Chuyên đề ôn thi THPTQG 2025 - Tóm tắt lý thuyết THPT môn ToánChuyên đề ôn thi THPTQG 2025 - Tóm tắt lý thuyết THPT môn Toán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề ôn thi THPTQG 2025 - Tóm tắt lý thuyết THPT môn Toán được biên soạn nhằm hỗ trợ học sinh lớp 12 hệ thống kiến thức trọng tâm trong quá trình ôn luyện cho kỳ thi tốt nghiệp THPT. Tài liệu trình bày ngắn gọn lý thuyết các chuyên đề quan trọng như hàm số lượng giác, dãy số, giới hạn, logarit, đạo hàm, tích phân, vectơ và hình học không gian OXYZ, cùng các phần thống kê, xác suất. Đây là tài liệu nền tảng giúp học sinh nhanh chóng ôn tập toàn diện trước kỳ thi. Mời các bạn cùng tham khảo chuyên đề tóm tắt lý thuyết môn Toán để củng cố kiến thức và chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi THPTQG 2025.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi THPTQG 2025 - Tóm tắt lý thuyết THPT môn ToánChuyên đề ôn thi THPTQG 2025 - Tóm tắt lý thuyết THPT môn Toán

https://www.nbv.edu.vn/ 1 VẤN ĐỀ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số lượng giác a) Hàm số y  sin x b) Hàm số y  cos x - Hàm số y  cos x có tập xác định  và có tập - Hàm số y  sin x có tập xác định  và có tập giá trị là [1;1] . giá trị là [1;1] . - Hàm số côsin là hàm số chẵn và tuần hoàn với - Hàm số sin là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu chu kì 2 . kì 2 . - Hàm số côsin đồng biến trên mỗi khoảng - Hàm số sin đồng biến trên mỗi khoảng (  k 2 ; k 2 ) và nghịch biến trên mỗi khoảng        k 2 ;  k 2  và nghịch biến trên mỗi (k 2 ;   k 2 ) với k   .  2 2   3  - Đồ thị hàm số côsin nhận trục Oy làm trục đối khoảng   k 2 ;  k 2  với k   . 2 2  xứng. - Đồ thị hàm số sin nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. nbv.edu.vn c) Hàm số y  tan x d) Hàm số y  cot x - Hàm số y  tan x có tập xác định - Hàm số y  cot x có tập xác định    \{k | k  } và có tập giá trị  .  \   k | k    và có tập giá trị là  . 2  - Hàm số côtang là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu - Hàm số tang là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì  . kì  . - Hàm số côtang nghịch biến trên các khoảng - Hàm số tang đồng biến trên mỗi khoảng (k ;   k ) với k   .        k ;  k  với k   . - Đồ thị hàm số côtang nhận gốc toạ độ làm tâm  2 2  đối xứng. - Đồ thị hàm số tang nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. nbv.edu.vn nbv.edu.vn
https://www.nbv.edu.vn/ 2 2. Phương trình lượng giác a) Phương trình sin x  m b) Phương trình cos x  m - Nếu | m | 1 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu | m | 1 thì phương trình cos x  m vô nghiệm. - Nếu | m | 1 thì tồn tại duy nhất số thực    - Nếu | m | 1 thì tồn tại duy nhất  [0;  ] thoả     ;  thoả mãn sin   m . mãn cos   m .  2 2 Khi đó sin x  m Khi đó cos x  m  x    k 2  x    k 2  sin x  sin    (k  ) .  cos x  cos    (k   ) .  x      k 2  x    k 2 Chú ý Chú ý - Khi m {1;0;1} công thức nghiệm trên được - Khi m{1;0;1} công thức nghiệm trên được viết gọn lại là: viết gọn lại là: - sin x  0  x  k .  - cos x  0  x   k . 2  - sin x  1  x   k 2 . - cos x  1  x  k 2 . 2  - cos x  1  x    k 2 . - sin x  1  x    k 2 . 2 - Nếu góc  được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trên trở thành: - Nếu góc  được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trên trở thành:  x     k 360 cos x  cos       (k  )  x     k 360  x    k 360  sin x  sin       (k   )  x  180    k 360 - Nếu u ( x) và v ( x ) là hai biểu thức của biến x - Nếu u ( x) và v ( x) là hai biểu thức của biến x thì cos u ( x)  cos v ( x) thì sin u ( x)  sin v( x )  u ( x)  v( x)  k 2 (k ) u ( x)  v( x)  k 2  ( k  ) u ( x)    v( x)  k 2 c) Phương trình tan x  m d) Phương trình cot x  m - Phương trình tan x  m có nghiệm với mọi m . - Phương trình cot x  m có nghiệm với mọi m .       - Tồn tại duy nhất     ;  thoả mãn - Tồn tại duy nhất     ;  thoả mãn  2 2  2 2 tan   m . cot   m . Khi đó tan x  m Khi đó cot x  m  tan x  tan   x    k (k ) .  cot x  cot   x    k (k ) . Chú ý. Nếu góc  được cho bằng đơn vị độ thì Chú ý. Nếu góc  được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trên trở thành: công thức nghiệm trên trở thành: tan x  tan    x     k180 ( k  ) cot x  cot    x     k180 ( k  )
