Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 2 - TS. Đặng Hoài Trung

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 2 Các định luật bảo toàn, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Tích phân chuyển động – định luật bảo toàn; định luật bảo toàn năng lượng; định luật bảo toàn động lượng; tâm quán tính; định luật bảo toàn mômen động lượng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 2 - TS. Đặng Hoài Trung

CHƯƠNG II TS. ĐẶNG HOÀI TRUNG BM VẬT LÝ ĐỊA CẦU, KHOA VL – VLKT, TRƯỜNG ĐH KHTN – VNU-HCM Email: dhtrung@hcmus.edu.vn
1. TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG – ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN - Tích phân chuyển động: là các hàm theo tọa độ và vận tốc suy rộng, luôn giữ nguyên giá trị không đổi và chỉ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. - Định lý Noether: với bất kỳ một vi phân đối xứng nào, tác dụng của một hệ vật lý tương ứng với một định luật bảo toàn - Yêu cầu: chứng minh mỗi bất biến của hàm Lagrange Amalie Emmy Noether (23/3/1882 – 14/4/1935) đối với phép biến đổi đối xứng của không gian hoặc Nhà toán học người Đức nổi tiếng vì những đóng thời gian đều dẫn đến một tích phân chuyển động – góp nền tảng và đột phá định luật bảo toàn. trong lĩnh vực đại số trừu tượng và vật lý lý thuyết
2. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG - Xét tính đồng nhất của thời gian – hàm Lagrange sẽ không phụ thuộc hiển vào thời gian t. 𝑑𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝐿 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝐿 =෍ +෍ + =෍ 𝑞ሶ 𝑖 + ෍ 𝑞ሷ 𝑖 = ෍ 𝑞ሶ 𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖ሶ 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑑 𝜕𝐿 ෍ 𝑞ሶ 𝑖 − 𝐿 = 0 (2.1) 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖ሶ 𝑖 Đặt là: E
- Định lý Euler về các hàm thuần nhất: nếu f (x1, x2, …, xk) là hàm thuần nhất bậc n thì: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑘 = 𝑛𝑓 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑘 - T là hàm thuần nhất bậc 2: 𝜕𝐿 𝜕𝑇 ෍ 𝑞ሶ 𝑖 = ෍ 𝑞ሶ 𝑖 = 2𝑇 𝜕𝑞𝑖ሶ 𝜕𝑞𝑖ሶ 𝑖 𝑖 𝑬 = 𝑻 𝒒, 𝒒ሶ + 𝑼(𝒒ሻ (2.2) - Vậy: E là cơ năng của hệ
(2.1 và 2.2) 𝜕𝑳 𝑬=෍ 𝒒ሶ 𝒊 − 𝑳 = 𝑻 𝒒, 𝒒ሶ + 𝑼(𝒒ሻ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝑡 𝜕𝒒ሶ𝒊 𝒊 - Định luật bảo toàn cơ năng: trong cơ hệ kín năng lượng luôn giữ nguyên không đổi trong suốt quá trình chuyển động. - Năng lượng có tính cộng được. - Các hệ cơ học có năng lượng được bảo toàn gọi là các hệ bảo thủ. - Hàm Lagrange cho cơ hệ kín (hoặc nằm trong trường ngoài không đổi): 𝑳 = 𝑻 𝒒, 𝒒ሶ − 𝑼(𝒒ሻ
3. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG - Xét tính đồng nhất của không gian. - Xét chuyển động vô cùng bé trên đoạn 𝜀, Ԧ sao cho hàm Lagrange vẫn giữ nguyên không đổi. - Biến thiên của hàm Lagrange do sự thay đổi vô cùng bé của tọa độ, còn vận tốc không đổi. 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝛿𝐿 = ෍ 𝛿 𝑟Ԧ𝑗 = 𝜀Ԧ ෍ =0 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝑗 𝑗 𝜕𝐿 𝜕𝑈 ෍ = −෍ = ෍ 𝐹Ԧ𝑗 = 0 (3.1) 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 Không có lực nào hoặc tổng hợp lực tác dụng lên hệ bằng 0
Phương trình Lagrange và (3.1) 𝑑 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝐿 ෍ = ෍ =0 𝑑𝑡 𝜕𝑣Ԧ𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑣Ԧ𝑗 𝑗 𝑗 𝛛𝑳 𝒑=෍ = ෍ 𝒎𝒋 𝒗𝒋 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 𝛛𝒗𝒋 𝒋 𝒋 - Định luật bảo toàn động lượng: Nếu không có lực nào hoặc tổng hợp các lực tác dụng lên hệ bằng 0 (hệ kín) thì động lượng của hệ sẽ được bảo toàn.
