intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề dãy số 11

Chia sẻ: Ko Di | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST
Báo xấu
235
lượt xem 66
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu hướng dẫn học toán

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề dãy số 11

  1. www.VNMATH.com CHUYÊN ð DÃY S (BDHSG) 1. KHÁI NI M DÃY S u:A → ℝ 1) Cho A là m t t p con khác r ng c a t p s nguyên ℤ, hàm s n ֏ u(n) = u n ñư c g i là m t dãy s , và kí hi u là ( u n ) ho c {u n } . Thông thư ng ta hay ch n A sao cho ph n t nh nh t c a A là 1. Dãy (un) g i là dãy s h u h n (ho c dãy s vô h n) n u A là t p h p g m h u h n (vô h n) ph n t . S un ñư c g i là s h ng t ng quát c a dãy (un). 2) Dãy s (un) ñư c g i là dãy s tăng (tăng không nghi m ng t, gi m, gi m không nghiêm ng t) n u u n < u n +1 (tương ng u n ≤ u n +1 , u n > u n +1 , u n ≥ u n +1 ) v i m i n ∈ A. 3) Dãy s (un) ñư c g i là tu n hoàn n u t n t i s nguyên dương k sao cho u n + k = u n , ∀n ∈ A. S k nh nh t tho mãn tính ch t này ñư c g i là chu kì c a dãy tu n hoàn (un). N u k = 1 thì ta ñư c m t dãy h ng (t t c các s h ng b ng nhau). 4) Dãy s (un) ñư c g i là b ch n trên n u t n t i s th c M sao cho u n ≤ M v i m i n ∈ A. Dãy s (un) ñư c g i là b ch n dư i n u t n t i s th c m sao cho u n ≥ m v i m i n ∈ A. Dãy s (un) ñư c g i là b ch n (ho c gi i n i) n u nó v a b ch n trên v a b ch n dư i, t c là t n t i s th c M, m sao cho m ≤ u n ≤ M v i m i n ∈ A, ho c t n t i s th c C sao cho u n ≤ C, ∀n ∈ A. Dãy s h u h n ho c tu n hoàn thì luôn b ch n. 2. C P S 1) C p s c ng - Dãy s (un) ñư c g i là c p s c ng n u m i s h ng ñ u tho mãn u n +1 − u n = d (d: h ng s , g i là công sai). - Công th c truy h i: u n +1 = u n + d. Công th c s h ng t ng quát: u n = u1 + (n − 1)d, ∀n ∈ A. Công th c tính n(n − 1) n n t ng n s h ng ñ u tiên: Sn = (u1 + u n ) = (2u1 + (n − 1)d) = nu1 + d. Tính ch t các s h ng: 2 2 2 u k +1 + u k −1 = 2u k . 2) C p s nhân - Dãy s (un) ñư c g i là c p s nhân n u m i s h ng ñ u tho mãn u n +1 = u n .q (q: h ng s , g i là công b i). Công th c truy h i: u n +1 = u n .q. Công th c s h ng t ng quát: u n = u1.q n −1. Công th c tính t ng n s h ng - 1 − q n +1 2 n u q ≠ 1. Tính ch t các s h ng: u k +1.u k −1 = u k . ñ u tiên: Sn = nu1 n u q = 1, Sn = u1 1− q 3) C p s nhân c ng - Dãy s (un) ñư c g i là c p s nhân c ng n u m i s h ng ñ u tho mãn u n +1 = u n .q + d (q, d là h ng s ). 4) C p s ñi u hoà 2u n −1u n +1 - Dãy s (un) ñư c g i là c p s ñi u hoà n u m i s h ng c a nó ñ u khác 0 và tho mãn u n = , u n −1 + u n +1 111 1 =( + ). (H c sinh t ôn t p các d ng toán v c p s ) hay u n 2 u n −1 u n +1 3. XÁC ð NH S H NG T NG QUÁT C A DÃY S 3.1. D ðOÁN S H NG T NG QUÁT VÀ CH NG MINH B NG QUI N P BÀI T P 1) Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s cho b i: u a )u1 = 1, u n +1 = n , ∀n = 1, 2,3,... b)u1 = 2, u n +1 = 2 + u n , ∀n = 1, 2,3,... 1+ un 3 −1 3 − 1 + ( 3 + 1)u n 32 5 c)u1 = 1, u n +1 = − u n + u n + 1, ∀n = 1, 2,3,... d)u1 = , u n +1 = , ∀n = 1, 2,3,... 3 +1 3 + 1 − ( 3 − 1)u n 2 2 xa.nguyenvan@gmail.com
  2. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N 1 1 e)u1 = , u n +1 = 2u n − 1, ∀n = 1, 2,3,... f )u1 = , u n +1 = 2u n 1 − u n , ∀n = 1, 2,3,... 2 2 2 2 3.2. M T S D NG TRUY H I ð C BI T V i dãy s cho b i công th c truy h i d ng u n +1 = u n + f (n) thì u n = u1 + f (1) + f (2) + ... + f (n − 1). V i dãy s cho b i công th c truy h i d ng u n +1 = u n .g(n) thì u n = u1.g(1).g(2)...g(n − 1). BÀI T P 2) Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s cho b i: (n + 1) 2 u n a)u1 = 1, u n +1 = u n + n!.n, ∀n = 1, 2,3,... b)u1 = 1, u n +1 = , ∀n = 1, 2,3,... n(n + 2) c)u1 = 1, u n +1 = u n + n 3 + 3n 2 − 3n + 1, ∀n = 1, 2,3,... d)u1 = 3, u n +1 = u n + 3n , ∀n = 1, 2,3,... 