https://www.nbv.edu.vn/ 3 VẤN ĐỀ 2. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 1. Dãy số a) Định nghĩa. Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số). Kí hiệu dãy số là u ( n) . Dạng khai triển của dãy số u (n) là u1 , u2 ,, un , , trong đó un  u (n) được gọi là số hạng thứ n (hay còn gọi là số hạng tổng quát) của dãy số. b) Dãy số tăng, dãy số giảm - Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng nếu n  * , un  un1 . - Dãy số  un  được gọi là dãy số giảm nếu n  * , un  un1 . 2. Cấp số cộng 3. Cấp số nhân a) Định nghĩa. a) Định nghĩa. Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:  un  là cấp số cộng không đổi, nghĩa là:  un  là cấp số nhân un  un 1  d , n  2 . un  un 1  q, n  2 . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. b) Tính chất b) Tính chất - Nếu  un  là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ - Nếu  un  là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số u u hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: kề nó trong dãy, tức là: uk  k 1 k 1 , k  2 . 2 2 uk  uk 1  uk 1 , k  2 . - Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số - Nếu a, b, c là ba số khác 0, thì ba số a, b, c theo thứ cộng nếu a  c  2b . tự đó lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi b2  ac - Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu tiên u1 và công . sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định - Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu trên u1 và công nbv.edu.vn bởi công thức: un  u1  (n  1)d . bội q  0 thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức: un  u1  qn1 , n  2 . - Giả sử  u n  là một cấp số cộng có công sai d . Gọi Sn   uk  u1  u2    un - Giả sử  un  là một cấp số nhân có công bội q . Gọi n n  u1  un  n  2u1  ( n  1) d  Sn   uk  u1  u2    un . Khi đó: Khi đó: S n   . k 1 2 2 1  qn Nếu q  1 thì Sn  nu1 . Nếu q  1 thì S n  u1  . 1 q
https://www.nbv.edu.vn/ 4 VẤN ĐỀ 3. GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Giới hạn dãy số a) Một số giới hạn thường dùng b) Giới hạn vô cực của dãy số 1 - lim n k   , với k là số nguyên dương; - lim k  0, k  * ; n  n  n - lim q n   , với q  1 . - lim q n  0,  | q | 1; n  n  - Nếu un  vn , n  1 và lim vn  0 thì lim un  0 . d) Cấp số nhân lùi vô hạn n n  Cấp số nhân vô hạn  un  có công bội q với | q | 1 Ta nói dãy số  un  có giới hạn là số thực a khi n được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng vô hạn của dần tới dương vô cực nếu lim  un  a   0 , kí hiệu các số hạng trong cấp số nhân lùi vô hạn được tính n  bởi công thức: lim un  a hay un  a khi n   . n  u1 S  u1  u2  un   (| q | 1) 1 q c) Một số quy tắc tính giới hạn dãy số nbv.edu.vn - Nếu lim un  a và lim vn   (hoặc n  n  - Nếu lim un  a và lim vn  b thì: n  n un lim vn   ) thì lim  0. - lim  un  vn   a  b; n  n vn n  - Nếu lim un  a  0, lim vn  0 và vn  0 với mọi - lim  un  vn   a  b ; n  n  n  u n thì lim n   . - lim  un  vn   a.b; n  v n n  un a - Nếu lim un   và lim vn  a  0 thì n  n  - lim  (b  0) . n  v b n lim un vn   . n  - Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và n  lim un  a . n 2. Giới hạn của hàm số Một số quy tắc tính giới hạn hàm số a) Giả sử lim f ( x)  L và lim g ( x)  M , ( L, M   ) . Khi đó: b) Với mọi số nguyên duơng k , n , ta có: x  x0 x  x0 - lim[ f ( x)  g ( x)]  L  M ; - lim x k   ; x  x  x0 1 - lim[ f ( x)  g ( x )]  L  M ; - lim  0; x  x0 x  xk - lim[ f ( x)  g ( x)]  L  M . , k  2n x  x0 - lim x k   x  , k  2n  1; Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì lim[c  f ( x)]  cL ; x  x0 1 - lim  0. f ( x) L nbv.edu.vn x  xk - Nếu M  0 thì lim  . x  x0 g ( x) M Chú ý. Những quy tắc trên vẫn đúng khi thay x  x0 bởi x   hoặc x   .