- Đặc điểm: + Động lượng có tính cộng được. + Các thành phần riêng biệt có thể được bảo toàn cả khi có trường ngoài nếu thế năng của trường đó không phụ thuộc vào một tọa độ tương ứng nào đó. - Lưu ý: Nếu chuyển động được miêu tả bằng các tọa độ suy rộng thì: 𝜕𝐿 + Động lượng suy rộng: 𝑝𝑖 = 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝐿 + Lực suy rộng: 𝐹𝑖 = 𝜕𝑞𝑖 - Động lượng suy rộng là hàm thuần nhất tuyến tính của các vận tốc suy rộng, không được quy về tích khối lượng và vận tốc.
Ví dụ: Xét một hạt khối lượng m chuyển động trong một trường thế có dạng: V(r) = -k/r, với k là hằng số và r là khoảng cách để tâm trường. a) Viết phương trình Lagrange cho hạt. b) Tìm pr và pθ như là những hàm theo r, θ, ṙ và θ.ሶ Có hàm nào là hằng số không?
4. TÂM QUÁN TÍNH - Xét hqc K’ chuyển động với vận tốc 𝑉 so với hqc K. - Công thức cộng vận tốc: 𝑣Ԧ𝑗 = 𝑣′𝑗 + 𝑉 - Động lượng của hqc K: 𝑝Ԧ = ෍ 𝑚𝑗 𝑣Ԧ𝑗 = ෍ 𝑚𝑗 𝑣′𝑗 + 𝑉 ෍ 𝑚𝑗 = 𝑝′ Ԧ + 𝑉 ෍ 𝑚𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 - Chọn hqc K’ sao cho động lượng toàn phần của cơ hệ bằng 0, khi đó: 𝑝Ԧ σ𝑗 𝑚𝑗 𝑣Ԧ𝑗 𝑉= = σ𝑗 𝑚𝑗 σ𝑗 𝑚𝑗 - Biểu thức trên có thể được biểu diễn như đạo hàm toàn phần theo thời gian của biểu thức: σ𝑗 𝑚𝑗 𝑟Ԧ𝑗 𝑅= σ𝑗 𝑚𝑗
5. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG - Xét tính đẳng hướng của không gian. - Độ dịch chuyển dài của đầu mút vectơ: 𝛿 𝑟Ԧ = 𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝛿𝜑 - Do 𝛿 𝑟Ԧ vuông góc với mặt phẳng chứa 𝑟Ԧ và 𝛿𝜑: 𝛿 𝑟Ԧ = 𝛿𝜑 × 𝑟Ԧ - Tương tự: 𝛿 𝑣Ԧ = 𝛿𝜑 × 𝑣Ԧ 𝜕𝐿 𝜕𝐿 - Lấy biến phân của hàm Lagrange: 𝛿𝐿 = ෍ 𝛿 𝑟Ԧ𝑗 + 𝛿 𝑣Ԧ𝑗 = 0 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝜕𝑣Ԧ𝑗 𝑗 𝑝Ԧሶ𝑗 𝑝Ԧ𝑗
𝛿𝐿 = ෍ 𝑝Ԧሶ𝑗 𝛿𝜑 × 𝑟Ԧ + 𝑝Ԧ𝑗 𝛿𝜑 × 𝑣Ԧ =0 𝑗 𝑑 ෍ 𝑟Ԧ × 𝑝Ԧ𝑗 = 0 𝑑𝑡 𝑗 𝐿 = ෍ 𝑟Ԧ × 𝑝Ԧ𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑗 - Định luật bảo toàn mômen động lượng: đối với một cơ hệ kín, mômen động lượng sẽ được giữ nguyên không đổi trong suốt quá trình chuyển động. - Tính chất: + Tính bất định: giá trị của mômen động lượng phụ thuộc vào việc lựa chọn gốc tọa độ. + Tính cộng được: mômen động lượng của cơ hệ bằng tổng mômen động lượng của các chất điểm.
Bài tập: Biểu diễn các thành phần theo hệ tọa độ Descartes (Cartesian) của mômen động lượng của hạt chuyển động trong hệ tọa độ trụ. Đáp án 𝐿𝑥 = 𝑚(𝑦𝑣𝑧 − 𝑧𝑣𝑦 ሻ = 𝑚 𝑟𝑧ሶ − 𝑧𝑟ሶ 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑚𝑟𝑧𝑐𝑜𝑠𝜑𝜑ሶ 𝐿𝑦 = 𝑚 𝑧𝑣𝑥 − 𝑥𝑣𝑧 = −𝑚 𝑟𝑧ሶ − 𝑧𝑟ሶ 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑚𝑟𝑧𝑠𝑖𝑛𝜑𝜑ሶ 𝐿𝑧 = 𝑚(𝑥𝑣𝑦 − 𝑦𝑣𝑥 ሻ = 𝑚𝑟 2 𝜑ሶ 𝐿2 = 𝑚2 𝑟 2 𝜑ሶ 2 𝑟 2 + 𝑧 2 + 𝑚2 𝑟𝑧ሶ − 𝑧𝑟ሶ 2