CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 12

TRƯỜNG THPT HỒNG LĨNH NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐÈ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

3

2

y

x

-

-

a

1

Câu 1. (4,0 điểm)

 a 3

 x 1

 23

 x 1

- x

52

a) Tìm điều kiện của tham số a để hàm số đạt cực trị tại hai

x 1

2

điểm x1, x2 thoả mãn

2 3 x

x 

x

-

x -

0

 2

 13

b) Giải bất phương trình

Câu 2. (2,0 điểm)

2

2

x

4

-

x

 xm

4

-

x

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a. Mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết đường thẳng AC vuông

góc với đường thẳng SD. Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) và góc giữa

đường thẳng SC với (ABCD).

ab

ba 3

Câu 4. (2,0 điểm)

2

P

-

b

 a

2

3 a  b

1

3 b  a

1

ab  ba

Cho hai số thực dương a, b thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

_________ Hết _______

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Trang | 1

- Giám thị không giải thích gì thêm.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 12

2

y

 3'

x

-

-

a

Câu Điểm Đáp án

 a 6

 x 1

 23

1

Ta có

a

4

Hàm số có 2 cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 1,0



0

a

0

  

2

2

-

x

52

x

-

4

20

-

a

 a - 4

 1

 24

 20  1

x 1

2

 x  1

2

xx 21

(*) 1.a

4

a 

5

- 1

a

5

-

1

a

0

 . Kết hợp điều kiện (*) ta được:  

1x

1,0

3

3  x

2

x

-

x

1

-

x

ĐK:

Phương trình (1) (2)

 12

2

y

32 t

t

f

'

6 t



,01

Rt

  tf

  t

1,0 Xét hàm số , ta có:

 Hàm số y = f(t) đồng biến trên R.

x

0

5

 x

1.b

f

1

1 --

x

x

x

  xf

(2)

2

1- 2

x

-

01

x

  

5

x 

1

1x

1,0

- 1 2

-

2

x

2

Kết hợp với điều kiện , suy ra BPT có nghiệm là:

2

t

 x

- 4 x

Điều kiện: .

2;2-

2

x

4

-

x

-

x

t

- 1'

t

 0'

x

2

Đặt : . Xem t là hàm số của x, xét hàm số t trên 

2

2

4

-

-

4

x

, .

x Bảng biến thiên của t trên 

2;2-

x -2

2

t’ + 0 -

2

-2 2 -

t

22

: 2 1,0

Điều kiện của ẩn t là: (Thí sinh phải trình bày được cách tìm

Trang | 2

điều kiện của t, nếu điều kiện sai thì không tính điểm)

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

2

t

4

2

2

2

-



2

t

m

x

4

-

x

t



24

x

4

-

x

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

1 2 t 2

2

f

t )(

-

t

t 

2

 . PT trở thành

- 2 trên tập 

. Xét hàm số

22;2-

1 2

f

t )('

- t

1

f

t )('



0

t

1

,

t -2 1 2 2

Bảng biến thiên:

f’(t) + 0 - -

2

-2

1,0

- 2

m

f

)( t

m

Từ bảng biến thiên của f(t), phương trình ban đầu có nghiệm

 phương trình có nghiệm  .

22;2-t

5 2

SH 

3a

SH 

ABCD

,

,

SAD

a

3

 Cd

 SAD

 

 Bd

 

AC 

SHD

AC 

HD

AHD 

DAC

H là trung điểm AB , 1,0

 Hai tam giác ADH và

,

CH 

3a

AD 

2a

3

AH AD

AD CD

DCA đồng dạng (Thí sinh 1,0

phải trình bày được cách tính CH)

045 

2

-

2

 a b

P

-

2 a

2 b

3

ab 2

 - 

 a b

3 a  b 1

3 b  a 1

ab  a b

ab  a b

     ab 2 a b      a b ab 1

2

t

t

3

t

P

3.

2 -  t

-

t

t

a b

ab

t

Gọi  là góc giữa SC và (ABCD)

    -  t<3 và 3

 2 3

- 3

- t

  2 3 -  t  -   t t 1

Đặt 1,0

2  a b

2

-  

t

t

2

3

- 

t ab

  t

2

2

1 4

12 t

 t 0  -  t 4 12 0

4

2 t   4

  

  

  t 

2

 t

3

4 . Ta có:

f

t ( )

2  -  

t

t

2

f

'

t 2 --

1

0

2

3

Do đó:

 với

 t    t

12 t

12 2  t

f



,6

t

3;2

  tf

  2

Xét hàm số 1,0

 3,2

Trang | 3

Hàm số y = f(t) nghịch biến trên 

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

 P

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

3 2

3 2

Vậy MaxP = khi a = b = 1.

Trang | 4

Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU

- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM

-

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ

động thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề

nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.

Trang | 5

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807