https://www.nbv.edu.vn/ 5 c) Giả sử lim f ( x)  L . Khi đó: x  x0 - lim | f ( x) || L |; - lim a f ( x)  a L với a là số lẻ. x  x0 x  x0 - Nếu f ( x)  0 với mọi x  J \  x0  , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 , thì L  0 và lim a f ( x)  a L với a là số chẵn. x  x0 3. Hàm số liên tục a) Định nghĩa. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên (a; b) chứa điểm x0 . Hàm số f ( x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim f ( x)  f  x0  . x  x0 - Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trên (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. - Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b) . x  a  x b Về tính liên tục của các hàm số sợ cấp cơ bản đã biết, ta có: - Hàm số đa thức và các hàm số y  sin x, y  cos x liên tục trên  . - Các hàm số y  tan x, y  cot x, y  x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng. b) Một số tính chất cơ bản Giả sử hai hàm số y  f ( x) và y  g ( x) liên tục tại điểm x0 . Khi đó: - Các hàm số y  f ( x)  g ( x), y  f ( x)  g ( x) và y  f ( x) g ( x) liên tục tại x0 ; f ( x) - Hàm số y  liên tục tại x0 nếu g  x0   0 . g ( x) VẤN ĐỀ 4. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 1. Luỹ thừa với số mũ thực Luỹ thừa với số mũ thực (của một số thực dương) có các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên. Cụ thể với x ax y ax  a  a, b  , a  0, b  0 và x, y   ta có a  a  a x y x y ; y  a x y ; a  x xy x x x  a ; a b  ( ab) ;   a bx  b  2. Lôgarit a) Khái niệm lôgarit Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực  thoả mãn a  M gọi là lôgarit cơ số a của M , kí hiệu là log a M . Như vậy   log a M  a  M . nbv.edu.vn Chú ý. Không có lôgarit của số âm và lôgarit của số 0. Cơ số của lôgarit phải là số dương và khác 1. b) Tính chất của lôgarit - Với 0  a  1, M  0 và  là số thực tuỳ ý, ta có log a 1  0; log a a  1; a loga M  M ; log a a   - Quy tắc tính lôgarit: Cho 0  a  1 và M , N  0 đồng thời  là số thực tuỳ ý, ta có
https://www.nbv.edu.vn/ 6 M   1 log a ( MN )  log a M  log a N ;log a    log a M  log a N ; log a M   log a M Đặc biệt log a n M  log a M . N  n log b M - Đổi cơ số: Với các cơ số lôgarit a, b bất kì 0  a, b  1 và M là số thực dương bất kì ta có log a M  log b a Đặc biệt, với 0  a, b  1 ta có: Công thức đổi cơ số đôi khi còn 1 log a b  . được viết dưới dạng: log b a log a M  logb M . logb a 1 Từ công thức đổi cơ số ta suy ra: log aa b  log a b . Đặc biệt: log v a b  n log a b .  c) Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên - Lôgarit cơ số 10 của số thực dương M gọi là lôgarit thập phân của M , kí hiệu log M . Như vậy log M  log10 M . x  1 - Số e là giới hạn e  lim 1   . Số e là số vô tỉ và xấp xỉ bằng 2, 718281828 . x   x - Lôgarit cơ số e của số thực dương M gọi là lôgarit tự nhiên của M hoặc lôgarit Nê-pe của M , kí hiệu ln M . Như vậy: ln M  log e M . nbv.edu.vn 3. Hàm số mũ và hàm số lôgarit a) Hàm số mũ - Cho a là một số thực dương khác 1. Hàm số y  a x gọi là hàm số mũ cơ số a . - Hàm số mũ y  a x có tập xác định  và tập giá trị (0; ) . Hàm số y  a x đồng biến khi a  1 và nghịch biến khi a  1 . Hàm số y  a x liên tục trên  , có đồ thị đi qua điểm (0;1),(1; a) và đồ thị hàm số mũ luôn nằm phía trên trục Ox . nbv.edu.vn nbv.edu.vn Đồ thị hàm số y  a x khi a  1 Đồ thị hàm số y  a x khi a  1 b) Hàm số lôgarit - Cho a là một số thực dương khác 1. Hàm số y  log a x gọi là hàm số lôgarit cơ số a . - Hàm số lôgarit y  log a x có tập xác định (0; ) và tập giá trị  . Hàm số y  log a x đồng biến khi a  1 và nghịch biến khi a  1 . Hàm số y  log a x liên tục trên (0; ) , có đồ thị đi qua điểm (1;0),(a;1) và đồ thị hàm số lôgarit luôn nằm phía bên phải trục Oy .