1 e)u1 = 1, u n +1 = u n + (n + 1).2n , ∀n = 1, 2,3,... f )u1 = 2, u n +1 = 2 − , ∀n = 1, 2,3,... un n2 −1 n g)u1 = 1, u n +1 = u n , ∀n = 1, 2,3,... h)u1 = 0, u n +1 = (1 + u n ), ∀n = 1, 2,3,... n +1 n 3.3. PHƯƠNG TRÌNH ð C TRƯNG Ta ch xét hai trư ng h p ñơn gi n sau ñây: a) Xét dãy s (un) cho b i u1, u 2 , u n + 2 = a.u n +1 + b.u n , ∀n ∈ ℕ * (a, b = const). Khi ñó phương trình x 2 − ax − b = 0 ñư c g i là phương trình ñ c trưng c a dãy s ñã cho. N u phương trình trên có hai nghi m th c phân bi t x1, x 2 thì u n = A.x1 + B.x n . n 2 N u phương trình trên có hai nghi m th c trùng nhau x1 = x 2 thì u n = (A + nB).x1 . n N u phương trình trên có ∆ < 0 , g i hai nghi m ph c c a nó là x1 , x 2 , và bi u di n hai s ph c này d ng lư ng giác x1 = r(cos ϕ + i.sin ϕ), x 2 = r(cos ϕ − i.sin ϕ), v i r, ϕ là các s th c, r là môñun c a x1 và x 2 , ϕ ∈ [ 0; 2π ) , i là ñơn v o, thì u n = r n (A.cos nϕ + B.sinnϕ). ( ñó các h ng s A, B ñư c xác ñ nh nh u1, u 2 ) b) Xét dãy s (un) cho b i u1, u 2 , u 3 , u n +3 = a.u n + 2 + b.u n +1 + c.u n , ∀n ∈ ℕ * (a, b, c = const) có phương trình ñ c trưng x 3 − ax 2 − bx − c = 0. N u phương trình trên có ba nghi m th c phân bi t x1, x 2 , x 3 thì u n = A.x1 + B.x n + C.x 3 . n n 2 N u phương trình trên có ba nghi m th c x1 , x 2 , x 3 mà x1 ≠ x 2 = x 3 thì u n = A.x1 + (B + nC).x 2 . n n N u phương trình trên có ba nghi m th c x1 , x 2 , x 3 và x1 = x 2 = x 3 thì u n = (A + nB + n 2C).x1 . n N u phương trình trên có ba nghi m x1, x 2 , x 3 trong ñó x1 là nghi m th c, còn hai nghi m x 2 = r(cos ϕ + i.sin ϕ), x 3 = r(cos ϕ − i.sin ϕ) là hai nghi m ph c (không ph i là s th c) thì u n = A.x1 + r n (B.cos nϕ + C.sinnϕ). ( ñó các h ng s A, B, C ñư c xác ñ nh nh u1, u 2 , u 3 ) n VD1. Cho dãy s (u n ) xác ñ nh b i u1 = 1, u 2 = 0, u n + 2 = u n +1 − u n , ∀n ∈ ℕ *. Ch ng minh (u n ) b ch n. π π HD. Phương trình ñ c trưng c a dãy s ñã cho là x 2 − x + 1 = 0 có hai nghi m ph c x1 = cos + i.sin , 3 3 π π nπ nπ x 2 = cos − i.sin , nên u n = 1n (A.cos + B.sin ), ∀n ∈ ℕ *. Do u1 = 1, u 2 = 0, nên ta có 3 3 3 3 A B 3 π π  A = 1 1 = A.cos 3 + B.sin 3 (= u1 ) + =1  2  2 ⇔ ⇔  3. 0 = A.cos 2π + B.sin 2π B = − A + B 3 = 0 (= u 2 )  3  2   3 3 2 xa.nguyenvan@gmail.com
  3. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N nπ nπ nπ nπ 3 3 3 2 .sin , ∀n ∈ ℕ *. V y u n = cos + ≤ 12 + ( ) 2 = , ∀n ∈ ℕ*, hay Suy ra u n = cos + .sin 3 3 3 3 3 3 3 3 (u n ) là dãy b ch n. VD2. Cho (u n ) có u1 = 0, u 2 = 16, u3 = 47, u n +3 = 7u n +2 − 11u n +1 + 5u n , ∀n ∈ ℕ *. Tìm dư khi chia u 2011 cho 2011. HD. Phương trình ñ c trưng x 3 − 7x 2 + 11x − 5 = 0 có 3 nghi m th c x1 = 5 (nghi m ñơn), x 2 = x 3 = 1 (nghi m 1 kép) do ñó u n = A.5n + (B + nC).1n , ∀n ∈ ℕ *. Vì u1 = 0, u 2 = 16, u 3 = 47 nên A = , B = −13, C = 12. Suy ra 5 n −1 u n = 5 + 12n − 13, ∀n ∈ ℕ *. T ñó u 2011 = 5 + 12.2011 − 13. Theo ñ nh lí Phécma thì 52010 − 1⋮ 2011 (ñ nh 2010 lí Phécma: N u p là s nguyên t , a là s nguyên và (a, p) = 1, thì a p−1 ≡ 1 (mod p)). V y u 2011 chia cho 2011 dư −12 (hay dư 1999). VD3. Cho hai dãy s ( x n ), (y n ) tho mãn x1 = y1 = 1, x n +1 = 4x n − 2y n , y n +1 = x n + y n , ∀n ∈ ℕ *. Xác ñ nh công th c c a x n , y n . x n + 2 = 4x n +1 − 2y n +1 = 4x n +1 − 2(x n + y n ) = 4x n +1 − 2x n − 2y n = 4x n +1 − 2x n + x n +1 − 4x n Ta có hay HD. x n + 2 = 5x n +1 − 6x n (∀n ∈ ℕ*). Dãy (u n ) có phương trình ñ c trưng x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ho c x = 3. Suy ra 1 x n = A.2n + B.3n , ∀n ∈ ℕ *. Mà x1 = 1, x 2 = 4x1 − 2y1 = 2, nên A = , B = 0, và ta có x n = 2n −1, ∀n ∈ ℕ *. T 2 n −1 n −1 ñó và x n +1 = 4x n − 2y n ⇒ y n = 2 . V y x n = y n = 2 , ∀n ∈ ℕ *. 3.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY S PH VD4. Cho dãy s (u n ) : u1 = 1, u 2 = 2, u n + 2 = 2.u n +1 − u n + 1, ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = u n +1 − u n . Ch ng minh ( v n ) là c p s c ng và tìm u n . v1 = u 2 − u1 = 1. Và u n +2 = 2.u n +1 − u n + 1, ∀n ∈ ℕ* ⇔ u n + 2 − u n +1 = u n +1 − u n + 1, ∀n ∈ ℕ * HD. a) Ta có ⇔ v n +1 = v n + 1, ∀n ∈ ℕ *. V y ( v n ) là c p s c ng v i s h ng ñ u tiên v1 = 1, công sai d = 1. b) T câu a ta có vn = v1 + (n −1).d = 1+ (n −1).1 = n, hay un+1 − un = n, ∀n ∈ ℕ *. Suy ra un = (un − un−1) + (un−1 − un−2 ) + (n − 1).n n 2 n +... + (u 2 − u1 ) + u1 = [(n − 1) + (n − 2) + ... + 2 + 1] + 1 = 1 + = − + 1, ∀n ∈ ℕ *. 