Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng toán liên quan đến dãy số trong số học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn trình bày một cách hệ thống, chi tiết tính chất số học của dãy số. Đồng thời cũng cho phân loại một số dạng toán thường gặp về dãy số trong số học. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng toán liên quan đến dãy số trong số học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TOÀN THỊNH MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ TRONG SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TOÀN THỊNH MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ TRONG SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2015
1 Mục lục Mở đầu 3 1 Hệ thống hóa các kiến thức liên quan 4 1.1 Một số tính chất cơ bản của dãy số . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Dãy tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Một số tính chất cơ bản của số học . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Số nguyên và phép chia hết . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất . . . 13 1.3.3 Số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.4 Đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.5 Một số định lí cơ bản của số học . . . . . . . . . . . . 14 2 Khảo sát các tính chất số học của dãy số nguyên 16 2.1 Phương pháp xét tính chia hết trong dãy số. . . . . . . . . . 16 2.1.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Phương pháp đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn của dãy số dư . 25 2.2 Một số bài toán về phân tích dãy số thành nhân tử và tính nguyên của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Một số bài toán về tính chính phương trong dãy số . . . . . . 35 3 Một số bài toán về dãy số nguyên trong các kì thi Olympic 51 3.1 Một số đề thi về tính chính phương trong dãy số. . . . . . . . 51 3.2 Một số đề thi về tính chia hết trong dãy số . . . . . . . . . . 64 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77
2 Mở đầu Chuyên đề dãy số và các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học. Dãy số có một vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học, không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng một vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc, của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn. . . Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng. Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số và giải tích. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này. Tuy nhiên, các tài liệu chủ yếu quan tâm đến các tính chất giải tích của dãy số như giới hạn dãy số, số hạng tổng quát, sự đơn điệu của dãy số, tính bị chặn . . . Trong khi đó các vấn đề liên quan đến tính chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương. . . thì chưa được quan tâm nhiều. Các bài toán về dãy số nguyên là những bài toán hay và khó. Dãy số nguyên thường xuất hiện trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh – thành phố, cấp quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế và gây không ít khó khăn cho các thí sinh. Sự kết hợp giữa dãy số và tính chất số học có lẽ là lí do mà gây ra khó khăn đó. Trong bài viết này, tôi muốn trình bày một số vấn đề cơ bản và các phương pháp thường sử dụng về dãy số nguyên. Luận văn với đề tài: "Một số dạng toán liên quan đến dãy số trong số học" có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết tính chất số học của dãy số. Đồng thời cũng cho phân loại một số dạng toán thường gặp về dãy số trong số học. Luận văn được trình bày gồm phần mở đầu và ba chương. Chương 1. Hệ thống hóa các kiến thức liên quan. Nội dung chương này nhằm hệ thống lại kiến thức cơ bản nhất về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau. Chương 2. Khảo sát các tính chất số học của dãy số nguyên. Chương này nhằm giới thiệu một số vấn đề về tính chất số học của dãy