https://www.nbv.edu.vn/ 7 nbv.edu.vn nbv.edu.vn Đồ thị hàm số y  log a x khi a  1 Đồ thị hàm số y  log a x khi a  1 4. Phương trình mũ và phương trình lôgarit Phương trình mũ Phương trình lôgarit Với a  0, a  1 thì: Với a  0, a  1 thì: - a f ( x )  b  f ( x)  log a b với b  0 - log a f ( x)  b  f ( x)  a b - a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g ( x) .  f ( x )  g( x ) - log a f ( x )  log a g( x )    f ( x )  0 hoaëc g( x )  0. 5. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit a) Bất phương trình mũ b) Bất phương trình lôgarit Với a  0, a  1 thì: Với a  0, a  1 thì: * Xét bất phương trình: a f ( x )  b . * Xét bất phương trình: log a f ( x)  b . - Nếu b  0 thì tập nghiệm của bất phương trình là tập - Nếu a  1 thì bất phương trình đưa về: f ( x)  ab ; xác định của f ( x) ; - Nếu 0  a  1 thì bất phương trình đưa về: - Nếu b  0, a  1 thì bất phương trình đưa về: 0  f ( x)  a b . f ( x)  log a b ; * Xét bất phương trình: log a f ( x)  log a g ( x) . - Nếu b  0,0  a  1 thì bất phương trình đưa về: f ( x)  log a b . - Nếu a  1 thì bất phương trình đưa về: f ( x)  g ( x)  0 ; * Xét bất phương trình: a f ( x )  a g ( x ) . - Nếu 0  a  1 thì bất phương trình đưa về: - Nếu a  1 thì bất phương trình đưa về: f ( x)  g ( x) 0  f ( x)  g ( x) . - Nếu 0  a  1 thì bất phương trình đưa về: Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải f ( x)  g ( x) . tương tự. Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự. VẤN ĐỀ 5. QUAN HỆ SONG SONG, QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1. Một số dấu hiệu nhận biết song song, vuông góc trong không gian Phần 1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song Dấu hiệu 1. Hai đường thẳng đồng phẳng a  ( P ) và không có điểm chung (sử dụng kiến thức  hình học phẳng để chứng minh). b  ( P )  a / /b a  b khoâng coù ñieåm chung nbv.edu.vn 
https://www.nbv.edu.vn/ 8 Dấu hiệu 2. Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và b  ( P), c  (Q) lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao   a / /b tuyến của chúng song song với ít nhất một trong ít b / / c  ( P)  (Q)  a a / /c nhất một trong hai đường thẳng ấy.  nbv.edu.vn Dấu hiệu 3. Hai đường thẳng phân biệt a / / b cùng song song với đường thẳng thứ ba thì   a / /c song song với nhau. c / / b nbv.edu.vn Dấu hiệu 4. Nếu đường thẳng a song song  a / /( P ) với mặt phẳng ( P) thì mọi mặt phẳng (Q)   a  (Q)  a / /b chứa a và cắt ( P) có giao tuyến song song (Q)  ( P )  b  với a . Dấu hiệu 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau  a / /( P ) nbv.edu.vn và cùng song song với một đường thẳng thì giao   a / /(Q)  a / /b tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. ( P )  (Q)  b  Dấu hiệu 6. Hai mặt phẳng song song bị cắt ( P ) / /(Q) bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến  ( R )  ( P )  a  a / / b song song với nhau. ( R )  (Q)  b  Dấu hiệu 7. Ba mặt phẳng phân biệt, đôi ( P)  (Q)  a một cắt nhau theo ba giao tuyến và hai trong ( P )  ( R )  b nbv.edu.vn  ba giao tuyến ấy song song với nhau thì ba   a / / b / / c. giao tuyến đó song song. (Q)  ( R)  c b / / c (b / / a; a / / c)  a / /( P ) Dấu hiệu 8.    a / / a . a laø hình chieáu cuûa a treân ( P ) theo phöông l Dấu hiệu 9. Nếu hai đường thẳng phân nbv.edu.vn biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng a  ( P)   a / /b thì chúng song song với nhau. b  ( P)     Dấu hiệu 10. Nếu hai đường thẳng phân biệt  AB cuøng phöông vôùi CD  có hai vectơ chỉ phương cùng phương thì       a / /b. chúng song song với nhau.   AB  kCD (k   ) Dấu hiệu 11. a / / b  nbv.edu.vn b vaø l khoâng song song  a / / b       a , b laø hình chieáu cuûa a, b theo phöông l  a truøng b a  ( P ), b  ( P ) 
https://www.nbv.edu.vn/ 9 Phần 2. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng Dấu hiệu 1. Nếu một đường thẳng và một mặt a  ( P )    a / /( P ) phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau a  ( P) Dấu hiệu 3.   a / /(Q) a  ( P)  ( P) / /(Q)  Dấu hiệu 2.  a / / b  a / /( P ) . b  ( P ) nbv.edu.vn  nbv.edu.vn nbv.edu.vn Dấu hiệu 4. Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến chéo nhau những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó cùng song song với một mặt phẳng (mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai trong ba đường thẳng trên). m, n cheùo nhau  a  m  {A}, a  n  A     b  m  {B}, b  n  B     a / /( P )  c  m  {C}, c  n  C   b / /( P )    c / /( P ). b , c laàn löôït laø hình chieáu cuûa b, c treân ( P )  nbv.edu.vn   AB A B AB A B  AC    hoaëc   AC BC BC  a / /b  a / /( P ) Dấu hiệu 7.   a  b Dấu hiệu 5.  a / /( P )  b / /( P ). Dấu hiệu 6. ( P ) / /(Q )  a / /(Q). b  ( P )  a  (Q )      b  ( P )  a / /( P ). a  ( P)   nbv.edu.vn nbv.edu.vn nbv.edu.vn Dấu hiệu 8. Dấu hiệu 9. Nếu tích vô hướng của Dấu hiệu 10.  a  (Q) vectơ chỉ phương của đường thẳng a  (a, ( P))  0  và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   a / /( P) . ( P )  (Q )  a / /( P ). a  ( P)   a  ( P) ( P) có giá trị bằng 0 và đường thẳng a   không nằm trên ( P) thì a song song với ( P) .    AB  n( P )  0  a / /( P ). nbv.edu.vn nbv.edu.vn nbv.edu.vn
