụng NLDCKD: KM K – Các di chuyển khả dĩ độc lập  δ 1 = ( δ ϕ ≠ 0, δ ψ = 0, δsC = 0 ) P δ 2 = ( δ ϕ = 0, δ ψ ≠ 0, δsC = 0) δ 2 = ( δ ϕ = 0, δ ψ = 0, δsC ≠ 0 ) δA2 = − Mδ ψ + X Al.tgϕδ ψ = 0 δA3 = ( X A cos ϕ − P sin ϕ )δs A = 0 X A = Ptgϕ , M = Pltg 2ϕ .
3. Các ví dụ A  Q ψ C  • Các di chuyển khả dĩ O ϕ δψ XA A O KM  K Q δϕ C  ϕ ψ  P O XA KM δ 1 = ( δ ϕ ≠ 0, δ ψ = 0, δsC = 0 ) K  A C  P Q ψ  δ 2 = ( δ ϕ = 0, δ ψ ≠ 0, δsC = 0 ) ϕ XA M KK  P δ 2 = ( δ ϕ = 0, δ ψ = 0, δsC ≠ 0 )
CHƯƠNG IV PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE §4. Phương trình Lagrange loại hai 1.Rút ra phương trình Lagrange loại II 2.Biểu thức động năng trong các toạ độ suy rộng 3.Phương trình Lagrange loại hai trong trường hợp lực có thế. 4.Các ví dụ 5.Các tích phân chuyển động.
§4. Phương trình Lagrange loại hai 1. Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai. Cơ hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng q1 , q2 ,..., qn N  N   N   ∑ mk wk δrk = ∑ Fk δrk   ∑ ( Fk − mk wk )δrk = 0 k =1    k =1   k =1  ∂rk n ∂rk ∂rk ∂rk  = rk +∑ qi ⇒  = ∂t i =1 ∂qi ∂qi ∂qi   2 2   d ∂rk ∂ rk n ∂ rk +∑ q j rk = ∂rk + ∑ ∂rk q j n =    dt ∂qi ∂t∂qi j =1 ∂q j ∂qi ∂t j =1 ∂q j  2 2 ∂r ∂ rk n ∂ rk = +∑ qj  ∂qi ∂qi ∂t j =1 ∂qi ∂q j   d ∂rk ∂rk  ⇒ = dt ∂qi ∂qi
1.Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai. Hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng   N   N  n ∂rk n  N  ∂rk  n ∑ Fk δrk = ∑ Fk ∑ ∂q δqi =∑  ∑ Fk ∂q δqi =∑ Qiδqi  i =1  k =1  k =1 k =1 i =1 i i  i =1 N   ∂rk ∑ Fk ∂q = Qi k =1 i     N    dvk drk  n ∂rk W = ∑ mk wkδrk wk = = , δrk = ∑ ∂qδqi k =1 dt dt i =1 i      N drk n ∂rk d n N  ∂rk N  d ∂rk W = ∑ mk ∑ ∂q δqi = ∑∑ mk rk  δqi − ∑ mk rk  δqi k =1 dt i =1 i dt i =1 k =1 ∂qi k =1 dt ∂qi     d n N  ∂rk N  ∂rk W = ∑∑ mk rk  δqi − ∑ mk rk  δqi dt i =1 k =1 ∂qi  k =1 ∂qi
