62
Chương 3
KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG HẠCH
Lý thuyết 14 tiết Thảo luận 07 tiết
Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức về không gian lồi địa
phương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp
không gian lồi địa phương hạch. Các kết quả về ánh xạ loại
p
l
và loại
s
.
3.1. Không gian lồi địa phương hạch
3.1.1. Định nghĩa không gian lồi địa phương hạch
3.1.1.1. Bổ đề. Giả sử
E
là không gian lồi địa phương và
( )
E
M là một họ
nào đó các tập lồi cân đóng và bị chặn. Khi đó hai phát biểu sau là tương
đương:
( )
Đối với mỗi tập
( )
A E
Î M tồn tại tập
( )
B E
Î M sao cho
A B
Í
và ánh xạ đồng nhất từ
( )
E A
và
( )
E B
là hạch (tương ứng là tựa
hạch, là khả tổng tuyệt đối).
( )
N
¢
Đối với tập
( )
A E
Î M tồn tại tập
( )
B E
Î M sao cho
A B
và
ánh xạ đồng nhất từ
0
( )
E B
¢ và
0
( )
E A
¢ là hạch (tương ứng là tựa hạch, là
khả tổng tuyệt đối).
Chứng minh. Bỏi vì tích hai ánh xạ tựa hạch (tương ứng là hai ánh xạ khả
tổng tuyệt đối) là ánh xạ hạch (định lý 2.3.3.4 và định lý 2.3.4.4), nên các phát
biểu trong
( )
và
( )
N
¢
là tương đương. Như vậy chỉ cần chứng minh
( )
tương đương với
( )
N
¢
trong trường hợp ánh xạ hạch.
( )
( )
N
¢
: Cho
( )
A E
Î M . Do
( )
tìm được
, ( )
B C E
Î M sao
cho
A B C
Ì Ì
và các ánh xạ đồng nhất
( , ) : ( ) ( ),
e A B E A E B
®
( , ) : ( ) ( )
e B C E B E C
® là hạch. Do mệnh đề 2.3.1.8 các ánh xạ đối ngẫu
63
[ ] [ ]
( , ) : ( ) ( )
e B C E C E B
¢ ¢
¢® và
[ ] [ ]
( , ) : ( ) ( )
e A B E B E A
¢ ¢
¢® là hạch. Suy ra
các ánh xạ đồng nhất
0 0 0
( ) ( ) ( )
E C E B E A
¢¢¢
® ® là khả tổng tuyệt đối, bởi
vì
0
( )
E D
¢ có thể coi như không gian con của
[ ]
( )
E D
¢
với mọi
( )
D E
Î M .
Theo định lý 2.3.4.4 ánh xạ đồng nhất
0 0
( ) ( )
E C E A
¢ ¢
® là hạch.
( )
N
¢
( )
N
được chứng minh tương tự.
3.1.1.2. Định nghĩa. Không gian lồi địa phương
E
gọi là hạch nếu nó có
một hệ cơ sở các o- lân cận lồi cân
( )
E
F
U sao cho hai điều kiện tương
đương sau được thực hiện:
( )
N
¢
Với mỗi
( )
U E
ÎF
U tồn tại
( )
V E
ÎF
U với
V U
Ì
sao cho ánh
xạ chính tắc từ
( )
E V
vào
( )
E U
là hạch (tương ứng tựa hạch, khả tổng tuyệt
đối).
( )
Với mỗi lân cận
( )
U E
ÎF
U tồn tại
( )
V E
ÎF
U với
V U
Ì
sao
cho ánh xạ chính tắc
0
( )
E U
¢ vào
0
( )
E V
¢ là hạch (tương ứng tựa hạch, khả
tổng tuyệt đối).
Sự tương ứng của
( )
N
¢
và
( )
nhận được bằng cách áp dụng bổ đề
3.1.1.1 đối với họ các tập
0
U
,
( )
U E
ÎF
U trong không gian lồi địa phương
E
¢
.
3.1.1.3. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương hạch
E
, mọi hệ cơ
sở các 0- lân cận lồi cân
( )
E
1
F
U với tính chất
( )
N
¢
. Cho
( )
E
2
F
U hệ cơ sở các
0 - lân cận lồi cân. Khi đó 2
( )
U E
Î
2
F
U tùy ý tồn tại 1
( )
U E
Î
1
F
U với
1 2
U U
Ì
.
Bây giờ ta xác định 1
( )
V E
Î
1
F
U với
1 1
V U
Ì
sao cho ánh xạ chính tắc
( )
1 1
,
E V U
từ
(
)
1
E V
vào
(
)
1
E U
là hạch. Cuối cùng chọn trong
( )
E
2
F
U một
0 - lân cận
2
V
với
2 1
V V
Ì
.
Khi đó ánh xạ chính tắc
( )
2 2
,
E V U
từ
( )
2
E V
vào
( )
2
E U
là hạch vì
64
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 2 1 1 2 1
, , , ,
E V U E U U E V U E V V
=.
Như vậy ta đã chứng tỏ
( )
E
2
F
U cũng có tính chất
( )
N
và
( )
N
¢
.
3.1.1.4. Mệnh đề. Không gian lồi địa phương
E
là hạch khi và chỉ khi mỗi hệ
cơ sở nào đó (tương ứng mọi cơ sở) các o- lân cận lồi cân
( )
E
U
T
có tính
chất sau:
(Q) Với mọi
( )
U E
ÎF
Utồn tại
( )
V E
Î U
T
và dãy
{ }
n
a E
¢
Ì với
( )
0n
V
p a
< + ¥
å
¥
và
( )
, ,
U n
p x x a x E
£ Î
å
¥
.