https://www.nbv.edu.vn/ 10 Phần 3. Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song nbv.edu.vn Dấu hiệu 1. Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song. ( P)  (Q)    ( P) / /(Q) Dấu hiệu 2. Nếu một mặt phẳng  a  (Q), b  (Q) chứa hai đường thẳng cắt nhau và   a  b  { A}  ( P ) / /(Q) chúng song song với một mặt phẳng  a / /( P ), b / /( P ) nbv.edu.vn khác thì hai mặt phẳng đó song song.  Dấu hiệu 3. Nếu hai đường thẳng cắt a  ( P), b  ( P) nhau của một mặt phẳng lần lượt a  b  { A}  song song với hai đường thẳng của   ( P) / /(Q)  a / / a  ; b / / b nbv.edu.vn mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song. a  (Q), b  (Q)  Dấu hiệu 4. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song ( P ) / /( R ) song với mặt  (Q ) / /( R )  ( P ) / /(Q) phẳng thứ ba thì ( P )  (Q) nbv.edu.vn song song với  nbv.edu.vn nhau. ( P )  a  Dấu hiệu 5. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông (Q)  a  ( P ) / /(Q) góc với một đường thẳng thì song song với nhau. ( P )  (Q)    nbv.edu.vn Dấu hiệu 6. Hai mặt phẳng phân biệt có hai vectơ n( P )  k n(Q ) (k  )  pháp tuyến cùng phương thì chúng song song.   ( P) / /(Q) ( P )  (Q)  Dấu hiệu 7. Hai mặt phẳng  (( P), (Q))  0 phân biệt có góc tạo bởi chúng   ( P) / /(Q) nbv.edu.vn bằng 0 thì hai mặt phẳng đó ( P)  (Q)  song song. Phần 4. Dấu hiệu nhận biết hai đườ̛ng thẳng vuông góc ̀ Chú ý. Góc giữa đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a và b .   ( a, b)   a , b      0 ;90  . nbv.edu.vn   Dấu hiệu 1. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 . nbv.edu.vn  a  b  (a, b)  90 nbv.edu.vn  a  ( P) Dấu hiệu 2.   a  b. b  ( P)
https://www.nbv.edu.vn/ 11 Dấu hiệu 3. Nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng bằng 0 thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.     AB  CD  0  a  b. nbv.edu.vn Dấu hiệu 4. Một đường thẳng vuông góc a  c với một trong hai đường thẳng song song thì  ab c / / b vuông góc với đường thẳng còn lại. Dấu hiệu 5. (Định lí ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P) và đường thẳng b nằm nbv.edu.vn trong ( P) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu của a của a trên ( P) . Dấu hiệu 6. Nếu đường thẳng a và b cắt nhau thì sử dụng các kiến thức hình học phẳng về chứng minh hai đường thẳng vuông góc để chứng minh a vuông góc với b . Phần 5. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Dấu hiệu 1. Nếu đường thẳng a a  b, a  c vuông góc với hai đường thẳng b, c  nbv.edu.vn       b  ( P ), c  ( P ) có vectơ chỉ phương ub , uc không   b  c  {A}  cùng phương mà mỗi đường thẳng   b / /( P ), c / /( P) này nằm trong mặt phẳng ( P) hoặc           ub , uc khoâng cuøng phöông song song với ( P) thì a vuông góc  với ( P) .  a  (P) nbv.edu.vn Dấu hiệu 2. Nếu một đường thẳng song song với một a / / b đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường   a  ( P) b  ( P) thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho. nbv.edu.vn Dấu hiệu 3. Nếu một đường thẳng vuông góc với một a  (Q) trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với   a  ( P) ( P) / /(Q) mặt phẳng còn lại. Dấu hiệu 4. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng ( P )  (Q)  a vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của  ( P )  ( R )  a  ( R ) chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. (Q)  ( R ) nbv.edu.vn  Dấu hiệu 5. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với ( P )  (Q ) nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt ( P )  (Q)  b nbv.edu.vn  phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông   a  ( P) góc với mặt phẳng kia. a  b a  (Q) 
https://www.nbv.edu.vn/ 12 Dấu hiệu 6. Nếu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 90 thì đường  thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho (a,( P))  90  a  ( P) nbv.edu.vn Chú ý. a là hình chiếu vuông góc của a trên ( P) .   (a, ( P ))   a, a      0 ;90    Dấu hiệu 7. Nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với nbv.edu.vn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.    a  ( P )  n( P )  kua , k  . Chú ý. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P) thì a vuông nbv.edu.vn góc với đường thẳng nằm trong ( P) . a  ( P)  a  b, b  ( P) Phần 6. Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc nbv.edu.vn Dấu hiệu 1. Mặt phẳng ( P) được gọi là vuông góc với mặt phẳng (Q) nếu trong ( P) tồn tại a  ( P)   ( P)  (Q) đường thẳng a vuông góc với (Q) . a  (Q) Dấu hiệu 2. Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một nbv.edu.vn trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng đã cho vuông góc với nhau. [ P, d , Q]  90  ( P)  (Q), ( P)  (Q)  d Dấu hiệu 3. Nếu góc ( P)  (Q)  d , O  d phẳng nhị diện của  hai mặt phẳng bằng Ox  d , Ox  (Q)   ( P)  (Q). Oy  d , Oy  ( P) nbv.edu.vn 90 thì hai mặt phẳng   Goùc phaúng nhò dieän xOy  90 đó vuông góc.  Dấu hiệu 4. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa hai Dấu hiệu 5. nbv.edu.vn mặt phẳng đó là góc a / /( P) vuông.   ( P)  (Q) a  (Q) . a  ( P), b  (Q )      (( P ), (Q))  (a, b)  0 ;90     nbv.edu.vn  Khi đó ( P )  (Q)  (a, b)  90 .
