®¹i häc th¸i nguyªn
trêng ®¹i häc s ph¹m
ph¹m hiÕn b»ng
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO
(TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN)
Thái Nguyên, 2011
®¹i häc th¸i nguyªn
trêng ®¹i häc s ph¹m
ph¹m hiÕn b»ng
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO
(TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN)
SỐ TÍN CHỈ: 3 (LÝ THUYẾT: 30 THẢO LUẬN: 15)
Thái Nguyên, 2011
1
MỞ ĐẦU
Mục đích của đề cương bài giảng này là trình bày những kiến thức cơ
bản về lý thuyết các không gian lồi địa phương hạch. đó là một lớp không
gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng trong giải tích nói chung, đặc biệt giải
tích phức nói riêng
Nội dung của đề cương gồm 3 Chương. Chương 1 trình bày những kiến
thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp
theo.
Chương 2: phần đầu của chương đề cập đến các kiến thức về các họ
khả tổng và
e
- tôpô cũng như
p
- tôpô. Phần tiếp theo của chương này đề cập
tới các dạng ánh xạ quan trọng mà tất cả những phần sau đều dựa trên nền
kiến thức của chương này. Đó là các ánh xạ khả tổng tuyệt đối, các ánh xạ
hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt . Phần cuối của chương trình
bày mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên.
Chương 3: trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu
chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa
phương hạch. Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của
một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về
ánh xạ loại
p
l
và loại
s
.
Nội dung của đề cương bài giảng được dùng để giảng dạy cho nghiên
cứu sinh ngành Toán giải tích của Đại học Thái Nguyên. Các vấn đề trình bày
ở đây có thể là cơ sở cho đề tài của các luận văn Thạc sĩ, luận văn tốt nghiệp
đại học cũng như đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên chuyên ngành
toán.
.
2
Chương 1
KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG
Lý thuyết 04 Thảo luận 02
Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản về giải tích hàm:
không gian lồi địa phương, không gian Banach, không gian Hilbert và ánh xạ
tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương làm cơ sở cho nội dung
của các chương tiếp theo.
1.1. Không gian lồi địa phương
1.1.1 Chuẩn và nửa chuẩn trên không gian véctơ
Giả sử
E
là không gian véc tơ thực hay phức. Hàm thực
p
trên
E
gọi
là nửa chuẩn nếu nó thoả mãn
1
N p x
³
với mọi
x E
Î
.
2
) ( ) ( ), ( , )
N p x p xl l l= Î =
¡ £
K K , với mọi
x E
Î
.
3
) ( ) ( ) ( )
N p x y p x p y
+ £ + với mọi
,
x y E
Î
.
Nửa chuẩn
p
gọi là chuẩn nếu
( ) 0 0
p x x
= Þ =
.
Từ
2
)
N
và
3
)
N
suy ra
( ) ( ) ( )
p x p y p x y
- £ -
với
,
x y E
Î
.
1.1.2. Tập lồi, cân, hút và phiếm hàm Minkowski
Tập con
A
trong không gian véctơ
E
gọi là
)
a
lồi nếu (1 )
tx t y A
+ - Î
với mọi ,
x y A
Î
và
0 1
t
£ £
.
)
b
cân nếu
x A
l
Î
với mọi
x A
Î
và
1
l
£
.
)
c
hút nếu với mọi
x E
Î
tồn tại
0
e
>
sao cho
x A
l
Î
với mọi
l e
£
.
1.1.2.1. Rõ ràng nếu
p
là nửa chuẩn trên
E
thì
{ }
: ( ) 1
p
U U x E p x
= = Î <
hay
{ }
: ( ) 1
U x E p x
= Î £
%
là các tập lồi, cân, hút trong
E
. Ngoài ra
( ) inf{ 0 : }
x
p x U
l
l
= > Î
inf{ 0 : }.
x
U
l
l
= > Î
%
1.1.2.2. Giả sử
U
là tập lồi, cân, hút trong
E
. Khi đó công thức