3 số như tính chia hết, tính chất số nguyên, tính chính phương. Đồng thời nêu ra các phương pháp giải toán và phân tích các bài toán cụ thể. Chương 3. Một số bài toán về dãy số nguyên trong các kì thi Olimpic. Mặc dù bản thân đã có những cố gắng vượt bậc, nhưng sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, rất mong sự góp ý của quý thầy cô và những bạn đọc quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn. Trong thời gian thực hiện luận văn này, tôi đã nhận được sự chỉ dẫn tận tình, chu đáo của Giáo sư - Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Văn Mậu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp Trường THPT Trung Giã, các thầy cô trường Đại học Khoa học đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Tác giả
4 Chương 1 Hệ thống hóa các kiến thức liên quan Hệ thống hóa kiến thức cơ bản về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau. Nội dung chương chủ yếu được lấy từ các tài liệu [2], [3], [4]. 1.1 Một số tính chất cơ bản của dãy số 1.1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số Định nghĩa 1.1 ([2]-[4]). Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : N∗ → R n 7→ u(n) Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: u1 , u2 , u3 , . . . , un , . . . trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, . . . , m} với m ∈ N∗ được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , . . . , um , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. Để xác định một dãy số người ta có thể tiến hành theo các cách sau đây. a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát. b) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi. c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả. 1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt a) Cấp số cộng
5 Định nghĩa 1.2. Dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un = . . . được gọi là một cấp số cộng. Khi dãy số (un ) lập thành một cấp số cộng thì hiệu d = u1 − u0 được gọi là công sai của cấp số cộng đã cho. • Một số tính chất của cấp số cộng. i) un = u1 + (n − 1)d, với mọi n = 1, 2, 3, . . . uk−1 + uk+1 ii) uk = , với mọi k = 2, 3, . . . . 2 iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 , . . . , un−1 , un . Khi đó ta có u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 = . . . Một cách tổng quát u1 + un = uk + un−k với mọi k = 2, 3, . . . , n − 1. • Tổng của một cấp số cộng. +) Cho cấp cố cộng u1 , u2 , . . . với công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un là tổng n số đầu của cấp số cộng. Khi đó ta có (u1 + un )n [2u1 + (n − 1)d]n Sn = = . 2 2 +) Vài tổng đặc biệt. n(n + 1) S1 = 1 + 2 + 3 + · · · + n = . 2 n(n + 1)(2n + 1) S2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = . 6 3 3 3 3 n2 (n + 1)2 S3 = 1 + 2 + 3 + · · · + n = . 4 b) Cấp số nhân Định nghĩa 1.3. Dãy số (un ) được gọi là cấp số nhân với công bội q , (q 6= 0, q 6= 1) nếu như ta có un = un−1 .q với mọi n = 2, 3, . . . • Một số tính chất của cấp số nhân. i) un = u1 .q n−1 với mọi n = 1, 2, 3, . . . ii) u2k = uk−1 .uk+1 với mọi k = 2, 3, . . . • Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , . . . với công bội q. Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. Khi đó ta có u1 (q n − 1) Sn = . q−1
6 c) Dãy số Fibonacci Định nghĩa 1.4. Dãy số (Fn ) cho bởi hệ thức truy hồi F1 = F2 = 1 Fn+2 = Fn+1 + Fn , n ∈ N∗ được gọi là dãy số Fibonacci. Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy số Fibonacci là √ !n √ !n 1 1+ 5 1 1− 5 un = √ −√ (Công thức Binet). 5 2 5 2 Tính chất 1.1 (Một số tính chất số học của dãy Fibonacci). . 1. (Fn , Fn+1 ) = 1 với mọi n. 2. Nếu n chia hết cho m thì Fn chia hết cho Fm . 3. Nếu Fn chia hết cho Fm thì n chia hết cho m với m > 2. 4. (Fn , Fm ) = Fd với d = (m, n). 5. Nếu n ≥ 5 và Fn là số nguyên tố thì n cũng là số nguyên tố. 6. F5n = 5Fn .qn với qn không chia hết cho 5. . . 7. Fn .. 5k ⇔ n .. k. . 8. Fn có tận cùng là 0 khi và chỉ khi n .. 15. . 9. Fn có tận cùng là hai chữ số 0 khi và chỉ khi n .. 150. Tính chất 1.2 ( Một số hệ thức cơ bản của dãy Fibonacci). . 1. F1 + F2 + ... + Fn = Fn+2 − 1. 2. F1 + F3 + ... + F2n−1 = F2n . 3. F2 + F4 + ... + F2n = F2n+1 − 1. 4. Fn−1 .Fn+1 − Fn2 = (−1)n . 5. F12 + F22 + ... + Fn2 = Fn .Fn+1 . 6. F0 − F1 + F2 − F3 + ... − F2n−1 + F2 n = F2n−1 − 1. 2 7. F1 F2 + F2 F3 + ... + F2n−1 F2n = F2n . 1.1.3 Dãy tuần hoàn Trong phần này, ta quan tâm đến hai loại dãy tuần hoàn cơ bản là dãy tuần hoàn cộng tính và dãy tuần hoàn nhân tính. Định nghĩa 1.5. Dãy (un ) được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho un+k = un , ∀ ∈ N. (1.1)