https://www.nbv.edu.vn/ 13 Dấu hiệu 6. Nếu một mặt phẳng ( P) / /( R) nbv.edu.vn vuông góc với một trong hai mặt   (Q)  ( P) (Q)  ( R) phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại. nbv.edu.vn Dấu hiệu 7. Nếu hai vectơ pháp tuyến tương ứng của hai mặt phẳng có tích vô hướng bằng 0 thì hai mặt phẳng đó vuông góc.   n( P )  n( Q )  0  ( P )  (Q ) 2. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng  AH      nbv.edu.vn d ( A, a )    BA, ua       , B  a  ua  b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng  AH   ax A  by A  czA  d  , vôùi ( P ) : ax  by  cz  d  0  a2  b2  c2 d ( A,( P ))   3Vhình choùp ñænh A  ,vôùi hình choùp ñænh A coù ñaùy thuoäc ( P )  Sdáy   Vlaêng truï , vôùi laêng truï coù A thuoäc moät ñaùy vaø ñaùy coøn laïi thuoäc ( P )  S  ñaùy Chú ý (ii) Cho đường thẳng a cắt ( P) tại I . (i) Hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, khi đó d ( A, ( P )) AI Khi đó:  , A, B  a d ( B, ( P )) BI 1 1 1 1 d (O, ( ABC ))  OH và 2    OH OA OB OC 2 2 2 nbv.edu.vn c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng Hai đuờng thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng - Nếu hai đường thẳng cắt nhau, vuông góc, trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0 ; - Nếu hai đường thẳng song song: d(a, b)  d(M, b)  MH , vôùi moïi ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng a. Hai đuờng thẳng chéo nhau  a, b cheùo nhau   PQ  a taïi P  d (a, b)  PQ Cách 1. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Giả sử  PQ  b taïi Q đường thẳng c vuông góc với cả a và b , đồng thời cắt cả  hai đường thẳng a, b lần lượt tại P và Q . Khi đó PQ gọi nbv.edu.vn là đoạn vuông góc chung của a và b (còn c gọi là đường vuông góc chung).
https://www.nbv.edu.vn/ 14 Cách 2. Dựng mp( P) chứa a , vuông góc với b tại A . nbv.edu.vn Trong ( P) dựng AH  a tại H . Khi đó độ dài AH là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b . Cách 3. - Dựng mp( P) vuông góc với a tại A . Giả sử b  ( P) tại I . - Dựng hình chiếu vuông góc của b trên ( P) là b . - Trong ( P) kẻ AH  b tại H . - Từ H kẻ HB / / a , cắt b tại B . - Từ B kẻ BC / / AH , C  a . nbv.edu.vn Khi đó BC chính là đoạn vuông góc chung của a và b . Cách 4. Khoảng cách giữa a, b chéo nhau hai đường thẳng chéo nhau   d (a, b)  d (a,( P)). b  ( P), a / /( P) bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. nbv.edu.vn Chú ý. Có thể lấy một điểm A bất kì thuộc b , từ A dựng đường thẳng a / / a , khi đó mặt phẳng ( P)  a , b .   Dựng AH  a tại H thì AH chính là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b . d (a, b)  d (a, ( P))  AH  d (M , ( P)), voi M  a. nbv.edu.vn Cách 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. a, b chéo nhau  a  ( P), b  (Q ) ( P) / /(Q)   d (a, b)  d (( P),(Q ))  d ( M , (Q)), M  ( P)       ua , ub   AB   Cách 6. Áp dụng công thức giải tích không gian: d ( a, b)      , A  a, B  b.  u a , ub    d) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng  a  ( P )  { A} - Đường thẳng a và mặt phẳng ( P) có điểm chung:  a  ( P )  { A}  d ( a, ( P ))  0.   a  ( P)  - Đường thẳng a và mặt phẳng ( P) không có điểm chung: a / /( P)  d (a, ( P))  d ( A, ( P))  AH , A  a
