Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 1 - TS. Đặng Hoài Trung

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 1 Các phương trình chuyển động, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: một số khái niệm cơ bản của cơ học chất điểm; các tọa độ suy rộng; các tọa độ suy rộng; nguyên lý tương đối galilee. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 1 - TS. Đặng Hoài Trung

ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC 1. THÔNG TIN CHUNG (BASIC INFORMATION) ✓ Tên môn học (tiếng Việt): CƠ LÝ THUYẾT ✓ Tên môn học (tiếng Anh): THEORETICAL MECHANICS ✓ Mã số môn học: PHY1006 ✓ Thuộc khối kiến thức: Cơ sở ✓ Số tín chỉ: 3 • Số tiết lý thuyết: 45 • Số tiết thực hành: 0 • Số tiết tự học: 90 ✓ Các môn học tiên quyết: VLĐC 1 VÀ 2 ✓ Đánh giá: 50% cuối kỳ, 30% giữa kỳ và 20% bài tập
2. MÔ TẢ MÔN HỌC (COURSE DESCRIPTION) Môn học này giúp sinh viên hiểu được cách thiết lập phương trình Larange và Hamilton, đây là một cách tiếp cận và giải quyết các bài toán cơ học ở dạng phức tạp. Áp dụng các phương pháp của Lagrange và Hamilton để giải bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm, từ đó chứng minh ba định luật Kepler. Ứng dụng cơ lý thuyết để giải bài toán về sự phân rã, va chạm và tán xạ của các hạt, chứng minh công thức Rutherford. Ứng dụng cơ lý thuyết để giải bài toán dao động, chuyển động của vật rắn và các bài toán trong cơ học tương đối tính. Môn học này cũng giúp xây dựng kiến thức cơ sở cho chuyên ngành vật lý nhằm tạo sự sẵn sàng cho các môn học chuyên sâu hơn ở các năm sau.
3. NỘI DUNG MÔN HỌC (COURSE CONTENT) STT CHƯƠNG NỘI DUNG - Một vài khái niệm cơ bản của cơ học chất điểm Các phương trình - Các tọa độ suy rộng. 1 chuyển động - Nguyên lý tác dụng tối thiểu; Nguyên lý tương đối Galilê. - Hàm Lagrange của chất điểm tự do và của hệ chất điểm. - Bảo toàn năng lượng, động lượng. Các định luật bảo 2 - Tâm quán tính. toàn - Bảo toàn mômen động lượng. - Chuyển động một chiều. Tích phân các phương - Xác định thế năng theo chu kỳ các dao động. 3 trình chuyển động - Bài toán hai vật – Khối lượng rút gọn. - Chuyển động trong trường xuyên tâm, Bài toán Kepler.
STT CHƯƠNG NỘI DUNG - Sự phân rã của các hạt. Sự va chạm của các 4 - Va chạm đàn hồi của các hạt. hạt - Sự tán xạ của các hạt, Công thức Rutherford. - Các dao động bé tự do một chiều. - Các dao động bé của hệ có hai bậc tự do, nhiều bậc tự do. 5 Các dao động bé - Các dao động cưỡng bức, dao động tắt dần. - Các dao động cưỡng bức khi có ma sát. - Động học của vật rắn, Tenxơ mômen quán tính. - Mômen động lượng của vật rắn. Chuyển động của vật 6 - Các phương trình chuyển động của vật rắn, các góc Euler. rắn - Chuyển động quay tự do của con quay đối xứng. - Chuyển động trong hệ quy chiếu phi quán tính.
STT CHƯƠNG NỘI DUNG - Các phương trình Hamilton. - Móc Poisson. Các phương trình 7 - Các phép biến đổi chính tắc. chính tắc - Định lý Liouville. - Phương trình Hamilton – Jacobi. - Nguyên lý tương đối Einstein. - Khoảng, Phép biến đổi Lorentz, Phép biến đổi vận tốc. - Thời gian riêng. 8 Cơ học tương đối tính - Các vectơ bốn chiều. - Hàm Lagrange của hạt tự do trong cơ học tương đối tính. - Động lượng bốn chiều.