2 22 2 1 (u n ) : u1 = 0, u 2 = 1, u n + 2 = .u n +1 + u n , ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = u n +1 − u n . Ch ng minh ( v n ) là VD5. Cho dãy s 3 3 c p s nhân và tìm u n . 2 1 v1 = u 2 − u1 = 1. u n + 2 = .u n +1 + u n , ∀n ∈ ℕ* ⇔ 3u n + 2 = 2u n +1 + u n , ∀n ∈ ℕ* ⇔ HD. Ta có Và 3 3 −1 3(u n + 2 − u n +1 ) = −(u n +1 − u n ), ∀n ∈ ℕ * ⇔ v n +1 = v n , ∀n ∈ ℕ *. V y ( v n ) là c p s nhân v i s h ng ñ u tiên 3 1 v1 = 1, công b i q = − . 3 1 Ta có vn = v1.qn−1 = (− )n−1, ∀n ∈ ℕ *. Suy ra un = (un − un−1) + (un−1 − un−2) ++... + (u2 − u1) + u1 = vn−1 + vn−2 + 3 1 1 − (− ) n −1 1 1 1 3 9 +... + v 2 + v1 + u1 = 0 + 1 + (− ) + (− ) 2 + ... + (− ) n − 2 = 1. 3 =+ , ∀n ∈ ℕ *. 4 4.(−3) n 1 3 3 3 1 − (− ) 3 VD6. Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ( un ) có u1 = c, un+1 = q.un + an + d , ∀n ∈ ℕ*, ñó a, c, d, q là h ng s . xa.nguyenvan@gmail.com
  4. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N HD. V i q = 1 thì un+1 = un + an + d , ∀n ∈ ℕ * . Ta nh n th y u 2 = u1 + a + d, u 3 = u 2 + 2a + d,..., un−1 = un −2 + (n − 2)a + d,un = un−1 + (n −1)a + d ⇒ u2 + u3 + ... + un−1 + un = u1 + u2 + ... + un−2 + un−1 + n(n −1) n(n −1) +a(1 + 2 + ... + (n − 2) + (n −1)) + (n −1)d ⇒ un = u1 + a + (n −1)d ⇒ un = c + a + (n −1)d, (n ∈ ℕ*). 2 2 Khi q ≠ 1, ta s xét m t dãy ph ( vn ) th a mãn un = vn + bn + e, n ∈ ℕ*, ñó b, e là nh ng h ng s , và ta c g ng ch n b, e thích h p ñ ( vn ) là c p s nhân. T ñ ng th c truy h i ban ñ u ta có vn +1 = qvn + (qb + a − b)n + (qe + d − b − e), n ∈ ℕ*, và d th y ñ ( vn ) là c p s nhân thì c n có qb + a − b = qe + d − b − e = 0 ⇔ b = a , e = d − a − qd ,(q ≠ 1) . Lúc này (v i b, e như trên) do vn +1 = qvn 1− q (q − 1) 2 v1 .q n−1 = (u1 + aq + dq − d ).q n−1 , t ñó ta tính ñư c s h ng nên ( vn ) là c p s nhân có công b i q. Suy ra vn = (q − 1)2 aq + dq − d n −1 a.n d −a−qd t ng quát c a ( un ) là un = (u1 + ).q + + (n ≥ 2). 1−q (q −1)2 (q − 1)2  n(n − 1) c + 2 a + (n − 1)d , khi q = 1  un =  V y, s h ng t ng quát c a ( un ) ñã cho là : . aq + dq − d n−1 a.n d −a−qd  (c + ).q + + , khi q ≠ 1 1−q (q −1)2 (q − 1)2   BÀI T P 3 + 2u n u −1 3) Cho (u n ) : u1 = 0, u n +1 = , ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = n . Ch ng minh ( v n ) là c p s nhân và tìm u n . 4 + un un + 3 (n + 1)u n u 1 4) Cho (u n ) : u1 = , u n +1 = , ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = n . Ch ng minh ( v n ) là c p s nhân và tìm u n . 3 3n n 5) Cho (u n ) : u1 = 1, u n +1 = u n + 2.(1 + 3 ), ∀n ∈ ℕ *. ð t v n = u n − 3n. Ch ng minh dãy s ( v n ) là c p s n c ng và tìm u n . 6) Nêu cách xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s ( u n) cho b i u1 = c, un+1 = q.un + P (n), ∀n ∈ ℕ * , ñó c, q là các h ng s , còn P(n) là m t ña th c b c k cho trư c. 3.5. TUY N TÍNH HOÁ M T S DÃY PHI TUY N px + q a) V i dãy s ( x n ) cho b i x1 = a, x n +1 = n , ∀n ∈ ℕ*, và a, p, q, r, s là các h ng s , ta xét hai dãy (u n ), rx n + s u ( v n ) tho mãn u1 = a, v1 = 1, u n +1 = pu n + qv n , v n +1 = ru n + sv n , ∀n ∈ ℕ*, thì x n = n . T ñó tìm ra u n , v n , x n . vn x2 + d b) V i dãy s ( x n ) cho b i x1 = a, x n +1 = n , ∀n ∈ ℕ*, và a, d là các h ng s , d ≠ 0, ta xét hai dãy (u n ), 2x n u ( v n ) tho mãn u1 = a, v1 = 1, u n +1 = u n + dv 2 , v n +1 = 2u n v n , ∀n ∈ ℕ*, thì x n = n . T ñó tìm ra u n , v n , x n . 2 n vn xn 1 VD7. Cho dãy ( x n ) có x1 = 1, x n +1 = , ∀n ∈ ℕ*, tìm x n và ch ng minh x n < , ∀n ≥ 2. 2 + xn n u HD. Xét hai dãy (u n ), ( vn ) tho mãn u1 = v1 = 1, u n +1 = u n , v n +1 = u n + 2v n , ∀n ∈ ℕ*, thì x n = n . Ta th y vn x n = 1, ∀n ∈ ℕ *. Và vn+1 = 2vn +1, ∀n ∈ ℕ* ⇔ vn+1 +1 = 2(vn +1), ∀n ∈ ℕ*. Suy ra vn +1 = 2.(vn −1 +1) = 22 (vn −2 +1) = xa.nguyenvan@gmail.com