https://www.nbv.edu.vn/ 15 e) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P )  (Q )  a - Hai mặt phẳng có điểm chung: ( P )  (Q )  d (( P ), (Q ))  0 .   ( P )  (Q ) - Hai mặt phẳng không có điểm chung: ( P) / /(Q)  d (( P), (Q))  d ( A,(Q))  AH , A  ( P) . 3. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng - Góc giữa hai đường thẳng đồng phẳng: Sử dụng kiến thức hình học phẳng để xác định góc. - Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau Cách 1. Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau. Cách 2. Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau.     Lấy điểm A bất kì trên b , từ A dựng đường thẳng     ua  ub   Nếu   (a, b) thì cos   cos ua , ub    .    a / / a , khi đó: nbv.edu.vn ua  ub   ( a, b)   a  , b     0 ;90    b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  - Đường thẳng a song song hoặc thuộc mặt phẳng ( P) : (a,( P))  0 . - Đường thẳng cắt mặt phẳng    Cách 1. Xác định giao điểm I của đường thẳng a Cách 2. Nếu ua  u1 , u2 , u3  , n( P )  n1 , n2 , n3  và với mặt phẳng ( P) . Từ điểm A bất kì trên a , kẻ    (a,( P )) thì AH  ( P) tại H .    nbv.edu.vn    ua  n( P )   sin(a, ( P))  cos ua , n( P )     ua  n( P ) u1n1  u2 n2  u3n3  u  u2  u3  n12  n2  n3 2 2 2 2 2 Khi đó (a, ( P))       0 ;90  .  AIH 1    Nếu a  ( P) thì (a,( P))  90 . c) Góc giữa hai mặt phẳng  - Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau: (( P),(Q))  0 . - Hai mặt phẳng cắt nhau Cách 1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. a  ( P)     (( P), (Q))  (a, b) b  (Q) Nhận xét. Lúc này bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng được đưa về bài toán tìm góc giữa hai đường thẳng.
https://www.nbv.edu.vn/ 16 Cách 2 Cách 3 (Giải tích không gian). Nếu mặt phẳng ( P) và (Q) có vectơ pháp tuyến - Xác định giao tuyến a  ( P)  (Q) ;   lần lượt là n( P ) và n(Q ) . Khi đó - Tìm điểm I trên a sao cho từ I kẻ được hai đường  thẳng c và d lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( P),(Q) (( P),(Q))   thoả mãn   và cùng vuông góc với a ;   n( P )  n(Q )   cos   cos n( P ) , n(Q )    . n( P )  n(Q ) - Góc giữa hai đường thẳng c và d chính là góc cần tìm: nbv.edu.vn   (( P ), (Q ))  (c, d ) . d) Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện Góc nhị diện Định nghĩa. Cho hai nửa mặt phẳng  P  và  Q1  có chung bờ là đường thẳng d . Hình tạo bởi 1  P1  ,  Q1  và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi  P  và  Q1  . Kí hiệu:  P , d , Q1 ] . 1 1 Chú ý - Hai nửa mặt phẳng  P  ,  Q1  gọi là hai mặt của nhị diện. 1 - d gọi là cạnh của nhị diện. -  P , d , Q1   0 ;180  . 1   -  P , d , Q1   0  Hai nửa mặt phẳng  P  và  Q1  chung bờ d trùng nhau. 1 1 -  P , d , Q1   180  Hai nửa mặt phẳng  P  và  Q1  chung bờ d tạo thành một mặt phẳng. 1 1 Góc phẳng nhị diện Định nghĩa. Góc phẳng nhị diện là góc tạo bởi hai tia vuông góc với cạnh của góc nhị diện, mỗi tia nằm trên một mặt của góc nhị diện. Trên hình,  là góc phẳng nhị diện của  P , d , Q1  . AIB 1    0 ;180  AIB   nbv.edu.vn Chú ý. Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó. Kí hiệu góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng ( P),(Q) chung bờ d là: [ P, d , Q]  [M , d , N ], voi M  ( P), N  (Q).