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Lê Quang Toại (2007), Cơ học lý thuyết, NXB ĐHQG TP.HCM. 2. Lê Quang Toại (2007), Bài tập cơ học lý thuyết, NXB ĐHQG TP.HCM. 3. Nguyễn Hữu Mình (2002), Cơ học và lý thuyết tương đối, NXB ĐHSP Hà Nội. 4. Nguyễn Hữu Mình (2003), Bài tập vật lý lý thuyết - Tập 1, NXB Giáo dục. 5. John R. Taylor (2005), Classical Mechanics, University Science Books, ISBN 1-891389-22-X. 6. H. Goldstein, C. Poole and J. Safko (2000), Classical Mechanics, Addison Wesley.
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM ✓ Chất điểm: là vật thể có kích thước nhỏ hơn rất nhiều so với quỹ đạo của nó. ✓ Vectơ vị trí, vận tốc và gia tốc: • Hệ tọa độ Descartes z z 𝑟Ԧ = 𝑥 𝑒Ԧ𝑥 + 𝑦𝑒Ԧ𝑦 + z𝑒Ԧ𝑧 M 𝑑 𝑟Ԧ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑟Ԧ 𝑣Ԧ = = 𝑒Ԧ𝑥 + 𝑒Ԧ𝑦 + 𝑒Ԧ𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 O 2 2 2 y y 𝑑 𝑣Ԧ 𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 𝑑 𝑧 𝑎Ԧ = = 2 𝑒Ԧ𝑥 + 2 𝑒Ԧ𝑦 + 2 𝑒Ԧ𝑧 x 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 x
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 • Hệ tọa độ cực: là 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 • Hệ tọa độ trụ ቐ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ቊ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 hệ tọa độ trụ với z = 0 𝑧=𝑧 z z m • Hệ tọa độ cầu 𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 ቐ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 r y 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 O φ x
2. CÁC TỌA ĐỘ SUY RỘNG ✓ Bậc tự do (Degrees of freedom): là những thông số độc lập cho phép xác định một cách đơn trị vị trí của cơ hệ trong không gian. ✓ Số bậc tự do (s) (number of degrees of freedom): số các đại lượng độc lập cần cho trước để xác định một cách đơn trị vị trí của cơ hệ. ✓ Số liên kết hôlônôm (n) (liên kết hình học) (number of holonomic constraints): là số các liên kết về vị trí (tọa độ) của các chất điểm trong cơ hệ, có thể chứa dưới dạng hiển thời gian, không liên quan đến vận tốc của các chất điểm. ✓ Liên kết không hôlônôm (Nonholonomic constraints): liên kết vi phân. ✓ Số bậc tự do của cơ hệ có N chất điểm, có n liên kết hôlônôm với nhau: s = 3N - n
a) d) b) e) c)
Có thể diễn tả cơ hệ nhờ các thông số mà số các thông số này đúng bằng số bậc tự do s của cơ hệ: ▪ q1, q2, …, qs được gọi là các tọa độ suy rộng, ▪ Đạo hàm 𝑞ሶ 𝑖 được gọi là vận tốc suy rộng. Các tọa độ suy rộng có thể là tọa độ bất kỳ (không nhất thiết là Descartes): dựa vào tính đối xứng của bài toán. Ví dụ: Xác định số bậc tự do và biểu diễn vị trí của cơ hệ. s = 3.2 - 4 = 2 Chọn hệ tọa độ suy rộng: q1 = x; q2 = φ (x1 = x; y1 = 0; z1 = 0) (x2 = x + ℓsinφ; y2 = -ℓcosφ; z2 = 0)
3. CÁC TỌA ĐỘ SUY RỘNG ✓ Ví dụ 1: Cho hai điểm trong một mặt phẳng, hãy tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm này Xét một đoạn rất nhỏ: 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = 1 + 𝑦′(𝑥 ሻ2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Với: 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 = 𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Quãng đường tổng cộng từ điểm 1 đến 2: 2 𝑥2 𝐿 = න 𝑑𝑠 = න 1 + 𝑦′(𝑥 ሻ2 𝑑𝑥 1 𝑥1 Để tìm đoạn đường ngắn nhất, ta sẽ tìm giá trị cực tiểu của tích phân L!!!