  5. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N u 1 = ... = 2n −1 (v1 + 1) = 2n ⇒ v n = 2n − 1, ∀n ∈ ℕ *. V y x n = n = , ∀n ∈ ℕ *. Ta có 2n = C0 + C1 + ...Cn > n n n n vn 2 − 1 1 1 > C0 + C1 = 1 + n, ∀n ≥ 2, t c là x n = < , ∀n ≥ 2. n n n 2 −1 n 2x n + 1 , ∀n ∈ ℕ, tìm x n và tìm ph n nguyên c a S = x1 + x 2 + ... + x n . VD8. Cho dãy ( x n ) có x 0 = 2, x n +1 = 2 + xn u HD. Xét hai dãy (u n ), ( v n ) tho mãn u 0 = 2, v0 = 1, u n +1 = 2u n + v n , v n +1 = u n + 2v n , ∀n ∈ ℕ, thì x n = n . Ta vn có u1 = 2u 0 + v0 = 5, u n + 2 = 2u n +1 + vn +1 = 2u n +1 + u n + 2vn = 2u n +1 + u n + 2(u n +1 − 2u n ) ⇒ u n + 2 = 4u n +1 − 3u n , 1 3 phương trình x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1, x = 3, nên u n = A + B.3n , ∀n ∈ ℕ. Do u 0 = 2, u1 = 5 nên A = , B = . 2 2 3n +1 + 1 3n +1 − 1 3n +1 + 1 un = , ∀n ∈ ℕ. vn = , ∀n ∈ ℕ. xn = , ∀n ∈ ℕ. ð t ñư c Tính Vy Suy ra 3n +1 − 1 2 2 3n + 1 3n +1 + 1 3n +1 + 1 32 + 1 33 + 1 2 S = x1 + x 2 + ... + x n = + + ... + + . Lưu ý x n = = 1+ > 1, ∀n ∈ ℕ. Ta có n −1 n +1 n +1 2 3 n 3 −1 3 −1 3 −1 3 −1 −1 −1 3 3 1 (1 + 2)n +1 = C0 +1 + C1 +1.2 + Cn +1.22 + ... + Cn +1.2n +1 ≥ C0 +1 + C n +1.22 = 1 + (n + 1)n. .4 = 2n(n + 1) + 1, ∀n ∈ ℕ *. n +1 2 2 n n n 2 2 1 1 1 D n t i 3n +1 − 1 ≥ 2n(n + 1), ∀n ∈ ℕ* ⇒ x n = 1 + ≤ 1+ = 1+ − , ∀n ∈ ℕ *. Do v y v i 3n +1 − 1 n(n + 1) n n +1 11 11 1 1 1 ∀n ∈ ℕ * thì S = x1 + x 2 + ... + x n ≤ (1 + − ) + (1 + − ) + ... + (1 + − ) = n +1− < n + 1. M t khác n n +1 n +1 12 23 S = x1 + x 2 + ... + x n > n, ∀n ∈ ℕ *. Như v y n < S < n + 1, ∀ ∈ ℕ*, nên [S] = n, ∀∈ ℕ *. 4. M T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN T I TÍNH CH T C A DÃY S VD9. Cho các s dương a1, a 2 ,..., a13 tho mãn a1 + a 2 + ... + a13 ≥ 13. Ch ng minh dãy (un) cho b i u n = a1 + a n + ... + a13 , ∀n ∈ ℕ*, là dãy tăng không nghiêm ng t. n n 2 HD. V i m i s dương a và s nguyên dương n ta có (a n − 1)(a − 1) ≥ 0 nên a n +1 − a n ≥ a − 1. T ñó suy ra u n +1 − u n = (a1 +1 + a n +1 + ... + a13 1) − (a1 + a n + ... + a13 ) ≥ a1 + a 2 + ... + a13 − 13 ≥ 0, ∀n ∈ ℕ*, hay un+1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ *. n+ n n n 2 2 V y (un) là dãy s tăng không nghiêm ng t. −1 VD10. Ch ng minh dãy s (un) cho b i u1 = 1, u n = , ∀n = 2,3, 4... là dãy s gi m và b ch n. 3 + u n −1 −3 + 5 −3 + 5 HD. * Trư c h t ta ch ng minh u n > , ∀n ∈ ℕ *. Th t v y, v i n = 1 thì u1 = 1 > . Gi s 2 2 −3 + 5 3+ 5 3− 5 −1 −3 + 5 1 2 . Khi ñó 3 + u k > < = ⇒ u k +1 = > uk > ⇒ . Theo nguyên lí 3 + uk 3 + 5 3 + uk 2 2 2 2 −3 + 5 −3 + 5 qui n p toán h c, ta có u n > , ∀n ∈ ℕ*, t c là (un) b ch n dư i b i . 2 2 u 2 + 3u n + 1 −3 + 5 1 * Bây gi ta xét hi u u n − u n +1 = u n + =n > 0, ∀n ∈ ℕ*, do u n > , ∀n ∈ ℕ *. V y (un) 3 + un 3 + un 2 là dãy s gi m. * Vì (un) gi m nên 1 = u1 > u 2 > ... > u n > u n +1 > ... suy ra (un) b ch n trên b i 1. V y (un) là dãy s b ch n. xa.nguyenvan@gmail.com
  6. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N −a Nh n xét. Ta có k t lu n tương t ñ i v i dãy s (un) cho b i u1 = α , u n = , ∀n = 2,3, 4... , v i a, b, c b + cu n −1 −b + b 2 − 4ac dương, b 2 − 4ac > 0, α > . 2c 1 a VD11. Xét tính ñơn ñi u và b ch n c a dãy s (un) có x1 > 0, x n +1 = (x n + ), ∀n ∈ ℕ*, ñó a > 0 là h ng s . 2 xn 1 a HD. Do x1 > 0, a > 0 và x n +1 = (x n + ), ∀n ∈ ℕ*, nên b ng qui n p ta ch ng minh ñư c x n > 0, ∀n ∈ ℕ*, 2 xn x 1 a ) ≥ a , ∀n ≥ 2. Do ñó n +1 = t c là dãy (un) b ch n dư i. Áp d ng b t ñ ng th c Côsi ta có x n = (x n −1 + 2 x n −1 xn 1 a 1a =+ ≤+ = 1, ∀n ≥ 2. Suy ra (un) là dãy gi m không nghi m ng t, k t s h ng th 2 tr ñi. D th y 2 2x 2 2 2a n (un) b ch n trên. V y (un) là dãy b ch n. BÀI T P. 7) Cho dãy ( x n ) : x1 = 7, x 2 = 50, x n + 2 = 4x n +1 + 5x n − 1975, ∀n ∈ ℕ *. Ch ng minh x1996 ⋮1997. 8) Cho dãy các s nguyên ( x n ) : x1 = 15, x 2 = 35, x 3 = 405, x n + 3 = 6x n + 2 + 13x n +1 − 42x n , ∀n ∈ ℕ *. Tìm nh ng s h ng c a dãy mà ch s t n cùng c a s h ng ñó là s 0. 