7 Số nguyên dương k bé nhất để dãy (un ) thỏa mãn điều kiện (??) được gọi là chu kì cơ sở của dãy. Định nghĩa 1.6. Dãy số (un ) được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho usn = un , ∀n ∈ N. (1.2) Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy (un ) thoả mãn (??) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy. 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính Trong phần này ta trình bày một số phương trình sai phân tuyến tính cơ bản với hệ số hằng số, có nghiệm là các số thực và cách giải chúng. Định nghĩa 1.7. Phương trình sai phân (cấp k ) là một hệ tuyến tính chứa sai phân các cấp tới k . f yn ; ∆yn ; ∆2 yn ; . . . ; ∆k yn = 0. (1.3) Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm số nên (??) có dạng a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = f (n) . (1.4) trong đó a0 ; a1 ; . . . ; ak ; f (n) đã biết, còn yn , yn+1 , . . . , yn+k là các giá trị chưa biết. • Phương trình (??) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k . • Nếu f (n) = 0 thì phương trình (??) có dạng a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = 0. (1.5) và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k. • Nếu f (n) 6= 0 thì (??) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. • Nghiệm của phương trình sai phân. +) Hàm số yn biến n thỏa mãn (??) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (??). +) Hàm số ybn phụ thuộc k tham số thỏa mãn (??) được gọi là nghiệm tổng quát của (??). +) Một nghiệm yn∗ thỏa mãn (??) được gọi là một nghiệm riêng của (??).
8 a) Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất Bài toán 1.1. Giải phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất (cấp một) u1 = α, aun+1 + bun = f (n), n ∈ N∗ , (1.6) trong đó a, b, α là các hằng số (a, b 6= 0) và f (n) là biểu thức của n cho trước. Nhận xét rằng các cấp số cơ bản là những dạng đặc biệt của phương trình sai phân tuyến tính. Lời giải. Bước 1. Giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng. +) Giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm λ. +) Tìm nhiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng aun+1 + bun = 0 dưới dạng u bn = cλn (c là hằng số). Bước 2. Tìm một nghiệm riêng u∗n của phương trình không thuần nhất. Bước 3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (??) là un = u∗n + u bn . Sau đây ta trình bày phương pháp tìm nghiệm riêng. Trường hợp 1. Nếu f (n) = Pm (n) là đa thức bậc m đối với n. Khi đó +) Nếu λ 6= 1 thì ta chọn u∗n = Qm (n) cũng là đa thức bậc m đối với n. +) Nếu λ = 1 thì ta chọn u∗n = nQm (n), trong đó Qm (n) cũng là đa thức bậc m đối với n. Trường hợp 2. Nếu f (n) = p.β n (p; β 6= 0). Khi đó +) Nếu λ 6= β thì ta chọn u∗n = d.β n (d ∈ R). +) Nếu λ = β thì ta chọn u∗n = d.n.β n (d ∈ R). m fk (n). Khi đó, ta chọn nghiệm riêng u∗n dưới P Trường hợp 3. Nếu f (n) = k=1 m dạng u∗n = x∗nk , trong đó x∗nk tương ứng là nghiệm riêng của phương trình P k=1 sai phân (??) với V P = fk (n). Ví dụ 1.1. Giải phương trình sai phân x0 = 7 (1.7) xn+1 = 15xn − 14n + 1 Lời giải.
9 Ta có f (n) = −14n + 1 là đa thức bậc nhất, λ = 15 6= 1 nên chọn x∗n = an + b. Thay vào phương trình (??) ta được a(n + 1) + b = 15(an + b) − 14n + 1. Suy ra a = 1; b = 0. Khi đó x∗n = n, x bn = C.15n và nghiệm tổng quát của (??) là xn = C.15n + n. Mà x0 = 7 nên C = 7. Vậy phương trình có nghiệm là xn = 7.15n + n. Ví dụ 1.2. Giải phương trình sai phân x0 = 99 xn+1 = xn − 2n − 1 (1.8) Lời giải. Ta có f (n) = −2n − 1 là đa thức bậc nhất, λ = 1 nên chọn x∗n = n(an + b). Thay vào phương trình (??) ta được (n + 1)[a(n + 1) + b] = n(an + b) − 2n − 1. Suy ra a = −1; b = 0. Khi đó x∗n = −n2 , x bn = C.1n = C và nghiệm tổng quát là xn = C − n2 . Mà x0 = 99 nên C = 99. Vậy phương trình có nghiệm là xn = 99 − n2 . Ví dụ 1.3. Giải phương trình sai phân x0 = 8 xn+1 = 2xn + 3n (1.9) Lời giải. Ta có f (n) = 3n , λ = 2 6= 3 = β nên chọn x∗n = d.3n . Thay vào phương trình (??) ta được d.3n+1 = 2.d.3n + 3n Suy ra d = 1. Khi đó x∗n = 3n , x bn = C.2n . Nghiệm tổng quát là xn = C.2n + 3n . Mà x0 = 8 nên C = 7. Vậy phương trình có nghiệm là xn = 7.2n + 3n . Ví dụ 1.4. Giải phương trình sai phân x0 = 101 (1.10) xn+1 = 7xn + 7n+1 Lời giải.