Chứng minh. Bởi vì
( )
E V
¢
có thể đồng nhất với
0
( )
E V
¢, nên các bất đẳng thức
( ) , ,
U n
p x x a x E
£ Î
å
¥
và
[ ]
( ) ( ), , ( ) ( )
n
p x U x V a x V E V
£ Î
å
¥
là tương đương. Bất đẳng thức thứ 2 suy ra ánh xạ chính tắc từ
( )
E V
vào
( )
E U
là tựa hạch nếu
( )
0n
V
p a
< + ¥
å
¥
.
Vậy các tính chất
( )
N
và
( )
Q
là tương đương với mọi hệ cơ sở các lân
cận lồi cân của 0.
3.1.1.5. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương
E
là hạch nếu và chỉ
nếu tồn tại (tương ứng tất cả) hệ cơ sở các o-lân cận lồi cân
( )
E
U
T
có tính
chất
( )
P
Đối với mỗi
( )
U E
Î U
T
tồn tại
( )
V E
Î U
T
,
V U
Ì
là một độ đo
Radon dương
m
trên
0
V
sao cho
65
0
( ) , ,
U n
V
p x x a d x E
m
£ Î
ò.
Chứng minh. Suy từ định lý 2.2.3.2 về đặc trưng của ánh xạ khả tổng tuyệt
đối.
Giả sử
E
là không gian lồi địa phương. Nếu
( )
E
B
T
là một hệ cơ bản
các tập lồi bị chặn trong
E
, thì họ các pôla
0
B
,
( )
B E
Î B
T
lập thành một cơ
sở các o-lân cận trong
E
b
¢
, không gian
E
¢
xét với tôpô mạnh
( , )
E E
b
¢
hội tụ
đều trên các tập bị chặn của
E
. Do bổ đề 3.1.1.1 ta có:
3.1.1.6. Mệnh đề. Giả sử
E
là không gian lồi địa phương. Khi đó
E
b
¢
là hạch
nếu và chỉ nếu tồn tại một cơ bản các tập lồi cân bị chặn trong
E
với các tính
chất
( )
và
( )
N
¢
.
3.1.1.7. Định nghĩa. Không gian lồi địa phương
E
gọi là đối ngẫu hạch nếu
E
b
¢
là hạch.
Từ mệnh đề 3.1.1.3 ta có:
3.1.1.8. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương đối ngẫu hạch, mọi
hệ cơ bản các tập lồi cân bị chặn có tính chất
( )
và
( )
N
¢
.
3.1.2. Các họ khả tổng trong không gian lồi địa phương hạch
Giả sử
E
là không gian lồi địa phương tùy ý. Trong mục này ta viết
[ ] { } { }
1 1 1 1
hay ( )
I I I I
E E E E
= =l l l l
nếu hai không gian véctơ
[
]
1
I
E
l hay 1
( )
I
E
l trùng với
{ }
1
I
E
l. Nếu ngoài ra
e
-
tôpô của chúng là
p
-tôpô của
{ }
1
I
E
l ta viết
[ ] { } { }
1 1 1 1
hay ( )
I I I I
E E E E
º ºl l l l .
3.1.2.1. Mệnh đề . Nếu
E
là hạch, thì với mọi tập chỉ số
I
có đồng nhất.
[ ] { }
1 1 1
( )
I I I
E E E
= =l l l .
Chứng minh. Do mệnh đề 3.1.1.4 đối với mỗi 0 - lân cận lồi cân
( )
U E
Î U
tồn tại
( )
V E
Î U và một dãy
{ }
'
n
a E
Ì với
66
0
( ) 1
n
V
p a
£
å
¥
và
( ) , , .
U n
p x x a x E
£ Î
å
¥
Bởi vì
[
]
0
, ( ) ,
n n V i
V
I
x a p a x I
e£
å
ta có bất đẳng thức
[ ] [
]
, , ,
U i i n V i
I
x I x a x I
p e£ £
å å
¥
Suy ra tất cả các họ khả tổng trong
E
là khả tổng tuyệt đối, nghĩa là
[ ] [ ] ( )
1 1 1
=
I I I
EEE
=l l l .
3.1.2.2. Mệnh đề. Nếu đối với không gian lồi địa phương
E
đồng nhất sau
được thỏa mãn
[ ] { } ( ) [
]
1 1 1 1
hay
I I I I
E E E E
º ºl l l l
với mọi tập chỉ số
I
, thì
E
là hạch.
Chứng minh. Vì
( ) [
]
1 1
I I
E E
Ìl l , chỉ cần chứng tỏ nếu
( ) { }
1 1
I I
E E
ºl l , thì
E
là hạch. Cho
(
)
U E
Î U . Khi đó tồn tại
(
)
V E
Î U với
V U
Ì
và
[ ] [ ] [ ]
( )
1
, , , ,
U i V i i I
x I x I x I E
p e£ Î l
Bây giờ xét một họ hữu hạn tùy ý
( )
[
]
,
n
x V A
trong
( )
E V
. Nếu
{ }
1,..., k
i i U
s
= Ì
với
k
là số phần tử của
A
. Xác định
[ ]
( )
1
,
i I
y I E
Î l bởi
0
i
y
=
nếu i
s
Ï
và
n h
i n
y x
=
với
1,...,
h k
=
, ở đây
{ }
1,..., k
A n n
= Ì
¥
.
Khi đó do các đồng nhất
( )
( ) ( ) [
]
,
n n U n U i U i
A I
p x U p x p y y I
p= = =
å å å
và