ĐẠI HỌC HOA SEN
KINH TẾ LƯỢNG
ĐÁP ÁN Bài tập SỐ 1
ÔN TẬP THỐNG KÊ và HỒI QUY ĐƠN
Người soạn: GV. Phạm Văn Minh
Câu 1 (20 điểm):
Hãy nêu định nghĩa của kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.
Hãy chứng minh những tính chất sau đây của kỳ vọng và phương sai, trong đó X là
một biến ngẫu nhiên và a, b là những hằng số.
(a) E[a] = a (b) E[bX] = bE[X]
(c) E[a + bX] = a + bE[X] (d) VAR[a] = 0
(e) VAR[bX] = b2VAR[X] (f) VAR[a + bX] = b2VAR[X]
(g) VAR[X] = E[X2] - (E[X])2
Giải:
(a) E[a] = a
(b) E[bX] = bE[X]
(c) E[a + bX] = a + bE[X]
(d) VAR[a] = 0
Dựa vào tính chất của toán tử kỳ vọng E[X]: E[a] = a (ở câu a)
(e) VAR[bX] = b2VAR[X]
(f) VAR[a + bX] = b2VAR[X]
2
(g) VAR[X] = E[X2] - (E[X])2
Để đơn giản hóa ký hiệu, ta đặt = E[X]
Câu 2 (20 điểm):
Có một giả thuyết cho rằng điểm trung bình của một sinh viên có thể được giải thích
bởi thu nhập trung bình hàng năm của Cha Mẹ. Để kiểm chứng giả thuyết này, một
sinh viên Kinh tế Khóa 34 đã tiến hành thu thập dữ liệu từ một mẫu gồm 8 sinh viên
của Trường Đại Học Hoa Sen và được kết quả như sau:
STT Điểm trung bình
(ĐTB)
Thu nhập trung bình
hàng năm (TN – tr.đồng)
1 10.00 105
2 7.50 75
3 8.75 45
4 5.00 45
5 7.50 60
6 8.75 90
7 6.25 30
8 6.25 60
Giải:
(a) Hãy tính các trị thống kê tổng hợp cho biến thu nhập trung bình hàng năm và biến
điểm trung bình. Điền các kết quả vào bảng sau:
Trị thống kê Tổng hợp HÀM EXCEL Biến ĐTB Biến TN
Số lần Quan sát =COUNT( ) 8 8
Trung bình =AVERAGE( ) 7.5 63.75
Trung vị =MEDIAN( ) 7.5 60
Yếu vị (mode) =MODE( ) 6.25; 7.5; 8.75
45; 60
Giá trị lớn nhất =MAX( ) 10 105
Giá trị nhỏ nhất =MIN( ) 5 30
Phương sai (*) =VAR( ) 2.679 626.786
Độ Lệch chuẩn =STDEV( ) 1.637 25.036
Hệ số biến thiên = STDEV( )/
AVERAGE( )
0.218 0.393
Đồng Phương sai =(n/(n-1))*COVAR() = 29.464
3
Hệ số biến thiên: được định nghĩa là tỷ số σ/μ, trong đó tử số là độ lệch chuẩn và
mẫu số là trị trung bình. Đó là một đại lượng của sự phân tán của phân phối tương
đối so với trị trung bình của phân phối.
Đồng Phương sai: Trong lý thuyết xác suất và thống kê, đồng phương sai (hay hiệp
phương sai) là độ đo sự biến thiên cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên (phân biệt với
phương sai - đo mức độ biến thiên của một biến).
Nếu 2 biến có xu hướng thay đổi cùng nhau (nghĩa là, khi một biến có giá trị cao hơn
giá trị kỳ vọng thì biến kia có xu hướng cũng cao hơn giá trị kỳ vọng), thì hiệp phương
sai giữa hai biến này có giá trị dương. Mặt khác, nếu một biến nằm trên giá trị kì
vọng còn biến kia có xu hướng nằm dưới giá trị kì vọng, thì hiệp phương sai của hai
biến này có giá trị âm.
Lưu ý: trong Excel có đến 4 hàm để tính Phương sai. Đó là VAR, VARA, VARP,
VARPA. Nhưng để tính phương sai cho mẫu, ta sử dụng công thức VAR( ), tương tự
như vậy công thức (n/(n-1))*COVAR sẽ tính đồng phương sai của hai biến trên mẫu.