5. GI I H N C A DÃY S Chúng tôi lưu ý kí hi u n là m t bi n s nguyên dương, còn n0 là m t h ng s nguyên dương (tr trư ng h p có chú thích c th ). M t dãy s có gi i h n h u h n ñư c g i là dãy s h i t , n u nó có gi i h n vô c c ho c không có gi i h n thì ta nói nó phân kì. Khi xét gi i h n c a dãy s (un) ta có th ch xét các s h ng c a dãy k t s h ng th n0 tr ñi, t c là vi c thay ñ i h u h n s h ng ñ u tiên c a dãy s không làm nh hư ng ñ n tính h i t , và không làm nh hư ng ñ n gi i h n (n u có) c a dãy s ñó. Gi i h n c a dãy s (n u có) là duy nh t. T c là n u limun = u thì limun+k = limun-k = u, v i k là s nguyên dương tùy ý. limun = 0 ⇔ lim|un| = 0. limun = u ⇔ lim|un – u| = 0. limun = u ⇔ limu2n = limu2n+1 = u . 1 1 = (u ≠ 0) . N u limun = u thì lim|un| = |u| và lim u k = uk (k nguyên dương), lim n un u N u un < un+1 < M (∀n ≥ n0) thì (un) h i t , limun = u ≤ M, và un < u (∀n ≥ n0). N u un ≤ un+1 ≤ M (∀n ≥ n0) thì (un) h i t , limun = u ≤ M, và un ≤ u (∀n ≥ n0). N u un ≤ un+1(∀n ≥ n0) và (un) không b ch n trên thì limun = + ∞. N u un > un+1 > m (∀n ≥ n0) thì (un) h i t , limun = u ≥ m, và un > u (∀n ≥ n0). N u un ≥ un+1 ≥ m (∀n ≥ n0) thì (un) h i t , limun = u ≥ m, và un ≥ u (∀n ≥ n0). N u un ≥ un+1(∀n ≥ n0) và (un) không b ch n dư i thì limun = – ∞. M t dãy s h i t thì b ch n. N u xn ≤ yn ≤ zn (ho c xn < yn < zn ) v i ∀n ≥ n0, ñ ng th i limxn = limzn = a thì limyn = a (nguyên lí gi i h n k p). N u un ≥ 0 (ho c un > 0) v i ∀n ≥ n0, và limun = u thì u ≥ 0 và lim u n = u . xa.nguyenvan@gmail.com
  7. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N Gi s un ≤ vn (ho c un < vn) v i ∀n ≥ n0. Khi ñó: • N u limun = u, limvn = v thì u ≤ v. • N u limun = + ∞ thì limvn = + ∞. • N u limvn = – ∞ thì limun = – ∞. un n  1  1 Ta có lim 1 +  = e. N u limun = + ∞ ho c limun = – ∞ thì lim 1 +  = e.  n  un  N u (un) b ch n và limvn = 0 thì lim(unvn) = 0. 2a n −1.a n +1 VD12. Cho dãy s (an) th a mãn a n = , ∀ n > 1. Tìm lim an. a n −1 + a n +1 2a .a 2a k .a k + 2 = 0 , suy ra a k+2 = k+1 k +3 = 0 , và HD. N u t n t i s nguyên dương k sao cho ak = 0 thì a k+1 = a k + a k +2 a k+1 + a k +3 2a k .a k + 2 1 d n t i a k+1 = không có nghĩa. Do v y an ≠ 0, ∀ n ∈ N *. Bây gi ta ñ t un = (∀ n ∈ N *), thì un a k + a k +2 an 1 ≠ 0 (∀ n ∈ N *), thay vào ñ ng th c ñ bài ta ñư c un = (un-1+ un+1), ∀n >1, suy ra (un) là c p s c ng có công 2 a1 sai d, và s h ng t ng quát un = u1 + (n – 1)d ≠ 0, v i m i n ∈ N *. Như v y a n = (∀ n ∈ N *). 1 + (n − 1)da1 N u d = 0 (⇔ u1 = u2 = …⇔ a1 = a2 = …) thì an = a1(∀ n ∈ N *) và lim an = a1. N u d ≠ 0 (⇔ các s h ng c a a1 dãy (un) phân bi t ⇔ các s h ng c a dãy (an) phân bi t) thì l im a n = lim = 0. 1 + ( n − 1) d a 1 V y, n u các s h ng c a (an) b ng nhau thì lim an = a1, n u các s h ng c a dãy (an) phân bi t thì lim an = 0. 0, khi q < 1   1, khi q = 1   n + ∞, khi q > 1 VD13. Ch ng minh r ng limq = .  không tô`n tai, khi q ≤ −1 .  HD. N u q = 1 thì có ngay limqn = 1. Và n u q = 0 thì cũng có ngay limqn = 0. 1 1 = 1 + a (a > 0)⇒ n = (1 + a)n = C0 + a.C1 + ... + a n .Cn ≥1 + na > 0, v i ∀ n ∈ N *. n N u 0 0 nên lim 1 + na 1 + na hay limqn = 0. 1 1 = 0. Ta ñi ñ n limqn = + ∞. N u q > 1 thì 0 < < 1 nên theo ch ng minh trên lim n q q N u q = –1 thì limq2n = 1 còn limq2n+1 = –1 nên không t n t i limqn. N u q < – 1 thì q2 > 1 nên limq2n = lim(q2)n = + ∞, và limq2n+1 = lim[q.(q2)n] = – ∞, vì th không t n t i limqn. VD14. Cho dãy s (an) th a mãn an ≤ an+1 – a 2 +1 , ∀n ∈ ℕ * . Tìm gi i h n liman. n xa.nguyenvan@gmail.com