1.Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai. Hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng     1 N 2 N  ∂rk ∂T N  ∂rk ∂T T = ∑ mk rk ∑ mk rk 2 k =1  k =1  = ∂qi i ∂qi   ∑ ∂q = ∂q k =1  mk rk i i d n ∂T n ∂T W= ∑ δqi − ∑ δqi dt i =1 ∂qi  i =1 ∂qi d n ∂T n ∂T n ∑ ∂q δqi − ∑ ∂q δqi = ∑ Qiδqi dt i =1  i i =1 i =1 i n  d ∂T ∂T  ∑  dt ∂q − ∂q − Qi δqi = 0  i =1  i  i  d ∂T ∂T − = Qi , i = 1,2,..., n dt ∂qi ∂qi 
2. Biểu thức động năng trong các toạ độ suy rộng 1 N Định nghĩa động năng T = ∑ mk vk2 .   2 k =1 rk = rk (q1 , q2 ,..., qn , t )    2  ∂rk ∂rk qi q j , i, j = 1,2,..., n, qi ∑ mk   ∂rk  vk = +∑ qi     ∂t ∂qi  ∂t      1 N 1 N n ∂rk ∂rk 1 N n ∂rk ∂rk T = ∑ mk vk = ∑ ∑ mk 2 qi q j + ∑ ∑ mk   qi  2 k =1 2 k =1 i , j =1 ∂qi ∂q j 2 k =1 i , j =1 ∂t ∂qi  2 1 N  ∂rk  + ∑ mk   2 k =1  ∂t       2 1 n N ∂rk ∂rk 1 n N ∂rk ∂rk 1 N  ∂rk  T = ∑∑ mk qi q j + ∑∑ mk   qi + ∑ mk    2 i , j =1 k =1 ∂qi ∂q j 2 i , j =1 k =1 ∂t ∂qi 2 k =1  ∂t 
2. Biểu thức động năng trong các toạ độ suy rộng Động năng      2 N ∂rk ∂rk N ∂rk ∂rk 1 N  ∂rk  ∑ mk ∂q ∂q = aij , ∑ ∑ mk ∂t ∂q = bi , 2 k =1 mk  ∂t  = T0  n  k =1 i j k =1 n  N i    T = T2 + T1 + T0 , T2 = ∑  ∑ m ∂rk ∂rk q q = ∑ a q q i  j    ∂qi ∂q j  k ij i j   i , j =1 k =1  i , j =1 n  N ∂rk ∂rk  n T1 = ∑  ∑ mk qi = ∑ bi qi   i =1  k =1 ∂t ∂qi  i =1 Trường hợp liên kết dừng  ∂rk =0 T1 = T0 = 0 T = T2 ∂t Áp dụng định lý Ơ le về dạng thức toàn phương n ∂T ∑ ∂q qi = 2T i =1 i 
3. Phương trình Lagrange loại hai trong trường hợp lực có thế. ∂Π Biểu thức của lực suy rộng Qi = − Chứng minh ∂qi ∂Π ∂Π ∂Π Xk = − , Yk = − , Zk = − ∂xk ∂y k ∂z k N N ∂Π ∂Π ∂Π δA = ∑ X kδxk + Ykδyk + Z kδzk = −∑ δxk + δyk + δzk kn=1 k =1 ∂xk ∂yk ∂zk ∂xk n ∂yk n ∂z k δxk = ∑ δqi , δyk = ∑ δqi , δz k = ∑ δqi i =1 ∂qi i =1 ∂qi i =1 ∂qi N  ∂Π n ∂xk ∂Π n ∂xk ∂Π n ∂xk  δA = −∑  ∑ ∂q δqi + ∂y ∑ ∂q δqi + ∂z ∑ ∂q δqi = k =1  ∂x k i =1 i k i =1 i k i =1 i  n N  ∂Π ∂xk ∂Π ∂y k ∂Π ∂z k  n ∂Π n = −∑∑  + + δqi = −∑ δqi = ∑ Qiδqi . i =1 k =1  ∂x k ∂qi ∂xk ∂qi ∂xk ∂qi  i =1 ∂qi i =1
3. Phương trình Lagrange loại hai trong trường hợp lực có thế. n n ∂Π ∑ Qiδqi = −∑ ∂q δqi i =1 i =1 i d ∂T ∂T ∂Π i = 1,2,..., n − =− dt ∂qi ∂qi  ∂qi ∂Π =0 ∂qi  Đặt ∂L ∂T L = T − Π, = , i = 1,2,..., n. ∂qi ∂qi   d ∂ (T − Π ) ∂ (T − Π ) d ∂L ∂L − =0 ⇒ − =0 dt ∂qi  ∂qi dt ∂qi ∂qi  i = 1,2,..., n