Hoặc sử dụng Data Analysis/ Descriptive Statistics:
Ta có bảng sau:
ĐIỂM TRUNG BÌNH THU NHẬP
Mean 7.5 Mean 63.75
Standard Error 0.578638 Standard Error 8.851452665
Median 7.5 Median 60
Mode 7.5 Mode 45
Standard Deviation 1.636634 Standard Deviation 25.03568881
Sample Variance 2.678571 Sample Variance 626.7857143
Kurtosis -0.7 Kurtosis -0.596449704
Skewness -6.3E-17 Skewness 0.46088053
Range 5 Range 75
Minimum 5 Minimum 30
Maximum 10 Maximum 105
Sum 60 Sum 510
Count 8 Count 8
4
(b) Vẽ đồ thị phân tán điểm cho tập dữ liệu trên. Dùng trục hoành cho biến thu nhập
trung bình hàng năm và trục tung cho biến điểm trung bình. Nhận xét một cách ngắn
gọn về đồ thị của dữ liệu.
Tính toán các hệ số hồi quy 1 và 2 trong mô hình hồi quy sau: ĐTB = 1 + 2*TN
bằng Excel.
Đồ thị phân tán:
Nhận xét: Dựa vào đồ thị trên, ta thấy dường như giữa điểm trung bình của một sinh
viên có mối tương quan tuyến tính đồng biến với thu nhập trung bình hàng năm của
Cha Mẹ.
Số quan sát
(n)
Thu nhập trung
bình hàng năm
(TN - tr.đ)
- (X)
Điểm trung bình
(ĐTB) - (Y) X*Y X^2
1
10
1050.00 11025
2
75
7.5
562.50 5625
3
45
8.75
393.75 2025
4 45 5 225.00 2025
5
60
7.5
450.00 3600
6
90
8.75
787.50 8100
7
30
6.25
187.50 900
8
60 6.25 375.00 3600
TỔNG
510
60
4031.25
36900
TRUNG BÌNH
63.75
7.5
Tính hệ số hồi quy như sau:
b2
0.047
b1
4.5032
Các bạn có thể “click đúp” trực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán mà không
cần phải mở Excel. Cụ thể hơn, b1 và b2 được tính bằng các công thức như sau:
.047.0
)75.63(*836900
5.7.*75.63*83.4031
).(
..
ˆ2
1
22
1
2
n
i
i
n
i
ii
XnX
YXnYX
5
(c) Theo Anh/Chị, giả thuyết cho rằng điểm trung bình của một sinh viên có thể được
giải thích bởi thu nhập trung bình hàng năm của Cha Mẹ là đúng hay không đúng.
Giải thích ngắn gọn câu trả lời của Anh/Chị.
Câu này chưa cần làm.
Câu 3 (20 điểm):
Thu thập dữ liệu về thu nhập (R), chi tiêu cho ăn uống (C1) và các chi tiêu khác (C2),
bình quân 1 tuần của 10 hộ gia đình ở một vùng, nhà nghiên cứu được kết quả sau
(đơn vị ngàn VNĐ/ tuần):
Hộ gia
đình i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ri 800 1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
C1i 320 310
340
310
450
420
480
520
600
520
C2i 380 340
560
640
660
730
740
880
950
980
a) Gọi tổng chi tiêu bình quân 1 tuần của hộ gia đình là C (C = C1 + C2). Hãy tính
giá trị kỳ vọng và phương sai của tổng chi tiêu C cho tập dữ liệu trên.
HGĐ i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R
i
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600
C1
i
320 310 340 310 450 420 480 520 600 520
C2i 380 340 560 640 660 730 740 880 950 980
Ci 700 650 900 950 1110 1150 1220 1400 1550 1500
Dùng hàm AVERAGE, VAR trong EXCEL ta được:
C1i C2i Ci
427
686
1113
10778.89
47848.89
99201.11
Kỳ vọng
Phương sai
Đồng phương sai 20286.7
Ta thấy E(C) = E(C1) + E(C2); Var(C) = Var(C1) + Var(C2) +2Cov(C1,C2)
(Các bạn chỉ cần tìm ra Kỳ vọng và phương sai của C, chữ đậm màu đỏ ở bảng trên,
“click đúp” trực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán cụ thể)
b) Gọi số tiền tích lũy bình quân 1 tuần của hộ gia đình là P (P = R – C). Hãy tính giá
trị kỳ vọng và phương sai của số tiền tích lũy bình quân 1 tuần cho tập dữ liệu trên.
.5032.475.63*047.05.7
ˆˆ 21 XY