  8. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N 1 , ∀n ∈ ℕ * . T c là (an) là dãy b ch n trên và không HD. T an ≤ an+1 – a 2 +1 , ∀n ∈ ℕ * , suy ra an ≤ an+1 và an ≤ n 4 gi m. Do ñó (an) có gi i h n h u h n liman = a. L y gi i h n h n hai v b t ñ ng th c ñ bài cho, ñư c a ≤ a – a2, hay a = 0. V y liman = 0. VD15. Cho dãy s (xn) th a mãn x1 = 3, x n+1 − 3x n +1 = 2 + x n , ∀ n ∈ N *. Tìm gi i h n lim xn. 3 xk > 2, lúc này x 3+1 − 3x k +1 = 2 + x k > 2 + 2 = 2 nên HD. Ta th y x1 = 3 > 2. Gi s k x 3+1 − 3x k +1 − 2 > 0 ⇔ (xk+1 + 1)2(xk+1 – 2) > 0 ⇔ xk+1 > 2. T c là xn > 2, ∀ n ∈ N *. Xét hàm s f(t) = t3 – 3t, k có f ’(t) = 3t2 – 3 = 3(t + 1)(t – 1) > 0, ∀ t > 2, suy ra f(t) ñ ng bi n trên kho ng (2; + ∞). Ki m tra th y > xk+1 ⇒ 2 + x k > x1 − 3x1 = 18 3 x 3 − 3x 2 = 5 ⇒ ⇒ x1 > > f(x1) > f(x2) x2. Gi s xk 2 > 2 + x k+1 ⇒ x k+1 − 3x k +1 > x 3+2 − 3x k + 2 ⇒ f(xk+1) > f(x k +2) ⇒ xk+1 > xk+2. Do ñó xn > xn+1 v i ∀ n ∈ N *. Dãy 3 k (xn) gi m và b ch n dư i b i 2 nên t n t i gi i h n h u h n lim xn = x ≥ 2. L y gi i h n hai v ñ ng th c ñ bài 2 + x ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 = x + 2 (vì x ≥ 2 nên x3 – 3x > 0) ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 – ta ñư c x3 – 3x = x –2=0⇔ 5 4 3 2 2 3 3 (x – 2).(x + 2x – 2x – 4x + x + 1) = 0 ⇔ (x – 2).(x (x – 4) + 2x (x – 1) + x + 1) = 0 ⇔ x = 2 (do x ≥ 2). V y limxn = 2. VD16. Tính gi i h n: [(2+ 3) n ] , trong ñó [x] là ph n nguyên c a s th c x, t c là s nguyên l n nh t không vư t quá x. a) lim (2+ 3) n c 2n − 1 n 1 13 5 lim( + 2 + 3 + ... + d)lim n n . b) ). c) lim n (a > 1, c > 0). e) lim n . n a 22 n! 2 2 (2 + 3) + (2 − 3) n n HD. a) ð t a n = , nh công th c khai tri n nh th c Niuton ta th y ngay an là s nguyên 2 dương. M t khác – 1< – (2 − 3) < 0 nên có [(2+ 3) n ] = [2an – (2 − 3) ] = 2an +[– (2 − 3)n ] = 2an – 1. n n 2a n − 1 (2 + 3)n + (2 − 3) n − 1 [(2+ 3) n ] 1 1 = lim(1 + − V y lim = lim = lim ) = 1. (7 + 4 3) n (2+ 3) n (2+ 3) n (2+ 3) n (2+ 3)n Nh n xét. V i x, y, n, r nguyên dương, r không là s chính phương thì t n t i hai dãy s nguyên dương (an) và +y r )n y r )n + bn r ; - bn r ; (bn) sao cho (x = an (x - = an vi (x + y r)n + (x − y r)n (x + y r)n − (x − y r)n an = , bn = . 2 2 2n − 1 2n − 1 35 13 5 + 2 + 3 + ... + n ⇒ 2xn = 1 + + 2 + ... + n-1 . Ta có xn = 2xn – xn = b) Ta ñ t xn = 22 2 22 2 2 1 1 − 2n 1 1 n 11 1 1 =2+ + 2 + ... + n −2 + n = 3 – n − 2 + n – n −1 . D th y lim n − 2 = lim n = 0. V i m i n > 2 22 2 22 2 2 2 2 n 2 − 3n + 2 n−1 ta có 2n −1 = Cn−1 + Cn−1 + Cn−1 + ... + Cn−1 ≥ C 2 −1 = > 0. T ñó suy ra 0 < n < 2n 0 1 2 , ∀ n > 2. n n −1 n − 3n + 2 2 2 2 n 2n Mà lim = 0 nên lim n −1 = 0. V y lim xn = 3. n 2 − 3n + 2 2 xa.nguyenvan@gmail.com
  9. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N c  1 c c  =  n  ñó b = a c – 1 > 0. Nh n th y v i m i n ≥ 2 thì n n c) V i hai s a > 1 và c > 0 ta bi n ñ i n = n   (1+b) n  a c   a  (n 2 − n)b 2 n 2 (1 + b) = Cn + bCn + b Cn + ... + b Cn ≥ b Cn = 0 1 22 nn 22 n , ∀ n ∈ N *. > 0 suy ra 0 < < (1+b) (n − 1)b 2 n 2 c n nc 2 n = 0, d n t i lim n = lim   = 0. T ñây và do lim = 0 nên lim (n − 1)b 2 (1+b)n (1+b)n   a n n − 1 n 2 − 3n + 2 C1 C2 C3 Cn  1 1+ = C0 + n + n + n + ... + n ≥ 1 + n + + = ≥ d) Vi mi n 9 ta có   n  n n n nn 2 nn 6n n( n − 3) 11 n nn 1 n nn nn n 1 = + n+ + + >+ =n+ − =n+ ≥ n . D n ñ n 1 < n n < 1+ vi 22 2 6 3n 2 6 6 2 6 n 1 m i n ≥ 9. Mà lim (1 + ) = 1 nên suy ra lim n n = 1. n log a n Nh n xét. V i a >0, a ≠ 1, thì lim = 0. n 1 1 e) Trư c h t ta có n! = 1.2.3…n ≤ nn ⇒ ≤ , ∀ n ∈ N *. M t khác ∀k = 1, n ta luôn có n n n! (n − k)(k − 1) ≥ 0 ⇒ k(n − k + 1) ≥ n , cho k ch y t 1 ñ n n ta thu ñư c n b t ñ ng th c mà hai v ñ u dương, nhân 1 1 ≤ , ∀n ∈ ℕ* . T n b t ñ ng th c này, v v i v tương ng, ta ñư c (n!)2 ≥ nn hay n n! n 1 1 1 1 1 1 ≤n ≤ , ∀n ∈ ℕ* , và lim = lim = 0 suy ra lim = 0. n n n n! n n n! un , ∀ n ∈ N *. VD17. Cho dãy s (un) th a mãn u1 = – 2, un+1 = 1 − un a. Ch ng minh un < 0, ∀ n ∈ N *. 1+ u n b. ð t vn = , ∀ n ∈ N *. Ch ng minh (vn) là c p s c ng. un c. Tìm công th c s h ng t ng quát c a (un), (vn), và tính các gi i h n limun, limvn. HD. a) Ta ch ng minh un < 0 (∀ n ∈ N *) b ng phương pháp quy n p toán h c. Rõ ràng u1 = – 2 < 0. Bây gi gi uk s uk < 0 ⇒ 1 – uk > 0. D n t i uk+1 = < 0. V y un < 0 (∀ n ∈ N *). 1 − uk 1− 2 1 1+ u n 1 un = . T un+1 = b) ð t vn = thì vn ≠ 1 và un = . Ta có v1 = ta có vn − 1 −2 1− un un 2 1 1 1 1 = : (1 − ) hay vn+1 = vn – 1 (∀ n ∈ N *). V y (vn) là c p s c ng có s h ng ñ u tiên v1= , v n+1 − 1 v n − 1 vn − 1 2 công sai d = –1. xa.nguyenvan@gmail.com
