CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG SỞ GD&ĐT THANH HÓA
NĂM HỌC 2014- 2015 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2
MÔN : TOÁN - KHỐI 10
§Ò CHÝNH THøC
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (5điểm):
Cho parabol y = - 2x2 (P) và đường thẳng d: y = ax + a – 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).
2. Tìm số nguyên a sao cho d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thoã mãn AB = 5
Câu 2 (2 điểm):
x
(5
x
x
)5
3
2
Giải phương trình:
3
3
x
4
y
x
2
y
Câu 3 (2 điểm):
2
2
x
82
xy
21
y
9
52
Giải hệ phương trình:
x
x
1
Câu 4 (2 điểm):
2
1
(2
x
x
)1
Giải bất phương trình:
2
2
2
a
c
Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC có diện tích S. Chứng minh rằng:
b 4 S
cotA + cotB + cotC =
Câu 6 (2 điểm):
MA
2
MB
3
MC
Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm trên d điểm M sao cho vectơ:
Trang | 1
có độ dài nhỏ nhất.
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
Câu 7 (2 điểm):
;
Biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2)
5 2
5 2
và trung điểm M( ) của BC. Tìm toạ độ A, B, C biết xB > xC
Câu 8 (2 điểm):
z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
Cho ba số thực dương x, y, z thoã mãn x
2
xz
y
yz
xz
yz
y
2 x z z x
P =
Trang | 2
………………………………..Hết…………………………………
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2014 – 2015
Câu 1:
1. (2 điểm): Tự vẽ 2. (3 điểm): Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 2x2 + ax + a – 2 = 0 (*) có
= (a – 4)2 với a 4 thì (*) có hai nghiệm x1 = -1 và x2 =
2 a 2
2
2
a
2(
)
. Khi đó
;
2
a 2
2
2
2
a
A(-1;-2) và B( ). ta có AB = 5 AB2 = 5
2
2
5
2
a 2
2 1
2
4
3
3
2
a
8
a
17
a
8
a
0
4
a
(
)(2
a
6
a
5
a
)2
0
3
a
6 2 a
aa (
0
2
)(1
a
)5
2
thì không tồn tại số nguyên a thoã mãn. Vậy
Với 5 a a = 2 là giá trị duy nhất cần tìm.
Câu 2: (3 điểm)
a
x
ĐKXĐ: x 5
5x
b
3
3
2
2
9
Đặt: (a > b 0 )
( 2
2
a b
3 2
2 25
a b
bab ( ) 2 ( ba )
a
b
5
Ta có: hoặc
2 ()
(
ba )
25
bab ) 2
bab ba
81 16
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình là: x = 9; x =
Câu 3: ( 2 điểm)
Ta có – 9(4x3 – y3) = (x + 2y)(52x2 – 82xy + 21y2) 8x3 + 2x2y – 13xy2 + 3y3 = 0
(x - y)(8x2 + 10xy – 3y2) = 0 (x-y)(4x - y)(2x + 3y) = 0
Từ đó tìm được nghiệm của hệ là (1 ;1) ; (-1 ; -1)
Câu 4 : (2 điểm)
(2 2 x
x
,1)1
x
ĐKXĐ : x 0
nên mẫu số
Trang | 3
Nhận xét : 2(x2 – x + 1) – 1 = 2x2 – 2x + 1 > 0 với mọi x âm vậy bất phương trình đã cho tương đương với:
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
2
2
x
x
1
(2
x
)1
x
(2
x
x
1)1
x
x
a 1
x
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
x
b
Đặt suy ra a2 + b2 = x2 – x + 1
5
3
2
2
2
(2
a
b
)
ba
ba
(
)
0
a
b
1
x
x
x
mt /(
)
2
5
x
Vậy bất phương trình trở thành:
3 2
vậy nghiệm của bất phương trình là
2
2
2
a
b
bc sin
A
Câu 5: (2 điểm)
cos
A
c 2 bc
1 2
S2 bc
2
2
2
b
a
Ta có: . Mặt khác từ S = suy ra SinA =
cot
A
c 4
S
suy ra
2
2
2
a
b
cot
B
c 4
S
2
2
2
a
c
cot
C
b 4 S
2
2
2
a
c
Tương tự ta có:
b 4 S
Suy ra: cotA + cotB + cotC =
Câu 6: (2 điểm)
Lấy điểm D trên AB sao cho DA = 2DB. Gọi E là trung điểm của CD ta có:
MC
3
MD
3
MC
3
ME
3
2 MA MB đường thẳng d
. Suy ra điểm M cần tìm là hình chiếu của điểm E trên
IH 3
IG
Câu 7 : (2 điểm)
2;
* Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta chứng minh được :
4 3
Trang | 4
Từ đó tìm ra G( )
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
Phương trình đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với MI nên BC có phương trình : 3x + y – 10 = 0
Phương trình đường thẳng AH đi qua H và vuông góc với BC nên AH có phương trình : x – 3y + 4 = 0
Phương trình đường thẳng AG đi qua A và G nên AG có phương trình là : 3x – 7y + 10 = 0
Ta có điểm A là giao điểm của AH và AG nên A(-1 ; 1)
Do B thuộc BC nên B có toạ độ dạng : B(a ; 10 – 3a). Do M là trung điểm của BC nên C có toạ độ dạng C(5 – a; 3a - 5).
2
BH
.
AC
a
0
5
a
0
6
a
,2
a
3
Mặt khác vì H là trực tâm nên BH vuông góc với AC, tương đương với
. Vì xB > xC nên a = 3
vậy A(-1;1); B(3;1); C(2;4)
Câu 8: 2 điểm
2
1
2
y yz
P
2
xz yz 2
xz
yz
y
z 2 x x z
xz
y
yz
1
1
1
xz yz
z 2 x z x
y yz
1
x y
y z
1
1
1
y z
x y
z 2 x z x
2
2
2
a 2
b 2
b
1
a
1
21 c 2 1 c
2
2
2
a
,
b
,
c
Rcba ,( ,
)
Ta có:
x y
y z
z x
2
2 ba
1
trong đó ta ký hiệu:
z
x z
1 2 c
2
2
Chú ý : do x
a 2
b 2
2
2 ab
ab 1
b
1
a
1
b (
)(1
a
)(1
ab
)1
F 2
*
Trong đó F = a2(a2 + 1)(ab + 1) + b2(b2 + 1)(ab + 1) – 2ab(b2 + 1)(a2 + 1)
Trang | 5
= ab(a4 + b4 – 2ª2b2) + (a4 + b4 – a3b – ab3) + (a2 + b2 – 2ab)
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
2
2
2 c
= ab(a2 – b2)2 + (a - b)(a3 – b3) + (a - b)2 0
)1(
a 2
b 2
2 ab
ab 1
2
1
c
b
1
a
1
1
1 c
Do đó:
2
Đẳng thức xảy ra khi a = b
2
2
1
c
5 2
21 c 2 1 c
G 1)( c
1(2
c
)
+
Trong đó G = 2(2(1+c2) + (1 + c)(1 + 2c2)) – 5(1 + c)(1 + c2)
= 2(2 + 2c2 + 1 + c + 2c2 + 2c3) – 5(1 + c + c2 + c3)
= 1 – 3c + 3c2 – c3 = (1 - c)3 0 do c < 1 (2)
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b, c = 1 tương đương với x = y
5 2
Từ (1) và (2) suy ra P
= z.
5 2
Trang | 6
vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU
- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.
- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt
giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.
- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh
kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -
CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ
- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):
+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.
+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.
HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM
-
Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.
- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình.
- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.
- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn.
- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.
Trang | 7
- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.
![Đề thi Tiếng Anh có đáp án [kèm lời giải chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250810/duykpmg/135x160/64731754886819.jpg)
