CHUYÊN ĐỀ 1:
Phương trình và hệ phương trình.
2
2
2
I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp.
10.
11.
0.
2
x x
2 1
x x
2 1
x x
4 1
Bài 1:Gpt:
Giải:
u
;
v
x x
2 1
x x
2 1
Đặt (1).
Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0 (u-v).(10u-v)=0 u=v hoặc 10u=v.
Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.
Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15.
Giải:
Đặt x2 - 5x + 5 = u (1).
(x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0
(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0
(x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0
(u-1).(u+1)-15=0
u2-16=0
Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15
u= 4.
2
Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
90.
x
x
1
x
x
1
2
2
Bài 3:Gpt:
.
90
x
.
90
2
2
1
(
x
1)
(
x
1)
1
2 x 2 x (
2 2 1)
. . Giải:PT 2 x
Đặt u = x2 ( u 0) (1).
2
2
Ta có:
u .
90
u 2
u 2
u 90.(
1)
2
u 2 2 1) u (
88 2 u
u 182
90
0
( u 1).
.
3
3
Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.
x
2
x
3
12.(
x
. 1)
Bài 4:Gpt: 3
Giải:
x
u
3; 2
x
(1). v
3
3
3
3
3
3
3
3
vu
u .(4
u
v
)
v
vuuv 3
.(
)
u .(4
v
)
Đặt 3
v
2
2
2
.(3 u
).( uv
2 uv
v
)
).( vuvu
.(3
0
)
0
v
u u
Có:
Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
2
3
2
5
x
3
x
3
x
2
3
x
1 2
x 2
Bài 5:Gpt: (1).
3
2
2
5.2
x
3
x
3
x
2
x
6
x
1
Giải:
3
2
4
2
3
2
20
x
12
x
12
x
8
x
36
x
1
12
x
2
x
12
x
3
2
2 x
8
x
22
0
4 x
8
x
22
x
24
x
9
0
Từ (1) suy ra:
24 x
9 2 x
x
y
(x 0). .
3 x
Đặt (*) ta có:
x
x
.(3)4
x
).4
18
).1(0
y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.
.(1
x x
1 4
Bài 6:Gpt:
Giải: Điều kiện x > 4 hoặc x < -1.
(
x
).(1
x
(.3)4
x
).(1
x
)4
18
0
(
x
).(1
x
)4
y
0
*Nếu x > 4, (1) trở thành:
Đặt (2) ta có:
y2 + 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x.
(
x
).(1
x
(.3)4
x
).(1
x
)4
18
0
(
x
).(1
x
)4
y
0
*Nếu x < -1, (1) trở thành:
Đặt (3) ta có:
y2 - 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x.
Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1).
4
3
2
x 4
4
x
20
x
2
x
01
Giải:
2
x
x
24
0
4x2 + 4x -20 +
(1) (x 0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :
2 x
1 2 .(2) x x
1 x
1 x
1 2 x
2
2.2
= 0. . Đặt y =
Ta có: y2 + 2y -24 = 0.
2
2
2
x
16
x
64
.2
x
8
x
16
x
.0
Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.
x
8
.2
x
4
x
.0
Bài 8:Gpt:
x - 0 4 8 + x-8 - - - 0 + x-4 - - 0 + + x - 0 + + +
Giải:PT
Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.
Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4).
4
2
3
2
2
4
1 x 4 4 x
x 3 x 2
2
x 2 2 x
x 2 x 55 4 x x 2 2
x 2 4 0
x
x 5 2 3 x
x
2 0
Giải:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x 0.
0
x
Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được:
(*). Ta có:
1 x
1 x
2 2 x
2x2 - x + 1 - . Đặt y =
2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.
Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16.
Giải:
Đặt 7 - x = y (*).
Ta có: (y-1)4 + (y + 1)4 =16 2y4 +12 y2 +2 = 16 2.(y-1).(y+1).(y2+7)=0 y =1
hoặc y = -1.
Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị
của x.
II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hoặc (x;y;z) của các phương trình sau:
Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3)
Giải:
Đặt y2 + 3y = t.
+ 3y +2) = t2 + 2t.
Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2
*Nếu t > 0 thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn.
*Nếu t < -2 thì 2t + 4 < 0 nên t2 + 2t > t2 + 4t + 4 suy ra t2 + 2t > t2 + 4t + 4 =
(t+2)2.
Suy ra: x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*).
Lại có: t2 +2t < t2 suy ra x2 < t2 (**).
Từ (*)&(**) suy ra (t + 2)2 < x2 < t2 suy ra x2 = (t+1)2 suy ra t2 +2t = (t +1)2 (=x2)
Suy ra : t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý).
*Nếu t = -1 suy ra x2 = t2 +2t = -1 <0 (Vô lý).
*Nếu t = 0 suy ra x = 0 y = 0 hoặc -1 hoặc -2 hoặc -3 .
x
y
z
)1(2
2
2
x
xy
x
2
z
)2(1
Bài 2:
Giải:
Từ (2) ta có: 2x2 - xy+x-2z =1 kết hợp với (1) ta có:
2
x
5
y
1
x
2
.7,1
x
7
2
x
x
3
x 2
7
x
2
2x2 - xy+x-2.(2 - x + y)=1 2x2 -xy +3x-2y-5=0
x
y
z
)1(3
Từ đó ta tìm được x tìm được y tìm được z.
2
2
2
x
y
z
)2(1
Bài 3:
Giải: Thay (1) vào (2) ta được:
(y + z -3)2 -y2 -z2 =1 yz - 3y - 3z = -4 (y-3).(z-3) = 5 = 1.5 = (-1).(-5) = 5.1=(-
5).(-1.
Từ đó ta tìm được y và z tìm được x.
x
2
x
1
167
2
y
y
,1
1
2
1
.167
Bài 4: 2xy + x + y = 83.
83 y 2
y 1
y 166 2 1 y 2
167 y 2
1
Giải:PT
.3
Từ đó ta tìm được y tìm được x.
xy z
yz x
zx y
Bài 5:
Giải:Điều kiện : x,y,z 0.
Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê
có 3 số -3 thỏ mà chỉ có hai chuồng-mọi số nguyên khác 0 chỉ mang dấu âm hoặc
.0
,
dấu dương)
x y
y x
.3
Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy ra x.y = xy > 0 và
xy z
yz x
zx y
000
0
Đặt A=
xy z
yz x
zx y
Giả sử z <0 khi đó 3 = A = (Vô lý).
xy
xy
3
z
.
z
.
.3 3
z ..
z ..
.3 3
zxy
Vậy z >0.Ta có:
xy z
yz x
zx y
z
y x
x y
x y
y x
z
z
,1
x
y
1
1
zxy .
z
,1
xy
1
z
,1
x
y 1
A =
2 2 x
19
y
2
x
217
x
,1
1
2
1
x
.17
Bài 6: 2x2 - 2xy = 5x + y - 19.
x 5 x 2 1
17 x
2
1
Giải:Từ bài ra ta có:
Từ đó ta tìm được x tìm được y.
1
.2
III.Giải hệ phương trình và các phương trình khác.
2
1 x
2
x
Bài 1:
x
,0
x
2
1
1
.2
Giải:Điều kiện : .
2
2
1 x
1 2
2
x
2
x
-Nếu x < 0 thì
2
2
x
b
Vậy ta xét x > 0:
2
Đặt x = a và (a,b > 0).
2
2
1 a a
1 b b
2
2
.2
ab
1
Ta có:
1 a
1 b
1 ab
Có: (1).