  10. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N 1 2 3 1 (∀ n ∈ N *). Như v y limun = 0, c) T câu b ta có ngay vn = – n, và un = = hay un = 1 − 2n vn − 1 3 − n − 1 2 2 limvn = – ∞. 1 VD18. Cho dãy s (un) th a mãn 0 < un < 1 và un+1 < 1 – 1 v i m i n ∈ N *. Ch ng minh un > , ∀ n ∈ N *. 2 4u n 1 1 suy ra un(1 – un+1) > (∀ n ∈ N *). Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho hai s HD. T 0 < un < 1 và un+1 < 1 – 4u n 4 un và 1 – un+1 ta có un + (1 – un+1) ≥ 2 u n (1 − u n+1 ) > 2. 1 = 1 hay u n + 1 − u n+1 > 1 hay u n > u n+1 (∀ n ∈ N *). 4 Dãy (un) gi m và b ch n nên có gi i h n h u h n lim u n = u ∈ [0; 1] . L y gi i h n hai v c a b t ñ ng th c 1 1 1 1 ta ñư c u(1 – u) > ⇔ u = . T c là limun = . un(1 – un+1) > 4 4 2 2 1 Bây gi ta ñi ch ng minh un > (∀ n ∈ N *) b ng phương pháp ph n ch ng. Gi s t n t i s nguyên dương k 2 1 1 1 sao cho uk ≤ 1 . Lúc này ≥ uk > uk+1 > … > un+k > … , ∀ n ∈ N *. Suy ra ≥ uk > uk+1≥ lim un + k = . n→+∞ 2 2 2 2 1 ði u này vô lí. V y un > (∀ n ∈ N *). 2 BÀI T P 9) Tính gi i h n: (2n − 1)3 13 + 23 + ... + n 3 13 33 53 1) lim( 3 + 3 + 3 + ... + ). 2) lim . n3 n4 n n n 1 3 2n − 1 1 1 1 + + ... + 4) lim( . ... 3) lim( ). ). n(n + 1) 1.2 2.3 24 2n 1 1 1 1 1 + + ... + 5) lim(cos + a.sin )n. 6) lim( ). n2 +1 n2 + n n2 + n n n 11 + 22 + ... + n n an 7) lim . 8) lim (v i a > 0). nn n! 1 1 1 1 + 2n + ... + 2010n . 10) lim( 1 + + + ... + nn 9) lim ). 2 3 n 10) Dãy s (xn) có x1 = a >0, x 2+1 − x n = a (∀ n ∈ N *). Tìm limxn. n 11) Dãy s (an) có 0 < an < 1 và an+1 = an(2 – an) v i m i n ∈ N *. Tìm limxn. 6. DÃY S SINH B I PHƯƠNG TRÌNH VD19. Cho s nguyên dương n. Ch ng minh r ng phương trình xn+1 = x + 1 có m t nghi m dương duy nh t, kí hi u là xn. Tìm limxn. HD. Trư c h t n u x > 0 thì x + 1 > 1, t phương trình xn+1 = x + 1 ⇒ xn+1> 1 ⇒ x > 1. Do ñó n u phương trình xn+1 = x + 1 có nghi m dương thì nghi m ñó s l n hơn 1. Ta xét hàm s fn(x) = xn+1 – x – 1 v i x > 1, có ñ o hàm fn’(x) = (n + 1)xn –1 > (n + 1) – 1 = n > 0 v i m i x > 1. Suy ra fn(x) ñ ng bi n trên kho ng (1; + ∞). T ñây, và tính liên t c c a fn(x), và fn(1) = – 1< 0, lim f n (x) = +∞ , ta k t lu n phương trình xn+1 = x + 1 có nghi m x→ +∞ dương duy nh t xn. T t nhiên xn > 1. Do fn+1(x) liên t c, fn+1(1) = – 1< 0, fn+1(xn) = x n+2 − x n − 1 > x n − x n − 1 = n+1 n xa.nguyenvan@gmail.com
  11. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N = fn(xn) = 0, nên phương trình xn+2 = x + 1 có nghi m dương duy nh t xn+1 và 1 < xn+1< xn. Dãy (xn) gi m và b ch n dư i b i 1 nên có gi i h n h u h n limxn = a ≥ 1. Do xn là nghi m dương c a phương trình xn+1 = x + 1 nên 1 1 − 1 = 0 ⇒ x n = (1 + x n ) n +1 ⇒ limx n = lim(1 + x n ) n +1 = (1 + a ) = 1. 0 x n+1 − x n n VD20. Cho n là m t s nguyên dương > 1. Ch ng minh r ng phương trình xn = x + 1 có m t nghi m dương duy nh t, ký hi u là xn. Ch ng minh r ng xn d n v 1 khi n d n ñ n vô cùng và tìm lim n( x n − 1) . n→ ∞ HD. Rõ ràng xn > 1. ð t fn(x) = xn – x – 1. Khi ñó fn+1(1) = - 1 < 0 và fn+1(xn) = xnn+1 – xn – 1 > xnn – xn – 1= =fn(xn) = 0. T ñó ta suy ra 1 < xn+1 < xn . Suy ra dãy {xn} có gi i h n h u h n a. Ta ch ng minh a = 1. Th t v y, gi s a > 1. Khi ñó xn ≥ a v i m i n và ta tìm ñư c n ñ l n sao cho: xnn ≥ an > 3 và xn + 1 < 3, mâu thu n vì fn(xn) = 0. ð gi i ph n cu i c a bài toán, ta ñ t xn = 1 + yn v i lim yn = 0. Thay vào phương trình fn(xn) = 0, ta ñư c (1+yn)n = 2 + yn. L y logarith hai v , ta ñư c nln(1+yn) = ln(2+yn). T ñó suy ra lim nln(1+yn) = ln2. Nhưng lim ln(1+yn)/yn = 1 nên t ñây ta suy ra lim nyn = ln2, t c là lim n( xn − 1) = ln 2. n→∞ 1 1 1 + + ... + = 0 thu c kho ng (0, 1) VD21. Ký hi u xn là nghi m c a phương trình: x x −1 x−n a) Ch ng minh dãy {xn} h i t b) Hãy tìm gi i h n ñó. HD. Rõ ràng xn ñư c xác ñ nh 1 cách duy nh t, 0 < xn < 1. Ta có fn+1(xn) = fn(xn) + 1/(xn-n-1) = 1/(xn-n-1) < 0, trong khi ñó fn+1(0+) > 0. Theo tính ch t c a hàm liên t c, trên kho ng (0, xn) có ít nh t 1 nghi m c a fn+1(x). Nghi m ñó chính là xn+1. Như th ta ñã ch ng minh ñư c xn+1 < xn. T c là dãy s {xn} gi m. Do dãy này b ch n dư i b i 0 nên dãy s có gi i h n. Ta s ch ng minh gi i h n nói trên b ng 0. ð ch ng minh ñi u này, ta c n ñ n k t qu quen thu c sau: 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln(n) (Có th ch ng minh d dàng b ng cách s d ng ñánh giá ln(1+1/n) < 1/n). Th t v y, gi s lim xn = a > 0. Khi ñó, do dãy s gi m nên ta có xn ≥ a v i m i n. Do 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n +∞ khi n + ∞ nên t n t i N sao cho v i m i n ≥ N ta có 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > 1/a. Khi ñó v i n ≥ N ta có 0 = 1 + 1 + ... + 1 < 1 + 1 + 1 + ... + 1 < 1 − 1 = 0 . Mâu thu n. V y ta xn xn − 1 xn − n xn −1 −2 −n a a ph i có lim xn = 0. VD22. (VMO 2007) Cho s th c a > 2 và fn(x) = a10xn+10 + xn + …+x + 1. a) Ch ng minh v i m i s nguyên dương n, phương trình fn(x) = a luôn có ñúng m t nghi m dương duy nh t. b) G i nghi m ñó là xn, ch ng minh r ng dãy {xn} có gi i h n h u h n khi n d n ñ n vô cùng. HD. K t qu c a câu a) là hi n nhiên vì hàm fn(x) tăng trên (0, +∞). D dàng nh n th y 0 < xn < 1. Ta s ch ng minh dãy xn tăng, t c là xn+1 > xn. Tương t như nh ng l i gi i trên, ta xét fn+1(xn) = a10xnn+11 + xnn+1 + xnn + … + x + 1 = xnfn(xn) + 1 = axn + 1. 10 Vì ta ñã có fn+1(1) = a + n + 1 > a nên ta ch c n ch ng minh axn + 1 < a là s suy ra xn < xn+1 < 1. Như v y, c n ch ng minh xn < (a-1)/a. Th t v y, n u xn ≥ (a-1)/a thì n +1  a −1  1−   n +10 n n  a −1   a −1   a −1  + a fn (xn ) ≥ a10  = (a −1)10   + a − (a −1)   >a  a −1 a a a 1− a (do a – 1 > 1). V y dãy s tăng {xn} tăng và b ch n b i 1 nên h i t . 1 1 1 1 + + ... + 2 = VD23. (VMO 2002) Cho n là m t s nguyên dương. Ch ng minh r ng phương trình x − 1 4x − 1 n x −1 2 có m t nghi m duy nh t xn > 1. Ch ng minh r ng khi n d n ñ n vô cùng, xn d n ñ n 4. HD. ð t fn(x) như trên và g i xn là nghi m > 1 duy nh t c a phương trình fn(x) = 0. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 fn (4) = + + ... + 2 − = + + ... + − =  − + − + ... + − − =− 4 −1 16 −1 (2n −1)(2n +1) 2 2  1 3 3 5 2n −1 2n  2 4n −1 2 1.3 3.5 4n xa.nguyenvan@gmail.com
  12. www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ B N Áp d ng ñ nh lý Lagrange, ta có : 1/4n = |fn(xn) – f(4)| = |f’(c)||xn-4| v i c thu c kho ng (xn, 4). Nhưng do 1 4 1 | f n '(c) |= + + ... > n ên t ñây |xn – 4| < 9/4n, suy ra lim xn = 4. (c − 1) (4c − 1) 2 2 9 VD24. Cho n là m t s nguyên dương > 1. Ch ng minh r ng phương trình xn = x2 + x + 1 có m t nghi m dương duy nh t, ký hi u là xn. Hãy tìm s th c a sao cho gi i h n lim n ( x n − x n +1 ) t n t i, h u h n và khác 0. a n→∞ HD. ð t Pn(x) = xn – x2 – x – 1. Ta có Pn+1(x) = xn+1 – x2 – x – 1 = xn+1 – xn + Pn(x) = xn(x-1) + Pn(x). T ñó Pn+1(xn) = xnn(xn-1) + Pn(xn) = (xn2+xn+1)(xn-1) = xn3 – 1. Áp d ng ñ nh lý Lagrange, ta có: (xn2+xn+1)(xn – 1) = Pn+1(xn) – Pn+1(xn+1) = (xn – xn+1)Pn+1’(c) v i c thu c (xn+1, xn), Pn+1’(x) = (n+1)xn – 2x – 1. T ñó (n+1)(xn+1+1+1/xn+1) – 2xn+1 – 1 = Pn+1’(xn+1) < Pn+1’(c) < Pn+1’(xn)= (n+1)(xn2+xn+1) – 2xn – 1. T ñây, v i lưu ý lim xn = 1, ta suy ra : lim Pn +1 '(c ) = 3 .Ti p t c s d ng lim n(xn – 1) = 3, ta suy ra: n→∞ n lim nPn +1 (c)( xn − xn +1 ) = lim n( xn + xn + 1)( xn − 1) = 3ln(3) ' 2 n →∞ n →∞ Pn' +1 (c) P ' (c ) = 3ln(3) ⇔ lim n 2 ( xn − xn +1 ) lim n +1 = 3ln(3) ⇔ lim n 2 ( xn − xn +1 ). n →∞ n →∞ n →∞ n n ⇔ lim n 2 ( xn − xn +1 )3 = 3ln(3) ⇔ lim n 2 ( xn − xn +1 ) = ln(3) n →∞ n →∞ V y v i c = 2 thì gi i h n ñã cho t n t i, h u h n và khác 0. D th y v i c > 2 thì gi i h n ñã cho b ng vô cùng và n i c < 2 thì gi i h n ñã cho b ng 0. V y c = 2 là ñáp s duy nh t c a bài toán. BÀI T P x + 1 có m t nghi m dương duy nh t, kí hi u là xn. Tìm n 12) V i m i s nguyên dương n phương trình x = lim(n(xn – 1)). xa.nguyenvan@gmail.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2