4. Các ví dụ Ví dụ 1. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu tay quay thanh truyền -Khảo sát cơ cấu tay quay thanh truyền - Cơ cấu có một bậc tự do và toạ độ suy rộng  - Các lực hoạt động ( M , F ) A M l  1 1 O ϕ ψ F T = TOA + T pt = Jω + m2 vB , 2 2 B 2 2 J = m1 ρ 2 , ω = ϕ ,  vB = xB  r2 r2 xB = r cos ϕ + l cosψ , cosψ = 1 − 2 sin ϕ ≈ 1 − 2 sin 2 ϕ l 2l 2  2 r  x B = r cos ϕ + l 1 − 2 sin ϕ   2l 2  r2   sin ϕ − l 2 ϕ sin ϕ cos ϕ = −ϕr  sin ϕ − sin 2ϕ  r v B = − rϕ     l  2l 
2. Các ví dụ 1  2 r  2 2 Ví dụ 1. T = m1 ρ + m2 r  sin ϕ − sin 2ϕ  ϕ 2 2  2l   δA = Mδ ϕ + FδxB , δxB = − r  sin ϕ − r sin 2ϕ δ ϕ    2l   r  δA = Mδ ϕ − Fr  sin ϕ − sin 2ϕ δ ϕ  2l   r  Qϕ = M − Fr  sin ϕ − sin 2ϕ  d ∂T ∂T  2l  − = Qϕ ∂T  2 r   2 dt ∂ϕ ∂ϕ  = m1 ρ + m2 r  sin ϕ − sin 2ϕ  ϕ 2 ∂ϕ    2l    d ∂T     2 2 r = m1 ρ + m2 r  sin ϕ − sin 2ϕ  ϕ + 2 dt ∂ϕ     2l   2 r  r 2 + 2m2 r  sin ϕ − sin 2ϕ  cos ϕ − cos 2ϕ ϕ .  2l  l 
2. Các ví dụ Ví dụ 1.  2 r    2 m1 ρ + m2 r  sin ϕ − sin 2ϕ  ϕ + 2    2l    2 r  r 2 + 2m2 r  sin ϕ − sin 2ϕ  cos ϕ − cos 2ϕ ϕ =  2l  l   r  = M − F  sin ϕ − sin 2ϕ   2l 
2. Các ví dụ O x Ví dụ 2. Phương trình vi phân chuyển A F động của con lắc elliptic  P ϕ - Hệ có hai bậc tự do, chọn các toạ độ suy rộng là    B - Các lực hoạt động P , P2 , F 1 y  P - Lập phương trình Lagrange 1 d ∂T ∂T d ∂T ∂T − = Qx , − = Qϕ dt ∂x ∂x  dt ∂ϕ ∂ϕ  1 1 T = Tct + Tqc = m1v1 + m2 v2 2 2 2 2 v1 = x   v2 = { x B , y B }  
2. Các ví dụ Ví dụ 2. x B = x + l sin ϕ x B = x + lϕ cos ϕ    y B = l cos ϕ y B = −lϕ sin ϕ δy B = −l sin ϕδ ϕ   v2 = x B + y B = x 2 + 2lxϕ cos ϕ + l 2ϕ 2 2 2 2    1 1 T = m1 x  2 + m2 ( x 2 + 2lxϕ cos ϕ + l 2ϕ 2 )    1 1 2 22 2 T = (m1 + m2 ) x + m2 (2lxϕ cos ϕ + l ϕ )  2   2 2 ⇒ Qx = F , δA = Fδx + P2δy B = Fδx − P2 l sin ϕδ ϕ Qϕ = − P2 l sin ϕ ∂T ∂T = 0, = (m1 + m2 ) x + m2 lϕ cos ϕ   ∂x ∂x  ∂T = −m2 lxϕ sin ϕ ∂T  = m2lx cos ϕ + l 2ϕ   ∂ϕ ∂ϕ