10 Ta có f (n) = 7n+1 , λ = 7 = β nên chọn x∗n = d.n.7n . Thay vào phương trình (??) ta được d.(n + 1).7n+1 = 7.d.n.7n + 7n+1 . Suy ra d = 1 ⇒ x∗n = n.7n , x bn = C.7n . Nghiệm tổng quát là xn = C.7n + n.7n . Mà x0 = 101 nên C = 101. Vậy phương trình có nghiệm là xn = (101 + n).7n . b) Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Bài toán 1.2. Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = f (n), n ∈ N∗ (1.11) trong đó a, b, c, α, β là các hằng số (a, c 6= 0) và f (n) là biểu thức của n cho trước. Lời giải. Bước 1. Giải phương trình thuần nhất tương ứng. Bước 2. Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Bước 3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (??) dưới dạng bn + u∗n . un = u Bài toán 1.3. Giải phương trình thuần nhất u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = 0, n ∈ N∗ . trong đó a, b, c, α, β là các hằng số (a, c 6= 0). Lời giải. +) Xét phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm được nghiệm λ1 , λ2 . +) Nếu λ1 , λ2 là các nghiệm thực khác nhau thì nghiệm tổng quát của phương trình là un = Aλ21 + Bλ22 , trong đó A, B được xác định khi biết u1 , u2 . +) Nếu λ1 , λ2 là các nghiệm thực và λ1 = λ2 = λ thì nghiệm tổng quát của phương trình un = (A + Bn)λn , trong đó A, B được xác định khi biết u1 , u2 . Bài toán 1.4. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = f (n), n ∈ N∗ trong đó (a 6= 0) và f (n) là đa thức theo n cho trước.
11 Lời giải. Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm được λ. Nghiệm của phương trình có dạng un = ubn + u∗n , trong đó +) u bn là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất aun+2 + bun+1 + cun = 0. (với các hệ số A, B chưa được xác định.) +) u∗n là nghiệm riêng của phương trình aun+2 + bun+1 + cun = f (n), trong đó f (n) 6= 0. Nghiệm u∗n được xác định như sau. a) Nếu λ 6= 1 thì u∗n là đa thức cùng bậc với f (n). b) Nếu λ = 1 thì u∗n = n.g(n), trong đó g(n) là đa thức cùng bậc với f (n). c) Nếu λ = 1 là nghiệm bội thì u∗n = n2 .g(n), trong đó g(n) là đa thức cùng bậc với f (n). Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được u∗n . Từ hệ thức un = u bn + u∗n và các giá trị u1 , u2 ta tìm được các hệ số A, B . Ví dụ 1.5. Tìm một nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân xn+2 = −4xn+1 + 5xn + 12n + 8. Lời giải. Phương trình đặc trưng λ2 + 4λ − 5 = 0 ⇔ λ = 1 hoặc λ = −5. f (n) = 12n + 8. Chọn x∗n = n(an + b). Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được a = 1, b = 0. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng là x∗n = n2 . Bài toán 1.5. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = γ.η n , n ∈ N∗ . Tìm nghiệm tổng quát của dãy số trên. Lời giải. Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm được λ. Nghiệm của phương trình có dạng un = ubn + u∗n , với u bn là nghiệm của phương trình thuần nhất aun+2 + bun+1 + cun = 0 theo bài toán 1.2 với các hệ số A, B chưa được xác định. Còn u∗n được xác định như sau a) Nếu λ 6= η thì u∗n = k.η n .