Lại có: 2 = a2 + b2 2ab suy ra 1 ab (2).
ab
1
1
a
b
x
1
Từ (1)&(2) suy ra ab = 1 mà a2 + b2 =2 nên suy ra (a+b)2 = 4 suy ra a + b = 2.
ba
2
2
2
2
4
4
x
41
x
x
y
2
y
3
x
16
y
.5
Vậy ta có: .
Bài 2:
2
4
x
)1(0
x
)2(0
Giải:
2
2
x
y
2
y
3
)3(0
4
x
16
)4(0
41
Điều kiện:
Từ (4) suy ra x2 4 kết hợp với (1) suy ra x2 = 4 kết hợp với (2) suy ra x = 2.
Phương trình đã cho trở thành:
y
1
y
5
.
Lúc này việc tìm y không còn khó khăn gì nữa (Lập bảng xét dấu).
Bài 3: 2x4 -21x3 + 74x2 -105x +50 =0.
Giải:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
2
2
x
21
x
74
0
x
x
26
0
105 x
25 x
25 x
50 2 x
.2
2
.21
x
y
Vậy x 0.Chia cả hai vế của phương trình đã cho cho x2 ta được:
25 x
Đặt ta có:
1.2
x
1
x
5
2y2 -21.y - 26 = 0.Từ đó ta tìm được y tìm ra x.
1
x
1.4
x
7
Bài 4:
a
1
x
0
Giải:
1
x
0
b
2
ba
5
Đặt :
a
b 4
7
Hệ đã cho trở thành:
Từ đó tìm được a =3,b =1.
x
1
y
5
)1(1
Đến đây việc tìm ra x không còn khó khăn nữa.
y
5
x
)2(1
Bài 5:
Giải:
x
51
11
.2
5
1
1
x
x
Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có:
.
2
2
2
x
15
xy
4
y
12
x
45
y
24
)1(0
Từ đó ta tìm được x.Việc tìm giá trị của y cũng không có gì khó khan nữa.
2
2
x
2
y
3
y
3
x
xy
)2(0
Bài 6:
Giải:
y
x
Phương trình (2) phân tích được như sau:
x
23
y
(x - y).(x -3 + 2y) = 0
Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm được x và y.
Bài 7: x3 + (3-m).x2 + (m-9).x + m2 -6m + 5 = 0.
Giải:
Phương trình đã cho phân tích được như sau:
2
2
mx (
)1
mx (
x .)5
.
0
x
y
z
1
Đến đây việc giải và biện luận phương trình không còn khó khăn gì nữa.
4
4
4
x
y
z
xyz
Bài 8:
2
2
2
aRcba
:
,
,
b
c
ab
bc
ca .
Giải:
Bổ đề:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. (Dễ dàng chứng minh được bổ đề trên).
Sử dụng bổ đề ta có:
xyz = x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz.(x + y + z) = xyz.
Suy ra các dấu bất đẳng thức ở trên đều phải trở thành đẳng thức tức là ta phải có:
x
y
z
x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta được:
1 3
2
2
y
)1(1
x
.
2000
1999
2000
x
y
y
x
y
xy
2001
)2)(
x
Bài 9:
.(
1999
.0
Giải:
Điều kiện: x,y
Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy:
-Nếu x > y thì:
VT > 0, VP < 0 suy ra: VT > VP.
-Nếu y > x thì:
VT <0, VP >0 suy ra: VT < VP.
1
x
y
.0
-Nếu x = y khi đó: VT =VP =0.
2
x
2
x
25
x
2.3
x
5
2
2.2
Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y ) ta được: .
Bài 10: (1).
2
2
1
1
.
2
x
2
x
.
2.2
2
x
15
2
x
35
4
Giải:
(1)
15
33
2
2
4
3
2
x
5
2
x
315
2
x
5
2
x
.415
Ta có:
2
x
5
0
3
2
x
5
0
7
x
2
x
5
5 2
9
x
7;
Vậy dấu bất đẳng thức ở trên phải trở thành dấu đẳng thức tức là:
5 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: .
