Đạo hàm và phương trình
Cauchy-Riemann
Như trong giải tích thực, một hàm phức "trơn" w = f(z) có thể có
đạo hàm tại một điểm nào đó trong miền xác định Ω. Thực tế
định nghĩa đạo hàm
tương tự trong trường hợp thực, với một điểm khác biệt quan
trọng: Trong giải tích thực, giới hạn chỉ có thể có bằng việc di
chuyển trên đường thẳng thực một chiều. Trong giải tích phức,
giới hạn có được bằng cách di chuyển theo hướng bất kì trên
mặt phẳng phức hai chiều.
Nếu giới hạn này tồn tại với mọi điểm z trong Ω, khi đó f(z)
được gọi là khả vi trên Ω. Có thể chứng minh rằng mọi hàm khả
vi f(z) đều là hàm giải tích. Đây là kết quả mạnh hơn trường hợp
hàm thực. Trong giải tích thực, ta có thể xây dựng hàm f(x) có
đạo hàm bậc nhất tại mọi nơi nhưng đạo hàm bậc hai không tồn
tại tại một hay nhiều điểm trên tập xác định của hàm. Tuy nhiên
trên mặt phẳng phức, nếu một hàm f(z) khả vi trong một lân cận
thì nó sẽ khả vi vô hạn trong lân cận đó.
Bằng cách áp dụng phương pháp của giải tích véc tơ để tính đạo
hàm riêng của hai hàm vec tơ u(x, y) và v(x, y) vào cho hàm f(z),
và xem xét hai đường đến z trong Ω, có thể chỉ ra rằng đạo hàm
tồn tại nếu và chỉ nếu
Đồng nhất phần thực và phần ảo của biểu thức ta có phương
trình Cauchy-Riemann:
hoặc kí hiệu khác,
Vi phân hệ hai phương trình đạo hàm riêng này, đầu tiên theo x,
sau đó theo y ta dễ dàng chỉ ra rằng
hoặc dưới dạng kí hiệu khác,
Nói cách khác, phần thực và phần ảo của một hàm phức khả vi
là các hàm điều hòa vì chúng thỏa mãn phương trình Laplace.