12 b) Nếu phương trình có nghiệm đơn λ = η thì u∗n = kn.η n . c) Nếu phương trình có nghiệm kép λ = η thì u∗n = kn2 .η n . Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được k , tức là tìm được u∗n . Từ hệ thức un = u bn + u∗n và các giá trị u1 , u2 ta tìm được các hệ số A, B . c) Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba Bài toán 1.6. Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp ba u1 = α, u2 = β, u3 = γ, aun+1 + bun + cun−1 + dun−2 = f (n), n ≥ 3. trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các hằng số cho trước, f (n) là biểu thức cho trước. Lời giải. Trong dạng này ta chỉ xét phương trình đặc trưng có nghiệm thực. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un = ubn + u∗n , trong đó ubn là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất aun+1 + bun + cun−1 + dun−2 = 0, và u∗n là nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất. Phương trình đặc trưng aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0. (i) Phương trình có ba nghiệm thực λ1 , λ2 , λ3 phân biệt. Khi đó bn = Aλn1 + Bλn2 + Cλn3 . u (ii) Phương trình có một nghiệm thực bội hai và một nghiệm đơn (λ1 = λ2 6= λ3 ) thì bn = (A + Bn)λn1 + Cλn3 . u (iii) Nếu phương trình có nghiệm bội ba (λ1 = λ2 = λ3 ) thì bn = (A + Bn + Cn2 )λn1 . u Gọi u∗n là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất. a) Xét f (n) là một đa thức theo n. Ta có +) Nếu λ 6= 1 thì u∗n là đa thức cùng bậc với f (n). +) Nếu λ = 1 là nghiệm đơn thì u∗n = n.g(n) trong đó g(n) là đa thức cùng bậc với đa thức f (n). +) Nếu λ = 1 là nghiệm bội hai thì u∗n = n2 .g(n) trong đó g(n) là đa thức cùng bậc với đa thức f (n).
13 +) Nếu λ = 1 là nghiệm bội ba thì u∗n = n3 .g(n) trong đó g(n) là đa thức cùng bậc với đa thức f (n). b) Trường hợp f (n) = γ.η n . Ta có +) Nếu λ 6= η thì u∗n = k.n.η n . +) Nếu phương trình có nghiệm đơn λ = η thì u∗n = k.η n . +) Nếu phương trình có nghiệm bội hai λ = η thì u∗n = k.n2 .η n . +) Nếu phương trình có nghiệm bội ba λ = η thì u∗n = k.n3 .η n . Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được k , tức là tìm được u∗n . Từ hệ thức un = ubn + u∗n và các giá trị u1 , u2 , u3 ta tìm được các hệ số A, B, C . 1.3 Một số tính chất cơ bản của số học 1.3.1 Số nguyên và phép chia hết Định nghĩa 1.8. Với hai số nguyên a và b, ta nói rằng a chia hết cho b (hay a là bội của b, hay b là ước của a), nếu tồn tại số nguyên k sao cho a = k.b. . Lúc ấy kí hiệu là a .. b. Tính chất 1.3 (Các tính chất cơ bản của tính chia hết). . . i) Nếu a, b nguyên dương mà a .. b thì a ≥ b. . . ii) Nếu ai .. b với mọi i = 1, 2, . . . , n thì (a1 + a2 + · · · + an ) .. b. iii) Với hai số nguyên không âm bất kỳ a và b, trong đó b 6= 0, luôn luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho a = bq + r, trong đó 0 ≤ r < b. 1.3.2 Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất Định nghĩa 1.9. Cho n số nguyên a1 , a2 , . . . , an . i) Số nguyên dương d gọi là ƯCLN của a1 , a2 , . . . , an nếu như thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau. . +) ai .. d, với mọi i = 1, 2, . . . , n. . . +) Nếu d0 là số nguyên dương mà ai .. d0 ,với mọi i = 1, 2, . . . , n thì d .. d0 , khi đó ta thường dùng kí hiệu sau d = (a1 , a2 , . . . , an ). ii) Số nguyên dương b gọi là BCNN của a1 , a2 , . . . , an nếu như thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau. . +) b .. ai , với mọi i = 1, 2, . . . , n.
14 . . +) Nếu b0 là số nguyên dương mà b0 .. ai ,với mọi i = 1, 2, . . . , n thì b0 .. b, khi đó ta thường dùng kí hiệu sau b = [a1 , a2 , . . . , an ]. 1.3.3 Số nguyên tố Định nghĩa 1.10. Một số nguyên dương p > 1 được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước số là 1 và p. Định lý 1.1 (Định lí Euclid). Tồn tại vô hạn số nguyên tố. Định lý 1.2 (Định lí về mối liên hệ giữa tính chia hết và số nguyên tố). Giả . sử a, b là hai số nguyên dương, còn p là số nguyên tố sao cho ab .. p. Khi đó . . ta phải có hoặc là a .. p, hoặc là b .. p. 1.3.4 Đồng dư Định nghĩa 1.11. Nếu hai số nguyên a và b chia cho số tự nhiên m (m 6= 0) có cùng số dư thì ta nói a đồng dư với b theo modulo m và viết a ≡ b (mod m). Tính chất 1.4 (Các tính chất cơ bản của đồng dư). . a) Hai số nguyên a và b đồng dư với nhau theo modulo m (m là số nguyên . dương) khi và chỉ khi (a − b) .. m. b) Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập hợp số nguyên Z. c) Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a + c ≡ b + d (mod m), a − c ≡ b − d (mod m), a.c ≡ b.d (mod m). d) Nếu p là số nguyên tố và ab ≡ 0 (mod p) thì a ≡ 0 (mod p) hoặc b ≡ 0 (mod p). 1.3.5 Một số định lí cơ bản của số học Định lý 1.3 (Định lí Euler). Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên tố với m. Khi đó ta có aµ(m) ≡ 1 (mod m), ở đây µ (m) là các số nguyên dương nhỏ hơn m nguyên tố cùng nhau với m.
15 Định lý 1.4 (Định lí Fermat nhỏ). Nếu p là một số nguyên tố thì với số nguyên a bất kỳ, ap − a sẽ chia hết cho p. Nghĩa là ap ≡ a (mod p). Nói riêng khi p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau với p, thì ap−1 − 1 sẽ chia hết cho p. Bằng ký hiệu đồng dư ta có ap−1 ≡ 1 (mod p). Định lý 1.5 (Định lí Wilson). p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p − 1)! + 1 chia hết cho p. Định lý 1.6 (Định lí Fermat - Euler). Nếu p = 4k + 1 thì tồn tại các số nguyên dương a, b sao cho p = a2 + b2 . Định lý 1.7 (Định lí phần dư Trung Hoa). Giả sử r và s là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, a và b là hai số nguyên tùy ý. Khi đó tồn tại một số nguyên N sao cho N ≡ a (mod r) và N ≡ b (mod s). Ngoài ra N được xác định một cách duy nhất (hiểu theo nghĩa modulo rs).
16 Chương 2 Khảo sát các tính chất số học của dãy số nguyên Dãy số nguyên là phần quan trọng trong lý thuyết dãy số. Ngoài các vấn đề chung như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên. . . các bài toán về dãy số thường quan tâm đến tính chất số học của dãy số như tính chia hết, đồng dư, nguyên tố, chính phương, nguyên tố cùng nhau. . . Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng, trong nhiều trường hợp dãy số chỉ là cái bề ngoài còn bản chất bài toán là bài toán số học. 2.1 Phương pháp xét tính chia hết trong dãy số. Trong số học thì tính chia hết giữ một vị trí quan trọng trong lý thuyết số. Nó là cơ sở để đưa ra và giải quyết các bài toán về số nguyên tố, hợp số, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, lý thuyết đồng dư . . . , với hai số nguyên a, b bất kỳ nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = bq khi đó ta nói a chia hết cho b, nếu a không chia hết cho b thì ta có phép chia có dư. Trong phần này ta xét đến tính chia hết của các phần tử trong một dãy số. Cho một dãy số thì các phần tử của nó có thể cùng chia hết cho cùng một số nào đó hoặc các phần tử chia hết cho số thứ tự của số đó, hoặc là chỉ có một số phần tử cùng chia hết cho một số cho trước. Sau đây ta xét một số dãy số mà các phần tử của nó cùng chia hết cho một số. Đối với những dãy số được cho bởi công thức số hạng tổng quát, ta thường dùng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng các tính chất của phép chia hết để chứng minh. Chúng ta xét bài toán sau.
17 2.1.1 Phương pháp quy nạp Bài toán 2.1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, số An = 33n+3 − 26n − 27 chia hết cho 169. Lời giải. . Với n = 0 ta có A0 = 0..169. Vậy mệnh đề đúng với n = 0. . Giả sử mệnh đề đúng với n = k nghĩa là Ak = 33k+3 − 26k − 27 .. 169. Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Ta có Ak+1 = 33(k+1)+3 − 26(k + 1) − 27 = 33k+3 − 26k − 27 + 26(33k+3 − 1 = Ak + 26.(33 − 1)(27k + 27k−1 + · · · + 27 + 1) = Ak + 169.4.(27k + 27k−1 + · · · + 27 + 1). . Vậy Ak+1 .. 169. Bài toán được chứng minh. Nhận xét 2.1. Trong dãy số khi xét đến tính chia hết của các phần tử trong dãy số có nhiều cặp dãy số đan xen nhau về tính chia hết và không chia hết cho cùng một số. Ta xét bài toán sau. Bài toán 2.2. Cho 2 dãy số an = 22n+1 + 2n+1 + 1 bn = 22n+1 − 2n+1 + 1, n = 0, 1, 2, . . . Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai số an , bn chia hết cho 5. Lời giải. Ta xét an − bn = 22n+1 + 2n+1 + 1 − (22n+1 + 2n+1 + 1) = 2.2n+1 = 2n+2 không chia hết cho 5 vì số đó không có tận cùng là 0 hoặc 5. Mặt khác ta có an .bn = (22n+1 + 2n+1 + 1)(22n+1 − 2n+1 + 1) = (22n+1 + 1)2 − (2n+1 )2
18 = 24n+2 + 1 = 4.16n + 1. . Với n = 0 thì a0 .b0 = 5 .. 5. Với n > 0 thì an .bn = 4.16n + 1 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Vậy với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai số an , bn chia hết cho 5. Nhận xét 2.2. Một số bài toán về sự chia hết của các số hạng của dãy số thường được giải bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số. Việc xác định số hạng tổng quát của dãy số thường được tìm bằng phương pháp sai phân hoặc thông qua dãy số phụ để đưa về phương trình sai phân thuần nhất. Bài toán 2.3. Cho dãy số (un ) xác định bởi   u1 = 1, u2 = 2, u3 = 40 10u2n−1 .un−3 − 24un−1 .u2n−2  nu = ; n = 4, 5, . . . un−2 .un−3 Tìm số n nhỏ nhất để un chia hết cho 2048. Lời giải. Nhận xét rằng công thức truy hồi của dãy số rất phức tạp, tuy nhiên nếu đặt dãy số phụ thì ta sẽ đưa được về dạng tuyến tính cấp hai. Từ công thức truy hồi của dãy ta có un 10un−1 .un−3 − 24.u2n−2 10un−1 24un−2 = = − ; n = 4, 5, . . . un−1 un−2 .un−3 un−2 un−3 un Do vậy ta đặt vn = thì dãy (vn ) được xác định như sau un−1 v2 = 2, v3 = 20 vn = 10vn−1 − 24vn−2 ; n = 4, 5, . . . Phương trình đặc trưng x2 − 10x + 24 = 0 có 2 nghiệm x1 = 6, x2 = 4 nên vn = a.6n + b.4n . 1 1 Cho n = 2 và n = 3 ta được a = , b = − . Do đó vn = 6n−1 − 4n−1 . 6 4 Khi đó un = vn .vn−1 . . . v2 = 6n−1 − 4n−1 . 6n−2 − 4n−2 . . . (6 − 4) = 2n−1 .2n−2 . . . 2. 3n−1 − 2n−1 3n−2 − 2n−2 . . . (3 − 2) (n−1)n = 2 2 . 3n−1 − 2n−1 3n−2 − 2n−2 . . . (3 − 2). Do 3n−1 − 2n−1 3n−2 − 2n−2 . . . (3 − 2) là số lẻ nên để un chia hết cho