✓ Ví dụ 2: Tìm đường đi của ánh sáng từ vị trí 1 sang 2. Nguyên lý Fermat: ánh sáng sẽ truyền theo quỹ đạo mà thời gian truyền nhỏ nhất. Đường truyền đúng từ 1 sang 2 có dạng sao cho thời gian truyền là: 2 2 𝑑𝑠 1 2 𝑡 = න 𝑑𝑡 = න = න 𝑛𝑑𝑠 1 1 𝑣 𝑐 1 Nếu môi trường không đồng nhất, chiết suất n biến thiên theo tọa độ (x, y) thì: 1 2 1 𝑥2 𝑡 = න 𝑛(𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝑠 = න 𝑛(𝑥, 𝑦ሻ 1 + 𝑦′(𝑥 ሻ2 𝑑𝑥 𝑐 1 𝑐 𝑥1 Bài toán trở thành tìm giá trị cực tiểu của tích phân trên !!!
𝑥2 Bài toán: tìm cực tiểu của tích phân sau: 𝑆 = න 𝑓 𝑦 𝑥 , 𝑦 ′ 𝑥 , 𝑥 𝑑𝑥 𝑥1 ▪ Giả sử y(x) là hàm ở đó S cực tiểu. ▪ Tìm cực tiểu của hàm: Y(x) = y(x) + αη(x) ▪ Tích phân này phụ thuộc vào α: S(α). Ta sẽ chọn được hàm đúng y(x) khi cho α = 0. ▪ Y(x) cũng đi qua VT 1 và 2 nên: η(x1) = η(x2) = 0 𝑥2 𝑥2 𝑆 𝛼 = න 𝑓 𝑌 𝑥 , 𝑌 ′ 𝑥 , 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑦 + 𝛼𝜂, 𝑦 ′ + 𝛼𝜂′ , 𝑥 𝑑𝑥 𝑥1 𝑥1
𝜕𝑓 𝑑 𝜕𝑓 Phương trình Euler – Lagrange − ′ =0 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑦 với, x được gọi là biến độc lập, y là biến phụ thuộc 1Τ2 ′ ′2 * Xét lại ví dụ 1: 𝑓 𝑦, 𝑦 , 𝑥 = 1 + 𝑦 CM được 𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 đường thẳng Bài tập về nhà: Tìm đường đi với thời gian ngắn nhất của một hạt từ vị trí 1 sang 2 chỉ chịu tác dụng của trọng lực. Hướng dẫn: Gọi quỹ đạo có dạng x = x(y), hạt chuyển động chỉ chịu tác dụng của trọng lực: 𝑣 = 2𝑔𝑦
❖ Tổng quát hóa phương trình Euler – Lagrange đối với số biến phụ thuộc bất kì. Trong cơ học Lagrange, biến độc lập là thời gian t, biến phụ thuộc là các tọa độ suy rộng q1, q2, …, qs. ❖ Tích phân S phía trên, biểu diễn dạng quỹ đạo của một hệ cơ học được gọi là tác dụng (the action integral). Hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng và vận tốc suy rộng L(q, q,ሶ t) được gọi là hàm Lagrange. ❖ Nguyên lý Hamilton (nguyên lý biến phân): Một hệ cơ học chuyển động giữa hai điểm 1 và 2 trong một khoảng thời gian cho trước từ t1 đến t2 sẽ có quỹ đạo sao cho tác dụng: 𝑡2 𝑆 = න 𝐿(𝑞, 𝑞,ሶ 𝑡ሻ𝑑𝑡 𝑡1 sẽ có giá trị cực trị (nhưng không bao giờ là cực đại).
Sử dụng phương trình Euler – Lagrange, ta dẫn ra các phương trình Lagrange: 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − =0 (i = 1, 2, 3, …s) 𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝑞𝑖 Hàm Lagrange: 𝐿 = 𝑇 𝑞, 𝑞,ሶ 𝑡 − 𝑈(𝑞, 𝑡ሻ 𝑠 1 + T là động năng của cơ hệ: 𝑇 = ෍ 𝐴𝑖𝑘 (𝑞ሻ𝑞ሶ 𝑖 𝑞ሶ 𝑗 2 𝑖,𝑗 + U là thế năng của cơ hệ: U = U (q1, q2, …, qs, t)