https://www.nbv.edu.vn/ 17 4. Thể tích Thể tích của khối chóp có diện tích Thể tích của khối chóp cụt đều có Thể tích của khối lăng trụ có diện 1 diện tích đáy lớn S , diện tích đáy tích đáy S và chiều cao h là: đáy S và chiều cao h là: V  S  h 3 bé S  và chiều cao h là: V  S .h . 1  V  S  S  S  S  h 3  nbv.edu.vn nbv.edu.vn nbv.edu.vn Chú ý nbv.edu.vn nbv.edu.vn 1  3 SBCD  d ( A, ( BCD))  S ABCD  d  A , ( ABCD )  VABCD           VABCD A BC D  1 | [ AB, AC ]  AD |  [AB, AD ]  AA 6    5. Vecto trong không gian a) Khái niệm b) Hai vecto bằng nhau c) Góc giữa hai vectơ   Vectơ AB có:   (u , v )  0     u , v cuøng höôùng nbv.edu.vn - Hướng từ A đến B ; uv   | u || v | . - Độ lớn là độ dài đoạn AB , kí     (u , v )  180 hiệu | AB | AB . d) Quy tắc cộng vectơ      Quy tắc ba điểm: AB  BC  AC . Quy tắc hình binh hành:              90  (u , v )  180 AB  AD  AC . Quy tắc hình hộp: AB  AD  AA  AC .     MA  MB  0 Quy tắc trung điểm: M là trung điểm của AB           0  (u , v )  90   I : IA  IB  2 IM . Quy tắc trọng tâm tam giác: G là trọng tâm         (u , v )  90 GA  GB  GC  0 ABC         I : IA  IB  IC  3IG.  nbv.edu.vn   Quy tắc trọng tâm tứ diện: G là trọng tâm tứ diện     u v (u , v )   0 ;180  , cos(u , v )             | u || v | GA  GB  GC  GD  0 ABCD          I : IA  IB  IC  ID  4 IG 
https://www.nbv.edu.vn/ 18 VẤN ĐỀ 6. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tính đơn điệu của hàm số a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng trên tập số thực và y  f ( x) là hàm số xác định trên K . - Hàm số y  f ( x) được gọi là đồng biến trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2 thì f  x1   f  x2  . - Hàm số y  f ( x) được gọi là nghịch biến trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2 thì f  x1   f  x2  . Chú ý - Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải trên K . - Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải trên K . nbv.edu.vn nbv.edu.vn Hàm số đồng biến trên ( a; b ) Hàm số nghịch biến trên (a; b) - Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K . Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số. - Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó. ĐỊNH LÍ Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó - Nếu f  ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng K . - Nếu f  ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng K . Chú ý - Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f  ( x) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng - Người ta chứng minh được rằng, nếu f  ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f ( x) không đổi trên khoảng K (hay còn gọi là hàm hằng). b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x) : Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính đạo hàm f  ( x) . Tìm các điểm xi (i  1, 2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số. Bước 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
https://www.nbv.edu.vn/ 19 2. Cực trị của hàm số a) Khái niệm cực trị của hàm số Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0  (a; b) ( a có thể là ;b có thể là  ). - Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h   (a; b) và x  x0 thì ta nói hàm số f ( x) đạt cực đại tại x0 . - Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h   (a; b) và x  x0 thì ta nói hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x0 . Chú ý - Nếu hàm số y  f ( x) đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f ( x) . Khi đó, f  x0  được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ( x) và kí hiệu là fCĐ hay yCĐ . nbv.edu.vn Điểm M 0  x0 ; f  x0   được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. - Nếu hàm số y  f ( x) đạt cực tiểu tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f ( x) . Khi đó, f  x0  được gọi là - Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi giá trị cực tiểu của hàm số f ( x) và kí hiệu là f CT hay yCT . chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị Điểm M 0  x0 ; f  x0   được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay hàm số. cực trị) của hàm số. b) Mối quan hệ của điểm cục trị với đạo hàm của hàm số ĐỊNH LÍ Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng  a; x0  và  x0 ; b  . Khi đó: - Nếu f  ( x)  0 với mọi x   a; x0  và f  ( x)  0 với mọi x   x0 ; b  thì x0 là một nbv.edu.vn điểm cực tiểu của hàm số f ( x) . - Nếu f  ( x)  0 với mọi x   a; x0  và f  ( x)  0 với mọi x   x0 ; b  thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f ( x) nbv.edu.vn c) Phương pháp tìm cực trị của hàm số Để tìm cực trị của một hàm số ta đi lập bảng biến thiên của hàm số rồi dựa vào định lí trên để chỉ ra kết luận về cực trị của nó. Chú ý - Tại điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó có thể bằng 0 hoặc không xác định. nbv.edu.vn - Nếu hàm số cho bởi đồ thị thì ta dựa vào dấu hiệu ở hình bên để kết luận.
https://www.nbv.edu.vn/ 20 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số a) Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D . - Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu f ( x)  M với mọi x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   M . Kí hiệu M  max xD f ( x) hoặc M  max D f ( x) . - Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu f ( x)  m với mọi x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   m . Kí hiệu m  min xD f ( x) hoặc m  min D f ( x) . b) Phương pháp tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Phương pháp chung. Ta lập bảng biến thiên của hàm số trên tập cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất rồi dựa vào bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Giả sử y  f ( x) là hàm số liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) , có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trên [a; b] mà đạo hàm f  ( x) bằng 0. Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên [a; b] : Bước 1. Tìm các điểm x1 , x2 , , xn  (a; b) , tại đó f  ( x) bằng 0 hoặc không tồn tại. Bước 2. Tính f  x1  , f  x2  ,, f  xn  , f (a) và f (b) . Bước 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M  max[ a;b ] f ( x); m  min[ a ;b ] f ( x) . 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số a) Các định nghĩa - Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng y  y0 gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu lim f ( x)  y0 hoặc lim f ( x)  y0 . x  x  nbv.edu.vn nbv.edu.vn Đường thẳng y  y0 là tiệm cận ngang của đồ thị Đường thẳng y  y0 là tiệm cận ngang của đồ thị (khix  ) (khix  ) - Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng x  x0 gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: